离散数学_第9章_树与平面图
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离散数学-图论-树
二叉树
• 定义:二元有序树称为二叉树.
– 每个顶点最多有两个子顶点,一般称为左子顶 点和右子顶点. – 类似地,称每个顶点的左子树和右子树. – 每个顶点的出度都是0或2,称为二叉正则树.
二叉树的性质
• 定理:设有二叉树T, (1)第i层最多有2i个顶点; (2)若T高度为h,则T最多有2h11个顶点，最 少有h个顶点; (3)树叶个数出度为2的顶点个数1.
1 2
Huffman树与最优编码
• 若以符号为树叶,符号概率为树叶的权,利 用通过Huffman算法得到的二叉树对符号 编码,则可以保证i pili最小. • 例:对1,1,2,3,5,6,7,8构造Huffman树.
7 3 2 1 1 5 6
8
编码：设 A, B, C, D 的频率（即权值）分别为 17％, 25％, 38％, 20％， 试设计哈夫曼编码（最佳前缀码/最优编码）。
最优编码
• 构成消息的各符号的使用频率是不一样 的,显然常用符号编码短一些,罕用符号编 码长一点,可以使传输的二进制位数最少. • 最优编码问题:给定符号集{a1,a2,...,am}, ai 的出现概率是pi,编码长度为li,要使i pili最 小.
例：如果需传送的电文为 ‘A B A C C D A’，它只用到四种字符， 用两位二进制编码便可分辨。假设 A, B, C, D 的编码分别为 00， 01，10，11，则上述电文便为 ‘00010010101100’（共 14 位）， 译码员按两位进行分组译码，便可恢复原来的电文。 数据的最小冗余编码问题 在编码过程通常要考虑两个问题 译码的惟一性问题
5 1 5 6 6
U 1
1 5 6 1 5 5 4 6 5 4 5 5
2
离散数学sec9 树
20
实例
例5 求图的一棵最小生成树
避圈法
W(T)=38
21
实例
例5 求图的一棵最小生成树
Prim算法
W(T)=38
22
作业
第九章：3，6，8，10，11
第9章 树
• 无向树及其性质 • 生成树
1
无向树及其性质
• 无向树 • 无向树的性质
2
无向树的定义
无向树: 连通无回路的无向图 平凡树: 平凡图 森林: 每个连通分支都是树的非连通的无向图 树叶: 树中度数为1的顶点 分支点: 树中度数2的顶点
例如
(a)
(b)
3
无向树的性质
定理9.1 设G=<V,E>是n阶m条边的无向图, 下面 各命题是等价的： (1) G是树(连通无回路); (2) G中任意两个顶点之间存在惟一的路径; (4) G中无回路且m=n1; (3) G是连通的且m=n1; (6) G是连通的且G中任意一条边均为桥. (5) G中无回路, 但在任何两个不相邻的顶点之间 加一条边所得图中有惟一的一条初级回路.
在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合Vnew中的元素， 而v则是V中没有加入Vnew的顶点（如果存在有多条满足前述条件即具 有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
将v加入集合Vnew中，将（u, v）加入集合Enew中； 输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
{{a,f,g}, {e,b,f,g}, {c,b}, {d,g} }
17
基本割集与基本割集系统
• 求基本割集 设e为生成树T的树枝，Te为两棵小树T1与 T2，令Se ＝{e|eE(G)且e的两个端点分别属于 T1与T2}，则Se为e对应的基本割集。
实例
例5 求图的一棵最小生成树
避圈法
W(T)=38
21
实例
例5 求图的一棵最小生成树
Prim算法
W(T)=38
22
作业
第九章：3，6，8，10，11
第9章 树
• 无向树及其性质 • 生成树
1
无向树及其性质
• 无向树 • 无向树的性质
2
无向树的定义
无向树: 连通无回路的无向图 平凡树: 平凡图 森林: 每个连通分支都是树的非连通的无向图 树叶: 树中度数为1的顶点 分支点: 树中度数2的顶点
例如
(a)
(b)
3
无向树的性质
定理9.1 设G=<V,E>是n阶m条边的无向图, 下面 各命题是等价的： (1) G是树(连通无回路); (2) G中任意两个顶点之间存在惟一的路径; (4) G中无回路且m=n1; (3) G是连通的且m=n1; (6) G是连通的且G中任意一条边均为桥. (5) G中无回路, 但在任何两个不相邻的顶点之间 加一条边所得图中有惟一的一条初级回路.
