10-矩阵对策

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第10章
矩阵对策
10.1 基本概念
(4) 若有X*∈S1*, Y*∈S2*, 使 E(X*,Y*) = max min E(X, Y) = min max E(X, Y)
X Y Y X
则
X* —— 甲方的最优混合策略 Y* —— 乙方的最优混合策略 简称最优策略；而
如例2 : X*= (0, 1, 0)T α 2 Y*= (0, 0, 1, 0)Tβ 3
ark = max min aij = min max aij j i i j 则把 ark 所对应的局势 (αr , βk ) 称为对策G的解或鞍点, 分别称 αr —— 甲方的最优纯策略，记为α* =αr
βk —— 乙方的最优纯策略，记为β* =βk
ark —— 对策G的值，记为v 即
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v = max min aij = min max aij = ark
第10章 矩阵对策
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10.1 基本概念
由此可见，在二人有限零和对策中，给定一个局中人的
赢得矩阵，则另一个局中人的赢得矩阵也就唯一确定了，而
且双方的策略数目也就唯一确定了。这意味着二人有限零和 对策总可以由一个局中人的赢得矩阵来刻画，故称这种对策 为矩阵对策。 其基本模型记为
G = { S1, S2, A }
事先公开这一点,甲方也无法利用这一信息使乙方的损失
比 v 更多。
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第10章
矩阵对策
10.1 基本概念
例3 求解对策G = { S1, S2, A }, 其中: 4 3 6 3
A = -2
5
2
3 β2 β3
0
4 β4
-6
3 min aij
j
解 α1
β1
4
3 3
2 3 3 (min)
6
0 4 6
3 3
(11-3)
上式意味着：ark 是它所在行的诸元素中的最小者,
同时又是它所在列的诸元素中的最大者。
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矩阵对策
10.1 基本概念
最优纯策略具有下述性质：
(1) 若甲方采用α* =αr ,则他的赢得至少是v, 即便 事先公开这一点, 乙方也无法利用这一信息使甲方的赢得 比 v 更少。
(2) 若乙方采用β* =βk ,则他的损失至多是v,即便
β1 = (上、中、下), β2 = (上、下、中) β3 = (中、下、上)， β4 = (中、上、下) β5 = (下、上、中)， β6 = (下、中、上)
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第10章
矩阵对策
10.1 基本概念
则田忌的赢得矩阵为：
β1
α1 α2 α3 A= α4 α5 α6
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β2
-1 -3 -1
β3 β4
1 -1 -3 -1 1 -1
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10.1 基本概念
推论 设v* 是对策 G = { S1, S2, A }的值，则方程组 m
∑a ij xi ≥ v*, i=1 ∑ x =1 j=1 i xi ≥ 0,
m
j=1, 2, …, n
(Ⅰ )
n
的解 X* = ( x1*, x2*, … ,
i=1, 2, …, m xm* )T 是甲方的最优策略; i=1, 2, …, m
二、 对策的分类
局中人数： 二人对策 策略数： 有限对策 得失总和： 零和对策
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多人对策 无限对策 非零和对策 矩阵对策
第10章
10.1 基本概念
二、 对策的分类（续） • 按相互关系：
协商对策
• 平等对策 • 主从对策 对抗对策
联合对策
• 多人对策 结 盟对策 不结盟对策 合作对策
• 按数学模型：矩阵对策、树图对策、微分对策。
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y = 1/3 1 - y = 2/3
第10章
矩阵对策
10.1 基本概念
(1) 把S1上的概率分布 X = ( x1, x2, · · ·, xm )T 称为甲方的混合策略, 把S2上的概率分布 Y = ( y 1, y 2, · · ·, yn )T 称为乙方的混合策略， 称 ( X, Y ) 为对策G的一个混合局势。 (2) 称数学期望
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第10章
矩阵对策
10.1 基本概念
αi
aij βj
α1 α2
β1
7 3
β2
4 6
P(αi) x
1-x
P(βj)
y 1-y
局中人甲的期望赢得为:
X = ( x1, x2 )T = ( x, 1-x )T Y = ( y1 , y 2 ) T = ( y, 1-y)T X* = (1/2, 1/2)T Y* = (1/3, 2/3)T E ( X* , Y* ) = 5
（3）得失：一局对策的结果，诸如胜负、名次、损益、效用，等等,
统称为得失。
