任意 n 个完备二分图的并图的优美性

min Qi (w) − max Qi+ p (w) = [min f (w) + (s +1)(i −1) + st(n − i)] −{max f (w) + (s +1)[(i + p) −1] + st[n − (i + p)]} = [s + (s +1)(i −1) + st(n − i)] −[st + (s +1)(i + p −1) + st(n − i − p)] = ( p −1)(st − s −1) −1 > 0, (s,t, p ≥ 2).
错图. 图 4 即为 si (i = 1, 2, 3) 分别等于 2,i3=1,3 和 ti (i = 1, 2, 3) 分别等于 4，4，i=31 的图的优美标号，即图
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文章编号：1003-2843(2006)05-0862-04
任意 n 个完备二分图的并图的优美性
付明彦 1, 刘小冬 2, 王力工 3, 杨东升 4
(1.新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐 830046; 2.西安财经学院信息学院，陕西西安 710061; 3.西北工业大学理学院应用数学系，陕西西安 710072; 西安通信学院数理教研室，陕西西安 710106)
(1)验证属于 X 的不同顶点，标号也不同. 由于
Qi (w) = f (w) + (i −1)(s +1), 即是在 f (w) 加上 s +1的 i −1倍 i(i = 1, 2,
没有相同的顶点标号.
w∈ X . , n) ，其中 0 ≤ f (w) ≤ s −1, w ∈ X ，所以在 nKs,t ， w ∈ X ，
定义 3[5] 图 G 是一个有 n 个顶点的优美二分图，其优美标号为 f (v) ，若V (G) 可分成两个集合 X 和 Y ，
如果有 max f (v) < min f (v) ，则称 G 为交错图.
v∈X
v∈Y
定义 4[1] 对于一个简单二分图 G = ( X ,Y ; E) ，若对任意 xi ∈ X , yi ∈Y 有 (xi , yi ) ∈ E ，则称 G 为完备二
由 f (w) ，w ∈Y 的标号可知，max f (w) −1和 min f (w) +1 都不是 f (w) 的值，从而 max Qi+1(w) 与 Qi (w) 不相同，同样 min Qi (w) 也与 Qi+1(w) 的值不相同，即两相邻 Ks,t 中 w ∈Y 没有相同标号.
3)在不相邻的 Ks,t 中，由于 w ∈Y 的标号随着 i 减小而增大，比较第 i 个中一个最小 Qi (v) 和第 i + p( p ≥ 2) 个 Ks,t 中最大 Qi+ p (w), w ∈Y 的关系.
图1
u3
u2
3m 2m
u1
m
864 2
图2
设图 Km,n 的二分图记作 Km,n = (V1,V2; E(Km,n )) ，其中：| V1 |= m,| V2 |= n . 令其图的顶点标号标号 f (w) 如
下：
令 f (vi ) = i −1, vi ∈V1, 1 ≤ i ≤ m ； f (ui ) = im , ui ∈V2 , 1 ≤ i ≤ n .
[3] 康庆德. 图标号问题[J]. 河北师范学院学报, 1991(1):102-115 .
[4] 潘伟, 路线. 两类非连通图 (P2 ∨ Kn ) ∪ St(m) 及 (P2 ∨ Kn ) ∪ Tn 的优美性[J]. 吉林大学学报: 理学版, 2003, 41(2):
G 的顶点集和边集，│E(G)│表示 G 的边数，其它一些概念参考文献[1，2，3].
定义 1[1] 一个 q 条边的简单图 G(V , E) ，如果存在一个单射 f :V (G) → {0,1, , q} ，使的对所有的边 e = (u, v) ∈ E(G) ，由 f ' (e) =| f (u) − f (v) | 导出一个的双射 f ' : E(G) ↔ {1, 2, q}，则称 G 是优美图， f 是
分图，若 | X |= m,| Y |= n, 这样的完备二分图记作 Km,n .
∪n
定义 5 对于自然数 n, s, t, si , ti ，由 n 个 Ksi ,ti 并起来的非连通图的并图记作 Ksi ,ti ；由 n 个 Ks,t 并起来的
i =1
非连通图的并图记作 nKs,t .
2 主要结论及证明
则容易验证， f 是 Km,n 的一个优美标号. 我们也容易看出，属于 X 的最大的顶点标号是 m-1，而属于 Y 的最小
的顶点标号是 m，满足 max v∈X
f (v) < min v∈Y
f (v) 的条件，因此也是交错标号.
图 1 和图 2 是 Km,n 和 K2,4 的优美标
号图.
定理 1 n 个 Ks,t 的并图 nKs,t (s, t ≥ 2) 是优美图，且是交错图 . 证明：设图 nKs,t 的顶点标号 Q(w) 在第 i(i = 1, 2, , n) 个 Ks,t 的顶点标号 Qi (w) 如下：
K2,4 ∪ K3,4 ∪ K3,3 的优美标号.
01
34 5
7 89
29 27 25 23
24 21 18 15
图4
16 13 10
参考文献:
[1] 马克杰. 优美图[M]. 北京：北京大学出版社, 1991.
[2] BLOOM G S, GOLOMB S W. Applications of numbered undirected graphs[J], Proc IEEE65, 1997: 562-570.
摘 要： 优美图是图论中的一个重要分支，至今对非连通优美性的研究并不多，特别是对 n 个图的并图的优美性研究
就更少. 本文证明了任意 n 个完备二分图的并图是优美图，且是交错图.
