[精品]例谈解等差(比)数列的基本量法和性质法

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（经典整理）等差、等比数列的性质

（经典整理）等差、等比数列的性质第一篇：(经典整理)等差、等比数列的性质等差、等比数列的性质一：考试要求1、理解数列的概念、2、了解数列通项公式的意义3、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项二:知识归纳（一）主要知识：有关等差、等比数列的结论1．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,ΛΛ仍为等差数列．2．等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq 3．等比数列{an}中，若m+n=p+q，则am⋅an=ap⋅aq4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,ΛΛ仍为等比数列．5．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an±bn}仍为等差数列．⎧an⎫⎧1⎫6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an⋅bn}、⎨⎬、⎨⎬仍为等比数⎩bn⎭⎩bn⎭列．（二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键．三：例题诠释，举一反三例题1(2011佛山)在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8变式1：(2011广雅)已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A3变式2：（2011重庆理11）在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=________B3A33A3例题2 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A．130B．170C．210D．260变式1:（2011高考创新）等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{的前11项和为（）A.-45B.-50C.-55D.-66 变式2：（2011高考创新）等差数列{an}中有两项am和ak满足am=Snn}1k,ak=1m,则该数列前mk项之和是.例题3(1)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则an＝________.(2)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m ＝30，则S3m＝________(m∈N*)．(3)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝_______.变式1：(2011佛山)在等比数列{an}中，若a3·a5·a7·a9·a11＝32，则a9a11的值为()A．4B．2C．－2D．－4变式2（2011湛江）等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项的和Sn＝126，求n和公比q.变式3（2011广州调研）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=6，S4=30，则S6.1 例题4 已知数列{an}，an∈N*，Sn＝(an＋2)2.8(1)求证：{an}是等差数列；(2)若bn＝n－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．变式1已知数列{an}中，a1=35，an=2-1an-1(n≥2,n∈N+)，数列{bn}满足bn=1an-1(n∈N+)（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由变式2设等差数列{an}的前n项和为sn，已知a3=24,s11=0，求：①数列{an}的通项公式②当n为何值时，sn最大，最大值为多少？变式3(2011·汕头模拟)已知数列{an}中，a1＝，数列an＝2－，(n≥2，n∈N*)，数列an-1{bn}满足bn＝(n∈N*)．an-1(1)求证数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．32a例题5(2008·陕西)(文)已知数列{an}的首项a1＝，an+1=n∈N*an+11(1)求证数列－1}是等比数列；ann(2)求数列{前n项的和an变式1 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证对任意n∈N*都有Sn＋1≤4Sn变式2设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，且cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．变式3.在数列{an}中，a1=1,an+1=2an+2（1）设bn=nan2n-1,证明{bn}是等差数列;（2）求数列{an}的前n项和Sn。

数列的性质与求和计算

数列的性质与求和计算数列是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

它具有一定的性质和规律，并可以通过求和计算来得到具体结果。

本文将介绍数列的性质以及求解数列的和的方法。

一、数列的性质数列由一系列有序的数按照一定规律排列而成，常用字母表示，如a₁、a₂、a₃等，其中a₁表示第一个数，a₂表示第二个数，以此类推。

1. 公式数列的性质可以用公式来表示，常见的数列公式有等差数列和等比数列。

（1）等差数列：数列中每个相邻两项之差都相等。

通常用公式an=a₁+(n-1)d来表示，其中a₁为首项，d为公差。

（2）等比数列：数列中每个相邻两项之比都相等。

通常用公式an=a₁*r^(n-1)来表示，其中a₁为首项，r为公比。

2. 递推公式递推公式是数列中的每一项与前一项之间的关系式，通过递推公式可以推导数列中的任意项。

例如，斐波那契数列是一个经典的递推数列，其递推公式为an=an-1+an-2，其中a₁=1，a₂=1。

数列可以分为有界数列和无界数列。

（1）有界数列：数列中的元素存在上界（上确界）和下界（下确界），即数列中的元素在一定范围内取值。

（2）无界数列：数列中的元素无上界和下界，或者上界和下界无穷大（趋于无穷）。

二、求和计算求和计算是数列的一个重要操作，它可以得到数列的和，常用的求和方法有以下几种。

1. 部分和公式对于等差数列和等比数列，可以使用部分和公式来计算前n项的和。

（1）等差数列的部分和公式为Sn=(n/2)[2a₁+(n-1)d]，其中Sn表示前n项的和。

（2）等比数列的部分和公式为Sn=a₁(1-r^n)/(1-r)，其中Sn表示前n项的和。

2. 等差数列求和对于非等差数列，可以将其转化为等差数列求和。

例如，对于数列1, 3, 5, 7, 9...，可以将其转化为等差数列1, 2, 3, 4, 5...，然后使用等差数列的求和公式进行计算。

对于非等比数列，可以将其转化为等比数列求和。

例如，对于数列2, 4, 8, 16, 32...，可以将其转化为等比数列2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5...，然后使用等比数列的求和公式进行计算。

数列的等差与等比性质

数列的等差与等比性质数列是数学中一个有序的数的集合，其中每个数都被称为该数列的项。

数列在许多数学和实际应用中起着关键的作用。

在数列中，有两个重要的性质，即等差性质和等比性质，它们在数列的定义、特征和应用中都具有重要意义。

一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值相等的数列。

设数列为{a₁, a₂, a₃, ...}，其中相邻两项之间的差值为d，则该数列为等差数列。

可以表示为：a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = a₄ - a₃ = ... = d等差数列的常用表示方法是使用通项公式 an = a₁ + (n - 1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。

