等差数列与等比数列的基本运算

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等差数列与等比数列的基本量运算

等差数列与等比数列运算知识点：一．等差数列 1．等差数列基本概念⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA +=． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+． 1．等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导：1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-，得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．二．等比数列1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．2. 等比数列的通项公式为：11n n a a q -=．3. 等比中项：如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．1．等比数列通项公式的推导：由等比数列的定义知：312412321,,,,,n n n n a a aa aq q q q q a a a a a ---===== 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=．由等比数列的通项公式易知：n m nma q a -=．一、等差数列中基本量的运算:a 1,a n ,n ,d ,S n 知三求二 ①基本量运算{}28454565651.,6,6,....n a a a A S S B S S C S S D S S =-=<=<=（一星）是等差数列且则（）解：1994500a a S S S +=⇒=⇒=.选B.{}18451845184518452.,0,....n a d A a a a a B a a a a C a a a a D a a a a ≠><+>+=（一星）如果是正项等差数列公差则（）答案：B.3,4,3,2550,,.k .a a k S a k =（一星）等差数列前三项为前项和求的值答案：2,50a k ==7.（二星）（2015年全国1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）（A ） 172 （B ）192（C ）10 （D ）12 答案：B7.（三星）（全国1理科）设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( )A.3B.4C.5D.6 解：有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C.2.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为．4.（二星）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（） A.B.B.C. D.（3）（2016全国1卷理）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98 （D ）97解：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差1051105a a d -==- ∴100109098a a d =+=．故选C ．4.（2017全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．8解：45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 3⨯-①②得()211524-=d624d = 4d =∴.选C3．（2018广州市调研理）在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =( )BA ．2B ．3C ．2-D ．3-4．（2018广州一模文）等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若212n n n a a a ++=+，则21=n S +（A ）A ．42n +B ．4nC ．21n +D ．2n4．（2018全国1理）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a B A ．12- B ．10- C ．10 D ．129. （2019全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B.310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 解：由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．18．（2019全国1卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a 等价于211100n n -+，解得1≤n ≤10．所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N ．14．（2019全国高考3卷理）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =________.414．（2019全国3卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.15. （2018广东一模文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，则5a = ．146. （2018广东一模文）等差数列()()()333log 2,log 3,log 42,x x x +的第四项等于（ A ）A ．3B ．4 C. 3log 18 D ．3log 24 ②创新题1.（2016全国2卷文）等差数列{}n a 中，且344a a +=，576a a +=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]26.2=．解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=.（Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=；当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.17.(2016全国2卷理)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．解： ⑴设的公差为，，∴，∴，∴． ∴，，． ⑵记的前项和为，则．当时，；当时，；当时，；当时，．∴．（17）（2017届广州市调研文）等差数列}{n a 中，1243=+a a ，749S =. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅰ）记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[= . 令][lg n n a b =，求数列}{n b 的前2000项和.解：（Ⅰ）由1243=+a a ，749S =，得112512,72149.a d a d +=⎧⎨+=⎩{}n a d 74728S a ==44a =4113a a d -==1(1)n a a n d n =+-=[][]11lg lg10b a ===[][]1111lg lg111b a ===[][]101101101lg lg 2b a ==={}n b n n T 1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+0lg 1n a <≤129n =⋅⋅⋅，，，1lg 2n a <≤101199n =⋅⋅⋅，，，2lg 3n a <≤100101999n =⋅⋅⋅，，，lg 3n a =1000n =1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=解得11=a ，2=d ，所以12-=n a n .（Ⅰ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ，当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ; 当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ; 当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n .所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=⨯+⨯+⨯+⨯.③与其他内容结合4546.(){},10,15,___.n n a n S S S a ≥≤四星设等差数列的前项和为若则的最大值为4141115110235:3(23)3(2) 4. 4.1523S a d a a d a d a d S a d ≥+≥⎧⎧⇒⇒=+=-+++≤⎨⎨≤+≤⎩⎩解答案为二、等比数列中基本量的运算 ①基本量运算1.1,,,,9,.3,9.3,9.3,9.3,9a b c Ab ac B b ac C b ac D b ac --===-===-=-=-（一星）若成等比数列则（）答案：B3102.,3,384,______a a ==（一星）等比数列中则通项公式为答案：332n n a -=⋅364714.,36,18,,____2n a a a a a n +=+===（一星）等比数列中答案：9n =13、（一星）（2015全国1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .答案：67.（一星）(2015全国2理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++=21，则357a a a ++=（）A ．21B ．42C ．63D ．84 答案：B12.（一星）(2015全国2文)已知等比数列满足，，则（） A. 2 B. 1 C. D. 答案：C5．（二星）（全国理）已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a +=A ．7B ．5C ．-5D ．-7 解：因为{}n a 是等比数列，所以56478a a a a ==-，所以47,a a 是方程2280x x --=的两根，解得4x =或2x =-。

等差数列公式和等比数列公式

等差数列公式和等比数列公式一、等差数列公式。

1. 定义。

- 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

即a_n-a_n - 1=d(n≥slant2)。

2. 通项公式。

- a_n=a_1+(n - 1)d，其中a_1为首项，n为项数，d为公差。

- 推导：a_2=a_1+d，a_3=a_2+d=a_1+2d，a_4=a_3+d=a_1+3d，以此类推可得a_n=a_1+(n - 1)d。

3. 前n项和公式。

- S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。

- 推导：S_n=a_1+a_2+·s+a_n，S_n=a_n+a_n - 1+·s+a_1。

将这两个式子相加得2S_n=n(a_1+a_n)，所以S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。

- 另一个形式：S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d。

这是将a_n=a_1+(n - 1)d代入S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}得到的，即S_n=frac{n<=ft[a_1+a_1+(n - 1)d]}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d。

二、等比数列公式。

1. 定义。

- 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）。

即frac{a_n}{a_n - 1} = q(n≥slant2)。

2. 通项公式。

- a_n=a_1q^n - 1，其中a_1为首项，n为项数，q为公比。

- 推导：a_2=a_1q，a_3=a_2q=a_1q^2，a_4=a_3q=a_1q^3，以此类推可得a_n=a_1q^n - 1。

3. 前n项和公式。

- 当q = 1时，S_n=na_1。

- 当q≠1时，S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}。

等差数列、等比数列的基本运算

答案：C
类型二 [例 2]
等比数列的运算
(1)在数列{an}中， a1＝2， an＋1＝2an， Sn 为{an}的前 n 项和．若
Sn＝126，则 n＝________.
解析：基本法：∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴数列{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列． 21－2n 又∵Sn＝126，∴ ＝126，∴n＝6. 1－2 速解法：由题意可知 a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，a6 ＝64， ∴S6＝2＋4＋8＋16＋32＋64＝126，∴n＝6.
等差数列、等比数列的基本运算
[高考预测]——运筹帷幄 1．一般数列通项与递推关系的应用和计算． 2．等差(比)数列的通项公式、求和公式及性质的应用．
[速解必备]——决胜千里 1．等差、等比数列的性质等差数列等比数列
(1)若 m，n，p，q∈N*， (1)若 m，n，p，q∈N*，且 m 且 m＋n＝p＋q，则 am ＋n＝p＋q，则 am· an＝ap· aq；性＋an＝ap＋aq； (2)an＝amqn－m；质 (2)an＝am＋(n－m)d； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„ (3)Sm，S2m－Sm，S3m－仍成等比数列(Sn≠0) S2m，„仍成等差数列
速解法：由 S8＝4S4 得
8×7 4×3 1 8a1＋ 2 d＝4×4a1＋ d，∵d＝1，∴a1＝2. 2
1 19 ∴a10＝a1＋9d＝2＋9＝ 2 . 答案：B
方略点评：基本法和速解法各选用了不同的求和公式，比较起来，用 a1 和 d 的关系求和较简单.
(2)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＋a3＋a5＝3，则 S5＝ ( A．5 C．9 ) B．7 D．11

等差数列与等比数列的求和公式

等差数列与等比数列的求和公式数列在数学中是一种重要的数学概念，它由一系列按照一定规律排列的数组成。

等差数列和等比数列是最常见的数列类型，它们在数学和其他学科中的应用非常广泛。

本文将介绍等差数列与等比数列的概念，并详细阐述它们的求和公式。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。

若数列的首项为a，公差为d，则等差数列可以表示为a，a+d，a+2d，a+3d......。

等差数列的求和公式可由以下方法得出：设等差数列的首项为a，末项为L，共有n项，求和结果为S。

则有：S = (首项 + 末项) ×项数 ÷ 2即 S = (a + L) × n ÷ 2二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列。

若数列的首项为a，公比为r，则等比数列可以表示为a，ar，ar²，ar³......。

等比数列的求和公式可由以下方法得出：当公比r为1时，等比数列所有项相等，求和公式为S = a ×项数。

当公比r不为1时，求和公式为S = a × (rⁿ - 1) ÷ (r - 1)，其中n为项数。

三、等差数列与等比数列求和公式的应用等差数列和等比数列的求和公式在数学和其他领域都具有广泛的应用。

其中，等差数列的求和公式常用于计算等差数列的总和，而等比数列的求和公式常用于计算等比数列的总和。

在数学中，等差数列与等比数列的求和公式可用于解决一些数列相关的问题，如计算物理实验中的位移、速度、加速度等的变化情况，或者解决一些金融、经济中的增长与减少等问题。

此外，在计算机科学、统计学和经济学等学科中，等差数列与等比数列的求和公式也被广泛应用于算法设计、数据分析和模型建立等方面。

总结：等差数列与等比数列是常见的数列类型，在数学以及其他学科中都有着重要的应用。

它们的求和公式提供了一种有效的解决数列相关问题的方法。

通过学习掌握这些公式，我们可以更好地理解和应用数列的性质，解决实际问题，提升数学与科学的能力。

等比和等差数列

等比等差数列详解等差数列等比数列一、概念：等差数列是常见数列的一种。

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

一、概念：等比数列是数学中的一种特殊数列，它的特点是：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）。

二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以用公式表达为：a n=a1+（n−1）×d（式中a n表示等差数列的第n项，a1为首项，d为公差。

）二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以用公式表达为：a n=a1×q n−1，其中a n表示等比数列的第n项，a1表示首项，q表示公比。

三、等差数列求和公式S n=n×a1+n×（n−1）×d2S n=n×（a1+a n）2三、等比数列求和公式S n=a1×（1−q n）1−q=a1−a n×q1−q（q≠1）四、推论公式（1）等差中项一般设为A(r).当A(m),A(r),A(n)成等差数列时。

