第一讲 小题考法——数列中的基本量计算

答案：20
2．(2018·南京、盐城、连云港二模)已知等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn.若 S15＝30，a7＝1，则 S9 的值为________． 解析：因为 S15＝30，所以15a12＋a15＝30，a1＋a15＝4，即 2a8＝4，a8＝2，又因为 a7＝1，所以公差 d＝1，a5＝a7－ 2d＝－1，S9＝9a1＋ 2 a9＝9a5＝－9.
[方法技巧] 等差、等比数列性质问题求解策略 (1)等差、等比数列性质的应用的关键是抓住项与项之间的 关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质 进行求解． (2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中 “若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq”这一性质与求和公式 Sn＝na12＋an的综合应用．
所以 a1＋a2＝2×12a3＝a3，即 a1＋a1q＝a1q2，因为 a1≠0，所以
q2－q－1＝0，解得 q＝1＋2 5或 q＝1－2 5<0(舍去)，所以aa53＋ ＋aa64
＝aa3＋3＋aa44q2＝q2＝3＋2
5 .
答案：3＋2 5
[方法技巧]
等差(比)数列基本运算的策略 (1)在等差(比)数列中，首项 a1 和公差 d(公比 q)是两个最基 本的元素． (2)在进行等差(比)数列项的运算时，若条件和结论间的联 系不明显，则均可化成关于 a1 和 d(q)的方程组求解，但要注意 消元法及整体代换法的使用，以减少计算量.
能力要求较高.
第一讲
小题考法
—— 数列中的基本量计算
考点(一)
等差、等比数列 的基本运算
主要考查等差、等比数列的通项公式、前 n 项和 公式及有关的五个基本量间的“知三求二”运算.
[题组练透] 1．(2018·南通、泰州一调)在各项均为正数的等比数列{an}
中，若 a2＝1，a8＝a6＋6a4，则 a3 的值为________．
(5年3考)
通项、和式以及它们的组合式，甚至还包
括相关参数(如2018年T20)．
数列的压轴题还对代数推理能力的要求
偶 考 点
等差、等比 数列的性质 及最值问题
较高，其中数列与不等式的结合(如2018年 T20,2016年T20)；数列与方程的结合 (如 2015年T20)．这些压轴题难度很大，综合
(二) 二级结论要用好 1．等差数列的重要规律与推论 (1)p＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an. (2)ap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd. (3)连续 k 项的和(如 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…)构成的数 列是等差数列． (4)若等差数列{an}的项数为偶数 2m，公差为 d，所有奇数 项之和为 S 奇，所有偶数项之和为 S 偶，则所有项之和 S2m＝m(am ＋am＋1)，S 偶－S 奇＝md，SS奇偶＝aamm＋1.
专题四
数列
[江苏卷 5 年考情分析]
小题考情分析
大题考情分析
等 差 数 列 的 近几年的数列解答题，其常规类型可分
常 考 点
基本量计算 (5年2考) 等比数列的 基本量计算
为二类：一类是判断、证明某个数列是等 差、等比数列(如2017年T19)；另一类是已 知等差、等比数列求基本量，这个基本量 涵义很广泛，有项、项数、公差、公比、
必备知能·自主补缺
(一) 主干知识要记牢 1．等差数列、等比数列
等差数列
等比数列
通项 公式 an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1(q≠0)
前n 项和 公式
Sn＝na12＋an＝ na1＋nn2－1d
(1)q≠1，Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq； (2)q＝1，Sn＝na1
2．判断等差数列的常用方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列． (2)通项公式法：an＝pn＋q(p，q 为常数，n∈N*)⇔{an}是 等差数列． (3)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
答案：2 2
4．设正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝3，S9－S6＝ 12，则 S6＝________. 解析：在等比数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6 也成等比数列， 即 3，S6－3,12 成等比数列，所以(S6－3)2＝3×12＝36，所以 S6－3＝±6，所以 S6＝9 或 S6＝－3(舍去)．
答案：－9
3．在等比数列{an}中，a3，a15
是方程
x2－6x＋8＝0
的根，则a1a17 a9
＝________.
解析：由题知，a3＋a15＝6>0，a3a15＝8>0，则 a3>0，a15>0， 由等比数列的性质知 a1a17＝a3a15＝8＝a29⇒a9＝±2 2.设等比 数列{an}的公比为 q，则 a9＝a3q6>0，故 a9＝2 2，故a1aa917＝282 ＝2 2.