通过这个公式，我们可以方便地求得等差数列的任意一项。

例如，对于等差数列{2, 5, 8, 11, ...}，首项a₁=2，公差d=3，第n项可以通过an = 2 + (n - 1)3来计算。

等差数列在数学和实际生活中都有广泛的应用。

例如，在几何学中，等差数列可以用于定义等差数列的基本概念，如等差中项、等差均分、等差数列的前n项和等等。

在经济学中，等差数列可以用于描述某种现象的增长或减少规律，如某种商品的价格随时间的变化等。

二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值相等的数列。

设数列为{b₁, b₂, b₃, ...}，其中相邻两项之间的比值为r，则该数列为等比数列。

可以表示为：b₂ / b₁ = b₃ / b₂ = b₄ / b₃ = ... = r等比数列的常用表示方法是使用通项公式 bn = b₁ * r^(n - 1)，其中b₁为首项，r为公比，n为项数。

通过这个公式，我们可以方便地求得等比数列的任意一项。

例如，对于等比数列{3, 6, 12, 24, ...}，首项b₁=3，公比r=2，第n项可以通过bn = 3 * 2^(n - 1)来计算。

等比数列也在数学和实际生活中扮演着重要角色。

在几何学中，等比数列可以用于定义等比数列的基本概念，如等比中项、等比比例、等比数列的前n项和等等。

数列和等差数列的概念和性质

数列和等差数列的概念和性质数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的集合。

在数学中，数列是一种重要的概念，它在解决各种数学问题中起着重要的作用。

一、数列的概念数列由无穷个数按照一定的顺序排列而成。

数列可以使用公式或者递归关系来定义。

其中，公式定义是通过一个通项公式来表示数列的每一项，递归定义则是通过前一项和递归关系来表示数列的每一项。

例如，下面是通过公式定义和递归定义的两个数列示例：1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与其前一项之差都相等的数列。

