相似三角形六大证明技巧

相似三角形六大证明技巧

相似三角形的判定方法总结：

1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ）

3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)

4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)

5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)

相似三角形的模型方法总结： “反A ”型与“反X ”型.

示意图

结论

E D C

B

A

反A 型：

如图，已知△ABC ，∠

ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE ·AC =AD ·AB.

若连CD 、BE ，进而能证

相似三角形6大证明技巧

相似三角形证明方法

“类射影”与射影模型

“旋转相似”与“一线三等角”

巩固练习 反A 型与反X 型

已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）

AE AB AF AC

⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO ，

∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB

O

F E

C

B

A

类射影 如图，已知

2AB AC AD

=⋅，求证：

BD AB

BC AC

=

A B

C

D

射影定理

已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：

2AC AH AB

=⋅，2

BC

BH BA

=⋅，2

HC

HA HB

=⋅

通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的

比例式的证明方法

利刃，让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算

【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长

线上的一点，DE 交BC 于F ，求证：DC CF AE

AD

=．

A

B

C

F

D

E

【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，M 为BC 的中点，

DM BC

⊥交CA 的延长线于D ，交AB 于E ．求证：2AM MD ME

=⋅

技巧一：

C

B

A

E

D

M

【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，

ABC

∠的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F ．求

证：BF AB

BE BC

=．

D

B

A

C

F E

悄悄地替换比例式中的某条线段…

【例4】 如图，在△ABC，AD 平分∠BAC ，AD 的

垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：2

FD

FB FC

=⋅

A

B

C

D

E

F

【例5】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在

技巧二：等

边BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，ECA D ∠=∠．求

证：AC BE CE AD ⋅=⋅．

C

B

A

D E

F

【例6】 如图，△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC ，

∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：

2AB BE CD

=⋅

A

B

C

D

E

【例7】 如图，ABC △中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD

上一点，过C 作CF AB ∥，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：2

BP

PE PF

=⋅．

C

B

A

D

P

E

F

技巧三：

【例8】如图，平行四边形ABCD中，过B作直线AC、AD于O，E、交CD的延长线于F，求证：

2

OB OE OF

=⋅．

O

F E

D

C

B

A

【例9】如图，在ABC

△中，已知90

A

∠=︒时，AD BC

⊥于D，E为直角边AC的中点，过D、E作直

线交AB的延长线于F．求证：AB AF AC DF

⋅=⋅．

E

F

C

A

B

D

【例10】如图，在ABC

△中（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD AE

=，