A(m)+A(n)=2*A(r),所以A(r)为A(m)，A(n)的等差中项（2）a1+a n=a2+a n−1=a3+ a n−2=.......=a k+a n−k+1（3）a1=2×S nn −a n四、推论公式（1）等比中项：aq×ap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。

（2）a1×a n=a2×a n−1=a3×a n−2=.....=a k×a n−k+1。

专题4 第1讲等差数列与等比数列

第1讲等差数列与等比数列「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，一般设置一道选择题和一道解答题.核心知识回顾1.等差数列(1)01a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . (2)022a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2). (3)前n 03S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d2.2．等比数列(1)01a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m .(2)02a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2).(3)等比数列的前n 项和公式：03S n ＝⎩⎨⎧na 1(q ＝1)，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1).3．等差数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数)(1)若m ＋n ＝l ＋k ，01a m ＋a n ＝a l ＋a k (反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p 02a m ＋a n ＝2a p .(2)若{a n }，{b n }是等差数列，则{ka n ＋tb n }(k ，t 是非零常数)(3)等差数列“依次m 项的和”即S m …仍是等差数列．(4)等差数列{a n }，当项数为2n 时，S 偶－S 奇，S 奇S 偶＝a n ＋12n －1时，S 奇－S 偶，S 奇S 偶＝n －1其中S 偶表示所有的偶数项之和，S 奇表示所有的奇数项之和)4．等比数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数)(1)若m ＋n ＝l ＋k 反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p(2)当n 为偶数时，S 偶S 奇＝公比为q )．(其中S 偶表示所有的偶数项之和，S奇表示所有的奇数项之和)(3)等比数列“依次m 项的和”，即S m …(S m ≠0)成等比数列．热点考向探究考向1 等差数列、等比数列的运算例1 (1)(2020·山东省青岛市模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，则S 9等于( )A ．－8B ．－6C ．10D ．0答案 D解析 ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋2×2)2＝a 1·(a 1＋3×2)，即2a 1＝－16，解得a 1＝－8.则S 9＝－8×9＋9×82×2＝0，故选D.(2)(2020·山东省泰安市肥城一中模拟)公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a 3，a 2成等差数列，mS 2，S 3，S 4成等比数列，则m ＝( )A.78 B ．85 C ．1 D ．95答案 D解析设{a n }的公比为q (q ≠0且q ≠1)，根据a 1，a 3，a 2成等差数列，得2a 3＝a 1`＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2－1－q ＝0，即(q －1)(2q ＋1)＝0. 因为q ≠1，所以q ＝－12，则S 2＝a 1(1－q 2)1－q ＝34·a 11－q ，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝98·a 11－q ，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1516·a 11－q，因为mS 2，S 3，S 4成等比数列，所以S 23＝mS 2·S 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫98·a 11－q 2＝m ·34·a 11－q ·1516·a 11－q ，因为a 1≠0，所以a 11－q ≠0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫982＝m ×34×1516，得m ＝95，故选D.利用等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式，能够在已知三个元素的前提下求解另外两个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量，解题中首先要注意求解最基本的量．1．(多选)(2020·山东省青岛市模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，公差d ≠0，S 6＝90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是( )A ．a 1＝22B ．d ＝－2C ．当n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值D ．当S n ＞0时，n 的最大值为20 答案 BCD解析等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，由S 6＝90，可得6a 1＋15d ＝90，即2a 1＋5d ＝30， ①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得a 27＝a 3a 9，即(a 1＋6d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋8d )，化为a 1＋10d ＝0， ② 由①②解得a 1＝20，d ＝－2，则a n ＝20－2(n －1)＝22－2n ，S n ＝12n (20＋22－2n )＝21n －n 2，由S n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋4414，可得n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值110.由S n ＞0，可得0＜n ＜21，即n 的最大值为20.故选BCD. 2．定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2022a 2020＝( )A ．4×20202－1B ．4×20192－1C ．4×20222－1D ．4×20192答案 A解析 ∵a 1＝a 2＝1，a 3＝3，∴a 3a 2－a 2a 1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＋1a n＝2n －1，∴a 2022a 2020＝a 2022a 2021·a 2021a2020＝(2×2021－1)×(2×2020－1)＝4×20202－1.故选A.考向2 等差数列、等比数列的判定与证明例2 (1)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝44－a n (n ∈N *)．求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2是等差数列．证明 ∵a n ＋1＝44－a n ，∴1a n ＋1－2－1a n －2＝144－a n －2－1a n －2＝4－a n 2a n －4－1a n －2＝2－a n 2a n －4＝－12为常数，又a 1＝1， ∴1a 1－2＝－1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2是以－1为首项，－12为公差的等差数列．(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋a n ＝n －1n (n ＋1)＋1，n ＝1,2,3，…，设b n ＝a n ＋1n (n ＋1)，求证：数列{b n }是等比数列．证明 S n ＝1－a n ＋n －1n (n ＋1)，∴S n ＋1＝1－a n ＋1＋n(n ＋1)(n ＋2)，当n ＝1时，易知a 1＝12，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝n(n ＋1)(n ＋2)－a n ＋1－n －1n (n ＋1)＋a n ，∴2a n ＋1＝n ＋2－2(n ＋1)(n ＋2)－n －1n (n ＋1)＋a n ＝1n ＋1－2(n ＋1)(n ＋2)－1n ＋1＋1n (n ＋1)＋a n ，∴2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1＋1(n ＋1)(n ＋2)＝a n ＋1n (n ＋1)，b n ＝a n ＋1n (n ＋1)，则b n ＋1＝a n ＋1＋1(n ＋1)(n ＋2)，上式可化为2b n ＋1＝b n ，∴数列{b n }是以b 1＝1为首项，12为公比的等比数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是n的一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列．(2)证明数列{a n}为等比数列时，不能仅仅证明a n＋1＝qa n，还要说明a1≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列{a n}为等比数列．(3)证明等差、等比数列，还可利用等差、等比数列的中项公式．1．(多选)(2020·日照一中摸底考试)已知数列{a n}满足：a1＝3，当n≥2时，a n＝( a n－1＋1＋1)2－1，则关于数列{a n}，下列说法正确的是()A．a2＝8 B．数列{a n}为递增数列C．数列{a n}为周期数列D．a n＝n2＋2n答案ABD解析由a n＝(a n－1＋1＋1)2－1得a n＋1＝(a n－1＋1＋1)2，∴a n＋1＝a n－1＋1＋1，即数列{a n＋1}是首项为a1＋1＝2，公差为1的等差数列，∴a n＋1＝2＋(n－1)×1＝n＋1.∴a n＝n2＋2n.所以易知A，B，D正确．2．已知正项数列{a n}满足a2n＋1－6a2n＝a n＋1a n，若a1＝2，则数列{a n}的前n 项和为________.答案3n－1解析∵a2n＋1－6a2n＝a n＋1a n，∴(a n＋1－3a n)(a n＋1＋2a n)＝0，∵a n>0，∴a n＋1＝3a n，∴{a n}为等比数列，且首项为2，公比为3，∴S n＝3n－1.考向3数列中a n与S n的关系问题例3(1)(2020·河南省高三阶段性测试)设正项数列{a n}的前n项和为S n，且4S n＝(1＋a n)2(n∈N*)，则a5＋a6＋a7＋a8＝()A．24 B．48C．64 D．72答案 B解析当n ＝1时，由S 1＝a 1＝(1＋a 1)24，得a 1＝1，当n ≥2时，⎩⎨⎧4S n ＝(1＋a n )2，4S n －1＝(1＋a n －1)2，得4a n ＝(1＋a n )2－(1＋a n －1)2，∴a 2n －a 2n －1－2a n －2a n －1＝0，(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.∵a n >0，∴a n －a n －1＝2，∴{a n }是等差数列，∴a n ＝2n －1，∴a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2(a 6＋a 7)＝48.(2)(2020·山东省德州市二模)给出以下三个条件： ①数列{a n }是首项为 2，满足S n ＋1＝4S n ＋2的数列； ②数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R )的数列； ③数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝a n ＋1－2的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 与S n 满足________.记数列b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，c n ＝n 2＋n b n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .解选①，由已知S n ＋1＝4S n ＋2， (*) 当n ≥2时，S n ＝4S n －1＋2， (**) (*)－(**)，得a n ＋1＝4(S n －S n －1)＝4a n ，即a n ＋1＝4a n .当n ＝1时，S 2＝4S 1＋2，即2＋a 2＝4×2＋2，所以a 2＝8，满足a 2＝4a 1，故{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1.b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，c n ＝n 2＋n b n b n ＋1＝n (n ＋1)n 2(n ＋1)2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.选②，由已知3S n ＝22n ＋1＋λ， (*) 当n ≥2时，3S n －1＝22n －1＋λ， (**) (*)－(**)，得3a n ＝22n ＋1－22n －1＝3·22n －1，即a n ＝22n －1.当n ＝1时，a 1＝2满足a n ＝22n －1，所以a n ＝22n －1，下同选①.选③，由已知3S n ＝a n ＋1－2， (*) 则n ≥2时，3S n －1＝a n －2， (**) (*)－(**)，得3a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝4a n .当n ＝1时，3a 1＝a 2－2，而a 1＝2，得a 2＝8，满足a 2＝4a 1，故{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1，下同选①.由a n 与S n 的关系求通项公式的注意点(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论，特别注意a n ＝S n －S n －1成立的前提是n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合，则需统一表示(“合写”)． (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎨⎧S 1(n ＝1)，S n－S n －1(n ≥2).已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)证明：13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n <12.证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，1S n －1S n －1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n ＝1S 1＋(n －1)·2＝2n －1，所以S n ＝12n －1.13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1) ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12.真题押题『真题检验』1．(2020·全国卷Ⅰ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( )A ．12B ．24C ．30D ．32答案 D解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝1，a 2＋a 3＋a 4＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝a 1q (1＋q ＋q 2)＝q ＝2，因此，a 6＋a 7＋a 8＝a 1q 5＋a 1q 6＋a 1q 7＝a 1q 5(1＋q ＋q 2)＝q 5＝32.故选D.2．(2020·全国卷Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n＝( )A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1答案 B解析设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24可得⎩⎨⎧ a 1q 4－a 1q 2＝12，a 1q 5－a 1q 3＝24，解得⎩⎨⎧q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n1－2＝2n －1.因此S na n ＝2n－12n －1＝2－21－n .故选B.3．(2020·新高考卷Ⅰ)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________.答案 3n 2－2n解析因为数列{2n －1}是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{3n －2}是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{a n }是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{a n }的前n 项和为n ·1＋n (n －1)2·6＝3n 2－2n . 4．(2020·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________.答案 25解析设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，可得a 1＋d ＋a 1＋5d ＝2，即－2＋d ＋(－2)＋5d ＝2，解得d ＝1.所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×1＝－20＋45＝25.5．(2020·江苏高考)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋2n －1(n ∈N *)，则d ＋q 的值是________.答案 4解析等差数列{a n }的前n 项和公式为P n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，等比数列{b n }的前n 项和公式为Q n ＝b 1(1－q n )1－q ＝－b 11－q q n ＋b 11－q ，依题意S n ＝P n＋Q n ，即n 2－n ＋2n －1＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n －b 11－q q n ＋b 11－q，通过对比系数可知⎩⎪⎨⎪⎧d2＝1，a 1－d 2＝－1，q ＝2，b11－q ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝0，q ＝2，b 1＝1，故d ＋q ＝4.6．(2020·新高考卷Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100.解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意有⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得a 1＝2，q ＝2或a 1＝32，q ＝12(舍去)，所以a n ＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128， b 1对应的区间为(0,1]，则b 1＝0；b 2，b 3对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，则b 2＝b 3＝1，即有2个1； b 4，b 5，b 6，b 7对应的区间分别为(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，则b 4＝b 5＝b 6＝b 7＝2，即有22个2；b 8，b 9，…，b 15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b 8＝b 9＝…＝b 15＝3，即有23个3；b 16，b 17，…，b 31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31]，则b 16＝b 17＝…＝b 31＝4，即有24个4；b 32，b 33，…，b 63对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,63]，则b 32＝b 33＝…＝b 63＝5，即有25个5；b 64，b 65，…，b 100对应的区间分别为(0,64]，(0,65]，…，(0,100]，则b 64＝b 65＝…＝b 100＝6，即有37个6.所以S 100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480. 7．(2020·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝4，a 3－a 1＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和．若S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，求m . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，根据题意，有 ⎩⎨⎧ a 1＋a 1q ＝4，a 1q 2－a 1＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3，所以a n ＝3n －1.(2)令b n ＝log 3a n ＝log 33n －1＝n －1，则S n ＝n (0＋n －1)2＝n (n －1)2，根据S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，可得 m (m －1)2＋m (m ＋1)2＝(m ＋2)(m ＋3)2，整理得m 2－5m －6＝0，因为m ＞0，所以m ＝6.『金版押题』8．