等差数列与等比数列知识点复习总结
小学等差等比数列知识点归纳总结
小学等差等比数列知识点归纳总结【小学等差等比数列知识点归纳总结】数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按照特定规律排列的数所组成。
在小学阶段，学生们将接触到两种常见的数列，即等差数列和等比数列。
本文将对小学等差等比数列的知识点进行归纳总结。
一、等差数列（Arithmetic Progression）等差数列是指数列中相邻两项之差相等的一种数列。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
1. 公差等差数列中，相邻两项之差称为公差。
公差可以是正数、负数或零。
2. 首项等差数列中的第一项称为首项，通常表示为a1。
3. 通项公式等差数列中的通项公式可以通过首项和公差来计算任意一项的值。
4. 前n项和公式等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和。
二、等比数列（Geometric Progression）等比数列是指数列中相邻两项之比相等的一种数列。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
1. 公比等比数列中，相邻两项之比称为公比。
公比可以是正数或负数，但不能为零。
2. 首项等比数列中的第一项称为首项，通常表示为a1。
3. 通项公式等比数列中的通项公式可以通过首项和公比来计算任意一项的值。
4. 前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn = (a1 * (r^n - 1))/(r - 1)，其中Sn表示前n项和。
三、等差数列与等比数列的关系等差数列和等比数列都是数学中常见的数列形式。
它们之间存在一定的联系。
1. 等差数列的前n项和与等差数列的平均数等差数列的前n项和可以表示为Sn = n * (a1 + an)/2，其中an表示第n项。
而等差数列的平均数可以表示为(a1 + an)/2，即首项与末项的平均值。
2. 等差数列的前n项和与等比数列的前n项和之比当等比数列的公比为1时，等比数列变为等差数列。
高考数学复习：等差数列与等比数列
Sn＝an2＋bn(a，b为 常数)
Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.
例3 (2019·全国Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－ bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)已知函数 f(x)＝1＋2 x2(x∈R)，若等比数列{an}满足 a1a2 020＝1，则 f(a1)
＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 020)等于
√A.1 D.2
解析 ∵a1a2 020＝1，
∴f(a1)＋f(a2 020)＝1＋2 a21＋1＋2a22 ∵{an}为等比数列，
a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8等于
A.12
B.24
√ C.30
D.32
解析 设等比数列{an}的公比为q， 则 q＝aa21＋＋aa32＋＋aa43＝21＝2，
所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.
(2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40等于
∴an＝2×2n－1＝2n. 又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
∴2k＋111－－2210＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
(2)(多选)(2020·威海模拟)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝
证明 由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，
即 an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn). 因为a1＋b1＝1， 所以{an＋bn}是首项为 1，公比为12的等比数列. 由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又a1－b1＝1， 所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列.
等差数列及等比数列的性质总结
等差数列与等比数列总结一、等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示；等差中项，如果2ba A +=，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数；等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=； 等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-；等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n）a a （n 1⨯+=d 2）1-n （n na 1⨯+= 中12na n ）2d-a （n ）2d （=⨯+⨯； 【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n +=【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ⋯⋯++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =⋯⋯==+++4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ⋯⋯成等差数列，公差为d n 2【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+⋯⋯+++⋯⋯++=++，）a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+⋯⋯+++⋯⋯++=++++⋯⋯=，d n 25、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=⇔+【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，n S =d 2）1-n （n na 1⨯+= n ）2d -a （n ）2d （12⨯+⨯ 6、若数列}{a n 是等差数列，则}{c n a为等比数列，c>0【说明】d a-a a ac c cc 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2nS -S 奇偶⨯=当n 为奇数时，n a S 中n ⨯=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶⨯=+⋯⋯++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+⋯⋯++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=⨯++⨯+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a 项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a += 9、1-d ，0a ），则q p （p a ，q a q p q p ==≠==+q --p a ），则q p （p S ，q S q p q p =≠==+ 0a ），则q p （S S q p q p =≠=+【说明】0q -q qd a a ，1-d q -p d ）q -p （a -a p q p q p ==+==⇒==+ 2-a a p -q 2）q -p ）（a a （）a a （S S p 1q p 1q p 1q q p =+⇒=+=+⋯⋯+=-+++q --p 2）q p ）（a a （2）q p ）（a a （S p 1q q p 1q p =++=++=+++二、等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用小写字母q 表示；等比中项，如果ab G 2=，那么G 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等比数列，那么等差中项的平方等于另两项的积；等比数列}{a n 的通项公式：）N n （q a a 1-n 1n *∈=；等比数列}{a n 的递推公式：）2n （q a a 1n n ≥=-；等比数列}{a n 的前n 项和公式：n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠==1q ，q -1q a -a q -1）q -1（a 1q ，na n 1n 11 【等比数列的性质】 1、m -n m n q a a ⋅=【说明】n 1-n 1m -n 1-m 1m -n m a q a q q a q a =⋅=⋅⋅=⋅ 2、若m 、n 、k 、l *∈N ，且l k n m a a a a ，l k n m ⋅=⋅⋅=⋅【说明】l k 2-l k 212-n m 21n m a a q a q a a a ⋅===⋅++ 3、m m 2k m k k q ，成等比数列，公比为、a 、a 、a ⋯⋯++ 【说明】m mk m 2k k m k q a aa a ==+++ 4、k ）1-n （nk k 23k k k 2k S -S S -S 、S -S 、S ⋯⋯成等比数列，公比为nq【说明】n n21n22n 1n n n n 2q a a a a a a S S -S =+⋯⋯+++⋯⋯++=++ 5、数列}{a n 成等比数列）1-q （A S ，q p a ，a a a nn n n 1n 1-n 2n =⋅=⋅=⇔+【说明】）1-q （1-q a q -1）q -1（a S ，q q a qa a n 1n1n n 11-n 1n ==⋅=⋅= 6、若数列}{a n 是等比数列，则0a 为等差数列，}a {log n n c > 【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n42奇偶=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ⋅=当n 为偶数时，n中奇中偶奇2n奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=； n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =⋯⋯⋅⋅=⋅⋯⋯⋅⋅=。
等差和等比数列公式大总结
等差和等比数列公式大总结
等差数列是指每一项与前一项之差相等的数列，而等比数列是指每一项与前一项之比相等的数列。
在数学中，我们经常遇到各种各样的数列问题，因此了解等差和等比数列的公式是非常重要的。
等差数列的公式：
1.通项公式：an=a1+(n-1)d
其中，a1为首项，d为公差，an为第n项。
2.前n项和公式：Sn=[n(2a1+(n-1)d)]/2
其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为前n项和。
等比数列的公式：
1.通项公式：an=a1*r^(n-1)
其中，a1为首项，r为公比，an为第n项。
2.前n项和公式：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)
其中，a1为首项，r为公比，n为项数，Sn为前n项和。
以上是等差和等比数列的公式大总结。
通过掌握这些公式，我们可以更加轻松地解决各种数列问题。
同时，也可以通过这些公式发现数列的规律，进一步深入了解数学知识。
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(完整版)等差等比数列知识点总结
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；.2.等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a3.等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：()d n a a n 11-+=推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.(2) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（3）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时，()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇 ()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶2、当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）． 1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A = 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。
单招等差等比数列知识点归纳总结
单招等差等比数列知识点归纳总结数列是数学中一种常见的数值序列，而等差数列和等比数列是数列中较为常见和重要的两种类型。
对于学习数学的同学来说，掌握等差数列和等比数列的概念、性质以及求解方法非常重要。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、常见性质和解题方法进行归纳总结。
一、等差数列的概念和性质等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的一般形式为an = a₁ + (n-1)d。
(n≥1)等差数列常见的性质有：1. 通项公式：an = a₁ + (n-1)d2. 首项和末项的求解：a₁ = an - (n-1)d，an = a₁ + (n-1)d3. 前n项和的求解：Sn = (n/2)[2a₁ + (n-1)d]4. 累加求和公式：Sn = (n/2)(a₁ + an)5. 通项之和为定值：an + an-1 = a₁ + ∑(n-1) + d = 2a₁ + (n-1)d6. 通项相等时的和：Sn = n(a₁ + an)/2二、等比数列的概念和性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则等比数列的一般形式为an = a₁ * r^(n-1)。
