图论方法.ppt
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一般研究无向图
树图：倒置的树，根(root)在上，树叶(leaf)在下
多级辐射制的电信网络、管理的指标体系、家谱、分 类学、组织结构等都是典型的树图
C1 根
Baidu Nhomakorabea
C2
C3
C4
叶
一 树的定义及其性质
无圈连通图称为树(tree)，记为T
树的性质： 任何树必存在次数为 1 的点
具有 n 个节点的树 T 的边恰好为 n1 条，反之，任何有n 个 节点， n1 条边的连通图必是一棵树
哥尼斯堡七桥问题 (Königsberg Bridge Problem) Leonhard Euler (1707-1783) 在1736年发表第一篇图论方面
的论文，奠基了图论中的一些基本定理. 很多问题都可以用点和线来表示，一般点表示实体，线表示
实体间的关联
A
A D
C
C
D
B
B
2 最小支撑树(生成树)
v2 (4)
5
v4
9
引言 图论(Graph Theory)是专门研究图的理论 的一门数学分支，属于离散数学范畴，与运筹 学有交叉，它有200多年历史，大体可划分为三 个阶段： 第一阶段是从十八世纪中叶到十九世纪中叶， 处于萌芽阶段，多数问题围游戏而产生，最有 代表性的工作是所谓的Euler七桥问题，即一笔 画问题。
第二阶段是从十九世纪中叶到二十世纪中叶， 这时，图论问题大量出现，如Hamilton问题， 地图染色的四色问题以及可平面性问题等， 这时，也出现用图解决实际问题，如Cayley 把树应用于化学领域，Kirchhoff用树去研究 电网络等.
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v1 23 v6
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标号（0）。画第一个弧。（表明已 v1标号，或已走出v1 ） 2）从 v1 出发，只有两条路可走 (v1, v2 ), (v1, v3) ，其距离为
l12 4, l13 6.
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① ②
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可能最短路为
min{ k12 , k13} min{l12 , l13} min{ 4,6} 4
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第三阶段是二十世纪中叶以后，由生产管理、 军事、交通、运输、计算机网络等方面提出 实际问题，以及大型计算机使大规模问题的 求解成为可能，特别是以Ford和Fulkerson 建立的网络流理论，与线性规划、动态规划 等优化理论和方法相互渗透，促进了图论对 实际问题的应用。
1 图与网络的基本概念
例6.1：哥尼斯堡七桥问题
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v1
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总造价=1+4+9+3+17+23=57
4： 最短路问题
最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。许多优 化问题都可以使用这个模型，如设备更新、管道的铺设、 线路的安排、厂区的布局等。
最短路问题的一般提法是：设 G (V , E) 为连通图，图中
图的生成树:若图G的一个支撑图T是一棵树,则称T是G的一棵生成树
(spanning tree).
A
CA
CA
CA
C
B
DB
DB
DB
D
在赋权图G中，一棵生成树所有边上权的和，称为生成树的权。 具有最小权的生成树，称为最小树（或最优树）,求最小树有破圈法 和避圈法.
3 最小枝杈树问题
定理 图 G有生成树的充分必要条件为图 是连通图。 定义（最优树）在赋权图G中，一棵生成树 所有树柱上权的和，称为生成树的权。具有 最小权的生成树，称为最优树（或最小树）。 求最小树的方法有破圈法和避圈法。
例10-7 v1
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破圈法
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总造价=1+4+9+3+17+23=57
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避圈法
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法。下面通过例子来说明此法的基本思想。
条件：所有的权数 lij 0
思路：逐步探寻。
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①
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下求 v1 到 v8 的最短路： 1）从 v1 出发，向 v8 走。首先，从 v1 到 v1 的距离为0，给 v1
① 给 (v1, v2 ) 划成粗线。 ② 给 v2 标号（4）。 ③ 划第二个弧。
v2 (4)
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① ②
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表明走出 v1 后走向 v8 的最短路目前看是 (v1, v2 ) ，最优距离 是4 。
现已考察完毕第二个圈内的路，或者说，已完成 v1, v2 的标号。
各边 (vi , v j ) 有权 lij ( lij 表示 vi ，v j 之间没有边）,
