高二数学等差数列和等比数列的复习

等差数列和等比数列的复习一、知识要点1．等差数列和等比数列是两种最基本，最常见的数列.应熟练掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，通过通项公式与前n项和公式联系着五个基本量a1,d(或q)，n, a n, S n，“已知其三必可求其余二”，将等差、等比数列问题，转化为关于这五个基本量的运算问题，是常见的解题方法.2．等差、等比数列具有很多特殊性质，在运算时，除转化为基本量，运用方程思想解决之外，还常通过灵活运用性质，从而简化运算，常用性质如下:①考察数列的项的下标之间的联系:等差等比m,n属于N，则a n=a m+(n-m)d m,n属于N，则a n=a m·q n-mm,n,p,q属于N，m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q m,n,p,q属于N，m+n=p+q,则 a m·a n=a p·a q ②数列的运算:若{a n}, {b n}为等差数列，则{a n±b n}为等差数列若{a n}, {b n}为等比数列，则{a n,b n}, {}(b n≠0)为等比数列若{a n}为正项等比数列，则{lga n}为等差数列若{a n}为等差数列，则{}（C为正常数）为等比数列等.还可以运用等差，等比数列的定义，证明通过其他运算所产生的新数列具有等差或等比的特征，我们应对此加以关注，从而了解新数列的特殊性，运用等差，等比性质解题.③等差或等比的子数列所具有的性质:等差等比若m,n,p成等差，则a m,a n,a p成等差若m,n,p成等差，则a m,a n,a p成等比，公比为q n-m.S m, S2m-S m, S3m-S2m成等差，公差为m2d S m, S2m-S m, S3m-S2m成等比，公比为q m如等差数列{a n}的前m项和为30, 前2m项和为100，求它的前3m项的和.可设前m项之和为V1，m+1到2m项之和为V2，2m+1到3m项之和为V3，利用V1，V2，V3成等差数列，于是:V1=30, V2=100-30=70, d=70-30=40,所以 V3=V2+d=70+40=110.所以前3m项之和S3m=S m+(S2m-S m)+(S3m-S2m)=V1+V2+V3=210.再如，{a n}是由正数组成的等比数列，公比q=2, 且a1·a2·a3……a30=230, 求a3·a6·a9……a30的值.若利用等比数列的性质，将数列{a n}的前30项分成三组，于是设a1a4a7……a28=xa2a5a8……a29=x·210a3a6a9……a30=x·220于是有230=x(x·210)·(x·220)=x3·230,所以 x=1又 x属于R, 所以x=1,所以 a3a6a9……a30=220,由以上两个例可以看出，灵活运用等差、等比数列的有关性质，可以提高解题技能，减少运算量.3．注意运用函数的观点和方法揭示等差数列和等比数列的特征，在分析和解决数列综合题时要注意运用数学思想方法以及和函数，不等式知识的联系.二、典型问题:例1．已知数列{a n}的前n项和S n=10n-n2，数列{b n}的每一项都有b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n.分析与解答:①判断{a n}是等差数列:a1=S1=9当n≥2时，a n=S n-S n-1=(10n-n2)-[10(n-1)-(n-1)2]=11-2n.又当n=1, 11-2n=9=a1,所以数列{a n}的通项公式为 a n=11-2n.所以数列{a n}是以9为首项，以-2为公差的等差数列.②判断{b n}的特征并转化为等差数列求和，因为b n=|a n|,而{a n}中，当n≤5时，a n>0,当n>5时，a n<0,所以 {|a n|}的前5项与{a n}对应项相同，从第6项起，{|a n|}各项与{a n}对应项符号相反，绝对值相同，所以当n≤5时，T n=S n=10n-n2.当n≥6时，T n=a1+a2+……+a5-a6-a7-……-a n=-(a1+a2+……+a n)+2(a1+a2+……+a5)=-S n+2S5=n2-10n+50.综上所述，可得数列{b n}的前n项和T n为T n=点评:运用函数观点去认识数列问题，{b n}虽不是等差数列，但可寻找它与等差数列的联系，通过分类讨论，可将{b n}转化，利用等差求和.所以，结果需用分段函数加以表述.例2．已知数列{a n}中，S n是它的前n项和，并且S n+1=4a n+2(n=1,2,……), a1=1,(1)设b n=a n+1-2a n(n=1,2,……),求证数列{b n}是等比数列.(2)设C n=(n=1,2,……),求证数列{C n}是等差数列.(3)求数列{a n}的通项公式及前n项和的公式分析与解答:(1)因为S n+1=4a n+2 所以 S n+2=4a n+1+2以上两式等号两边分别相减，得 S n+2-S n+1=4a n+1-4a n(n=1,2,……)即 a n+2=4a n+1-4a n变形，得 a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n) 因为 b n=a n+1-2a n(n=1,2,……)所以 b n+1=2b n.