中考数学函数问题归纳总结5.函数中的面积问题
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5.函数中的面积问题
1.如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ∠︒＝，
6AD cm ＝，8AB cm ＝，14BC cm ＝.动点P Q 、都从点C 出发，点P 沿C B →方
向做匀速运动，点Q 沿C D A →→方向做匀速运动，当P Q 、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）求CD 的长； （2）若点P 以1/
cm s 速度运动，点Q 以22/cm s 的速度运动，连接BQ PQ 、，设
BQP 面积为2S cm （），点P Q 、运动的时间为t s （）
，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；
（3）若点P 的速度仍是1/
cm s ，点Q 的速度为/acm s ，要使在运动过程中出现
PQ DC ∥，请你直接写出a 的取值范围．
解析：（1）过D 点作DH
BC ⊥，垂足为点H ，
则有8DH AB cm ＝＝，6BH AD cm ＝＝ ∴1468CH BC BH cm ＝－＝－＝
在Rt
DCH 中，CD ==．
（2）当点P Q 、运动的时间为t s （）
，则PC t ＝.
①当Q 在CD 上时，过Q 点作QG BC ⊥，垂足为点G ，
则由点Q
的速度为/s
，得QC ＝.
又∵DH HC ＝，DH BC ⊥，
∴45C ∠︒＝. ∴在Rt
QCG
中，·sin sin 452QG QC C t ∠︒＝＝＝.
又∵14BP BC PC t =-=-，
∴211
(14)21422
BPQ
S
BP QG t
t t t =
=-
=-
当Q 运动到D 点时所需要的时间4t =
== ∴2
1404S
t t t =-≤（＜）．
②当Q 在DA 上时，过Q 点作QG BC ⊥，垂足为点G ，
则8QG AB cm ＝＝，14BP BC PC t ＝－＝－. ∴11
(14)856422
BPQ
S
BP
QG t t ==-
=-
当Q 运动到A
点时所需要的时间42
t
=
==+
∴564S t ＝－442
t ≤+
（＜ 综合上述，所求的函数关系式是：2
1404564442
t t t S t t ⎧-≤⎪
=⎨-≤+⎪⎩
（＜）（＜）.
（3）要使运动过程中出现PQ DC ∥，a 的取值范围是1a ≥
2.如图，90C
∠=︒，点A B 、在C ∠的两边上，30CA =，20CB =，连接AB ．点
P 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC 方向运动，到点C 停止．当点P 与
B C 、两点不重合时，作PD BC ⊥交AB 于D ，作DE AC ⊥于E ．F 为射线CB
上一点，且CEF
ABC ∠=∠．设点P 的运动时间为x （秒）
． （1）用含有x 的代数式表示CE 的长． （2）求点F 与点B 重合时x 的值．
（3）当点F 在线段CB 上时，设四边形DECP 与四边形DEFB 重叠部分图形的面积为
y （平方单位）
．求y 与x 之间的函数关系式． （4）当x 为某个值时，沿PD 将以D E F B 、、、为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的
x 值．
解析：（1）由题意知，DBP ABC ∽，四边形PDEC 为矩形.
∴
PD PB
CA CB
=
， ∴304620
CA PB x
PD x CB ⋅⋅===.
∵CE
PD =
∴CE 6x = （2）由题意知，
CEF CBA ∽，
∴CF CE
CA CB
=． ∴306920
CA CE x
CF
x CB ⋅⋅=
==．
当点F 与点B 重合时，CF
CB =，920x =．解得20
9
x =
.
（3）当点F 与点P 重合时，BP CF
CB +=，4920x x =＋，得20=
13
x . 当20
013
x <<
时，如图①，2()6(2013204)
5112022
PD PF DE x x x y x x +-+-=
==-+.
当
2020
139
x ≤<
时，如图②， 12y DE DG =⋅12(204)(204)23x x =-⋅-216
(5)3
x =-
∴y 与x 之间的函数关系式为()2
220501200131620205 3139x x x y x x ⎧⎛⎫-+<< ⎪⎪⎪⎝⎭
=⎨⎛⎫⎪-≤< ⎪⎪⎝⎭⎩
（4）1
2320205
19132
x x x =
==，， 【分析】 （1）由
DBP ABC ∽，即可得出比例式从而得出表示CE 的长.
（2）根据当点F 与点B 重合时，FC
BC =，即可得出答案
.