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第10章
矩阵对策
10.1 基本概念
例1 田忌赛马
（1）局中人：田忌、齐王；
（2）策
略： 3 匹马参赛的顺序： （上，中，下）， （上，下，中） （中，下，上）， （中，上，下） （下，上，中）， （下，中，上） 策略集：每个局中人所有策略构成的集合。 局势： （（下，上，中）， （上，中，下）） （3）得 失：一局千金。
-6 3 3 (min)
3 (max) -6 3 (max)
A = α2 - 2 5 α3 max aij 5
i
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第10章
矩阵对策
10.1 基本概念 10.1.3 混合策略
一、矩阵对策的解
如前所述, 有些矩阵对策在纯策略下无解。那么在这种
情况下，双方应如何决策呢？ 例4 已知对策G = { S1, S2, A }, 其中: S1 = {α1,α2 }, A= 7 3 S2 = {β1, β2 } 4 6
i j j i 第10章 矩阵对策
(11-2)
10.1 基本概念
二、鞍点属性
定理1 对策G = { S1, S2, A }在纯策略意义下有解的
充要条件是：矩阵A中存在一个元素 ark ，它对一切 i 、j 都满足：
aik≤ark≤arj ,
i =1, 2, · · ·, m; j = 1, 2, · · ·, n
Games Theory
第 10 章 矩 阵 对 策
——对策论的第一扇大殊方法 10.3 线性规划法
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第10章
矩阵对策
10.1 基本概念
10.1.1 引言 一、对策现象及其三个要素
对策：就是竞争或斗争中的决策。 对策现象的三个要素：局中人、策略、得失。 （1）局中人：参与对策并有切身利益关系与决策权的个人或集体。 假设：局中人都是聪明的。 （2）策略：每个局中人为了自身利益所能采取的对付其他局中人的 办法或措施，称为该局中人的策略。 一个策略应是在一局对策中，从始至终采取的所有行动的 一套完整方案。
其中 A = (aij)m×n 规定为甲方的赢得矩阵。
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第10章
矩阵对策
10.1 基本概念
例1 田忌赛马 设以 S1 = {α1,α2 , α3 , α4, α5, α6 }表示田忌的策略集， 其中： α1 = (上、中、下)， α2 = (上、下、中) α3 = (中、下、上)， α4 = (中、上、下) α5 = (下、上、中)， α6 = (下、中、上) 以 S2 = {β1 ,β2 , β3 , β4 , β5 , β6 }表示齐王的策略集， 其中：
(X*,Y*) —— 对策G在混合策略意义下的解 E(X*,Y*) —— 对策G的值，记为 v* ，即 v*= max min E(X,Y) = min max E(X,Y) = E(X*,Y*)
X Y Y X
这样，对策在纯策略意义下的解(α* , β*)就成为(X*, Y*) 的一种特殊情况。
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E(x, y) =∑aijP(αiβj ) = ∑∑aijP(αi ) P(βj ) = 7xy + 4x(1-y) + 3(1-x)y + 6(1-x)(1-y) = 6 xy -3y -2 x +6 = 6y(x -1/2) -2(x -1/2) +5 = 6(x -1/2 )(y -1/3 ) + 5 x = 1/2 1 - x = 1/2
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第10章
矩阵对策
10.2 特殊方法
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第10章
矩阵对策
10.1 基本概念
则 S1 与 S2 构成 m×n 个局势 令 (αi , βj ) ,
i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · ·, n
aij ——甲方关于局势 (αi , βj ) 的赢得 则所有 aij 构成一个矩阵 A = ( aij )m×n 称为甲方的赢得矩阵。 由于甲、乙双方得失总和恒为零，所以A还可称为 乙方的损失矩阵，而 –A 即乙方的赢得矩阵。
而
∑a ij yj ≤ v*, i=1
(Ⅱ )
∑ y =1 j=1 j yj ≥ 0,
第10章
j=1, 2, …, n
n
的解 Y* = ( y1*, y2*, … , yn* )T 是乙方的最优策略;
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矩阵对策
10.1 基本概念
定理4 若 ( X*, Y* ) 是矩阵对策G的解, v*是G的值,
A = α2
α3 max aij
3
(min)
(α2 , β3 )为最优纯局势。
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坏中求好
第10章
矩阵对策
10.1 基本概念
设有对策G = { S1, S2, A }, 其中 S1 = {α1,α2 , … , αm }, A = (aij)m×n S2 = {β1 ,β2 , … , βn }