已知数列{a n }满足na n －28a n ＋1＝n －1(n ∈N *)，a 1＋a 2＋a 3＝75，记S n ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋a 3a 4a 5＋…＋a n a n ＋1·a n ＋2，则a 2＝________，使得S n 取得最大值的n 的值为________.答案 25 10解析由na n －28a n ＋1＝n －1(n ∈N *)，可取n ＝1，即a 1－28＝0，可得a 1＝28，取n ＝2，可得2a 2－28a 3＝1，即a 3＝2a 2－28，又a 1＋a 2＋a 3＝75，可得a 2＝25，a 3＝22，当n ≥2时，由na n －28a n ＋1＝n －1可得a n ＋1n －a nn －1＝－28n (n －1)，可令c n ＝a n ＋1n ，则c n －1＝a nn －1(n ≥2)，c n －c n －1＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n －1(n ≥2)，由c n ＝c 1＋(c 2－c 1)＋…＋(c n －c n －1)＝c 1＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋13－12＋…＋1n －1n －1，可得c n ＝c 1＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1＝a 2＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1，则a n ＋1＝nc n ＝na 2＋28(1－n )＝28＋n (a 2－28)，故a n ＋1＝28－3n (n ≥2)，所以a n ＝31－3n (n ≥3)，又a 1＝28，a 2＝25，也符合上式，所以a n ＝31－3n . 令b n ＝a n a n ＋1a n ＋2＝(31－3n )(28－3n )(25－3n )，由b n ≥0，可得(31－3n )(28－3n )(25－3n )≥0，解得1≤n ≤8(n ∈N *)或n ＝10，又b 9＝－8，b 10＝10，所以n ＝10时，S n 取得最大值．9．记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a n ＋1＋n ＝4S n ＋2p ，a 3＝7a 1＝7. (1)求p ，S 4的值；(2)若b n ＝a n ＋1－a n ，求证：数列{b n }是等比数列．解 (1)由a 3＝7a 1＝7知，a 3＝7，a 1＝1.当n ＝1时，由2a n ＋1＋n ＝4S n ＋2p ，得a 2＝32＋p ，当n ＝2时，由2a n ＋1＋n ＝4S n ＋2p ，得a 3＝4＋3p ＝7，所以p ＝1，当n ＝3时，由2a n ＋1＋n ＝4S n ＋2p ，得2a 4＋3＝4S 3＋2，解得a 4＝412.所以S 4＝1＋52＋7＋412＝31.(2)证明：由(1)可得a n ＋1＝2S n －12n ＋1，则a n ＋2＝2S n ＋1－12(n ＋1)＋1. 两式作差得a n ＋2－a n ＋1＝2a n ＋1－12，即a n ＋2＝3a n ＋1－12(n ∈N *)．由(1)得a 2＝52，所以a 2＝3a 1－12，所以a n ＋1＝3a n －12对n ∈N *恒成立，由上式变形可得a n ＋1－14＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －14.而a 1－14＝34≠0，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －14是首项为34，公比为3的等比数列，所以a n －14＝34×3n －1＝3n4，所以b n ＝a n ＋1－a n ＝a n ＋1－14－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －14＝3n ＋14－3n 4＝3n 2，所以b n ＋1＝3n ＋12，b n ＋1b n＝3.又b 1＝32，所以数列{b n }是首项为32，公比为3的等比数列．专题作业一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2020·山东德州高三下学期联考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＋a 7a 2＋a 4＝8，则a 6的值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 D解析设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝1，a 5＋a 7a 2＋a 4＝8，∴a 1(q 4＋q 6)a 1(q ＋q 3)＝8，解得q ＝2，则a 6＝25＝32.故选D. 2．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2×2＝n 2－4n .故选A. 3．等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成以d 为公比的等比数列，则d ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析将a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1转化为a 1，d 的形式为a 1＋1，a 1＋1＋d ，a 1＋1＋3d ，由于这三个数成以d 为公比的等比数列，故a 1＋1＋d a 1＋1＝a 1＋1＋3da 1＋1＋d ＝d ，化简得a 1＋1＝d ，代入a 1＋1＋d a 1＋1＝d ，得2dd ＝2＝d ，故选A.4．(2020·河北省张家口市二模)已知正项等比数列{a n }的公比为q ，若a 1＝q≠1，且a m＝a1a2a3…a10，则m＝()A．19 B．45C．55 D．100答案 C解析∵正项等比数列{a n}的公比为q，a1＝q≠1，∴a n＝q.q n－1＝q n，∵a m＝a1a2a3...a10，∴q m＝q.q2.q3.....q10＝q1＋2＋3＋ (10)q55.∴m＝55.故选C.5．(2020·河北省保定市一模)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思是：“现有甲、乙、丙、丁、戊，五人依次差值等额分五钱，要使甲、乙两人所得的钱数与丙、丁、戊三人所得的钱数相等，问每人各得多少钱？”请问上面的问题里，五人中所得的最少钱数为()A.76钱B．56钱C．13钱D．23钱答案 D解析依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，又有a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，得a＝－6d，∵a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，则d＝－16，∴a＋2d＝23.故选D.6．(2020·广州模拟)正项等比数列{a n}满足a2a4＝1，S3＝13，则其公比是()A．1 B．1 2C．13D．14答案 C解析设{a n}的公比为q，因为a2a4＝1，且a2a4＝a23，所以a23＝1，易知q>0，所以a3＝1.由S3＝1＋1q ＋1q2＝13，得13q2＝1＋q＋q2，即12q2－q－1＝0，解得q＝13.故选C.7．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则( ) A ．S 6＝－2S 3 B ．S 6＝－12S 3 C ．S 6＝12S 3 D ．S 6＝2S 3答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，则S 6＝(1＋q 3)S 3，S 9＝(1＋q 3＋q 6)S 3，因为S 3，S 9，S 6成等差数列，所以2(1＋q 3＋q 6)S 3＝S 3＋(1＋q 3)S 3，易知S 3≠0，解得q 3＝－12，故S 6＝12S 3.8．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项和为( )A ．0B ．252 C ．21 D ．42 答案 C解析函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，平移可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，可得a 4＋a 18＝2，所以a 1＋a 21＝a 4＋a 18＝2，可得数列{a n }的前21项和S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21.故选C.二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知无穷数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，则( )A ．{a n }可能为等差数列B ．{a n }可能为等比数列C ．{a n }中一定存在连续的三项构成等差数列D ．{a n }中一定存在连续的三项构成等比数列答案 ABC解析解法一：因为S n＝an2＋bn＋c，所以S n－1＝a(n－1)2＋b(n－1)＋c(n≥2)，所以a n＝S n－S n－1＝2na－a＋b(n≥2)，若数列{a n}为等差数列，则a1＝a＋b＋c＝a＋b，c＝0，验证知，当c＝0时，{a n}为等差数列，所以A正确；在a n＝2na－a ＋b(n≥2)中，当a＝0，b≠0时，a n＝b(n≥2)，若数列{a n}为等比数列，则a1＝b ＋c＝b，c＝0，验证知，当a＝c＝0，b≠0时，{a n}为等比数列，所以B正确；由a n＝2na－a＋b(n≥2)可知，{a n}中一定存在连续的三项构成等差数列，所以C 正确；假设a k，a k＋1，a k＋2(k≥2，且k∈N*)成等比数列，则[2(k＋1)a－a＋b]2＝(2ka －a＋b)·[2(k＋2)a－a＋b]，整理得(k＋1)2＝k(k＋2)，即1＝0(不成立)，所以{a n}中不存在连续的三项构成等比数列，所以D错误．故选ABC.解法二：当c＝0，a≠0时，数列{a n}为等差数列，所以A正确；当a＝c＝0，b≠0时，数列{a n}为常数列，也是等比数列，所以B正确；当n≥2时，a n＝S n －S n－1＝2na－a＋b，则{a n}中一定存在连续的三项构成等差数列，所以C正确；假设a k，a k＋1，a k＋2(k≥2，且k∈N*)成等比数列，则[2(k＋1)a－a＋b]2＝(2ka－a ＋b)·[2(k＋2)a－a＋b]，整理得(k＋1)2＝k(k＋2)，即1＝0(不成立)，所以{a n}中不存在连续的三项构成等比数列，所以D错误．故选ABC.10．(2020·海南省海口市模拟)已知正项等比数列{a n}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为S n，则()A．q＝2 B．a n＝2nC．S10＝2047 D．a n＋a n＋1＜a n＋2答案ABD解析根据题意，对于A，正项等比数列{a n}满足2q3＝4q＋2q2，变形可得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，又{a n}为正项等比数列，则q＝2，故A正确；对于B，a n＝2×2n－1＝2n，B正确；对于C，S n＝2×(1－2n)1－2＝2n＋1－2，所以S10＝2046，C错误；对于D，a n＋a n＋1＝2n＋2n＋1＝3×2n＝3a n，而a n＋2＝2n＋2＝4×2n ＝4a n＞3a n，D正确．故选ABD.11．等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a1>0，S10＝S20，则()A．公差d<0 B．a16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当S n <0时n ≥32答案 ABC解析因为等差数列中，S 10＝S 20，所以a 11＋a 12＋…＋a 19＋a 20＝5(a 15＋a 16)＝0，又a 1>0，所以a 15>0，a 16<0，所以d <0，S n ≤S 15，故A ，B ，C 正确；因为S 31＝31(a 1＋a 31)2＝31a 16<0，故D 错误．故选ABC.12．设正项等差数列{a n }满足(a 1＋a 10)2＝2a 2a 9＋20，则( ) A ．a 2a 9的最大值为10 B ．a 2＋a 9的最大值为210 C.1a 22＋1a 29的最大值为15D ．a 42＋a 49的最小值为200答案 ABD解析因为正项等差数列{a n }满足(a 1＋a 10)2＝2a 2a 9＋20，所以(a 2＋a 9)2＝2a 2a 9＋20，即a 22＋a 29＝20，则a 2a 9≤a 22＋a 292＝202＝10，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故A 正确；由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 922≤a 22＋a 292＝10，所以a 2＋a 92≤10，a 2＋a 9≤210，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故B 正确；1a 22＋1a 29＝a 22＋a 29a 22·a 29＝20a 22·a 29≥20⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2922＝20102＝15，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，所以1a 22＋1a 29的最小值为15，故C 错误；a 42＋a 49＝(a 22＋a 29)2－2a 22·a 29＝400－2a 22·a 29≥400－2×102＝200，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故D 正确．故选ABD. 三、填空题13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1,2S n ＝a n ＋1，则S n ＝________. 答案 3n －1解析由2S n ＝a n ＋1得2S n ＝a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以3S n ＝S n ＋1，即S n ＋1S n ＝3，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，q ＝3为公比的等比数列，所以S n ＝3n －1.14．(2020·山东省聊城市三模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ，则a 6＝________.答案 16解析由题意，得a 2＝a 1＋1＝2，a 3＝a 2＋2＝4，a 4＝a 3＋3＝7，a 5＝a 4＋4＝11，a 6＝a 5＋5＝16.15．各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________. 答案 a n ＝n (n ＋1)2解析由题设可得a n ＋1＝b n b n ＋1，a n ＝b n b n －1，得2b n ＝a n ＋a n ＋1⇒2b n ＝b n b n －1＋b n b n ＋1，即2b n ＝b n －1＋b n ＋1，又a 1＝1，a 2＝3⇒2b 1＝4⇒b 1＝2，则{b n }是首项为2的等差数列．由已知得b 2＝a 22b 1＝92，则数列{b n }的公差d ＝b 2－b 1＝322－2＝22，所以b n ＝2＋(n －1)·22＝2(n ＋1)2，即b n ＝n ＋12.当n＝1时，b 1＝2，当n ≥2时，b n －1＝n2，则a n ＝b n b n －1＝n (n ＋1)2，a 1＝1符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)2.16．已知数列{a n }满足13a 1＋132a 2＋…＋13n a n ＝3n ＋1，则a n ＝________，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝________.答案 ⎩⎨⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥2⎩⎨⎧12，n ＝1，3n ＋2－32，n ≥2解析由题意可得，当n ＝1时，13a 1＝4，解得a 1＝12.当n ≥2时，13a 1＋132a 2＋…＋13n －1a n －1＝3n －2，所以13n a n ＝3，n ≥2，即a n ＝3n ＋1，n ≥2，又当n ＝1时，a n ＝3n ＋1不成立，所以a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥2.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n ＝12＋33－3n ＋21－3＝3n ＋2－32. 四、解答题17．(2020·江西省南昌市三模)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n a n ＋1＝2pn ＋1(p 为常数) .(1)若－a 1，12a 2，a 4成等差数列，求p 的值；(2)是否存在p ，使得{a n }为等比数列？若存在，求{a n }的前n 项和S n ；若不存在，请说明理由．解 (1)令n ＝1，a 1a 2＝2p ＋1⇒a 2＝2p ，且a n ＋1a n ＋2＝2pn ＋p ＋1，与已知条件相除得a n ＋2a n＝2p ，故a 4＝2p a 2＝(2p )2，而－a 1，12a 2，a 4成等差数列，则a 4－2＝a 2，即(2p )2－2＝2p ，解得2p ＝2，即p ＝1.(2)若{a n }是等比数列，则由a 1>0，a 2>0，知此数列首项和公比均为正数．设其公比为q ，则q ＝2p 2，故2p 2＝a 2a 1＝2p 2⇒p ＝2，此时a 1＝2，q ＝2⇒a n ＝2n ，故a n a n ＋1＝22n ＋1，而2pn ＋1＝22n ＋1，因此p ＝2时，{a n }为等比数列，其前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2. 18．(2020·山东省威海二模)从条件①2S n ＝(n ＋1)a n ，② S n ＋S n －1＝a n (n ≥2)，③a n >0，a 2n ＋a n ＝2S n 中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，________.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求k 的值．解若选择①，∵2S n ＝(n ＋1)a n ，n ∈N *，∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，n ∈N *.两项相减得2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n .即a n ＋1n ＋1＝a n n ，n ∈N *， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列.a n n ＝a 11＝1，∴a n ＝n . ⎝ ⎛⎭⎪⎫或由a n ＋1a n ＝n ＋1n ，利用相乘相消法，求得a n ＝n a k ＝k ，S k ＋2＝(k ＋2)×1＋(k ＋2)(k ＋1)2×1 ＝(k ＋2)(k ＋3)2. 又a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，∴(k ＋2)(k ＋3)＝2k 2， k 2－5k －6＝0，解得k ＝6或k ＝－1(舍去)． ∴k ＝6.若选择②，由S n ＋S n －1＝a n (n ≥2)变形得S n ＋S n －1＝S n －S n －1， S n ＋S n －1＝( S n ＋S n －1)( S n －S n －1)，易知S n >0，∴ S n －S n －1＝1，{S n }为等差数列，而S 1＝a 1＝1，∴ S n ＝n ，S n ＝n 2， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，且n ＝1时也满足， ∴a n ＝2n －1.∵a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，∴(k ＋2)2＝(2k －1)2，∴k ＝3或k ＝－13，又k ∈N *，∴k ＝3.若选择③，∵a 2n ＋a n ＝2S n (n ∈N *)，∴a 2n －1＋a n －1＝2S n －1(n ≥2)．两式相减得a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n (n ≥2)，整理得(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＝a n ＋a n －1(n ≥2)． ∵a n >0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)，∴{a n }是等差数列，∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S k ＋2＝(k ＋2)×1＋(k ＋2)(k ＋1)2×1＝(k ＋2)(k ＋3)2. 又a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，∴(k ＋2)(k ＋3)＝2k 2，解得k ＝6或k ＝－1，又k ∈N *，∴k ＝6.19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n －12S n －1＝0(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列{S n ＋(n ＋2n )λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由a n －12S n －1＝0(n ∈N *)，可知当n ＝1时， a 1－12a 1－1＝0，即a 1＝2.又由a n －12S n －1＝0(n ∈N *)，可得a n ＋1－12S n ＋1－1＝0，两式相减，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12S n ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12S n －1＝0，即12a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝2a n .所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2(2n －1)，所以S n＋(n＋2n)λ＝2(2n－1)＋(n＋2n)λ.若数列{S n＋(n＋2n)λ}为等差数列，则S1＋(1＋2)λ，S2＋(2＋22)λ，S3＋(3＋23)λ成等差数列，即有2[S2＋(2＋22)λ]＝[S1＋(1＋2)λ]＋[S3＋(3＋23)λ]，即2(6＋6λ)＝(2＋3λ)＋(14＋11λ)，解得λ＝－2.经检验λ＝－2时，{S n＋(n＋2n)λ}成等差数列，故λ的值为－2.。