vs , vt 为图中任意两点，求一条道路 ，使它是从 vs 到
vt 的所有路中总权最小的路。即：
最小。
L() lij (vi ,v j )
最短路算法中1959年由 Dijkstra （狄克斯特洛）提出的 算法被公认为是目前最好的方法，我们称之为 Dijkstra算
树图：倒置的树，根(root)在上，树叶(leaf)在下
多级辐射制的电信网络、管理的指标体系、家谱、分 类学、组织结构等都是典型的树图
C1 根
Baidu Nhomakorabea
C2
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叶
一 树的定义及其性质
无圈连通图称为树(tree)，记为T
树的性质： 任何树必存在次数为 1 的点
具有 n 个节点的树 T 的边恰好为 n1 条，反之，任何有n 个 节点， n1 条边的连通图必是一棵树
哥尼斯堡七桥问题 (Königsberg Bridge Problem) Leonhard Euler (1707-1783) 在1736年发表第一篇图论方面
的论文，奠基了图论中的一些基本定理. 很多问题都可以用点和线来表示，一般点表示实体，线表示
实体间的关联
A
A D
C
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2 最小支撑树(生成树)
v2 (4)
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引言 图论(Graph Theory)是专门研究图的理论 的一门数学分支，属于离散数学范畴，与运筹 学有交叉，它有200多年历史，大体可划分为三 个阶段： 第一阶段是从十八世纪中叶到十九世纪中叶， 处于萌芽阶段，多数问题围游戏而产生，最有 代表性的工作是所谓的Euler七桥问题，即一笔 画问题。
第二阶段是从十九世纪中叶到二十世纪中叶， 这时，图论问题大量出现，如Hamilton问题， 地图染色的四色问题以及可平面性问题等， 这时，也出现用图解决实际问题，如Cayley 把树应用于化学领域，Kirchhoff用树去研究 电网络等.
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标号（0）。画第一个弧。（表明已 v1标号，或已走出v1 ） 2）从 v1 出发，只有两条路可走 (v1, v2 ), (v1, v3) ，其距离为
l12 4, l13 6.
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第三阶段是二十世纪中叶以后，由生产管理、 军事、交通、运输、计算机网络等方面提出 实际问题，以及大型计算机使大规模问题的 求解成为可能，特别是以Ford和Fulkerson 建立的网络流理论，与线性规划、动态规划 等优化理论和方法相互渗透，促进了图论对 实际问题的应用。
1 图与网络的基本概念
例6.1：哥尼斯堡七桥问题
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总造价=1+4+9+3+17+23=57
4： 最短路问题
最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。许多优 化问题都可以使用这个模型，如设备更新、管道的铺设、 线路的安排、厂区的布局等。
最短路问题的一般提法是：设 G (V , E) 为连通图，图中
图的生成树:若图G的一个支撑图T是一棵树,则称T是G的一棵生成树
(spanning tree).
A
CA
CA
CA
C
B
DB
DB
DB
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在赋权图G中，一棵生成树所有边上权的和，称为生成树的权。 具有最小权的生成树，称为最小树（或最优树）,求最小树有破圈法 和避圈法.
3 最小枝杈树问题
定理 图 G有生成树的充分必要条件为图 是连通图。 定义（最优树）在赋权图G中，一棵生成树 所有树柱上权的和，称为生成树的权。具有 最小权的生成树，称为最优树（或最小树）。 求最小树的方法有破圈法和避圈法。
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总造价=1+4+9+3+17+23=57
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避圈法
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法。下面通过例子来说明此法的基本思想。
条件：所有的权数 lij 0
思路：逐步探寻。
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下求 v1 到 v8 的最短路： 1）从 v1 出发，向 v8 走。首先，从 v1 到 v1 的距离为0，给 v1
① 给 (v1, v2 ) 划成粗线。 ② 给 v2 标号（4）。 ③ 划第二个弧。
v2 (4)
5 v4
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① ②
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表明走出 v1 后走向 v8 的最短路目前看是 (v1, v2 ) ，最优距离 是4 。
现已考察完毕第二个圈内的路，或者说，已完成 v1, v2 的标号。
各边 (vi , v j ) 有权 lij ( lij 表示 vi ，v j 之间没有边）,
vs , vt 为图中任意两点，求一条道路 ，使它是从 vs 到
vt 的所有路中总权最小的路。即：
最小。
L() lij (vi ,v j )
最短路算法中1959年由 Dijkstra （狄克斯特洛）提出的 算法被公认为是目前最好的方法，我们称之为 Dijkstra算