我们可以使用通项公式来表示等差数列的每一项。

假设等差数列的第一项是a_1，公差是d，则等差数列的通项公式可以写成：a_n = a_1 + (n - 1) * d其中，a_n表示等差数列的第n项。

2. 数列和数列和指的是数列中所有项的和。

数列和对于了解数列的性质和特点非常重要。

对于等差数列来说，数列和可以通过以下公式来计算：S_n = (n / 2) * (a_1 + a_n)其中，S_n表示等差数列的前n项和。

二、等差数列的性质等差数列有如下几个重要的性质：1. 公差性质：等差数列的每一项与其前一项之差相等，这个差值称为公差。

等差数列的通项公式中的差值就是公差。

2. 递推性质：等差数列的每一项都可以通过前一项和公差来计算得到。

这个性质使得我们可以根据已知条件来求解等差数列中的任意一项。

3. 数列和性质：等差数列的前n项和可以通过数列和公式来计算。

这个性质在解决实际问题时非常有用，可以帮助我们计算等差数列的总和。

4. 通项性质：等差数列的通项公式可以用来表示等差数列中的任意一项。

通过通项公式，我们可以直接计算等差数列中的某个位置上的数。

以上是等差数列的一些基本性质，掌握了这些性质，我们就能更好地理解等差数列的特点，运用到实际问题中。

总结：数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的集合。

等差数列是一种特殊的数列，其每一项与前一项之差都相等。

我们可以通过公差和通项公式来定义等差数列，并通过数列和公式计算等差数列的前n 项和。

初中数学点知识归纳数列的等差和等比性质和应用

初中数学点知识归纳数列的等差和等比性质和应用数列是数学中一个非常重要的概念，在初中数学的学习中经常会遇到。

而其中最常见且重要的两种数列就是等差数列和等比数列。

在本文中，我们将归纳总结这两种数列的性质，并介绍它们在实际问题中的应用。

一、等差数列等差数列是指一个数列中后一项与前一项之差都相等的数列。

通常用字母a表示首项，d表示公差。

等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d。

其中，an表示第n项。

1. 等差数列的性质（1）首项与公差确定了一个等差数列，即任意一个等差数列都可以由它的首项和公差唯一确定。

（2）等差数列的前n项和Sn可以通过求和公式得到，即Sn = n * (a + an) / 2。

（3）等差中项的个数为n的数列的和为Sn = (n+1) * a/2。

2. 等差数列的应用等差数列在实际问题中的应用非常广泛，尤其是在时间、距离和速度的计算中。

例如，一个物体从静止开始做匀加速直线运动，其速度等差数列，时间为等差数列。

我们可以通过等差数列的概念和公式来计算物体在不同时间下的速度、位移等信息。

二、等比数列等比数列是指一个数列中后一项与前一项之比都相等的数列。

通常用字母a表示首项，r表示公比。

等比数列的通项公式为：an = ar^(n-1)。

其中，an表示第n项。

1. 等比数列的性质（1）首项与公比确定了一个等比数列，即任意一个等比数列都可以由它的首项和公比唯一确定。

（2）等比数列的前n项和Sn可以通过求和公式得到，即Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。

（3）等比数列的无穷项和S∞可以通过求和公式得到，即S∞ = a /(1 - r)。

其中，r的绝对值小于1时等比数列的和才存在。

2. 等比数列的应用等比数列在实际问题中的应用也非常广泛，特别是在人口增长、财富增长、利润增长等方面。

例如，一个城市的人口增长率为1.1，而起始人口为10000人。

我们可以通过等比数列的概念和公式来计算在不同年份下该城市的人口数量。

数学如何解决等差数列和等比数列的问题

数学如何解决等差数列和等比数列的问题数学中，等差数列和等比数列是常见的数列类型。

在解决等差数列和等比数列的问题时，我们可以运用一些数学方法和技巧来求解。

本文将介绍如何使用数学知识解决等差数列和等比数列的问题。

等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。

我们可以通过以下步骤来解决等差数列的问题：1. 首先，我们需要确定等差数列的公差，公差记为d。

公差可以通过数列中的任意两个相邻项求得，假设这两项分别为a和b，则公差为d = b - a。

2. 接下来，我们可以通过已知项的个数n来确定数列中的第n项，记为an。

第n项的求解公式为an = a + (n -1)d，其中a为数列的首项。

3. 同理，我们也可以通过已知项的个数n来求解等差数列的和Sn。

等差数列的求和公式为Sn = (n/2)(a + an)。

举个例子来说明。

假设我们有一个等差数列，已知首项为3，公差为4，我们需要求解数列的第10项和前10项的和。

首先，根据公差的定义，我们可以计算出数列中的任意项。

第10项的计算公式为a10 = a + (10 - 1)d = 3 + (10 - 1)4 = 3 + 9 * 4 = 3 + 36 = 39。

接着，我们可以使用求和公式计算前10项的和。

前10项的和的计算公式为S10 = (10/2)(a + a10) = (10/2)(3 + 39) = 5 * 42 = 210。

因此，该等差数列的第10项为39，前10项的和为210。

接下来，我们来看如何解决等比数列的问题。

等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都相等的数列。

解决等比数列的问题时，我们可采用以下步骤：1. 首先，我们需要确定等比数列的公比，公比记为q。

公比可以通过数列中的任意两个相邻项求得，假设这两项分别为a和b，则公比为q = b/a。

2. 接着，我们可以通过已知项的个数n来确定数列中的第n项，记为an。

第n项的求解公式为an = a * q^(n-1)，其中a为数列的首项。

数列与数列的通项公式等差数列与等比数列的性质与求和公式

数列与数列的通项公式等差数列与等比数列的性质与求和公式数列与数列的通项公式——等差数列与等比数列的性质与求和公式数列是数学中的重要概念，它是由一些按照特定规律排列的数字组成的序列。

本文将重点介绍两种常见的数列：等差数列和等比数列，包括它们的性质和求和公式。

一、等差数列等差数列是指一个数列中的每一项与其前一项之差都相等的数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，则其通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n - 1)d (1)其中，aₙ表示第n项，n表示项数。

1.1 等差数列的性质等差数列具有以下一些重要的性质：性质1：首项与末项的和等于中间各项的和。

对于等差数列 Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ，其中a₁为首项，aₙ为末项，n为项数，其和Sₙ可以表示为：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2 (2)性质2：等差数列项数的求解。

设Sₙ为等差数列的和，首项为a₁，公差为d，则项数n可以通过如下公式求解：n = (aₙ - a₁) / d + 1 (3)1.2 等差数列的求和公式对于等差数列的求和，我们可以利用公式(2)来进行求解。

例如，对于等差数列1，4，7，10，13，其首项a₁为1，公差d为3，项数n为5，可以使用公式(2)来计算其和S₅：S₅ = (1 + 13) * 5 / 2 = 35二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项与其前一项之比都相等的数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为q，则其通项公式可以表示为：aₙ = a₁ * q^(n - 1) (4)其中，aₙ表示第n项，n表示项数。

2.1 等比数列的性质等比数列具有以下一些重要的性质：性质1：首项与末项的比等于中间各项的比。

对于等比数列 Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ，其中a₁为首项，aₙ为末项，n为项数，其和Sₙ可以表示为：Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q) (5)性质2：等比数列项数的求解。

比较全面的等差等比数列的性质总结

比较全面的等差等比数列的性质总结
等差等比数列是一种重要的数列，它在数学、物理和经济学中都有重要的应用。

它的性质可以用以下几点来总结：
一．概念：等差等比数列是指数列中各项之差和各项之比都是相同的数列。

二．公式：设等差等比数列{an}的首项a1、公差d、公比q都为实数（q≠1）。

通常记作an=a1qn-1（n>1）。

三．通项公式：设a1和q都是实数，n是正整数，an=a1qn-1，如果p也是实数，则Sn=a1(qn-1-1)/(q-1)。

四．性质：
（1）等差等比数列{an}的各项之差都是一个相同的实数d，即有an+1 – an = d。

（2）等差等比数列{an}的各项之比都是一个相同的实数q，即有an/an-1=q。

（3）等差等比数列{an}的各项之和 (Sn) 可以由下式：Sn = a1(qn-1-1)/(q-1) 求出。

五．特殊情况：
（1）等差数列：若系数q=1，则该等差数列是以实数d为公差的等差数列，公式为：an = a1 + (n-1)d。

（2）等比数列：若系数d=0，则该等比数列是以实数q为公比的等比数列，公式为：an = a1qn-1。

以上就是等差等比数列的基本性质，它具有比较完整的总结和解法，可以为我们省去不少繁琐的推导。

使用这种方法可以大大提高我们在分析数学中等差等比数列问题时的效率。

等差等比数列性质总结(1)

等差等比数列的性质总结(一)等差数列的公式及性质1.等差数列的定义: （d 为常数）（）；2．等差数列通项公式: , 首项: , 公差:d, 末项:推广: . 从而；3. 等差数列的判定方法（1）定义法: 若或 (常数 ) 是等差数列.（2）等差中项法：数列是等差数列 .（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列是等差数列 ,（其中A.B 是常数）。

