第9讲 基于Matlab的系统状态空间分析与设计

线性系统状态空间分析
定义（能控性）
系统（*）对于初始时刻 t 0 的状态 x 0，存在 t f , t f > t0和一个 无约束的容许控制 u (t ), t ∈ t0 , t f , 使状态由 x0 → x(t f ) = 0 则称此 x 0 在 t 0 时刻是能控的。如果状态空间中的任意状态 为能控的，则称为系统 （*） 是完全能控的。
⎡0 1 0 ⎤ 2s + 1 G( s) = 3 , X = ⎢0 0 1 ⎥ X 2 ⎢ ⎥ s + 7 s + 14 s + 8 ⎢ 2 −5 4 ⎥ ⎣ ⎦
试分别求系统的约当标准型。
线性系统状态空间分析
解 （1）程序如下 num1=[2,1];den1=[1,7,14,8]; [A,B,C,D]=tf2ss(num1,den1); [V,J]=jordan(A) V1=inv(V) B1=V1*B
0 f
入 u(t) 和系统输出 y( t ) 的信息唯一地确定任意初始状 态 x(t0 ) = x0。
这个定义规定: 对于时刻 t 0，若存在时刻 t f ，系统的任意 [t 0 , t上的 u 和 y 的信息来决定就 f ] 初始状态能唯一地由区间 tf 是状态完全能观的，没有对 施加限制，这意味着区间 [t 0 , t f ] 必须是有限的但不确定。
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七、极点配置 如果系统 (A,B) 完全可控，则选择合适的K 矩 阵，可以将闭环系统矩阵 A-BK 的特征值配置 到任意地方。
线性系统状态空间分析
设给定线性定常系统：
x = Ax + Bu
若给定n个反馈系统的期望闭环极点：{p1,p2,…,pn} 则极点配置问题就是确定一个p×n状态反馈增益矩阵 K,使得闭环系统 x = ( A − B k ) x + B v 的极点为 {p1,p2,…,pn}，即
0 ⎤ ⎧ ⎡−1 0 ⎡ − 5.1962 ⎤ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ X = ⎢ 0 − 2 0 ⎥ X + ⎢ − 13.7477 ⎥ U ⎨ ⎢0 ⎢ − 9.5394 ⎥ 0 −3⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ Y = [0 − 0.2182 − 3 ] X ⎩
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例2 已知系统的传递函数模型为
AB
An −1B ]n×n
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2. 求取系统可观判别矩阵的函数obsv() 求取系统可观判别阵 N = [ C 其常用调用格式为N= obsv() 结合求N秩的函数 rank(N)，从而判断系统的能观性。
CA
C A n − 1 ]′
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例4 已知系统的相应矩阵为
0 − 1⎤ ⎡1 ⎡1 A = ⎢−1 −2 0 ⎥ , B = ⎢2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢3 ⎢0 0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎡1 0 0 ⎤ C =⎢ 0 −1 0⎥ ⎣ ⎦ 0⎤ 1⎥ ⎥ 2⎥ ⎦
M = [B
的秩等于n.
AB
A n −1 B ]
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5.3 可观的判据 线性连续系统完全可观的充要条件是可观判别阵
N = [C
的秩等于n.
