等差数列与等比数列十大例题

等差数列与等比数列十大例题例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅，所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1)。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。

例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．（I ） 求1a 及n a ；（II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例3、 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列（1）求{n a }的公比q ；（2）求1a －3a ＝3，求n s 解：（Ⅰ）依题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++由于 01≠a ，故 022=+q q又0≠q ，从而21－=q 5分 （Ⅱ）由已知可得321211=--）（a a 故41=a从而））（（）（））（（n nn 211382112114--=----=S 10分 例 4、已知数列{}n a 满足， *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

（1）证1211,b a a =-= 当2n ≥时，1111,11()222n n n n n n n n n a a b a a a a a b -+--+=-=-=--=- 所以{}n b 是以1为首项，12-为公比的等比数列。

（2）解由（1）知111(),2n n n n b a a -+=-=-当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-21111()()22n -=++-++-111()2111()2n ---=+--2211[1()]32n -=+--1521(),332n -=-- 当1n =时，111521()1332a ---==。

所以1*521()()332n n a n N -=--∈。

例5、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21nn n ba b S -=- （Ⅰ）证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式解 由题意知12a =，且()21nn n ba b S -=-()11121n n n ba b S +++-=-两式相减得()()1121nn n n b a a b a ++--=-即12nn n a ba +=+ ①（Ⅰ）当2b =时，由①知122nn n a a +=+于是()()1122212nnnn n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n n a n -=-⋅又111210n a --⋅=≠，所以{}12n n a n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列。

（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知1122n n n a n ---⋅=，即()112n n a n -=+当2b ≠时，由由①得1111122222n n n n n a ba b b+++-⋅=+-⋅-- 22n n bba b=-⋅-122n n b a b ⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭因此11112222n n n n a b a b b ++⎛⎫-⋅==-⋅ ⎪--⎝⎭()212nb b b-=⋅-得()121122222n n n n a b b n b-=⎧⎪=⎨⎡⎤+-≥⎪⎣⎦-⎩ 例6、 在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++, （I ）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式; （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 解：（I ）由已知有1112n n n a a n n +=++112n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1122n n b -=-(*n N ∈) （II ）由（I ）知122n n n a n -=-, ∴n S =11(2)2nk k k k -=-∑111(2)2n nk k k kk -===-∑∑而1(2)(1)nk k n n ==+∑,又112nk k k-=∑是一个典型的错位相减法模型， 易得1112422nk n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 例7、 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）（Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n ，n S k ≤恒成立，求实数k 的最大值. 解：（Ⅰ） 3231=++n n S a ， ① ∴ 当2≥n 时，3231=+-n n S a . ② 由 ① - ②，得02331=+-+n n n a a a . 311=∴+n n a a )2(≥n .又 11=a ，32312=+a a ，解得 312=a . ∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为31=q 的等比数列. 11131--⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴n n n qa a （n 为正整数）（Ⅱ）由（Ⅰ）知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴n n S )31(123 由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-≤nk 31123，. 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-n311单调递增， 当1=n 时，数列中的最小项为32，∴ 必有1≤k ，即实数k 的最大值为1例8、 各项均为正数的数列{}n a 中，n S a ,11=是数列{}n a 的前n 项和，对任意*∈N n ，有 )(222R p p pa pa S n n n ∈-+=；⑴求常数p 的值； ⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶记n nn n S b 234⋅+=，求数列{}n b 的前n 项和T 。

解：（1）由11=a 及)(222*∈-+=N n p pa pa S n n n ，得：p p p -+=22 1=∴p （2）由1222-+=n n n a a S ① 得1221211-+=+++n n n a a S ② 由②—①，得 )()(2212211n n n n n a a a a a -+-=+++ 即：0)())((2111=+--++++n n n n n n a a a a a a 0)122)((11=--+∴++n n n n a a a a由于数列{}n a 各项均为正数， 1221=-∴+n n a a 即 211=-+n n a a ∴数列{}n a 是首项为1，公差为21的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是 2121)1(1+=⨯-+=n n a n（3）由21+=n a n ，得：4)3(+=n n S n n n n n n n S b 2234⋅=⋅+=∴ n n n T 223222132⋅++⨯+⨯+⨯=∴13222)1(2222+⨯+⨯-++++=⋅n n n n n T22)1(221)21(22222211132-⋅--=⨯---=⋅-++++=-+++n n n n n n n n n T1(1)22n n T n +=-⋅+例9、 在数列{}).,2(322,311*∈≥++=-=-N n n a a a a n n n n 且中，（1）的值；求32,a a （2）设{}是等差数列；证明：n nn n b N n a b ),(23*∈+=（3）求数列{}..n n S n a 项和的前 解（1）),,2(322,311*∈≥++=-=-N n n a a a nn n 且1322212=++=∴a a.13322323=++=a a（2）对于任意,*∈N n ()[]3221232311111--=+-+=-+++++n n n n n n n n n a a a a b b =()[]13322111=-+++n n ，∴数列{}n b 是首项为0233231=+-=+a ，公差为1的等差数列. （3）由（2）得，,1)1(023⨯-+=+n a nn ).(32)1(*∈-⋅-=∴N n n a n n()[]321)322()321(332-⋅-++-⨯+-⨯+-=∴nn n S ， 即().321232221432n n S nn -⋅-++⨯+⨯+⨯= 设(),21232221432nn n T ⋅-++⨯+⨯+⨯= 则(),2123222121543+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n T两式相减得，()1432212222+⋅--++++=-n n n n T,2)1(21)21(411+-⋅----=n n n 整理得，,2)2(41+⋅-+=n n n T从而).(32)2(41*+∈-⋅-+=N n n n S n n例10、已知数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和n n a n S 2=. （Ⅰ）求证：n n a n na 21+=+; （Ⅱ）记n n S b ln =，n T 为{}n b 的前n 项和，求n e n T--的值. 解：（1）由n n a n S 2=①，得121)1(+++=n n a n S ②，②-①得：n n a n na 21+=+.（2）由n n a n na 21+=+求得)1(1+=n n a n .∴12+==n na n S n n ，)1ln(ln ln +-==n n Sb n n (ln1ln 2)(ln 2ln 3)(ln 3ln 4)(ln ln(1))ln(1)n T n n n =-+-+-++-+=-+∴1)1ln(=-=-+-n e n e n T n .。