4.等差数列的性质:（1）当公差时, 等差数列的通项公式是关于的一次函数, 且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差 , 则为递增等差数列, 若公差 , 则为递减等差数列, 若公差 , 则为常数列。

（3）当时,则有 , 特别地, 当时, 则有 .注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅。

（4）若、为等差数列, 则都为等差数列。

（5）在等差数列中, 等距离取出若干项也构成一个等差数列, 即an,an+m,an+2m,…,为等差数列, 公差为md 。

（6）是公差为d 的等差数列, 是前n 项和, 那么数列 ,…成公差为k2d 的等差数列。

（7）设数列是等差数列, d 为公差, 是奇数项的和, 是偶数项项的和, 是前n 项的和1）当项数为偶数时, ,()121135212n n n na a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶2）当项数为奇数2n-1, 则n 偶奇偶奇1-2a )12(=--=+=S S a n S S S n n 偶奇1)a -n （na S ==S n1偶奇-=n nS S (9) 若a1>0, d<0, Sn 有最大值, 可由不等式组来确定n 。

若a1<0, d>0, Sn 有最小值, 可由不等式组来确定n 。

2020年高考数学复习：基本量——破解等差、等比数列的法宝

基本量——破解等差、等比数列的法宝[题型分析·高考展望]等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的常用性质.常考题型精析题型一等差、等比数列的基本运算例1已知等差数列{a n}的前5项和为105，且a10＝2a5.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{a n}中不大于72m的项的个数记为b m.求数列{b m}的前m项和S m.点评等差(比)数列基本运算的关注点(1)基本量：在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本的元素.(2)解题思路：①设基本量a1和公差d(公比q)；②列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量.变式训练1(1)(2014·安徽)数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.(2)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于()A.21B.42C.63D.84题型二等差数列、等比数列的性质及应用例2(1)(2015·广东)在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.(2)设各项都是正数的等比数列{a n}，S n为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于()A.150B.－200C.150或－200D.400或－50点评等差(比)数列的性质盘点变式训练2(1)已知正数组成的等差数列{a n}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是________.(2)在等差数列{a n}中，a1＝－2 016，其前n项和为S n，若S1212－S1010＝2，则S2 016的值为________.题型三等差、等比数列的综合应用例3 (2015·陕西)设f n (x )是等比数列1，x ，x 2，…，x n 的各项和，其中x ＞0，n ∈N ，n ≥2. (1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在⎝⎛⎭⎫12，1内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12＋12x n ＋1n ； (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )与g n (x )的大小，并加以证明.点评 (1)对数列{a n }，首先弄清是等差还是等比，然后利用相应的公式列方程组求相关基本量，从而确定a n 、S n .(2)熟练掌握并能灵活应用等差、等比数列的性质，也是解决此类题目的主要方法. 变式训练3 (2015·北京)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？高考题型精练1.(2014·重庆)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A.a 1，a 3，a 9成等比数列 B.a 2，a 3，a 6成等比数列 C.a 2，a 4，a 8成等比数列 D.a 3，a 6，a 9成等比数列2.(2014·天津)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和.若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1等于( ) A.2 B.－2 C.12D.－123.已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A.－110 B.－90 C.90D.1104.(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4D.35.(2015·北京)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A.若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B.若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C.若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D.若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞06.(2015·临沂模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( )A.2B.3C.4D.57.(2015·北京东城区模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1 (n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.8.(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大.9.(2015·浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零.若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________.10.(2015·苏州模拟)公差不为0的等差数列{a n }的部分项ak 1，ak 2，ak 3，…构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝________.11.已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N *). (1) 证明：1≤a n a n ＋1≤2(n ∈N *)；(2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：12(n ＋2)≤S n n ≤12(n ＋1)(n ∈N *).12.(2015·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－ 12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式.答案精析专题5 数列第22练基本量——破解等差、等比数列的法宝常考题型精析例1 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ，由T 5＝105，a 10＝2a 5，得⎩⎨⎧5a 1＋5×(5－1)2d ＝105，a 1＋9d ＝2(a 1＋4d )，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *). (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1. 因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 1(1－q m )1－q ＝7×(1－49m )1－49＝7×(72m －1)48＝72m ＋1－748.变式训练1 (1)1 (2)B解析 (1)设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ， a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1， ∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 例2 (1)10 (2)A解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30.又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，则S 40＝S 30＋(S 30－S 20)2S 20－S 10＝70＋40220＝150.变式训练2 (1)25 (2)－2 016解析 (1)∵S 20＝a 1＋a 202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10. ∵a n >0，∴a 7·a 14≤⎝⎛⎭⎪⎫a 7＋a 1422＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号. 故a 7·a 14的最大值为25.(2)根据等差数列的性质，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S 11＝a 1＝－2 016，公差d ＝1，故S 2 0162 016＝－2 016＋(2 016－1)×1＝－1，所以S 2 016＝－2 016.例3 (1)证明 F n (x )＝f n (x )－2＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －2，则F n (1)＝n －1＞0，F n ⎝⎛⎭⎫12＝1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －2 ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ＋11－12－2＝－12n ＜0，所以F n (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内至少存在一个零点.