CA
CA
n −1
]′
线性系统状态空间分析
5.5 Matlab中标准型相关的函数 1. 求取系统可控判别矩阵的函数ctrb() 用于求取系统可控判别矩阵 M = [ B 常用调用格式ctrb(A,B) 结合求M秩的函数 rank(M)，从而判断系统的能控性。
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运行结果如下 A1 = 0 0 B1 = 1 1 1 -4.0000 -2.0000 0 0 0 0
-1.0000
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（2）程序如下 A=[0 1 0;0 0 1;2 -5 4]; [V,J]=jordan(A) 结果如下： V= 1 2 4 J= 2 0 0 -2 -2 -2 0 1 0 0 -2 -4 0 1 1
控制系统计算机仿真
dx = rx dt
李瑞 电子科大 自动化学院
Email: lirui@uestc.edu.cn
线性系统状态空间分析
一、线性系统的状态空间描述
⎧ x = Ax + Bu ⎨ ⎩ y = Cx + Du
其中，x=[x1,x2,….,xn]´表示n维状态向量； y=[y1,y2,….,ym]´表示m维输出向量； u=[u1,u2,….,ur]´ 表示r维输出向量。
Bs = -7.7621 -14.6969 8.6168 Cs = 0.2577 -0.2041 0.0000；Ds = 0
Ts = -7.7621 -11.6431 -3.8810 -14.6969 -19.5959 -4.8990 8.6168 7.1807 1.4361
线性系统状态空间分析
由运算结果可知系统的对角标准型为：
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线性系统状态空间分析
对于同一物理系统，动态方程的建立，在状态变量的 选取方面有很大的不同，导致求得的系统状态方程也 不尽相同。 然而， 状态变量的个数是相同的。因此，各种不同 的动态方程间又有一定的联系，这种联系就是变量间 的线性变化。
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二、线性变换
对于系统 令
⎧ x = Ax + Bu ⎨ ⎩ y = Cx + Du
⎧ X = JX + B U ⎨ ⎩Y = C X + D U
其中，J为约当矩阵，即J=T-1AT=diag[J1 J2…. Jk].
B = T −1B , C = C T
Ji为mi重特征根λi所对应的约当块，即
⎡λi ⎢ Ji = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0 1
λi
0⎤ ⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ λi ⎦ ( m ×m ) i i
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四、状态方程求解 4.1 线性连续定常齐次方程求解 考虑状态方程
X = AX ,
X(t)的解为：
其中
X
t=0
= X0
X ( t ) = φ ( t − t0 ) X ( t0 )
φ ( t − t0 ) = e A ( t − t
0)
线性系统状态空间分析
4.2 线性定常非齐次状态方程求解 线性定常非齐次状态方程为：
解 程序代码如下： A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6];B=[1;0;0];C=[1 1 0];D=0; [As,Bs,Cs,Ds,Ts]=canon(A,B,C,D) 运行结果如下：
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As = -3.0000 0 -2.0000 0 0 0 0
0 -1.0000
线性系统状态空间分析
输出结果如图所示：
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五、线性系统的状态可控性和状态可观测性 5.1 状态可控性，可观性 设单输入n阶线性定常系统为：
⎧ x ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t )u ( t ) ⎨ ⎩ y (t ) = C (t ) x(t )
（*）
⎧ X = A ′ X + B ′U ⎨ ⎩ Y = C ′X + D ′U
其中
A′ = M
−1
A M = diag [ λ1 , λ 2 ,....λ n ], B ′ = M
−1
B, C ′ = CM
λi为A的特征根;M为A的特征矩阵.
线性系统状态空间分析
3.2 约当标准型(系统有k个mi重特征值λi)
试判断系统是否可控？是否可观？
线性系统状态空间分析
解 程序如下 A=[1,0,-1;-1,-2,0;3,0,1];B=[1,0;2,1;0,2]; C=[1,0,0;0,-1,0]; M=ctrb(A,B) RM=rank(M) N=obsv(A,C) RN=rank(N)
线性系统状态空间分析
M =1 2 0 N =1 0 1 1 -2 -1 0 1 2 0 -1 0 2 0 -4 1 -5 3 0 0 -1 0 -2 -1 -2 -2 2 -2 9 6 -4 6 -4
x = Tz
⎨ ⎩ y = C Tz + D u
有， ⎧ Tz = A Tz + B u 令 A = T −1 AT , B = T −1B, C = CT
⎧ z = T −1 ATz + T −1Bu 则 ⎨ ⎩ y = CTz + Du
线性系统状态空间分析
三、状态空间的标准型 3.1 对角标准型（A有n个不相等的实根）
所谓可控性，就是指系统的状态是可以被控制的还是不 能被控制的；而可观性是指系统状态的变化是否能由输 出检测出来。
线性系统状态空间分析
5.2 可控判据 单输入n阶连续系统可控的充要条件为可控判别阵
M = [b
的秩等于n.