关键词：图；非连通图；优美图；交错图
中图分类号：O157.5
文献标识码：A
1 引言及定义
优美图在雷达、通讯网络、编码及射电天文学有重要的应用价值(见[1]，[2])，因而优美图的研究仍然是图 论中特别活跃的课题之一[1-5]. 但至今对非连通图优美性的研究并不多，特别是对 n 个图的并图的优美性研究就 更少[6-10]. 本文是对任意 n 个完备二分图的并图的优美性进行研究和探讨，证明了其图是优美图和交错图，将文 献[10]的主要结论推广到更一般的情况. 本文所讨论的图 G(V,E)均为简单无向图，其中 V(G)和 E(G)分别表示图
n 图3
∪ 定理 2 对于自然数
n
∪ 证明：设图
Ksi ,ti
n, si , ti ，图
的顶点标号i
K si
=1
g(v)
,ti (si , ti 在第 i(i
≥ 2, = 1,
i= 2,
1, 2, , n)
,
个
n) 是优美图，且是交错图. Ksi ,ti 的顶点标号 gi (v) 如下：
i =1
∑∑ ∑ gi (v)
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max Qi+1(w) − min Qi (w) = {max f (w) + [(i +1) −1](s +1) + st[n − (i +1)]} −[min f (w) + (i −1)(s +1) + st(n − i)] = {max f (w) + i(s +1) + st(n − i −1)} −[min f (w) + (i −1)(s +1) + st(n − i)] = max f (w) − min f (w) − st + s +1 = st − s − st + s +1 = 1.
引理[1] 对于自然数 m ≥ 2, n ≥ 2 ，图 Km,n 是优美图，且也是交错图.
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收稿日期：2006-04-18 作者简介：付明彦(1968-)，男，新疆大学数学与系统科学学院讲师. 基金项目：航空科学基金（01J53079）、西北工业大学“英才培养计划”基金和西北工业大学引进高层次人才科研启动经费资助.
Qi
(
w)
=
⎧ ⎨ ⎩
f (w) + (i −1)(s +1) , f (w) + (i −1)(s +1) +
st
(n
−
i)
,
w∈ X, w∈Y.
其中 f (w) 就是引理中所定义的 Ks,t 优美标号，且每个 Ks,t 属于 X 和 Y 的顶点 ，也分别属于 nKs,t 的 X 和 Y.
下边验证 Q(w) 就是 nKs,t 的优美标号，也是交错标号. 首先验证若顶点不同，顶点标号 Q(w) 也不同.
_第_3_2_卷_第__5_期________J_ou_rn_a_l o_f S_o_ut_hw_西e_st南_U_n民i_v族e_rs大_ity_学f_o学r_N报_at·_io_n自a_l然it_ie科_s⋅N_学a_t版u_ra_l S_c_ien_c_e E_d_iti_on__________S_e_p_t. _2_00_6
从以上证明可知 Q(w) 是图 nKs,t 的优美标号，即图 nKs,t 是优美图，且有
max Q(v) < mBiblioteka Baidun Q(u) ,
v∈X
u∈Y
即 nKs,t 也是交错图. 图 3 是 3K3,4 的优美标号.
, nst}
01 2
45 6
8 9 10
36 33 30 27 28 25 22 19 20 17 14 11
Q' (e) = [ f (u) + (i −1)(s +1) + st(n − i)] −[ f (v) + (i −1)(s +1)]
= f (u) − f (v) + st(n − i) = f '(e) + st(n − i).
由引理知，在 Ks,t 中 f ' : E(Ks,t ) ↔ {1, 2, , st}, 即 Q' : E[nKs,t ] ↔ {1, 2,
即不相邻的 Ks,t 中，对于 w ∈Y 时， w 不同，顶点标号 Q(w) 也不同. (3)显然 Q(v), v ∈ X 和 Q(u), u ∈Y 也没有相同的标号，即图 nKs,t 的不同顶点标 号 Q(v) 和 Q(u) 也不同. 其次，验证边不同， Q' (e) 也不同. 由于在第 i 个 Ks,t 中的边 e = uv ，其中 u ∈Y , v ∈ X
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证明：设图 Km,n 的顶点集如图 1 所示：
0
1
v1
v2
m-2 m-1
vm−1
vm
01
un
un−1
nm (n-1)m
图 G 的一个优美标号(或优美值).
定义 2[1] 若一个图 G 的顶点集V 能分成两个非空子集 X 和 Y ，使得 X ∪ Y = V (G),
X ∩ Y = ∅ ，且 G 的每条边的端点分别在 X 和Y 中，称此图为二分图，记作 G = ( X ,Y ; E) ；如果此图是优美
的，则称为优美二分图.
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
i −1
f (v) + s j + (i −1) ,
j =1
i −1
f (v) + s j + (i −1) +
j =1
n
s jt j
j =i +1
,
v∈ X, v∈Y.
∪ ∪ n
n
类似定理 1 的证明，容易验证 g(v) 是 Ksi ,ti 优美标号，也是交错标号，即 Ksi ,ti 是优美图，且也是交
(2)验证属于 Y 的不同顶点，顶点标号 Q(w) 也不同.
1)在同一个 Ks,t 中，由于 Qi (w) = f (w) + (i −1)(s +1) + st(n − i) , i = 1, 2, , n , w∈Y .
在同一个 Ks,t 中是在 f (w) 加上同一个数，即不能有相同的标号. 2)在相邻两个 Ks,t 中，由于 w ∈Y 的标号随着 i 减小而增大，比较第 i +1 个 Ks,t 中一个最大的 Qi+1(w), w ∈Y 和第 i 个 Ks,t 中最小的 Qi (w), w ∈Y 的关系.