又F ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0(x ＞0)，故F n (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内单调递增，所以F n (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内有且仅有一个零点x n ，因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0，即1－x n ＋1n1－x n－2＝0，故x n ＝12＋12x n ＋1n. (2)解方法一由题设，g n (x )＝(n ＋1)(1＋x n )2，设h (x )＝f n (x )－g n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n－(n ＋1)(1＋x n )2，x ＞0.当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，h ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1－n (n ＋1)xn －12，若0＜x ＜1，h ′(x )＞x n －1＋2x n －1＋…＋nx n －1－n (n ＋1)2x n －1＝n (n ＋1)2x n －1－n (n ＋1)2x n －1＝0，若x ＞1，h ′(x )＜x n －1＋2x n －1＋…＋nx n －1－n (n ＋1)2x n －1＝n (n ＋1)2x n －1－n (n ＋1)2x n －1＝0，所以h (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，所以h (x )＜h (1)＝0，即f n (x )＜g n (x )，综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，f n (x )＜g n (x ).方法二由已知，记等差数列为{a k }，等比数列为{b k }，k ＝1,2，…，n ＋1，则a 1＝b 1＝1，a n ＋1＝b n ＋1＝x n ，所以a k ＝1＋(k －1)·x n －1n (2≤k ≤n )，b k ＝x k －1(2≤k ≤n )，令m k (x )＝a k －b k ＝1＋(k －1)(x n －1)n －x k －1，x ＞0(2≤k ≤n )，当x ＝1时，a k ＝b k ，所以f n (x )＝g n (x )，当x ≠1时，m ′k (x )＝k －1n ·nx n －1－(k －1)x k －2＝(k －1)x k －2(x x －k ＋1－1)，而2≤k ≤n ，所以k －1＞0，n －k ＋1≥1，若0＜x ＜1，x x －k ＋1＜1，m ′k (x )＜0；若x ＞1，x x －k ＋1＞1，m ′k (x )＞0，从而m k (x )在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以m k (x )＞m k (1)＝0，所以当x ＞0且x ≠1时，a k ＞b k (2≤k ≤n )，又a 1＝b 1，a n ＋1＝b n ＋1，故f n (x )＜g n (x )，综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，f n (x )＜g n (x ). 变式训练3 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1,2，…). (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4. 所以b 6＝4×26－1＝128. 由128＝2n ＋2，得n ＝63，所以b 6与数列{a n }的第63项相等. 高考题型精练1.D [设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3，即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列.故选D.]2.D [因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1,2a 1－1,4a 1－6.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6).解得a 1＝－12.] 3.D [∵a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4，a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12，a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16，又∵a 7是a 3与a 9的等比中项，∴(a 1－12)2＝(a 1－4)·(a 1－16)，解得a 1＝20.∴S 10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.] 4.C [数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.]5.C [设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，∴a 2>a 1a 3，故选项C 正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)·(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错.]6.D [由等差数列的前n 项和及等差中项，可得a n b n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1) ＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)12(2n －1)(b 1＋b 2n －1)＝A 2n －1B 2n －1 ＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1(n ∈N *)，故n ＝1,2,3,5,11时，a n b n为整数. 即正整数n 的个数是5.]7.－9解析由题意知，数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{a n }中连续四项至少有一项为负，∴q <0，又∵|q |>1，∴{a n }的连续四项为－24,36，－54，81，∴q ＝36－24＝－32，∴6q ＝－9. 8.8解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0.∴数列的前8项和最大，即n ＝8.9.23－1 解析因为a 2，a 3，a 7成等比数列，所以a 23＝a 2a 7，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )， ∴a 1＝－23d ，∵2a 1＋a 2＝1，∴2a 1＋a 1＋d ＝1即3a 1＋d ＝1，∴a 1＝23，d ＝－1. 10.22解析根据题意可知等差数列的a 1，a 2，a 6项成等比数列，设等差数列的公差为d ，则有(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得d ＝3a 1，故a 2＝4a 1，a 6＝16a 1⇒ak 4＝a 1＋(n －1)·(3a 1)＝64a 1，解得n ＝22，即k 4＝22.11.证明 (1)由题意得a n ＋1－a n ＝－a 2n ≤0，即a n ＋1≤a n ，故a n ≤12. 由a n ＝(1－a n －1)a n －1得a n ＝(1－a n －1)(1－a n －2)…(1－a 1)a 1＞0.由0＜a n ≤12得 a na n ＋1＝a na n －a 2n ＝11－a n ∈(1,2]，即1≤a n a n ＋1≤2成立. (2)由题意得a 2n ＝a n －a n ＋1，所以S n ＝a 1－a n ＋1，①由1a n ＋1－1a n ＝a n a n ＋1和1≤a n a n ＋1≤2得 1≤1a n ＋1－1a n≤2，所以n ≤1a n ＋1－1a 1≤2n ，因此12(n ＋1)≤a n ＋1≤1n ＋2(n ∈N *).② 由①②得12(n ＋2)≤S n n ≤12(n ＋1)(n ∈N *). 12.(1)解当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝⎛⎭⎫1＋32＝8⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋1，解得：a 4＝78. (2)证明因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)，因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，因为a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n ＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2(2a n ＋1－a n )＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列. (3)解由(2)知：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列，所以a n ＋1－12a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，即a n ＋1⎝⎛⎭⎫12n ＋1－a n ⎝⎛⎭⎫12n ＝4，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ⎝⎛⎭⎫12n 是以a 112＝2为首项，公差为4的等差数列，所以a n ⎝⎛⎭⎫12n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，即a n ＝(4n －2)×⎝⎛⎭⎫12n ＝(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1.。

等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法

等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d aa n n=--1（d为公差）（2³n ，*n N Î）注：下面所有涉及n ，*n N Î省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()nma a n m d =+-变形推广：变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列是等差数列)2(211-³+=Û+n a a a n n n 212+++=Ûn n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中（其中A A 、B 是常数，所以当是常数，所以当d d ≠0时，时，S S n 是关于是关于n n 的二次式且常数项为项为00）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法、等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列是等差数列)2(211-³+=Û+n aa a n n n212+++=Ûn n n aa a（（3）数列{}n a 是等差数列Ûbkn a n +=（其中b k ,是常数）。