由此可知，数列{b n}是公比为2的等比数列.由S2=a1+a2=4a1+2, a1=1, 所以 a2=5, 所以 b1=a2-2a1=3,所以 b n=3·2n-1(2) C n=(n=1,2,……)所以 C n+1-C n=将 b n=3·2n-1，代入得，C n+1-C n=(n=1,2,……)由此可知，数列{C n}是公差为的等差数列，它的首项C1=，故C n=(n-1)=n-.(3)C n=n-=(3n-1) 所以 a n=2n·C n=(3n-1)·2n-2(n=1,2,……)当n≥2时，S n=4a n-1+2=(3n-4)2n-1+2由于S1=a1=1也适合此公式，故所求{a n}的前n项和公式是S n=(3n-4)2n-1+2.点评:该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差，等比数列转化为等差，等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.例3．已知a>0, a≠1,数列{a n}的首项是a,公比也是a的等比数列，令b n=a n·lga n(n属于N).(1)求数列{b n}的前n项和S n;(2)当数列{b n}中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围. 分析与解答:(1) 由题意得， a n=a n, b n=n·a n lga,S n=b1+b2+b3+……+b n =(1·a+2·a2+3·a3+……+n·a n)lgaaS n=(1·a2+2·a3+3·a4+……+n·a n+1)lga以上两式相减得:(1-a)S n=(a+a2+a3+……+a n-n·a n+1)lga =[-n·a n+1]·lga=[1-(1+n-na)a n]因为a≠1,所以S n=[1-(1+n-na)a n].(2)由b k+1-b k=(k+1)a k+1lga-k·a k lga=a k lga[k(a-1)+a]由题意知，b k+1-b k>0，而a k>0, 所以 lga[k(a-1)+a]>0...........①若a>1, 则lga>0, k(a-1)+a>0, 所以不等式①显然成立，若0<a<1，则 lga<0,故不等式①成立k(a-1)+a<00<a<恒成立.因为 k属于N, 所以 ()min=,所以 0<a<恒成立0<a<,综上，a的取值范围是a属于(0,)u(1,+∞).点评:①对于数列的求和问题，要注意运用教材中推导等比数列前n项和公式的基本方法.②在解决第二问时，要注意将数列与不等式，函数有机结合，揭示知识间的内在联系，确定a 的取值范围.三、课后练习:(1)已知a1,a2,……a8为各项都大于零的等比数列，公比q≠1,则（）.A、a1+a8>a4+a5B、a1+a8<a4+a5C、a1+a8=a4+a5D、a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定(2)已知a,b,c的倒数或等差数列，且a,b,c互不相等，则为（）.A、 B、 C、 D、(3)一个等差数列共 2n+1项，其中奇数项之和为305，偶数项之和为244，则第n+1项为（）.A、63B、62C、61D、60(4)设A、B、C分别是等比数列 {a n}的前n项和，数列{b n}是等差数列，公差d=,若log x a n-b n=log x a1-b1,求x.(5)设A、B、C分别是等比数列{a n}的前n项和，前2n项和，前3n项和，试比较A2+B2与A(B+C)的大小.(6) 某企业在“减员增效”中，对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资.该企业根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，没有利润，第二年每人可获b元收入，从第三年起，每人每年的收入可在上一年基础上递增50%，如果某人分流前工资收入每年a元，分流后第n年的总收入为a n元.①试写出a n与n(n≥2)的函数关系；②当b=a时，这个人哪一年收入最少，最少收入是多少？③当b≥a时，是否一定可以保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流前的年收入.参考答案:(1) A (2)C (3)C (4)x=8 (5) A2+B2=A(B+C)(5)①a n=a()n-1+b()n-2 (n≥2)②n=3③当n≥2时，a n=a()n-1+b()n-2≥a()n-1+a()n-2≥2=2=a.上述等号成立，须b=a,且a()n-1=a()n-1,即 ()2n-2=()2, 所以 n=1+, 因为 1+>1+=2 所以 1+不是自然数.因此等号不能取到，即当n>2时，有a n>a,但当n=2时，a2=a+a=a>a.综上，当b≥a时，一定可以保证这个人分流一年后的年收入永远想过分流前的年收入.。