(n≥1)等比数列常见的性质有：1. 通项公式：an = a₁ * r^(n-1)2. 首项和末项的求解：a₁ = an / r^(n-1)，an = a₁ * r^(n-1)3. 前n项和的求解：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)，当|r|<1时，Sn = (a₁ - an * r) / (1 - r)4. 累乘求积公式：Sn = a₁ * a₂ * a₃ * ... * an = a₁^n * r^(1+2+...+n-1) = a₁^n * r^(n(n-1)/2)5. 通项之和为定值：an * r - an₋₁ = a₁ * (r - 1) * (r^(n-1) - 1) / (r - 1) = a₁ * (r^n - 1) / (r - 1)6. 通项相等时的和：Sn = a₁n三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列是数学中非常重要的概念，它们不仅在数学中有着广泛的应用，而且在实际生活中也随处可见。
(完整版)等差、等比数列公式总结
一、等差数列等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
等差数列的一般形式为：a_n = a_1 + (n 1)d其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
等差数列的前n项和公式为：S_n = n/2 (a_1 + a_n)或者S_n = n/2 (2a_1 + (n 1)d)二、等比数列等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
等比数列的一般形式为：a_n = a_1 q^(n 1)其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
等比数列的前n项和公式为：S_n = a_1 (1 q^n) / (1 q) （当q ≠ 1时）或者S_n = n a_1 （当q = 1时）一、等差数列等差数列是一种常见的数列，其中每一项与前一项之间的差是恒定的。
这个恒定的差值被称为公差，通常用字母d表示。
等差数列的一般形式可以表示为：a_n = a_1 + (n 1)d其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
S_n = n/2 (a_1 + a_n)或者S_n = n/2 (2a_1 + (n 1)d)这个公式可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列，其中每一项与前一项之间的比是恒定的。
这个恒定的比值被称为公比，通常用字母q表示。
等比数列的一般形式可以表示为：a_n = a_1 q^(n 1)其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
S_n = a_1 (1 q^n) / (1 q) （当q ≠ 1时）或者S_n = n a_1 （当q = 1时）这个公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和。
三、应用场景等差数列和等比数列在数学和现实生活中的应用非常广泛。
例如，在金融领域，等差数列可以用来计算定期存款的利息，而等比数列可以用来计算复利的增长。
等差数列和等比数列的特点知识点总结
等差数列和等比数列的特点知识点总结等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列，而等比数列则是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
在数学中，等差数列和等比数列是非常重要且常见的数列类型。
下面将分别介绍等差数列和等比数列的特点与相关知识点。
一、等差数列的特点与知识点等差数列的特点：1. 公差：等差数列中相邻两项之差称为公差，用d表示。
公差可以是正数、负数或零。
2. 通项公式：等差数列的通项公式是指通过已知的首项和公差，求出数列中任意一项的公式。
对于等差数列a1, a2, a3, ..., an，通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 求和公式：等差数列的求和公式用于计算数列中前n项和的值。
对于等差数列a1, a2, a3, ..., an，求和公式为Sn = (n/2)(a1 + an) =(n/2)(2a1 + (n-1)d)。
等差数列的知识点：1. 判定一组数字是否为等差数列：通过计算任意相邻两项的差是否相等，若相等则为等差数列。
2. 求等差数列的第n项：已知首项和公差，利用通项公式即可计算出第n项的值。
3. 求等差数列的前n项和：已知首项、公差和项数，利用求和公式即可计算出前n项和的值。
4. 求等差数列中项的个数：已知首项、公差和末项，利用末项与首项之间的关系，即(末项-首项)/公差+1，即可计算出项的个数。
5. 应用：等差数列在日常生活中的应用很广泛，例如计算年龄、身高、价格等各类增量或减量的规律。
二、等比数列的特点与知识点等比数列的特点：1. 公比：等比数列中相邻两项之比称为公比，用r表示。
公比可以是正数、负数或零，但不能为1。
2. 通项公式：等比数列的通项公式是指通过已知的首项和公比，求出数列中任意一项的公式。
对于等比数列a1, a2, a3, ..., an，通项公式为an = a1 * r^(n-1)。
3. 求和公式：等比数列的求和公式用于计算数列中前n项和的值。
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等差数列与等比数列知识点复习总结
仍构成等差数列，公差为2
1(1n n na -+,
m a +，2m a +，3m a +
也成等差数列， 公差为
②若两个等差数列{的前n 项和分别是则22n n n n a A b B =。
、其它性质：（任何数列都适用）
数列的求和方法
1、分组求和法
例1、若数列{}n a 的通项式为n
n n a 32+=，求数列{}n a
的前n 项n S
练习1、(1)已知数列{}n a 的通项式为
n
n n a 42)1(⨯++=，求数列{}n a 的前n 项n S
(2)有穷数列1，1+2，1+2+4，…，12421-++++n 所有项的和为____________
2、错位相减法
例2、若数列{}n a 的通项式为n
n n a 32•=，求数列{}n a 的前n
项n S
练习2、已知数列{}n a 的通项式为n
n n a )2
1(•=，求数列{}n a 的
前n 项n S
3、并项法
例3、若数列{}n a 的通项式为n a n
n •-=)1(，求2012S
练习3 (1)若数列{}n a 的通项式为)23()1(-•-=n a n
n ，求10S (2)若数列{}n a 的通项式为)34()1(1
-•-=-n a n n ，求100S
4、裂项相消法
例4、若数列{}n a 的通项式为)
1(1
+=
n n a n ，求数列{}n a 的前
n 项n S
练习4、已知数列{}n a 的通项式为1
1-+=
n n a n ，求数列
{}n a 的前n 项n S。