等差数列与等比数列十大例题

等差数列与等比数列十大例题

例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =

2

11

n a -(n ∈N *

)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有

11

27

21026a d a d +=⎧⎨

+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（

；n S =n(n-1)

3n+22

⨯=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =

211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111

(-)4n n+1

⋅，

所以n T =

111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11

(1-)=

4n+1⋅n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =

n

4(n+1)

。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。

例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*

n N ∈，其中k 是常数．

（I ） 求1a 及n a ；

（II ）若对于任意的*

m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，

12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）

经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 42

2.=∴，

即)18)(12()14(2

+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或

例3、 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列

（1）求{n a }的公比q ；

（2）求1a －3a ＝3，求n s 解：（Ⅰ）依题意有

)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++

由于 01≠a ，故 022

=+q q

又0≠q ，从而2

1

－=q 5分 （Ⅱ）由已知可得32

12

11=--）（a a 故41=a

从而）

）（（）

（）

）（（n n

n 211382

112114--=----=S 10分 例 4、已知数列{}n a 满足， *1

1212,,2

n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.

()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；

(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。 （1）证1211,b a a =-= 当2n ≥时，1111,11

()222

n n n n n n n n n a a b a a a a a b -+--+=-=-=--=- 所以{}n b 是以1为首项，1

2

-

为公比的等比数列。 （2）解由（1）知1

11(),2

n n n n b a a -+=-=-

当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+

+-21

1

11()()22

n -=++-+

+-

1

11()2111()2

n ---=+

--2211[1()]32n -=+--1521(),332n -=-- 当1n =时，11

1521()1332

a ---==。

所以1

*521()()332

n n a n N -=--∈。

例5、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n

n n ba b S -=- （Ⅰ）证明：当2b =时，{}

12n n a n --⋅是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式

解 由题意知12a =，且()21n

n n ba b S -=-

()11121n n n ba b S +++-=-

两式相减得()()1121n

n n n b a a b a ++--=-

即12n

n n a ba +=+ ①

（Ⅰ）当2b =时，由①知122n

n n a a +=+

于是()()1122212n

n

n

n n a n a n +-+⋅=+-+⋅

()

122n n a n -=-⋅

又1

112

10n a --⋅=≠，所以{}

12n n a n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列。

（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知11

22n n n a n ---⋅=，即()112n n a n -=+

当2b ≠时，由由①得

1111122222n n n n n a ba b b

+++-

⋅=+-⋅-- 22n n b

ba b

=-⋅-

122n n b a b ⎛⎫

=-⋅ ⎪-⎝⎭

因此11112222n n n n a b a b b ++⎛⎫

-

⋅==-⋅ ⎪--⎝⎭

()212n

b b b

-=

⋅-