Ab
A
n −1
b ]n × n
对于多输入n阶连续定常系统： X = A X + B U A:n×n; B:n ×r. 系统可控的充要条件为可控判别阵
RM =3
RN = 3
线性系统状态空间分析
六、 状态反馈控制
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原系统动态方程为
⎧ x = Ax + Bu ⎨ ⎩ y = Cx + Du
状态反馈控制律为
u = v( x) − Kx
线性系统状态空间分析
将u(t)=v(t)-Kx(t) 代入开环系统的状态方程模型，则 在状态反馈矩阵 K 下，系统的闭环状态方程模型可以写 成
线性系统状态空间分析
例1 已知系统的状态空间模型为
1 0 ⎤ ⎧ ⎡ 0 ⎡1 ⎤ ⎪ X =⎢ 0 0 1 ⎥ X + ⎢0 ⎥U ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎨ ⎢ − 6 − 11 − 6 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ Y = [1 1 0 ] X ⎩
求系统的对角标准型。
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[
]
说明
（1）定义中没有规定 t f 及输入的值，只要它们存在，就认 为系统是可控的。 （2）定义中没有规定 x 0 到x ( t f )的路径，只要能到达就行。 （3）能控性说明系统的每个状态变是否可由输入来影响。
线性系统状态空间分析
定义（能观） 系统称为状态完全能观的，如果对于确定的 时刻 t0，存在一个时刻 t f > t 0 ，使能由在区间 [t , t ]上的控制输
1.5
试求（1）系统的脉冲响应和阶跃响应； （2）在初值状态为x(0)=[1 0 2]T的条件下，输入
⎧2 0 ≤ t ≤ 2 u (t ) = ⎨ ⎩ 0.5 t ≤ 2 时，状态变量X(t)=[x1(t), x2(t), x3(t)]T的响应曲线。
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解 程序如下： A=[-2 -2.5 -0.5;1 0 0;0 1 0];B=[1;0;0]; C=[0 1.5 1];D=0; G=ss(A,B,C,D); t=[0:0.1:20]'; impulse(G,t);grid;hold on step(G,t);grid;
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将系统直接转化为对角型的函数canon() Matlab 提供了函数 canon() 可以将系统直接转化为 对角型，其常用的调用格式为： [As,Bs,Cs,Ds,Ts]=canon(A,B,C,D) 其中，A,B,C和D是变化前系统的状态空间形式， As,Bs,Cs和Ds是变换后的对角型，Ts表示所作的线性 变换。 将系统直接转化为约当型的函数jordan() 调用格式为：[T,J]=jordan(A), 其中J=T-1AT
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输出结果如图所示：
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x0=[1;0;2]; A=[-2 -2.5 -0.5;1 0 0;0 1 0];B=[1;0;0];C=[0 1.5 1]; D=0;G=ss(A,B,C,D);t=[0:0.1:20]'; u(1,1:20)=2*ones(1,20);u(1,21:201)=0.5*ones(1,181); [y,t,x]=lsim(G,u,t,x0); plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'--',t,x(:,3),'-.') xlabel('时间秒');ylabel('幅值'); grid text(6,0.3,'x_1(t)');text(6,-0.5,'x_2(t)'); text(8,1.8,'x_3(t)')
X = AX + BU , X
解为：
t=0
= X ( t0 )
X (t ) = Φ(t − t0 ) X (t0 ) + ∫ Φ(t − τ )BU (τ )dτ
t0
t
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例3 已知系统的状态空间模型为
⎡−2 A=⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎣ − 2.5 0 1 − 0.5 ⎤ ⎡1⎤ 0 ⎥ , B = ⎢ 0 ⎥ , C = [0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ 0 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 1] , D = 0