等差数列与等比数列的知识点总结

等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列和等比数列是数学中的两个重要概念，它们在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

以下是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结：
等差数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个数列被称为等差数列。

2. 通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。

3. 求和公式：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]$，其中 $S_n$ 是前$n$ 项的和。

4. 等差中项：任意两项的算术平均值等于第三项。

5. 等差数列的性质：如果两个数列都是等差数列，那么它们的和也是一个等差数列。

等比数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的比是一个常数，这个数列被称为等比数列。

2. 通项公式：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。

3. 求和公式：对于 $q \neq 1$，有 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$；对于 $q = 1$，有 $S_n = na_1$。

4. 等比中项：任意两项的几何平均值等于第三项。

5. 等比数列的性质：如果两个数列都是等比数列，那么它们的乘积是一个等比数列。

以上是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结。

在学习这些内容时，可以通过做练习题来加深理解和巩固知识。

等差数列与等比数列的应用知识点总结

等差数列与等比数列的应用知识点总结等差数列和等比数列是高中数学中常见的两种数列。

它们具有很多重要的应用，在不同的数学问题中发挥着重要的作用。

本文将对等差数列与等比数列的应用进行知识点总结，并探讨它们在实际生活和其他学科中的具体应用。

一、等差数列的应用等差数列是指一个数列中，从第二项起每一项与前一项之差都相等的数列。

其常用的应用有：1. 数列求和公式对于等差数列的前n项和Sn，有求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

这个公式的应用非常广泛，可以用于求解各种数学问题，比如求等差数列的和、计算时间、距离、速度等问题。

2. 平均数的应用对于等差数列，它的各项的平均数与首末两项的平均数是相等的。

这个特性可以用来解决一些平均数相关的问题，比如求取某一连续数列的平均值等。

3. 等差数列的推广等差数列可以推广到高阶等差数列，即每一项与前一项之差的差值也相等。

这种推广常用于解决一些复杂的数学问题，比如等差数列的前n项和Sm，可以通过差分公式Sm = (m/2)(2a1 + (m-1)d)来求解。

4. 几何问题等差数列在几何问题中也有重要应用，比如解决一些等边三角形、等腰梯形等形状相关的问题时，常常需要利用等差数列的性质进行计算。

二、等比数列的应用等比数列是指一个数列中，从第二项起每一项与前一项的比值都相等的数列。

其常用的应用有：1. 数列求和公式对于等比数列的前n项和Sn，有求和公式Sn = a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