SXC012高考数学必修_等差(比)数列的复习要点与解题分析

等差(比)数列的复习要点与解题分析数列是中学数学的重点内容之一，也是高考的考查重点之一。

有关的数列问题，大多都可归结为等差数列和等比数列加以解决，因此做好等差数列和等比数列的复习尤为重要。

一、等差数列等比数列的判断1.定义判断法：若有a n +1－a n ＝d (常数)，则数列{a n }等差数列；若有 a n +1 a n＝q (常数)，则数列{a n }等比数列。

如：{k n }成等差数列，若数列{a n }等差(比)数列，则数列{a k n }成等差(比)数列；2.结构分析法：设数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为S n 。

若a n ＝An ＋B ，即a n 为关于n 的一次函数，则数列{a n }为等差数列。

如：对等差数列{a n }，因为S n n ＝a 1＋n －12d 为关于n 的一次函数，所以数列{ S n n }为等差数列；若a n ＝k ·q n (k ·q ≠0)，则数列{a n }为等比数列；若S n ＝kn ，则数列{a n }为常数列，即公差为0的等差数列，当k ≠0时，数列{a n }也是公比为1的等比数列；若S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，即S n 为关于n 的常数项为0的二次函数，则数列{a n }为等差数列；若S n ＝A ·q n ＋B (A ·q ≠0)，且A ＋B ＝0，则数列{a n }为等比数列。

3.中项公式法：验证2a n +1＝a n ＋a n +2，a 2 n +1＝a n ·a n +2，对任意n ∈N*都成立。

二、类比记忆等差、等比数列与项有关的基本性质和公式等差数列和等比数列是根据数列中任意相邻两项之间的特殊关系定义的，因此等差数列和等比数列的性质反映了他们中特定项之间的关系。

等差、等比数列的定义只有“差”与“商”一字之差，将等差数列中只与项有关的性质和公式中的“和”换成“积”，“乘积”换成“幂”即得等比数列的相关性质和公式。

等差(比)数列性质及其应用_

拓展训练
例6.设数列{an}的前n项和为Sn且 Sn=(m+1)–man，对任意正整数n都成立，其中m为常数且m＜–1．
(1)求证：{an}为等比数列；
(2)设数列{an}的公比q=f(m)，{bn}满足：
b1=a1，bn=f(bn–1)(n≥2)，m为何值时，
.
lim
x
(bn·lgan)
=
lim
典型题选讲
【例1】在等比数列{an}中，若 a1·a2·a3·a4=1，a13·a14·a15·a16=8，
1024 求a41·a42·a43·a44．
典型题选讲
【例2】已知{an}为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求
前110项和S110． S110 110
nan1 lg b1 lg b2 lg bn lg bn1
两式相减得：n(an1 an ) an1 lg bn1 设{an }的公差为d，则：
nd (a1 nd ) lg bn1 bn1 10a12nd
bn1 102d bn
{bn2}为等比数列.
典型题选讲
【例5】(2002全国) 已知{an}是由非负整数组成的数列，满足 a1=0，a2=3，an+1an=(an–1+2)(an–2+2)， n=3，4，53，n．21 …… (1)求a3； (2)证明an=an–2+2，n=3，4，5……； (3)求{an}的通项公式及其前n项和Sn．
x
3(b1b2+b2b3+……+bn–1bn)成立.
拓展训练
略解：（1）sn1 (m sn (m
1)-man 1) man
1

算术数列及等差数列的性质与求和方法

算术数列及等差数列的性质与求和方法数学中，算术数列和等差数列是我们学习的最基础的数列概念之一。

它们在数学中的应用广泛，不仅在代数学中有重要作用，还在其他学科中有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨算术数列和等差数列的性质以及求和方法。