(5)若等差数列{an}的项数为奇数 2m－1，所有奇数项之和 为 S 奇，所有偶数项之和为 S 偶，则所有项之和 S2m－1＝(2m－ 1)am，S 奇＝mam，S 偶＝(m－1)am，S 奇－S 偶＝am，SS奇偶＝mm－1.
[针对练] 一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中 偶数项的和与奇数项的和之比为 32∶27，则该数列的公差 d＝ ________.
解析：设等差数列的前 12 项中奇数项的和为 S 奇，偶数项 的和为 S 偶，等差数列的公差为 d.
由已知条件，得SS奇偶＋∶SS偶奇＝＝33524∶，27， 解得SS偶 奇＝ ＝119622.， 又 S 偶－S 奇＝6d，所以 d＝192－6 162＝5. 答案：5
2．等比数列的重要规律与推论 (1)p＋q＝m＋n⇒ap·aq＝am·an. (2){an}，{bn}成等比数列⇒{anbn}成等比数列． (3)连续 m 项的和(如 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)构成的 数列是等比数列(注意：这连续 m 项的和必须非零才能成立)． (4)若等比数列有 2n 项，公比为 q，奇数项之和为 S 奇，偶
解析：设等差数列{an}的公差为 d，由 a6＝3a4，得 a1＋5d＝Βιβλιοθήκη 3(a1 ＋ 3d) ， 则
a1 ＝ － 2d ， 又
S10 ＝ λa4 ， 所 以
λ
＝
S10 a4
＝
10a1a＋1＋103× 2d 9d＝10×－－22dd＋＋31d02×9d＝25.
答案：25
3．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前 n 项和 为 Sn.已知 S3＝74，S6＝643，则 a8＝________. 解析：设等比数列{an}的公比为 q，则由 S6≠2S3，得 q≠1，则
解析：由 a8＝a6＋6a4，得 a2q6＝a2q4＋6a2q2，则 q4－q2 －6＝0，所以 q2＝3(负值舍去)，又 q>0，所以 q＝ 3， 则 a3＝a2q＝ 3.
答案： 3
2．公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a6＝3a4， 且 S10＝λa4，则 λ 的值为________．
考点(二)
等差、等比数列 的性质
主要考查等差、等比数列的性质及与前 n 项 和有关的最值问题.
[题组练透] 1．在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则 log2(2a1·2a2·…·2a10)＝
________.
解析：由等差数列的性质知 a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4 ＋a7＝a5＋a6＝4，则 2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10 ＝ 25(a5 ＋ a6) ＝ 25×4 ， ∴ log2(2a1·2a2·…·2a10) ＝ log225×4 ＝ 20.
3．判断等比数列的常用方法 (1)定义法：aan＋n1＝q(q 是不为 0 的常数，n∈N*)⇔{an}是等 比数列． (2)通项公式法：an＝cqn(c，q 均是不为 0 的常数，n∈N*) ⇔{an}是等比数列． (3)中项公式法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an} 是等比数列．
答案：9
5．(2018·苏州暑假测试)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 an －Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，若对任意 n∈N*，总有 Sn≤Sk，则 k 的值是___7_____．
解析：在等差数列{an}中，设公差为 d，因为“an－Sn＝a1＋(n －1)d－a1n＋nn2－1d＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)”的二次 项系数为 1，所以－d2＝1，即公差 d＝－2，令 n＝2，得 a1＝ 13，所以前 n 项和 Sn＝13n＋nn2－1×(－2)＝14n－n2＝49－ (n－7)2，故前 7 项和最大，所以 k＝7.
数项之和为 S 偶，则SS偶 奇＝q. (5)对于等比数列前 n 项和 Sn，有： ①Sm＋n＝Sm＋qmSn； ②SSmn ＝11－－qqmn (q≠±1)．
“课时达标训练”见“课时达标训练(十三)” (单击进入电子文档)
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S3＝a111－－qq3＝74， S6＝a111－－qq6＝643，
q＝2， 解得a1＝14，
则 a8＝a1q7＝14×27＝32.
答案：32
4．在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，12a3，a1 成等差数列，
则aa53＋ ＋aa64的值为________． 解析：设{an}的公比为 q 且 q>0，因为 a2，12a3，a1 成等差数列，