这个公式的应用也非常广泛，可以用于求解各种数学问题，比如计算财务中的复利问题、人口增长问题等。

2. 指数问题等比数列可以与指数问题进行关联。

比如在计算家庭用电量、金融中的复利计算、物理中的指数增长问题等方面，常常需要利用等比数列的特性进行计算。

3. 几何问题等比数列在几何问题中同样有重要应用，比如解决一些等比序列相关的问题，如等比数列构造的等边五角星等。

数列的等差数列与等比数列的通项公式

数列的等差数列与等比数列的通项公式数列是数学中常见的一种数值排列形式，包括等差数列和等比数列两种类型。

在数列中，每一项与前一项之间具有一定的关系，这种关系可以用通项公式来表示。

等差数列和等比数列的通项公式是数学中重要的公式，通过它们可以计算数列中的任意一项。

本文将分别介绍等差数列和等比数列，并给出它们的通项公式。

一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之间的差值相等的数列。

设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d在等差数列中，每一项与前一项的差值都是相同的，即后一项与前一项的差值等于公差d。

通过通项公式，可以根据数列的首项、公差和项数来计算任意一项的值。

例如，已知等差数列的首项a为3，公差d为2，求该等差数列的第6项：a6 = a + (6-1)d= 3 + 5×2= 3 + 10= 13因此，等差数列的第6项为13。

二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比相等的数列。

设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a×r^(n-1)在等比数列中，每一项与前一项的比值都是相同的，即后一项与前一项的比值等于公比r。

通过通项公式，可以根据数列的首项、公比和项数来计算任意一项的值。

例如，已知等比数列的首项a为2，公比r为3，求该等比数列的第4项：a4 = a×r^(4-1)= 2×3^3= 2×27= 54因此，等比数列的第4项为54。

总结：等差数列和等比数列是数学中常见的数值排列形式。

等差数列中每一项与前一项的差值相等，可以用通项公式an = a + (n-1)d 来表示。

等比数列中每一项与前一项的比值相等，可以用通项公式an = a×r^(n-1)来表示。

通过这两个通项公式，我们可以根据数列的首项、公差或公比以及项数来计算数列中任意一项的值。

等差等比数列计算方法

等差、等比数列的公式1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+=3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a qq a a S nn n 当q=1时.1na S n =2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2b a A +=2°.设a ,G ,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±=③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=nk n n k nn k kk kaa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk n n k nn k kk kaa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2nq的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2nd S S =-奇偶练习 1．三个数,,1,,1,1,122成等比数列又成等差数列n m nm的值为则nm n m ++22 （）A ．－1或3B ．－3或1C ．1或3D ．－3或－1 2．在等比数列1020144117,5,6,}{a a a a a a a n 则中=+=⋅=（）A ．2332或B ．2332--或 C ．515--或 D ．2131-或3．等比数列===302010,10,20,}{M MM M n a n n 则若项乘积记为前（）A ．1000B ．40C ．425D ．814．已知等差数列5，8，11，…与3，7，11，…都有100项，则它们相同项的个数（） A ．25 B ．26 C ．33 D ．345．已知一个等差数列的前5项的和是120，最后5项的和是180，又所有项的和为360，则此数列的项数为（） A ．12项 B ．13项 C ．14项 D ．15项 6．若两个等差数列)(27417,}{},{+∈++=N n n n B A B A n b a nn n n n n 且满足和项和分别为的前则的值是1111b a（）A ．47 B ．23 C ．34 D ．71781．B 2．A 3．D 4．A 5．A 6．C求通项方法（一）一公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。

2022高考数学满分讲义：第三章数列第1讲等差数列与等比数列

2022高考数学满分讲义：第三章数列第1讲等差数列与等比数列[考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点．考点一等差数列、等比数列的基本运算核心提炼等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *) (1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.(3)等差数列的求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；(4)等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.例1 (1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为( ) A ．15.5尺 B ．12.5尺 C ．10.5尺 D ．9.5尺答案 A解析从冬至起，十二个节气的日影长依次记为a 1，a 2，a 3，…，a 12，由题意，有a 1＋a 4＋a 7＝37.5，根据等差数列的性质，得a 4＝12.5，而a 12＝4.5，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝12.5，a 1＋11d ＝4.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15.5，d ＝－1，所以冬至的日影长为15.5尺．(2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x－1的图象上(n ∈N *)．数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝2164n s +，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________．答案－30解析 ∵点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1的图象上，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，∴{a n }是首项为a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1，则b n ＝264n＝2n －12(n ∈N *)， ∴{b n }是首项为－10，公差为2的等差数列， ∴T n ＝－10n ＋n (n －1)2×2＝n 2－11n ＝⎝⎛⎭⎫n －1122－1214. 又n ∈N *，∴T n 的最小值为T 5＝T 6＝⎝⎛⎭⎫122－1214＝－30. 规律方法等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a 1、公差d 或公比q .(2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p ·q n －1(p ，q ≠0)的形式的数列为等比数列．(3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．跟踪演练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 ∵a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(多选)(2020·威海模拟)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则( ) A ．d <0 B ．a 16<0 C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <0 答案 ABC解析设等差数列{a n }的公差为d ，由S 10＝S 20，得10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，化简得a 1＝－292d .因为a 1>0，所以d <0，故A 正确；因为a 16＝a 1＋15d ＝－292d ＋15d ＝12d ，又d <0，所以a 16<0，故B 正确；因为a 15＝a 1＋14d ＝－292d ＋14d ＝－12d >0，a 16<0，所以S 15最大，即S n ≤S 15，故C 正确；S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (n －30)2d ，若S n <0，又d <0，则n >30，故当且仅当n ≥31时，S n <0，故D 错误．考点二等差数列、等比数列的性质核心提炼1．通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列有a m a n ＝a p a q ＝a 2k . 2．前n 项和的性质：(1)对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外)． (2)对于等差数列，有S 2n －1＝(2n －1)a n .例2 (1)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 5＋a 7－a 26＝0，则S 11的值为( ) A ．11 B ．12 C ．20 D ．22 答案 D解析结合等差数列的性质，可得a 5＋a 7＝2a 6＝a 26，又该数列为正项数列，可得a 6＝2，所以由S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，可得S 11＝S 2×5＋1＝11a 6＝22.(2)已知函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，若等比数列{a n }满足a 1a 2 020＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)等于( )A ．2 020B ．1 010C ．2 D.12答案 A解析 ∵a 1a 2 020＝1， ∴f (a 1)＋f (a 2 020)＝21＋a 21＋21＋a 22 020＝21＋a 21＋21＋1a 21＝21＋a 21＋2a 211＋a 21＝2， ∵{a n }为等比数列，则a 1a 2 020＝a 2a 2 019＝…＝a 1 010a 1 011＝1， ∴f (a 2)＋f (a 2 019)＝2，…，f (a 1 010)＋f (a 1 011)＝2，即f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)＝2×1 010＝2 020. 规律方法等差、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．跟踪演练2 (1)(2020·全国Ⅰ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8等于( )A ．12B ．24C ．30D ．32 答案 D解析设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝21＝2，所以a 6＋a 7＋a 8＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 5＝1×25＝32.(2)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 30＝130，则S 40等于( ) A ．－510 B ．400 C ．400或－510 D ．30或40答案 B解析 ∵正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ， ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等比数列， ∴10×(130－S 20)＝(S 20－10)2，解得S 20＝40或S 20＝－30(舍)，故S 40－S 30＝270，∴S 40＝400.考点三等差数列、等比数列的探索与证明核心提炼等差数列等比数列定义法 a n ＋1－a n ＝d a n ＋1a n＝q (q ≠0) 通项法 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1·q n －1 中项法2a n ＝a n －1＋a n ＋1a 2n ＝a n －1a n ＋1证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．例3 (2019·全国Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．(1)证明由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12(n ∈N *)，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12(n ∈N *)．易错提醒 a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)是{a n }为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.跟踪演练3 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是不是等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1(n ∈N *)．专题强化练一、单项选择题1．在等比数列{a n }中，若a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．5 答案 A解析 ∵数列{a n }为等比数列，且a 3＝2，a 7＝8， ∴a 25＝a 3·a 7＝2×8＝16，则a 5＝±4， ∵等比数列奇数项的符号相同，∴a 5＝4.2．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n 等于( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1 D ．21－n －1答案 B解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2.由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12得a 1＝1. 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n－1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n .方法二设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12， ①a 4q 2－a 4＝24， ② ②①得a 4a 3＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一．3．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11.那么一定有( ) A ．a 6≤b 6 B ．a 6≥b 6 C ．a 12≤b 12 D ．a 12≥b 12 答案 B解析因为等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，所以a 1＋a 11＝b 1＋b 11＝2a 6，所以a 6＝a 1＋a 112＝b 1＋b 112≥b 1b 11＝b 6.当且仅当b 1＝b 11时，取等号，此时数列{b n }的公比为1. 4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋n ln n B ．2n ＋(n －1)ln n C ．2n ＋n ln n D ．1＋n ＋n ln n答案 C解析由题意得a n ＋1n ＋1－a nn ＝ln(n ＋1)－ln n ，n 分别用1,2,3，…，n －1(n ≥2)取代，累加得a n n －a 11＝ln n －ln 1，即a nn ＝2＋ln n ，即a n ＝2n ＋n ln n (n ≥2)，又a 1＝2符合上式，故a n ＝2n ＋n ln n .5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17B ．a 10＝19C ．S 9＝81D ．S 10＝91 答案 D解析 ∵对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， ∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }在n >1，n ∈N *时是等差数列，公差为2，又a 1＝1，a 2＝2，a n ＝2＋(n －2)×2＝2n －2(n >1，n ∈N *)，∴a 9＝2×9－2＝16，a 10＝2×10－2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选D.6.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m ，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为S n ，则( )A ．S n 无限大B ．S n <3(3＋5)mC ．S n ＝3(3＋5)mD ．S n 可以取100m答案 B解析由题意可得，外围第2个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫13m 2＋⎝⎛⎭⎫23m 2＝53m ；外围第3个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫13×53m 2＋⎝⎛⎭⎫23×53m 2＝59m ； ……外围第n 个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫53n －1m .所以蜘蛛网的长度 S n ＝4m ⎣⎡⎦⎤1＋53＋59＋…＋⎝⎛⎭⎫53n －1 ＝4m ×1－⎝⎛⎭⎫53n1－53<4m ×11－53＝3(3＋5)m .故选B. 二、多项选择题7．(2020·厦门模拟)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是( ) A ．a 4＝0 B ．S n 的最大值为S 3 C ．S 1＝S 6 D ．|a 3|<|a 5|答案 AC解析设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋3(a 1＋4d )＝7a 1＋21d ，解得a 1＝－3d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －4)d ，所以a 4＝0，故A 正确；因为S 6－S 1＝5a 4＝0，所以S 1＝S 6，故C 正确；由于d 的取值情况不清楚，故S 3可能为最大值也可能为最小值，故B 不正确；因为a 3＋a 5＝2a 4＝0，所以a 3＝－a 5，即|a 3|＝|a 5|，故D 错误．8．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，且a 1>1，a 6＋a 7>a 6a 7＋1>2，记{a n }的前n 项积为T n ，则下列选项中正确的是( )A ．0<q <1B ．a 6>1C ．T 12>1D ．T 13>1答案 ABC解析由于等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，且a 1>1，a 6＋a 7>a 6a 7＋1>2，所以(a 6－1)(a 7－1)<0，由题意得a 6>1，a 7<1，所以0<q <1，A ，B 正确；因为a 6a 7＋1>2，所以a 6a 7>1，T 12＝a 1·a 2·…·a 11·a 12＝(a 6a 7)6>1，T 13＝a 137<1，所以满足T n >1的最大正整数n 的值为12，C 正确，D 错误．三、填空题9．(2020·江苏)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋2n －1(n ∈N *)，则d ＋q 的值是________．答案 4解析由题意知q ≠1，所以S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝na 1＋n (n －1)2d ＋b 1(1－q n )1－q＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＋b 11－q －b 1q n1－q ＝n 2－n ＋2n －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧d2＝1，a 1－d 2＝－1，b11－q ＝－1，－b11－q q n＝2n，解得d ＝2，q ＝2，所以d ＋q ＝4.10．(2020·北京市顺义区质检)设S n 为公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列，则q ＝________，S 4S 2＝________.答案 3 10解析设等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1，又因为3a 1,2a 2，a 3成等差数列，所以2×2a 2＝3a 1＋a 3，即4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，解得q ＝3或q ＝1(舍)，S 4S 2＝a 1(1－34)1－3a 1(1－32)1－3＝1－341－32＝10.11．(2020·潍坊模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用a n表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需移动的最少次数，{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1(n 为偶数)，2a n －1＋2(n 为奇数)，则解下5个圆环需最少移动________次．答案 16解析因为a 5＝2a 4＋2＝2(2a 3－1)＋2＝4a 3，所以a 5＝4a 3＝4(2a 2＋2)＝8a 2＋8＝8(2a 1－1)＋8＝16a 1＝16，所以解下5个圆环需最少移动的次数为16.12．已知等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有A ≤2S n－1S n ≤B 恒成立，则B －A 的最小值为________．答案136解析 ∵等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，∴S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1＋12＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ，令t ＝⎝⎛⎭⎫－12n ，则－12≤t ≤14，S n ＝1－t ， ∴34≤S n ≤32， ∴2S n －1S n 的最小值为16，最大值为73，又A ≤2S n －1S n ≤B 对任意n ∈N *恒成立，∴B －A 的最小值为73－16＝136.四、解答题13．(2020·聊城模拟)在①a 5＝b 3＋b 5，②S 3＝87，③a 9－a 10＝b 1＋b 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，________，a 1＝b 6，若对于任意n ∈N *都有T n ＝2b n －1，且S n ≤S k (k 为常数)，求正整数k 的值．解由T n ＝2b n －1，n ∈N *得，当n ＝1时，b 1＝1；当n ≥2时，T n －1＝2b n －1－1，从而b n ＝2b n －2b n －1，即b n ＝2b n －1，由此可知，数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，故b n ＝2n －1.①当a 5＝b 3＋b 5时，a 1＝32，a 5＝20，设数列{a n }的公差为d ，则a 5＝a 1＋4d ，即20＝32＋4d ，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值．因此，正整数k 的值为11.②当S 3＝87时，a 1＝32,3a 2＝87，设数列{a n }的公差为d ，则3(32＋d )＝87，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值，因此，正整数k 的值为11.③当a 9－a 10＝b 1＋b 2时，a 1＝32，a 9－a 10＝3，设数列{a n }的公差为d ，则－d ＝3，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值，因此，正整数k 的值为11.14．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)，因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34. 因为任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。