首先，我们来介绍算术数列。

算术数列是由一系列按照相同公差递增或递减的数字组成的数列。

例如，1，3，5，7，9就是一个算术数列，公差为2。

算术数列的性质之一是，数列中任意两个连续的数之间的差值都是相同的，这个差值就是公差。

我们可以用公式an = a1 + (n-1)d来表示算术数列的第n个数an，其中a1是首项，d是公差。

算术数列的通项公式能够方便地求出任意项的值。

接下来，我们来看看等差数列。

等差数列是指数列中的任意两个相邻项之间的差值都是相等的。

例如，2，5，8，11，14就是一个等差数列，公差为3。

等差数列的性质之一是，数列中任意三个连续的数满足中间数的平方等于首项与末项的乘积减去公差的平方。

即an^2 = a(n-1) * a(n+1) - d^2。

等差数列的求和公式是Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示数列的前n项和。

算术数列和等差数列在数学中有着广泛的应用。

首先，它们可以用来描述一些实际问题中的变化规律。

比如，一个人每天存款增加100元，我们可以用算术数列来描述他的存款变化情况。

其次，算术数列和等差数列在数学推理和证明中也有重要作用。

它们是数学归纳法的基础，通过观察和推理数列的性质，我们可以推导出一些数学结论。

此外，算术数列和等差数列还在数学建模和统计学中有着重要的应用。

在实际问题中，我们经常需要求解算术数列和等差数列的前n项和。

对于算术数列，我们可以利用求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)来求解。

首先，我们可以通过观察数列的性质来确定首项a1和公差d，然后利用公式计算出第n项an，最后代入求和公式即可得到前n项和。

对于等差数列，我们可以利用数列的性质和求和公式来求解。

等差(比)数列性质及其应用 _

Sn
n(a1 2
an )
30n
n 13
典型题选讲
【例3】 (2)等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项的和为
170，公比_q___2_ ，项数___n__8__．
典型题选讲
(2)解法1：S偶 q S奇 q 2
S2n
S偶
S奇
a1(1 q2n ) 1 q
85 170
{bn2}为等比数列.
典型题选讲
【例5】(2002全国) 已知{an}是由非负整数组成的数列，满足 a1=0，a2=3，an+1an=(an–1+2)(an–2+2)， n=3，4，53，n．21 …… (1)求a3； (2)证明an=an–2+2，n=3，4，5……； (3)求{an}的通项公式及其前n项和Sn．
请归纳一下等差、等比数列的常用性质．
若有偶数项2n项，则S奇
a1
a2n1 2
n
n an
S偶
a2
a2n 2
n
Hale Waihona Puke nan1S偶 S奇 a2 a1 a4 a3 a2n a2n1 nd
设A a1 an, B an1 a2n , C a2n1 a3n
2B A C
主要方法
1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程
②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前项和公式的内在联系是解题的关键．
考点练习
1、已知{an}为公差为–2的等差数列，若 a1+a4+a7+……+a28=90，则

高中数学数列试题的解题方法与技巧分析

高中数学数列试题的解题方法与技巧分析数列是高中数学中的一个重要概念和考点，其解题方法与技巧多种多样。

下面将从数列的定义、常用数列的特点和性质、解题思路和常见技巧等方面进行分析和讨论。

数列的定义是指由一系列数按照一定规律排列而成的序列。

数列中的每一个数称为该数列的项。

数列通常用an来表示第n项，其中n为项的位置。

常见的数列有等差数列、等比数列、递推数列等。

一、等差数列的特点和性质等差数列是指数列中相邻两项之差都是一个常数d，即an+1 - an = d。

这个常数d称为等差数列的公差。

等差数列的前n项和Sn可以通过以下公式求得：Sn = (a1 + an) * n / 2等差数列的求和公式在解决一些求和问题时非常有用。

当给定等差数列的前n项和Sn 时，可以通过代入公式解得未知数。

三、递推数列的解题思路和技巧递推数列是指数列中每一项通过前一项进行递推得到的数列。

对于递推数列，首先要找出递推关系式，即找出每一项与前一项之间的关系。

根据递推关系式，可以通过已知的前几项来求出后面的项。

解题时，通常需要使用归纳法或数学归纳法来证明递推关系式的正确性。

在递推数列的题目中，还可以运用数学运算的性质，如加法、乘法、幂运算等，来进行变形和化简，以便于求解。

四、常用的解题技巧1. 利用已知条件求解未知数：在一些数列题目中，会给出一些特定的条件，可以利用这些条件来求解数列的未知数。

常见的方法有代数法、代入法、方程法等。

2. 利用数列的性质和特点：对于一些特殊的数列，可以通过利用数列的性质和特点来进行求解。

对于等差数列，可以利用其公差的特点来求解；对于等比数列，可以利用其公比的特点来求解。

3. 运用数学运算的性质：在解题过程中，可以运用加法、乘法、幂运算等数学运算的性质来进行变形和化简，以便于求解。

可以通过加法来合并项、通过乘法来整理算式等。

4. 使用图像、图表等辅助工具：对于一些数列题目，可以通过绘制图像、制作图表等辅助工具来观察和分析数列的规律，从而解题。

初中数学复习如何解决数列和等差等比数列的综合问题

初中数学复习如何解决数列和等差等比数列的综合问题数列是数学中的基础概念，它在初中数学中占据了重要的地位。

在数列的学习过程中，我们常常会遇到一些综合问题，这些问题不仅考验着我们的基础知识，更要求我们能够将这些知识灵活运用起来。

本文将从数列的基本概念出发，详细介绍如何解决数列和等差、等比数列的综合问题。

一、数列的基本概念回顾1. 数列的定义数列是按照一定顺序排列的一系列数的集合，其中每个数称为数列的项，用字母$a_n$表示第n个项。

2. 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。

设数列的首项为$a_1$，公差为$d$，则等差数列的通项公式为：$a_n=a_1+(n-1)d$。

3. 等比数列的定义等比数列是指数列中任意一项与它的前一项的比值都相等的数列。

设数列的首项为$a_1$，公比为$q$，则等比数列的通项公式为：$a_n=a_1*q^{(n-1)}$。

二、数列和等差等比数列的综合问题解决方法1. 求和问题在数列的学习过程中，我们常常会遇到求某个数列的前n项和的问题。

对于等差数列和等比数列，都有相应的求和公式。

（1）等差数列的前n项和设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，前n项和为$S_n$，则有以下求和公式：$$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$$其中$a_n=a_1+(n-1)d$为等差数列的通项公式。

（2）等比数列的前n项和设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，前n项和为$S_n$，则有以下求和公式：$$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$$其中$q$不等于1。

2. 综合问题在解决综合问题时，需要将数列的基本概念和求和公式灵活运用起来。

（1）求解未知项有时候我们已知数列的一些项和前n项和，需要求解数列的其他未知项。

以等差数列为例，设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，第n项为$a_n$，前n项和为$S_n$。

已知$a_1$，$d$和$S_n$，要求求解$a_n$。

等差数列等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法

等差数列等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法数列是数学中重要的概念之一，是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

