等差数列与等比数列复习小结

3 数列的分类 有穷数列与无穷数列
有界数列与无界数列
常数列、递增数列、递减数列、摆动数列
4an 与 Sn 的关系 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an；an＝S1(n＝1 时)，an＝Sn－Sn－1(n≥2 时)。 5 等差数列与等比数列概念比较
定义
等差数列 如果一个数列从第 2 项起，
等比数列 如果一个数列从第 2 项起，
a1 a nq ，(q≠1 时)。 1q
6 等差数列与等比数列的常用性质比较
等差数列
等比数列
与首末两项等距离的两项之和等 与首末两项等距离的两项之积等
于首末两项之和；
于首末两项之积
对于等差数列 {an} ，若 p＋q＝m ＋n，则 ap＋aq＝am＋an。
对于等比数列 {an} ，若 p＋q＝m ＋n，则 apaq＝aman。
山西省朔州市应县四中高二数学学案（十一）
等差数列与等比数列
编写人：朱强基
考纲要求
1 理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。 2 掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前 n 项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题。
重点、难点归纳
1 数列的有关概念 数列：按照一定的次序排列的一列数。
an＝am＋(n－ m)d
an＝ amq n－m。
如果 a，A ，b 成等差数列， 如果 a，G，b 成等比数列，
那么 A 叫做 a 与 b 的等差中 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中
项，并且 A
前 n 项和公式
ab
。
2
项，并且 G
ab 。
等差数列 {an} 前 n 项的和为 Sn
(a1 an )n
若等差数列的前 n 项和为 Sn，则 Sn=pn2+qn（p、q∈R）.当 p=0 时，{ an} 为常数列；当 p≠0 时，可用二次函 数的方法解决等差数列问题 .
b.对于等比数列： an=a1qn－1.可用指数函数的性质来理解 . 当 a1＞0，q＞1 或 a1＜0，0＜q＜1 时，等比数列是递增数列； 当 a1＞0，0＜q＜1 或 a1＜0，q＞1 时，等比数列 { an} 是递减数列 . 当 q=1 时，是一个常数列 . 当 q＜0 时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列 . 注意数列与集合的区别与联系 数列与集合都是具有某种属性的数的全体，只不过数列中的数有次序而且可以重复出现。 数列的通项公式 数列的通项公式可以代表数列中的任何一项， 但并不是每一个数列均有通项公式。 反之，当一个数列有通项公式时， 其通项公式并不唯一。 2 等差数列与等比数列的判定方法
项数成等差数列的等差数列的项 项数成等差数列的等比数列的项
仍然是等差数列； 和 S2n－1＝(2n－ 1)an；
仍然是等比数列；
积
T
2n-1
2n-1=an
m 个等差数列，它们的各对应项 之和组成一个新的等差数列；
m 个等比数列，它们的各对应项 之积组成一个新的等比数列；
若对等差数列按连续 m 项进行分 若对等比数列按连续 m 项进行分
n(n 1)
na1
d
d n2
(a1
d )n 。
2
2
Leabharlann Baidu
2
2
Ⅰ . 设数列 a n 是等差数列，其奇数项之和为
S奇 、偶数项之和为 S偶 ，那么，当项数为偶数
2n 时，
S偶－ S奇
nd , S奇 ＝ a n S偶 an 1 ；当项数为奇数 2n＋1 时， S奇
S偶
an
1,
S奇 S偶
n1 n
am 0
Ⅱ.在等差数列｛ a n ｝中,有关 Sn 的最值问题： (1)当 a1 >0,d<0时，满足
an 为等差数列 an＋1－an＝d(d 为常数 ) 2an＋1＝an＋an＋2(n N) an＝kn＋b(k、b 为常数 ) Sn＝An2＋Bn(A 、B 为
常数)
{a} 为等比数列
an 1 ＝q(q 为非零常数 ) an＋12＝anan＋2(n N) an＝pqn(p、q 为非零常数 ) Sn＝mqn－m(m、q 为非 an
通项公式：数列的第 n 项 an与 n 之间的函数关系如果能够用一个解析式来表示， 则这个解析式就叫做这个数列的通 项公式。
2 数列的表示法 列举法：如 a1，a2，a3，…，an，… 图象法：用孤立的点 (n，an)来表示 解析法：即用通项公式来表示
递推法：一个数列的各项可由它的前 m 项的值以及与它相邻的 m 项之间的关系来表示
的项数 m 使得 sm 取最大值. (2)
am 1 0
当 a1<0,d>0 时，满足
am am 1
0
的项数
0
m
使得 sm 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时
,注意转化思想的应
用。
Ⅲ. s2n 1 (2n 1)an ,{ sn }是以 a1 为首项 , d 为公差的等差数列 .
n
n
2
等比数列 {an} 前 n 项的和为 Sn＝na1， (q＝1 时)；Sn＝ a1(1 q n ) 1q
每一项与它前一项的差．等于 每一项与它前一项的比．等于
同一个常数，则这个数列就 同一个常数，则这个数列就
叫做等差数列，其中的常数 叫做等比数列，其中的常数
叫做等差数列的公差，用字 叫做等比数列的公比，用字
通项 中项
母 d 表示。
母 q 表示。
等差数列： an＝a1＋(n－1)d。 等比数列： an＝a1qn－1。
为等差数列
｛
｝为等比数列 .
（3）｛ ｝既是等差数列，又是等比数列
｛ ｝是非零常数列 .
学法探秘
1 对数列的理解 用函数的观点理解数列 数列是定义在自然数集或其有限子集上的函数。 数列问题本质上就是函数问题， 所以要学会用函数观点看数列问题。
a.对于等差数列，∵ an=a1+（n－1）d=dn+（a1－d），当 d≠0 时，an 是 n 的一次函数，对应的点（ n，an）是位 于直线上的若干个点 .当 d＞0 时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理， d=0 时，函数是常数函数，对应 的数列是常数列； d＜0 时，函数是减函数，对应的数列是递减函数 .
组，则每组中 m 项的和所组成的 组，则每组中 m 项的和所组成的
数列是等差数列。
数列是等比数列。
（1）正数等比数列各项的（同底）对数值，依次组成等差数列 . 即｛ ｝为等比数列且
（i=1,2 …… ,n, ……）
｛
｝(
为等差数列 .
且
) 为等差数列；若定义 ＝
，则｛ ｝亦
（2）取一个不等于 1 的正数为底数，则以等差数列各项为指数的方幂依次组成等比数列 . 即设 a>0 且 a≠1，则｛ ｝