数列的等差数列与等比数列的计算

数列的等差数列与等比数列的计算数列是数学中常见的概念，它是由一串数按照一定规律排列而成的序列。

其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。

本文将会介绍等差数列和等比数列的计算方法。

一、等差数列的计算等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定。

设等差数列的首项为a₁，公差为d。

则数列的通项公式为：an = a₁ + (n - 1)d其中，an表示数列的第n项。

1. 求首项和公差若已知等差数列的前n项和Sn、项数n以及末项an，可通过下列公式求得首项a₁和公差d：a₁ = (2S₁- nₐₙd) / (n + 1)d = (an - a₁) / (n - 1)2. 求和公式等差数列的前n项和Sn的计算公式为：Sn = (n / 2)(a₁ + an)二、等比数列的计算等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定。

设等比数列的首项为a₁，公比为q。

则数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)其中，an表示数列的第n项。

1. 求首项和公比若已知等比数列的前n项和Sn、项数n以及末项an，可通过下列公式求得首项a₁和公比q：a₁ = Sn / (q^n - 1) + n / (1 - q)q = (an / a₁)^(1 / (n - 1))2. 求和公式等比数列的前n项和Sn的计算公式为：Sn = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)三、例题解析现有一个等差数列，前6项的和为45，公差为3，求首项和第8项。

解：根据已知信息可列出方程：45 = (n/2)(a₁ + a₈) ①a₈ = a₁ + (8 - 1)d ②代入公差d = 3，首项a₁ = ?，化简方程：45 = 4.5(a₁ + 7d)10 = a₁ + 21da₁ = 10 - 21d将公差代入，得到首项：a₁ = 10 - 21 * 3a₁ = -53将首项代入公式②，求得第8项a₈：a₈ = -53 + 7 * 3a₈ = -32所以，该等差数列的首项为-53，第8项为-32。

等比数列与等差数列知识点

＝
．
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2．等比数列前 n 项和的性质公比不为﹣1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n 仍成等比数列，
其公比为 qn． 8．数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法： ①等差数列前 n 项和公式：Sn＝na1+ n（n﹣1）d 或 Sn＝ ②等比数列前 n 项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前 n 项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：
，
∴＝
，
＝1，＝
，＝
，
∵数列{ }也为等差数列，
∴
＝+，
∴
＝1+
，
解得 d＝2．
∴Sn+10＝（n+10）2，
＝（2n﹣1）2，
∴
＝
＝
，
由于
为单调递减数列，
∴
≤ ＝112＝121，
故选：D． 2．等差数列的性质【等差数列】
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如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差
∴an＝
，
把 n＝1 代入 2n﹣1 可得 1≠2， ∴{an}不是等差数列
考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中 an 的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下． eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为 a﹣1，2a+1，a+7 则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{an}的前三项分别为 a﹣1，2a+1，a+7， ∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得 a＝2． ∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9， ∴数列 an 是以 1 为首项，4 为公差的等差数列， ∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．

等差数列与等比数列的计算

等差数列与等比数列的计算数列是数学中常见的概念，是一个按照一定规律排列的一系列数的集合。

数列又可以分为等差数列和等比数列两种类型。

在解题过程中，我们经常需要计算数列的总和、项数等各种问题。

本文将详细介绍等差数列和等比数列的计算方法。

一、等差数列的计算等差数列是指数列中的每个数与它前面的一个数之差都相等。

设等差数列的第一项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则有以下公式可供计算：1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式表示第n项的数与第一项之间的关系。

通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，aₙ表示等差数列的第n项，a₁表示等差数列的第一项，d表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。

2. 等差数列的前n项和等差数列的前n项和是指数列从第一项到第n项的所有数的和。

前n项和可以表示为：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，Sn表示等差数列的前n项和，n表示等差数列的项数，a₁表示等差数列的第一项，aₙ表示等差数列的第n项。

二、等比数列的计算等比数列是指数列中的每个数与它前面的一个数的比值都相等。

设等比数列的第一项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则有以下公式可供计算：1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式表示第n项的数与第一项之间的关系。

通项公式可以表示为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，aₙ表示等比数列的第n项，a₁表示等比数列的第一项，r表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。

2. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和是指数列从第一项到第n项的所有数的和。

前n项和可以表示为：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a₁表示等比数列的第一项，r 表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。

总结：等差数列和等比数列的计算方法主要涵盖了通项公式和前n项和的计算。

通过这些公式，我们可以轻松地求解等差数列和等比数列中的各种问题。

等差数列及等比数列的性质总结

【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，nS =d 2）1-n （n na 1´+【说明】d a -a a ac c c c 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2n S -S 奇偶´=当n 为奇数时，n a S中n´=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n ）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶´=+¼¼++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+¼¼++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=´++´+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+ 8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a +=9、1-d ，0a），则q p （p a ，q a qp qp==¹==+q--p a），则q p （p S ，q S qp qp=¹==+a），则q p （S S qp qp=¹=+= n ）2d-a （n ）2d （12´+´ 6、若、若数列数列}{a n是等差数列，则}{c n a 为等比数列，c>0+ïîí，q -1q a -a q -1）q -1（a n 11【说明】m 2k m k a a a a ++【说明】n 22n 1n n n 2a a a a a a S S -S +¼¼++++++【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n 42奇偶=+¼¼+++¼¼++=；当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+¼¼+++¼¼++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ×=当n 为偶数时，n 中奇中偶奇2n 奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n 1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =×¼¼×××¼¼××=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =×¼¼×××¼¼××=；n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =¼¼××=×¼¼××=。

等差数列、等比数列中的基本运算

等差数列等比数列中的基本运算一．知识要点：1．六个基本公式；2．在a 1,a n ,n,S n ,d(或q)五个量中，知道三个，可以求出另外两个；3．基本公式扩展：a n =a k +(n─k)d; a n =a k q n─k ;4．化归思想和方程思想是解数列问题的重要策略。

二．例题与习题：1．等差数列{a n }中,a 2+a 5=19,S 5=40,则a 1= ;2．公差不为0的等差数列{a n }和递增的等比数列{b n }中，已知a 1=b 1=1,a 3=b 3,a 7=b 5,若a m =b 9,则m= ;3．等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 1，a 3,a 5成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值为。

通过上述例子强调化归思想和方程思想的重要性。

5．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四个数。

（方程思想）6．和为114的三个数是一个等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第一项，第四项和第二十五项，求这三个数。