其中，等差数列和等比数列是最常见且最重要的两种数列。

本文将介绍等差数列和等比数列的相关性质和公式，以及数列的求和方法。

一、等差数列等差数列是指数列中的任意两个相邻的项之差都相等的数列。

常见的等差数列通常以"a"开头，公差为"d"。

以"an"表示等差数列的第n项，其通项公式为：an = a + (n - 1)d其中，a为首项，d为公差，n为项数。

等差数列的性质和公式有：1.任意连续三个项可以构成一个等差中项数列，中项数等于项数减一2.等差数列的前n项和公式为：Sn=(2a+(n-1)d)*n/2其中，Sn为前n项和。

二、等比数列等比数列是指数列中的任意两个相邻的项之比都相等的数列。

常见的等比数列通常以"a"开头，公比为"r"。

以"an"表示等比数列的第n项，其通项公式为：an = a * r^(n - 1)其中，a为首项，r为公比，n为项数。

等比数列的性质和公式有：1.任意连续三个项可以构成一个等比中项数列，中项数等于项数减一2.等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(r^n-1)/(r-1)其中，Sn为前n项和。

数列的求和是指计算数列中一定项数的所有项的和。

常见的数列求和方法有以下几种：1.直接相加法：即将数列中的每一项相加得到和。

适用于项数较少、数值较小的数列。

2.通项法：利用数列的通项公式计算出每一项的值，再将这些值相加得到和。

适用于项数较多的数列。

3.分组求和法：将数列分成若干组，然后计算每组的和，最后将每组的和相加得到总和。

适用于数列中存在规律性的分组。

4.差分法：对等差数列求和，可以通过差分法简化计算。

差分法是指利用等差数列的性质，将数列的求和问题转化为差分的求和问题。

探索初中数学解题中的数列与等差等比数列

探索初中数学解题中的数列与等差等比数列数列是数学中常见的一种数值排列方式。

在初中数学解题中，数列与等差、等比数列是非常重要的概念。

本文将探索初中数学解题中涉及的数列与等差等比数列，并介绍一些解题方法及技巧。

一、数列的基本概念与性质数列是按照一定规则排列的数值序列。

常用的表示方法是使用字母加下标的形式，如a₁、a₂、a₃、……表示数列的各项。

数列中的每一项称为数列的项，用aₙ表示第n项。

1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差恒定的数列。

差值称为等差数列的公差，用d表示。

例如，数列1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。

2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比恒定的数列。

比值称为等比数列的公比，用q表示。

例如，数列2、6、18、54、162就是一个公比为3的等比数列。

数列的性质包括递推公式和通项公式。

1. 等差数列的递推公式和通项公式对于等差数列a₁、a₂、a₃、……递推公式：a(n+1) = a(n) + d （n ≥ 1）通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d （n ≥ 1）2. 等比数列的递推公式和通项公式对于等比数列a₁、a₂、a₃、……递推公式：a(n+1) = a(n) × q （n ≥ 1）通项公式：aₙ = a₁ × q^(n-1) （n ≥ 1）二、在数学解题中应用数列与等差等比数列的例子数列与等差等比数列在解决实际问题时起到了重要的作用。

下面通过几个例子来具体说明。

例1：班级中，小明、小红、小刚分别用了1分钟、2分钟和3分钟做一道数学题。

如果继续保持这个速度，第10个人需要多少分钟做完这道题？解：我们可以通过观察得知，小明、小红、小刚分别用了1分钟、2分钟和3分钟做题，这是一个等差数列。

根据等差数列的通项公式，我们可以得知第n个人需要n分钟做完这道题。

所以，第10个人需要10分钟做完这道题。

例2：一辆汽车从A地点出发，以每小时60公里的速度向B地点行驶。

(辅导必备)等差与等比数列的基本概念与方法

等差与等比数列的基本知识一、知识列表(类比)核心：通项公式；基本量：首项，公差（比）；二、典型例题题型一等差数列中的基本运算 1. 已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若211=a ，S 2=a 3，则a 2=______，S n =_______. 2. 在等差数列{a n }中，a 1=25， S 17=S 9 (1)求{a n }的通项公式(2)这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值. 3. 已知等差数列{a n }的公差d=，前100项的和S 100=145，求： a 1+a 3+a 5+……+a 99的值.4. 在等差数列中，，则的值为（A ）5 （B ）6（C ）8 （D ）10{}n a 1910a a +=5a 1. 通项公式；2. 前n 项和公式方程思想条件结论题型二等比数列中的基本运算1. 在等比数列{a n }中，若S 4=240，a 2+a 4=180，则a 7= _____,q= ______.2. 若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=,则公比q =__________;前n 项nS =_____.3. 设为等比数列的前n 项和，则(A)-11(B)-8 (C)5 (D)11题型三等差、等比数列综合中的运算1.在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.2. 已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n .3. 已知等比数列{}n a 的公比为q=-12. （1）若3a =14，求数列{}n a 的前n 项和；（Ⅱ）证明：对任意k N +∈，k a ，2k a +，1k a +成等差数列.n s {}n a 2580a a +=52S S =三．巩固训练1. 设为等比数列的前项和，已知，，则公比（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）62.在等差数列中，，则的值为（A ）5 （B ）6（C ）8 （D ）103.设为等差数列的前项和，若，则 .4.已知为等比数列，S n 是它的前n 项和.若，且与2的等差中项为，则=A ．35 B.33 C.31 D.295. 已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则 A.B.C.D6. 设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值.n S {}n a n 3432S a =-2332S a =-q ={}n a 1910a a +=5a n S {}n a n 36324S S ==，9a ={}n a 2312a a a ⋅=4a 7a 545S m a 1a 321,22a a 91078a a a a +=+113+3-。