16-全等三角形培优竞赛训练题--verygood

B EC G 图2
B
CE G
图3
2
3、已知 Rt△ABC 中， AC BC，∠C 90 ，D 为 AB 边的中点， EDF 90°，
EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、 CB （或它们的延长线）于 E 、 F．
当 EDF 绕 D 点旋转到 DE
AC 于 E 时（如图 1），易证 S△DEF S△CEF
AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则
AM=EC，易证△AME ≌△ECF ，所以 AE EF ．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上 （除 B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为
1 2
S△ ABC．
当 EDF 绕 D 点旋转到 DE和AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论
是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S△DEF 、 S△CEF 、 S△ABC 又有怎样的数量
关系？请写出你的猜想，不需证明．
A
A
A D
E
D
D
C
F
图1
E B
C
C
FB
E
图2
B
F
图3
3
小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条
件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明
过程；如果不正确，请说明理由．
A
D
F
A
D
A
D
F
F
B EC G 图1
（2）当 BAC 90 时，请你画出图形，研究 DBC 与 ABC 度数的比值是否与
（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．
B
D
C
A
图1
7
8、 直 线 CD 经 过 BCA的 顶 点 C， CA=CB． E、 F 分 别 是 直 线 CD 上 两 点 ， 且
BEຫໍສະໝຸດ Baidu CFA
．
（1）若直线 CD 经过 BCA的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：
B
F E
D
C
A
图1
B
EF D C
A 图2
B
E
A
C FD
图3
8
9、(1) 如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC, CD 上,AE,BF 交于点 O,∠AOF＝90°. 求证：BE＝CF.
(2) 如图 2,在正方形 ABCD 中,点 E,H,F,G 分别在边 AB, BC,CD,DA 上,EF,GH 交于点 O,∠FOH＝90°, EF ＝4.求 GH 的长.
（2）当△ADE 绕 A 点旋转到图 11 的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是， 请给出证明，并求出当 AB=2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是， 请说明理由．（6 分）
图9
图 10
图 11
5
6、点 C 为线段 AB 上一点，△ACM, △CBN 都是
N
N
等边三角形，线段 AN,MC 交于点 E，BM,CN 交于
第 23 题图 1
第 23 题图 2
(3) 已知点 E,H,F,G 分别在矩形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上，EF,GH 交于点 O, ∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案： ①如图 3,矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成,求 GH 的长； ②如图 4,矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成,求 GH 的长(用 n 的代数式表示).
①如图 1，若 BCA 90 ,
90 ，则 EF
BE AF （填“ ”，“ ”
或“ ”号）；
②如图 2，若 0 BCA 180 ，若使①中的结论仍然成立，则 与 BCA 应满足
的关系是
；
（2）如图 3，若直线 CD 经过 BCA的外部，
三条线段的数量关系，并给予证明．
BCA，请探究 EF、与 BE、AF
A
B
C
C1
F
C
A1
D
E
F
C1
A
B
（2）如图 2，当 30° 时，试判断四边形 BC1DA的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求 ED 的长．
4
5、如图 9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证： CD=BE，△AMN 是等边三角形．
（1）当把△ADE 绕 A 点旋转到图 10 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请 证明，若不成立请说明理由；（4 分）
请你完成下列探究过程：
B
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
（1）当 BAC 90 时，依问题中的条件补全右图．
观察图形， AB 与 AC 得数量关系为________；
当退出 DAC 15 时，可进一步推出 DBC 的度数为_______； C
A
可得到 DBC 与 ABC 度数的比值为_________．
MO
点 F。求证： （1）AN=MB.
E
F
A C
B
C
E
B
M
FO
（2）△CEF 为等边三角形。
A
（3）将△ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变，（1）中的结论是
否依然成立？(只回答不证明)，
（4）AN 与 BM 相交所夹锐角是否发生变化，（只回答不证明)。
6
7、问题：已知 △ABC 中， BAC 2 ACB ，点 D 是 △ABC 内的一点，且 AD CD ， BD BA ．探究 DBC 与 ABC 度数的比值．
全等三角形培优竞赛训练题
1、已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连 接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG． （1）直接写出线段 EG 与 CG 的数量关系； （2）将图 1 中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º，如图 2 所示，取 DF 中点 G，连接 EG， CG． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
4、在 △ABC 中， AB BC 2， ABC 120°，将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转角
(0°
90°)
得
△
A1BC1，A1B
交
AC
于点
E
，
A1C
分别交
1
AC、BC 于 D、F 两点．
（1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA1 与 FC 有怎样的数量关系？并
证明你的结论；
D
A1
E
（3）将图 1 中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问
（1）中的结论是否仍然成立？
A
D
A
D
A
D
G
G E
E
F
F E
B
F
C
图1
B
C
图2
B
C
图3
1
2、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的
中 点 ． AEF 90 ， 且 EF 交 正 方 形 外 角 DCG 的 平 行 线 CF 于 点 F， 求 证 ：