7．已知{a n }是等差数列，m,n ∈N,且m ≠n,(1) 若a m =n,a n =m,试求a 1,d,S n 及a n+m ; (2)若S n =m,S m =n,试求a 1,d 及a n .8．已知数列{a n }的通项公式为a n =)(8)1(1242N n n n n∈--++. 求证：对于任意的自然数n ，均有a 2n─1,a 2n ,a 2n+1成等比数列，而a 2n ,a 2n+1,a 2n+2成等差数列。

（说明：用定义证明数列为等差数列或等比数列）9．证明数列{a n }为等差数列的充要条件是其前n 项和S n =an 2+bn (其中a,b 为常数)10．数列{a n }为正项等比数列，它的前n 项之和为80，其中最大的项为54，前2n 项的和为6560，试求此数列的首项a 1和公比q.解：S 2n >2S n , ∴q ≠1, 依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--65601)1(801)1(211qq a q q a n n 得到q n =81. ∴ q>1,故a n 最大。

第1讲等差数列与等比数列

[学生用书P38]第1讲等差数列与等比数列考点一等差、等比数列的基本运算[学生用书P39][典型例题](2020·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝4，a 3－a 1＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和．若S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，求m . 【解】 (1)设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1. 由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝4，a 1q 2－a 1＝8.解得a 1＝1，q ＝3.所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1. (2)由(1)知log 3a n ＝n －1. 故S n ＝n （n －1）2.由S m ＋S m ＋1＝S m ＋3得m (m －1)＋(m ＋1)m ＝(m ＋3)·(m ＋2)，即m 2－5m －6＝0. 解得m ＝－1(舍去)，m ＝6.等差、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a 1、公差d 或公比q ；(2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b 是常数)形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p ·q n －1(p ，q ≠0)形式的数列为等比数列；(3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置，所以常采用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．[对点训练]1．(2020·深圳市统一测试)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝3，a 5＝9，则S 6＝( ) A ．36 B ．32 C ．28D ．24解析：选A.设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧a 2＝a 1＋d ＝3，a 5＝a 1＋4d ＝9，解得d ＝2，a 1＝1，故S 6＝6＋6×52×2＝36，选A.2．(2020·湖北八校第一次联考)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝1，a 5＝－18，若S k ＝－118，则k ＝________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2＝1，a 5＝－18，所以q 3＝－18，解得q ＝－12，所以a 1＝－2，由S k＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫－12k1－⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－118，解得k＝5.答案：53．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若S4，S6，S n成等比数列，求n及此等比数列的公比．解：(1)设数列{a n}的公差为d，由题意，得⎩⎨⎧2S3＝S1＋1＋S4，a22＝a1a5，d≠0，整理得⎩⎨⎧a1＝1，d＝2，所以a n＝2n－1.(2)由(1)知a n＝2n－1，所以S n＝n2，所以S4＝16，S6＝36，又S4S n＝S26，所以n2＝36216＝81，所以n＝9，此等比数列的公比q＝S6S4＝94.考点二等差、等比数列的性质[学生用书P39][典型例题](1)(一题多解)(2020·高考全国卷Ⅰ)设{a n}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝()A．12B．24C．30 D．32(2)在等比数列{a n}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，则a2a16a9的值为() A．－2＋22B．－ 2C. 2 D．－2或 2【解析】(1)方法一：设等比数列{a n}的公比为q，所以a2＋a3＋a4a1＋a2＋a3＝（a1＋a2＋a3）qa1＋a2＋a3＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝17，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝17×(25＋26＋27)＝17×25×(1＋2＋22)＝32，故选D.方法二：令b n ＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2(n ∈N *)，则b n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3.设数列{a n }的公比为q ，则b n ＋1bn ＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝（a n ＋a n ＋1＋a n ＋2）q a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝q ，所以数列{b n }为等比数列，由题意知b 1＝1，b 2＝2，所以等比数列{b n }的公比q ＝2，所以b n ＝2n －1，所以b 6＝a 6＋a 7＋a 8＝25＝32，故选D.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两个根，所以a 3a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－ 2.【答案】 (1)D (2)B等差、等比数列性质问题的求解策略抓关系抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解用性质数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题[对点训练]1．(多选)(2020·山东莱州一中月考)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，则下列选项正确的是( )A ．a 10＝0B ．S 7＝S 12C ．S 10的值最小D ．S 20＝0解析：选AB.设等差数列{a n }的公差为d .由a 1＋5a 3＝S 8，得a 1＋9d ＝0，即a 10＝0，所以A 正确．因为S 12－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝5a 10＝0，所以B 正确．由a 10＝0可知，当d >0时，S 9或S 10的值最小，当d <0时，S 9或S 10的值最大，所以C 错误．因为S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19×2a 102＝19a 10＝0，又a 20≠0，所以S 20≠0，所以D 错误．故选AB.2．(一题多解)(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝10，S 9＝72，在数列{b n }中，b 1＝2，b n b n ＋1＝－2，则a 7b 2 020＝________．解析：方法一：设数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎨⎧a 1＋a 1＋2d ＝10，9a 1＋36d ＝72，解得⎩⎨⎧a 1＝4，d ＝1，所以a 7＝a 1＋6d ＝10.因为b 1＝2，b n b n ＋1＝－2，所以b 2＝－1，b 3＝2，…，由此可知数列{b n }是周期为2的数列，所以b 2 020＝－1，所以a 7b 2 020＝－10.方法二：因为a 1＋a 3＝2a 2＝10，所以a 2＝5.又S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝72，所以a 5＝8，设数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 5－a 23＝1，所以a 7＝a 5＋2d ＝10.因为b 1＝2，b n b n ＋1＝－2，所以b 2＝－1，b 3＝2，…，由此可知数列{b n }是周期为2的数列，所以b 2 020＝－1，所以a 7b 2 020＝－10.答案：－10考点三等差、等比数列的判定与证明[学生用书P40][典型例题]设S n 为数列{a n }的前n 项和，对任意的n ∈N *，都有S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝2a 1，b n＝b n －11＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)证明：数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)判断数列{1b n}是等差数列还是等比数列，并求数列{b n }的通项公式．【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，解得a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，即a na n －1＝12(n ≥2，n ∈N *)．所以数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)因为a 1＝1，所以b 1＝2a 1＝2. 因为b n ＝b n －11＋b n －1，所以1b n ＝1b n －1＋1，即1b n －1b n －1＝1(n ≥2)．所以数列{1b n}是首项为12，公差为1的等差数列．所以1b n＝12＋(n －1)·1＝2n －12，故数列{b n}的通项公式为b n＝22n－1.数列{a n}是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列{a n}是等差数列的两种基本方法①利用定义，证明a n＋1－a n(n∈N*)为一常数；②利用等差中项，即证明2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)．(2)证明数列{a n}是等比数列的两种基本方法①利用定义，证明a n＋1a n(n∈N*)为一常数；②利用等比中项，即证明a2n＝a n－1a n＋1(n≥2)．[对点训练]1．(2020·高考全国卷Ⅱ)数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n，若a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝215－25，则k＝()A．2B．3C．4 D．5解析：选C.令m＝1，则由a m＋n ＝a m a n，得a n＋1＝a1a n，即a n＋1a n＝a1＝2，所以数列{a n}是首项为2、公比为2的等比数列，所以a n＝2n，所以a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝a k(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×2×（1－210）1－2＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4，故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n＋1＝3a n－b n＋4，4b n＋1＝3b n －a n－4.(1)证明：{a n＋b n}是等比数列，{a n－b n}是等差数列；(2)求{a n}和{b n}的通项公式．解：(1)证明：由题设得4(a n＋1＋b n＋1)＝2(a n＋b n)，即a n＋1＋b n＋1＝12(a n＋b n)．又因为a1＋b1＝1，所以{a n＋b n}是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n＋1－b n＋1)＝4(a n－b n)＋8，即a n＋1－b n＋1＝a n－b n＋2.又因为a1－b1＝1，所以{a n－b n}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，a n＋b n＝12n－1，a n－b n＝2n－1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12， b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12考点四数列与新定义相交汇问题[学生用书P41][典型例题](2020·高考江苏卷节选)已知数列{}a n (n ∈N *)的首项a 1＝1，前n 项和为S n .设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有S 1k n ＋1－S 1k n ＝λa 1k n ＋1成立，则称此数列为“λ～k ”数列．(1)若等差数列{}a n 是“λ～1”数列，求λ的值；(2)若数列{}a n 是“33～2”数列，且a n >0，求数列{}a n 的通项公式．【解】 (1)因为等差数列{a n }是“λ～1”数列，则S n ＋1－S n ＝λa n ＋1，即a n ＋1＝λa n ＋1，也即(λ－1)a n ＋1＝0，此式对一切正整数n 均成立．若λ≠1，则a n ＋1＝0恒成立，故a 3－a 2＝0，而a 2－a 1＝－1，这与{a n }是等差数列矛盾．所以λ＝1.(此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列) (2)因为数列{a n }(n ∈N *)是“33～2”数列，所以S n ＋1－S n ＝33a n ＋1，即S n ＋1－S n ＝33S n ＋1－S n ，因为a n >0，所以S n ＋1>S n >0，则S n ＋1S n －1＝33S n ＋1S n －1.令S n ＋1S n ＝b n ，则b n －1＝33b 2n －1，即(b n －1)2＝13(b 2n －1)(b n >1)．解得b n ＝2，即S n ＋1S n ＝2，也即S n ＋1S n ＝4，所以数列{S n }是公比为4的等比数列．因为S 1＝a 1＝1，所以S n ＝4n －1.则a n ＝⎩⎨⎧1（n ＝1），3×4n －2（n ≥2）.数列新定义型创新题的一般解题思路(1)阅读审清“新定义”．(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识． (3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论．[对点训练]1．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．2B ．2nC ．2n ＋1－2D ．2n －1－2解析：选C.因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n ，所以S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.2．对任一实数序列A ＝(a 1，a 2，a 3，…)，定义新序列ΔA ＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…)，它的第n 项为a n ＋1－a n .假定序列Δ(ΔA )的所有项都是1，且a 12＝a 22＝0，则a 2＝________．解析：令b n ＝a n ＋1－a n ，依题意知数列{b n }为等差数列，且公差为1，所以b n ＝b 1＋(n －1)×1， a 1＝a 1， a 2－a 1＝b 1， a 3－a 2＝b 2， …a n －a n －1＝b n －1，累加得a n ＝a 1＋b 1＋…＋b n －1＝a 1＋(n －1)b 1＋（n －1）（n －2）2＝(n －1)a 2－(n －2)a 1＋（n －1）（n －2）2，分别令n ＝12，n ＝22，得⎩⎨⎧11a 2－10a 1＋55＝0，21a 2－20a 1＋210＝0，解得a 1＝2312，a 2＝100. 答案：100[学生用书(单独成册)P128]1．(2020·六校联盟第二次联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋S 5＝2，S 7＝14，则a 10＝( )A ．18B ．16C ．14D ．12解析：选C.设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋5a 1＋5×42d ＝2，7a 1＋7×62d ＝14，可得⎩⎨⎧6a 1＋13d ＝2，a 1＋3d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝2，所以a 10＝－4＋9×2＝14，选C.2．(一题多解)(2020·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n＝( )A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1解析：选B.通解：设等比数列{a n }的公比为q ，则由⎩⎨⎧a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12，a 6－a 4＝a 1q 5－a 1q 3＝24解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2n －1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1，所以S n a n＝2n－12n －1＝2－21－n ，故选B.优解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 6－a 4a 5－a 3＝a 4（1－q 2）a 3（1－q 2）＝a 4a 3＝2412＝2，所以q ＝2，所以S n a n ＝a 1（1－q n ）1－q a 1q n －1＝2n －12n －1＝2－21－n ，故选B. 3．(一题多解)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 8＝6，S 9－S 6＝3，则S n 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D.方法一：设{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝15，d ＝－2.所以a n ＝－2n ＋17，由于a 8>0，a 9<0，所以S n 取得最大值时n 的值是8，故选D.方法二：设{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝15，d ＝－2.则S n ＝15n ＋n （n －1）2×(－2)＝－(n －8)2＋64，所以当n ＝8时，S n 取得最大值，故选D. 4．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A ．174斤B ．184斤C ．191斤D ．201斤解析：选B.用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，所以8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65. 所以a 8＝65＋7×17＝184.故选B.5．(多选)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a n ＋3＋(－1)n a n ＋1＝1(n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n }为等差数列B ．a 18＝10C ．a 17＝3D ．S 31＝146解析：选BD.依题意得，当n 是奇数时，a n ＋3－a n ＋1＝1，即数列{a n }中的偶数项构成以a 2＝2为首项、1为公差的等差数列，所以a 18＝2＋(9－1)×1＝10.当n 是偶数时，a n ＋3＋a n ＋1＝1，所以a n ＋5＋a n ＋3＝1，两式相减，得a n ＋5＝a n ＋1，即数列{a n }中的奇数项从a 3开始，每间隔一项的两项相等，即数列{a n }的奇数项呈周期变化，所以a 17＝a 4×3＋5＝a 5.在a n ＋3＋a n ＋1＝1中，令n ＝2，得a 5＋a 3＝1，因为a 3＝3，所以a 5＝－2，所以a 17＝－2.对于数列{a n }的前31项，奇数项满足a 3＋a 5＝1，a 7＋a 9＝1，…，a 27＋a 29＝1，a 31＝a 4×7＋3＝a 3＝3，偶数项构成以a 2＝2为首项、1为公差的等差数列，所以S 31＝1＋7＋3＋15×2＋15×（15－1）2＝146.故选BD.6．(多选)(2020·山东临沂实验中学期末)若数列{a n }满足：对于任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为单调递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( )A ．a n ＝3nB ．a n ＝n 2＋1C ．a n ＝nD ．a n ＝lnnn ＋1解析：选CD.对于A ，若a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不是单调递减数列，故A 错误；对于B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋1－n 2－1＝2n ＋1，所以{a n ＋1－a n }是单调递增数列，不是单调递减数列，故B 错误；对于C ，若a n ＝n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n，所以{a n ＋1－a n }为单调递减数列，故C 正确；对于D ，若a n ＝lnn n ＋1，则a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＋2－ln nn ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＋2x 在(0，＋∞)上单调递减，可知数列{a n ＋1－a n }为单调递减数列，故D 正确．故选CD.7．(2020·河北九校第二次联考)已知正项等比数列{a n }满足a 3＝1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 5与32a 4的等差中项为12，所以a 5＋32a 4＝1，所以a 3q 2＋32a 3q ＝1，又a 3＝1，所以2q 2＋3q －2＝0，又数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝12，所以a 1＝a 3q 2＝4.答案：48．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n (2S n －1)＝2S 2n (n ≥2，n ∈N *)，则S n ＝________，a n ＝________．解析：因为当n ≥2时，a n (2S n －1)＝2S 2n ，a n ＝S n －S n －1，所以(S n －S n －1)·(2S n －1)＝2S 2n ，所以S n －1－S n ＝2S n －1S n ，即1S n －1S n －1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1S n＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以S n ＝12n －1.因为当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2（2n －1）（2n －3），n ≥2. 答案：12n －1 ⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2（2n －1）（2n －3），n ≥2 9．在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确的序号是________．解析：由等差比数列的定义可知，k 不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{a n }是等比数列，且公比q ＝1时，{a n }不是等差比数列，所以③错误；数列0，1，0，1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．答案：①④10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 3＝8，S 9＝81.(1)求{a n }的通项公式；(2)若S 3，a 14，S m 成等比数列，求S 2m .解：(1)因为⎩⎨⎧S 9＝9a 5＝9（a 1＋4d ）＝81，a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝8，所以⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)由(1)知，S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2. 因为S 3，a 14，S m 成等比数列，所以S 3·S m ＝a 214，即9m 2＝272，解得m ＝9，故S 2m ＝182＝324.11．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 3＝7，a n ＝2a n －1＋a 2－2(n ≥2)．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式，并判断n ，a n ，S n 是否成等差数列？解：(1)证明：因为a 3＝7，a 3＝3a 2－2，所以a 2＝3，所以a n ＝2a n －1＋1，所以a 1＝1，a n ＋1a n －1＋1＝2a n －1＋2a n －1＋1＝2(n ≥2)，所以数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1，所以S n ＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2，所以n ＋S n －2a n ＝n ＋(2n ＋1－n －2)－2(2n －1)＝0，所以n ＋S n ＝2a n ，即n ，a n ，S n 成等差数列．12．(2020·泰安模拟)在①b 1＋b 3＝a 2，②a 4＝b 4，③S 5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，________，b 1＝a 5，b 2＝3，b 5＝－81，是否存在k ，使得S k >S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2?解：方案一：选条件①.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5b 2＝－27，即q ＝－3，b 1＝－1. 所以b n ＝－(－3)n －1.从而a 5＝b 1＝－1，a 2＝b 1＋b 3＝－10，由于{a n }是等差数列，所以a 1＝－13，d ＝3，所以a n ＝3n －16. 因为S k >S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2等价于a k ＋1<0且a k ＋2>0，所以满足题意的k 存在当且仅当⎩⎨⎧3（k ＋1）－16<0，3（k ＋2）－16>0，即k ＝4. 方案二：选条件②.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5b 2＝－27，即q ＝－3，b 1＝－1，所以b n ＝－(－3)n －1.从而a 5＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝27，所以{a n }的公差d ＝－28. 因为S k >S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2等价于a k ＋1<0且a k ＋2>0，此时d ＝a k ＋2－a k ＋1>0，与d ＝－28矛盾，所以满足题意的k 不存在．方案三：选条件③.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5b 2＝－27，即q ＝－3，b 1＝－1，所以b n ＝－(－3)n －1.从而a 5＝b 1＝－1，由{a n }是等差数列得S 5＝5（a 1＋a 5）2，由S 5＝－25得a 1＝－9.所以a n ＝2n －11.因为S k >S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2等价于a k ＋1<0且a k ＋2>0，所以满足题意的k 存在当且仅当⎩⎨⎧2（k ＋1）－11<0，2（k ＋2）－11>0，即k ＝4.。

