2016年高考理科数学四川卷-答案

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【考点】向量的定义和性质，模的最值．
第Ⅱ卷
二、填空题
11.【答案】 2 2
【解析】由题可知， cos2 π sin2 π cos π 2 （二倍角公式）．
8
8
42
【提示】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子
的值．
【考点】二倍角的余弦 12.【答案】 3
5 / 12
而得到答案． 【考点】由三视图求面积，体积． 14.【答案】 2
【解析】首先， f x 是周期为 2 的函数，所以 f (x) f (x 2) ；
而 f x 是奇函数，所以 f (x) f (x) ，所以： f (1) f (1) ， f 1 f 1 ，即 f 1 0
又f
【提示】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．
【考点】二项式系数的性质．
3.【答案】D
【解析】由题可知，y
sin
2x
π 3
sin
2
x
π 6
，则只需把
y
sin2x
的图像向右平移
π 6
个单位，选
D．
【提示】由条件根据函数 y Asin(x ) 的图象变换规律，可得结论． 【考点】 y Asin(x ) 的图象变换规律． 4.【答案】D 【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是 1，3，5 分为两步：先从 1，3，5，三个数中选一个 作为个位数有 C13 ，再将剩下的 4 个数字排列得到 A44 ，则满足条件的五位数有 C13A44 72 ．选 D．
a
a
方法二：特殊值法，若 x1 x2 1 ，可算出 SPAB 1，
x 1，故 S△PAB
1，排除
B，C；令
x1
1 2
，x2
2
，
算出 S△PAB 1，故选 A． 【提示】设出点 P1 ，P2 的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线 l1 与 l2 的斜率，由两直线垂直求得 P1 ，
P2 的横坐标的乘积为 1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得 A ， B 两点的纵坐标，得到 AB ，联立两
15.【答案】②③
【解析】①设
A
的坐标
(x, y)
，伴随点
A
x2
y
y2
,
x x2 y2
，
A
的伴随点
x
横坐标为
x
2
y
x2
2
y2
y2
x
x 2 y
2
2
x
，同理可得纵坐标为 y 故 A (x,y) ．错误；
②设单位圆上的点 P 的坐标为 (cos,sin) ，则 P 的伴随点的坐标为
y02 )
0 ，当 C 0 时，
C(x
2 0
y02 )
是一个常数，
P
的轨迹是一条直线；
当
C
0
时，
C(x
2 0
y02 )
不是一个常数，
P
的轨迹不是一条直线．
所以，直线“伴随曲线”不一定是一条直线．错误． 【提示】利用新定义，对 4 个命题分别进行判断，即可得出结论． 【考点】命题的真假判断与应用 三、解答题 16.【答案】（Ⅰ）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为 1
2 【解析】由题可知，在一次试验中，试验成功（即至少有一枚硬币正面向上）的概率为 P 1 1 1 3
22 4
2
次独立试验成功次数
X
满足二项分布
X
~
B
2,
3 4
，则
E(X)
2
3 4
3 2
【提示】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在
2
次试验中成功次数
X
~
B
2,
3 4
，
由此能求出在 2 次试验中成功次数 X 的均值 E(X) ．
OM
1 OP 3
2 OF 3
y02 6p
p, 3
y0 3
，再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．
【考点】抛物线的简单性质．
9.【答案】A
1
1
【解析】方法一：设 P1(x1, y1) , P2 (x2 , y2 ) ,(x1
x2 ) ，易知 x1
1， x2
1 ， kl1
x1
， kl2
从而 D 是 △ABC 的垂心； △ABC 的外心与垂心重合，因此 △ABC 是正三角形，且 D 是△ABC 的中心；
DA
DB
DA
DB cosADB
DA
DB
1 2
2
DA
2
3
所以正三角形 △ABC 的边长为 2 3 ；
