物理动量守恒定律和能量守恒定律

I
x
t2 t1
Fxdt
其中：
I
y
t2 t1
Fydt
I
z
t2 t1
Fzdt
px py
mvx mvy
pz
mvz
定理：一对内力的冲量的和为零（证明略）。
3-1
五. 质点系的动量定理
推导（以只有两个质点的质 质点系
点系为例）：由质点的动量
F2
定理： v dI
dpv
v
dIvFv1
dI
v F2
说明：有时合外力不为零，但在某一方向上的 投影为零，则质点系的动量在该方向上的投影 守恒（证明略）。
3-2
3-3 系统内质量移动问题
课下阅读
3-3
推导：d
(v2
)
d
3-4
(v v
动能定理
cos 0o) d(vv
vv)
d
(vv
vv)
dt
dvv vv dt
v F
vv dvv dt
mav
dtmd v2vvv
v
(dV )v (Sdx)v
(Svdt)v v2Sdt
N v2S
O
x
N v2S 3-1
思考：在中学做本题时常选 t 时
间（或单位时间）内打到墙面上的
水为研究对象，试问这种做法在什
v
么情况下将不可用？
答：当水速为变量时（显然此时冲
击力为变力）。因为中学做法所选
过程为有限过程，必须用质点系的 O
x2 x1
Fxdx
y2 y1
Fydy
z2 z1
Fz dz
3-4
四. 功的计算
vv
W
2
1
F
dl
2. 平面自然坐标系
evn
s
v evt
P dl
o
v F
Ft evt
Fnevn
v dl
dlevt
0evn
vv dW F dl Ftdl Fn 0 Ftdl Ftds
W
s2 s1
Ft
ds
x
动量定理的积分形式：
I外
t2
t1
Ndt
p
但积分形式只能算出该段时间内的平均力，不能算出
各个时刻的瞬时力。
t2
t1
Ndt
N t
p
N p t
3-1
3-2 动量守恒定律
一. 动量守恒定律
推导：由质点系的动量定理：
v F外dt
dpv
vv 当外力为零时， F外 0
dpv
v 0
pv
v C
1. 定律：当合外力为零时，质点系的动量守恒。
dvv dt
dt
2vv dvv
dt
vv dvv 1 d (v2 )
2v F
v F
v dl
m
dvv
dt v dl
mdvv
v dl
v dt
dt
dl ：元位移！
o
v s dl
mdvv
drv dt
mdvv
vv
mvv
dvv
m
1 2
d
(v2
)
d
1 2
mv
2
3-4
推导：
v F
v dl
d
1 2
mv
2
3-1 质点和质点系的动量定理
推导：
v F
mav
m dvv
d (mvv)
v Fdt
d (mvv)
dt
dt
vv 定义 1 ：（元）冲量：dI Fdt 定义 2 ：动量： pv mvv
则有动量定理：
v dI
dpv
（微分形式）
t2
vt1
I
v dI
pv
v pv2 dp pv1
（积分形式）
3-1
v F
定义 1：（元）功：
vv dW F dl
定义
2：动能：
Ek
1 2
mv2
o
v s dl
则有动能定理： dW dEk （微分形式）
dW dE 2
Ek 2
1
Ek 1
k
W Ek （积分形式）
3-4
一.
功
1. 元功：dW
v F
v dl
总功： W
2
1
v F
v dl
说明：当力为恒力，且质点做直线运动时，
av
v b
axbx
ayby
azbz
3-4
四. 功的计算
W
2
1
v F
v dl
1. 直角坐标系
av bv
axbx
ayby
azbz
F Fi F jFk
x y z
dl dxi dyj dzk
vv
dW F dl Fxdx Fydy Fzdz
2
W 1 (Fxdx Fydy Fzdz)
mg(z z ) mg(z z )
2
1
Q
P
结果表明：重力的功和路径无关。
W
2
1
v F
v dl
F
v
l
(Fdl
cos
)
F
cos
v
l
dl
F cosl Fl cos
l
即中学学过的功的定义其实是特例。
二. 动能
Ek
1 mv2 2
三. 质点的动能定理 W Ek
3-4
四. 功的计算
W
2
1
v F
v dl
1. 直角坐标系
av
v axi
ay
v j
az
v k
vvvv b bxi by j bzk
一. 冲量
vv
1. 元冲量： dI Fdt
总冲量：
v I
t2
t1
v Fdt
说明：当力为恒力时，
vv
I
t2
t1
Fdt
v t2 F t1
dt
v Ft
即中学学过的冲量的定义其实是特例。
二. 动量 pv mvv
3-1
三. 质点的动量定理
1. 定理：
v I
pv
说明 1 ：上式为质点的动量定理的积分形式。
m2
说明：内力不改变质点系的动量。
3-1
例 1：水枪喷出的水柱垂直打在竖直墙面上，并顺 墙面流下，设水柱截面积为 S ,水速为 v ,水的密度
为 。求水柱作用于墙面的冲击力。
解：取 dt 时间内打到墙面上的水 dm 为研究对象。 用质点系的动量定理的微分形式：
dI外 dp
Ndt 0 (dm)v (dm)v
v dI v
vF12 dI v
F21
ຫໍສະໝຸດ Baidu
dpv1 dpv2
F1
F12
m1
F21
m2
v (dI v
F1
v dI v
F2
)
v (dI v
F12
v dI v )
F21
dpv1
dpv2
v (dI v
F1
v dI v
F2
)
dpv1
dpv2
d ( pv1
pv2 )
dpv
3-1
五. 质点系的动量定理
推导：
v (dI v
v dI v
)
dpv
F1
F2
v dI外
dpv
（微分形式）
t2
t1
v dI外
pv2 pv1
dpv
v I外
pv
（积分形式）
质点系
F1
F12
m1
F2
F21
m2
3-1
五. 质点系的动量定理
1. 定理：
v I外
pv
对比：质点的动量定理：
v I
pv
质点系
F1
F12
m1
F2
F21
3-4
例 1. 一质点 m 沿一曲线从 P 到 Q ，计算此过程中 重力所作的功，设 P 、 Q 坐标均为已知。
解：
z
Q
W
x2 x1
Fxdx
y2 y1
Fydy
z2 z1
Fzdz
x2 x1
0dx
y2 y1
0dy
z2 z1
(mg)dz
oP
z2 z1
(mg
)dz
x
y
mg
z2 z1
dz
说明 2 ：质点的动量定理的微分形式和积分 形式等价。
说明 3 ：建议只记忆积分形式，以后谈到动量 定理也一般指其积分形式。以后对类似的其它 结论通常也做此处理。
3-1
三. 质点的动量定理
1. 定理：
v I
pv
2. 投影式（证明略）：
Ix ( px )
I
y
( py )
I
z
( pz )
四. 内力的冲量