正余弦定理题型总结(全)

平面向量题型归纳（全）

题型一：共线定理应用

例一：平面向量→

→b a ,共线的充要条件是（ ）A.→

→b a ,方向相 同 B. →

→b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在

,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→

→b a λλλλ

变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→

→b a //”的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

变式二：设→

→b a ,是两个非零向量（ ）

A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b a

B. 若→→⊥b a ，则→

→→→=+b a b a _ C. 若→

→→→

=+b a b a _，则存在实数λ，使得

→→

=a b λ D 若存在实数λ，使得→

→=a b λ，则

→

→→→

=+b

a b a _

例二：设两个非零向量→

→

21e e 与，不共线，

（1）如果三点共线；求证：D C A e e CD e e BC e e AB ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。

变式一：设→

→

21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。

变式二：已知向量→

→b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D

题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用

例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2BA BC BP +=则（ ）

A. PB PA +=0

B. PA PC +=0

C. PC PB +=0

D. PB PA PC ++=0

变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且OC OB OA ++=20,那么（ ）A. OD A =0 B. OD A 20= C. OD A 30= D. OD A =02

变式二：在平行四边形ABCD 中a AB =，b AD =，NC AN 3=,M 为BC 的中点，则=MN ( 用b a ,表示)

例二：在三角形ABC 中，c AB =，b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=AD ( )

A. ,3132c b +

B. ,3235b c -

C. ,3132c b -

D. ,3

231c b +

变式一：(高考题) 在三角形ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分角ACB,a CB =，

b CA =21==,则=CD ( )

A. ,3231b a +

B. ,3132b a +

C. ,54

53b a + D. ,5

354b a +

变式二：设D,E,F 分别是三角形ABC 的边BC,CA,AB 上的点，且,2BD DC =,2EA CE =,2FB AF =则

CF BE AD ++,与BC ( )

A.反向平行

B. 同向平行

C.互相垂直

D.既不平行也不垂直

变式三：在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AF AE AC μλ+=,其,,R ∈μλ则μλ+=

变式四：在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,a AC =,b BD =则=AF ( )A.

,2141b a + B. ,3132b a + C. ,4121b a + D. ,3

2

31b a +

题型三：三点共线定理及其应用

例一：点P 在AB 上，求证：OB OA OP μλ+=且μλ+=1（,,R ∈μλ）

变式：在三角形ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 和N,若

,AM m AB =,AN n AC =则m+n=

例二：在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，DE 与AF 交于点H,设,a AB =,b BC =则=AH A. ,5452b a - B. ,5452b a + C. ,5452b a +- D. ,5

4

52b a --

变式：在三角形ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 是边AC 上一点且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P,若,PM AP λ=求λ的值。

题型四： 向量与三角形四心 一、 内心

例一：O 是∆ABC 所在平面内一定点，动点P

满足），【∞+∈+

+=0λλAC AB OA OP ，则点P

的轨迹一定通过∆ABC 的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

变式一：已知非零向量AB 与AC

满足0=⋅+

BC AC AB

，且

2

1

=

⋅

AC AB ，则∆ABC 为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形

变式二：⇔=⋅+⋅+⋅0PB PA PC P 为∆ABC 的内心

二、重心

例一：O 是∆ABC 内一点，0=++OB OA OC ，则为∆ABC 的（ ）A.外心B.内心C .重心 D.垂心

变式一：在∆ABC 中，G 为平面上任意一点，证明：⇔++=)(3

1

GC GB GA GO O 为∆ABC 的重心

变式二：在∆ABC 中，G 为平面上任意一点，若⇔+=)(3

1

AC AB AO O 为∆ABC 的重心

三垂心：

例一：求证：在∆ABC 中，⇒⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB

OA O 为∆ABC 的垂心

变式一：O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满

足

,R AC AB OA OP ∈+

+=λλ则点P 的轨迹一定通过∆ABC 的（ ）

A.外心

B.内心

C.重心 D .垂心

四外心

例一：若O 是∆ABC 的外心，H 是∆ABC 的垂心，则OB

OC OA OH ++=

变式一：已知点O ，N ，P 在∆ABC 所在平面内，

且

==NC

NB NA ++=0，

PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则O ，N ，P 依次是∆ABC 的（ ）

A. 重心、外心 、垂心

B. 重心、外心 、内心

C. 外心 、重心、垂心 D . 外心 、重心、 内心