等比和等差数列公式

等比和等差数列公式等比数列和等差数列是数学中常见的数列形式。

它们具有一定的规律性，可以通过公式来求解。

我们来介绍等差数列。

等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。

常用的等差数列公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

举个例子，我们来求解一个等差数列的和。

假设一个等差数列的首项为2，公差为3，我们要求前10项的和。

根据等差数列公式，我们可以得到第n项的表达式为an = 2 + (n-1)3。

将n分别代入1到10，得到的数列为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29。

将这些数相加即可得到前10项的和。

接下来，我们来介绍等比数列。

等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。

常用的等比数列公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

举个例子，我们来求解一个等比数列的和。

假设一个等比数列的首项为3，公比为2，我们要求前5项的和。

根据等比数列公式，我们可以得到第n项的表达式为an = 3 * 2^(n-1)。

将n分别代入1到5，得到的数列为3，6，12，24，48。

将这些数相加即可得到前5项的和。

等差数列和等比数列在数学中有着广泛的应用。

在实际问题中，我们经常遇到一些具有规律性的数值序列，通过求解等差数列和等比数列可以帮助我们更好地理解和分析问题。

除了求解数列的和，等差数列和等比数列还可以用于求解其他相关问题。

例如，我们可以通过等差数列的公式来确定数列中的任意一项，或者通过等比数列的公式来确定数列中的公比。

总结起来，等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式。

它们通过公式来描述数列中的规律性，可以用于求解数列的和以及其他相关问题。

熟练掌握等差数列和等比数列的公式和性质，对于解决实际问题和提高数学水平都具有重要的意义。

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一．课题：等差数列与等比数列的基本运算
二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，并能利用这些知识
解决有关问题，培养学生的化归能力．
三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式的应用．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n 项和公式；
2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n 项和公式；
3．等差中项和等比中项的概念．
（二）主要方法：
1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量1,()a d q 来处理；
2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；
3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似．
4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求．
（三）例题分析：
例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ．
（2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316
．例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．解：设这四个数为：2
(),,,a d a d a a d a +-+，则2
()16212a d a d a a d ⎧+-+=⎪⎨⎪+=⎩
解得：48a d =⎧⎨=⎩或96a d =⎧⎨=-⎩，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1．
例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式．
解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠， ∴221122331111
(1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ⎧--=⎪--⎨⎪+=⋅⎩ 由①得110
q =，代入②得110a =， ∴21()10
n n a -=．说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．
例4．已知等差数列110,116,122,，
① ②
（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；
（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和.
解：1106(1)6104n a n n =+-=+，
（1）由4506104600n ≤+≤，得5882n ≤≤，又*
n N ∈, ∴ 该数列在[450,600]上有25项, 其和58821()25131002
n S a a =+⨯=．（2）∵1106(1)n a n =+-，∴要使n a 能被5整除，只要1n -能被5整除，即15n k -=，
∴51n k =+，∴585182k ≤+≤，∴1216k ≤≤，∴在区间[450,600]上该数列中能被5整除的
项共有5项即第61,66,71,76,81项，其和61815()26502
a a S +==．
五．课后作业：《高考A 计划》考点20，智能训练5，6，
12，13，14，15．。