我们以 A 为原点建立直角坐标系， B ， C ， D 三点坐标分别为 B(3, 3) ， C(3, 3) ， D2,0 ．
y x 1 y 1 x ,② 表示△ABC 内部区域所有点（包括边界）．实数 x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立．则 y 1
p 是 q 的必要不充分条件．故选 A．
【提示】画出 p ， q 表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．
【考点】简单线性规划的应用，必要条件，充分条件，充要条件．
直线方程求得 P 的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB 的面积的取值范围． 【考点】平面向量数量积的运算． 10.【答案】B
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【解析】由题意， DA DB DC ，所以 D 到 A ， B ， C 三点的距离相等， D 是 △ABC 的外心，
DA DB DB DC DC DA 2 DA DB DB DC DB (DA DC) DB CA 0 ，所以 DB AC ，同理可得， DA BC ， DC AB
由 AP 1 ，设 P 点的坐标为 (cos,sin) ，其中 [0,2π) ，而 PM MC ，即 M 是 PC 的中点，可以写出 M
的坐标为
M
3
cos 2
,
3 sin 2
则
BM
2
cos 3 2 2
3
3
2
sin
2
37
12sin
4
π 6
37
12 4
49 4
当 2 π 时， BM 2 取得最大值 49 ．故选 B．
OF
y02 6p
p, 3
y0 3
2 / 12
y0
k OM
3 y02
p
y0
2
2p
2 22
2 2 ，当且仅当 y02 2p2 等号成立，故选 C．
6p 3 p y0
第 8 题图
【提示】由题意可得
F
p 2
,
0
，设
p
y02 2p
,
y0
，要求
k OM
的最大值，设
y0
0
，运用向量的加减运算可得
5 2
f
1 2
f
1 2
，0
1 2
1时， f
1 2
1
42
2
故
f
5 2
2
，从而
f
5 2
f
(1)
2
【提示】根据
f
x
是周期为
2
的奇函数即可得到
f
5 2
f
1 2
f
1 2
，利用当
0
x
1 时，f
(x)
4x
，
求出
f
5 2
2
，再求出
f
(1)
，即可求得答案．
【考点】函数奇偶性的性质．
P
(sin,
cos)
cos
π 2
,sin
π 2
，所以
P
也在单位圆上，
即： P 点是 P 点延顺时针方向旋转 π ．正确； 2
③设曲线 C 上点 A 的坐标 (x, y) ，其关于 x 轴对称的点 A1 (x, y) 也在曲线 C 上，所以点 A 的伴随点
A
x2
y
y2
,
x x2 y2
8.【答案】C
【解析】如图，由题可知
F
p 2
,
0
，设
P
点坐标为
y02 2p
,
y0
显然，当 y0 0 时， kOM 0 ； y0 0 时， kOM 0 ，要求 kOM 最大值，不妨设 y0 0 ．
则 OM
OF
FM
OF
1 FP 3
OF
1 (OP OF) 3
1 OP 3
2 3
频率=(频率/组距)*组距 0.5 (0.08 0.16 0.4 0.52 0.12 0.08 0.04 2a) 1 得 a 0.3 （Ⅱ）由图，不低于 3 吨人数所占百分比为 0.5 (0.12 0.08 0.04)=12% ∴全市月均用水量不低于 3 吨的人数为： 3012%=3.6 (万) （Ⅲ）由图可知，月均用水量小于 2.5 吨的居民人数所占百分比为： 0.5 (0.08 0.16 0.3 0.4 0.52) 0.73 即 73% 的居民月均用水量小于 2.5 吨，同理， 88% 的居民月均用水量小于 3 吨，故 2.5 x 3 假设月均用水量平均分布，则 x 2.5 0.5 (85% 73%) 0.5 2.9 （吨）．
0.3 注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差． 【提示】（Ⅰ）根据各组的累积频率为 1，构造方程，可得 a 值； （Ⅱ）由图可得月均用水量不低于 3 吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于 3 吨的人数； （Ⅲ）由图可得月均用水量低于 2.5 吨的频率及月均用水量低于 3 吨的频率，进而可得 x 值． 【考点】频率分布直方图，用样本估计总体． 17.【答案】（Ⅰ）证明：由正弦定理 a b c 可知