在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合Vnew中的元素， 而v则是V中没有加入Vnew的顶点（如果存在有多条满足前述条件即具 有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
将v加入集合Vnew中，将（u, v）加入集合Enew中； 输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
{{a,f,g}, {e,b,f,g}, {c,b}, {d,g} }
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基本割集与基本割集系统
• 求基本割集 设e为生成树T的树枝，Te为两棵小树T1与 T2，令Se ＝{e|eE(G)且e的两个端点分别属于 T1与T2}，则Se为e对应的基本割集。
离散数学09 图
第九章 图9.1设},,,,{y x w v u V =，画出图),(E V G =，其中：（1）)},(),,(),,(),,(),,{(y x y v w v x u v u E =（2）)},(),,(),,(),,(),,{(y x y w x w w v v u E =再求各个顶点的度数。
解（1）见图9.1(a )。
其中顶点u 的度数是2，顶点v 的度数是3，顶点x 的度数是2，顶点y 的度数是2，顶点w 的度数是1。
图9.1 习题1图（2）见图9.1(b )。
其中顶点u 的度数是1，顶点v 的度数是2，顶点x 的度数是2，顶点y的度数是2，顶点w 的度数是3。
9.2 设G 是具有4个顶点的完全图。
（1）画出图G 。
（2）画出G 的所有互不同构的生成子图？解（1）如图9.2(1)所示。
图9.2(1) 习题2图（2） 如图9.6(2)所示﹒ ﹒ ﹒ ﹒ ﹒ ﹒图9.2(2) 习题2图9.3 一个无向简单图，如果同构于它的补图，则称这个图为自互补图。
（1）试画出五个顶点的自互补图。
（2）证明一个自互补图一定只有k 4或14+k 个顶点（k 为整数）。
解（1）(a) (b)图9.3 习题3图 （2）因为n 个顶点的无向完全图有)1(21-n n 条边，所以自互补图有)1(41-n n 条边，因此，k n 4=或14+k 。
9.4 画出两个不同构的简单无向图。
每一个图都仅有6个顶点，且每个顶点都均是3度，并指出这两个图为什么不同构。
解图9.4 习题9.4图9.5 证明任意两个同构的无向图，一定有一个同样的顶点度序列。
顶点度序列是一组按大小排列的正整数。
每一个数对应某一个顶点的度数。
证明两个同构的无向图，度数相同的顶点数目一定相同，这样才能够建立起顶点之间的一一对应关系，进而建立起边的对应关系。
所以，任意二个同构的无向图，一定有一个同样的顶点度序列。
9.6图9.6中所给的图(a )与图(b )是否同构？为什么？(a )(b ) 图9.6 习题6图 解左图9.2（a ）中次数为4的点，与3个度数为1，一个度数为2的顶点相邻接，右图9.2（b ）中度数为4的点，却与3个度数为1，一个度数为3的顶点相邻接。
离散数学课件_9 树与平面图
1.概念:有向树,根树,树叶,内点,分支
点,层数,树高,祖先,后代,父亲,儿子,
兄弟,有序树,m叉树,完全m叉树,根子树,
左子树,右子树,带权二叉树,最优二叉
树,前缀,前缀码,二元前缀码,二叉树遍
历等;
4
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2019/12/4
第三节 有向树与根树(2)
2.定理: 设T是一棵根树，r是T的树根,则 对于T的任一顶点v,存在唯一的有向路 从r到v；
3.算法:最优二叉树的Huffman算法;
4.前缀码问题:前缀码与二叉树的对应关 系；
5.二叉树的遍历:三种遍历方法,即先根遍 历,中根遍历,后根遍历法.
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5 2019/12/4
第四节 平面图
平面图是很多实际问题的模型. 例如在 集成电路的布线设计中就遇到了平面图 的问题.
1.基本概念:平面图,平面嵌入,面,无限 面(外部面),内部面,边界,次数等;
第九章 树与平面图
树是一类结构较为简单的图，是用途极 为广泛的离散数学模型，特别是二叉树， 它在计算机科学中用得最多.因此在学习 时应很好地掌握好诸如树的充要条件、 生成树、最优生成树、根树、树的各种 算法、及二叉树的访问次序等内容.平面 图是实际背景很强的一类图，能用本章 介绍的方法判断一个图是否为平面图.
2.基本非平面图:K3,3与K5； 3.平面图的欧拉公式； 4.平面图的判定:库拉图斯基定理.
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6 2019/12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4
本章小结
本章我们介绍树与平面图，但以介绍树 为主.给出树的定义及树的充要条件， 生成树、最优生成树及最优生成树的克 鲁斯卡尔算法，特别是二叉树，我们讨 论 了 二 叉 树 的 Huffman 算 法 、 前 缀 码 、 二叉树的遍历等问题.最后介绍了一类 实际背景很强的一类图——平面图.
离散数学 课件 PPT 精品课程 考研 大学课程 数学一 第九章 树
例 (2)为(1)的一棵生成树T,(3)为T的余树.
（1）
（2）
（3）
余树可能不连通，也可能含回路。
2019/1/30
11
定理9.3 任何连通图G至少存在一棵生成树. 推论1 设n阶无向连通图G有m条边,则 m≥n-1. 推论2 设n阶无向连通图G有m条边,T是G的生 成树,T'是T的余树,则T'中有m-n+1条边.
（1）
（2）
（3）
m=8,n=5
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a
d b
f
e
图中, 初级回路aed， bdf，cef.
c
这3个回路中每一 个回路都只含一条 弦,其余的边都是树 枝,这样的回路称为 基本回路.
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定义9.3 设T是n阶连通图G=<V,E>的一棵生成 树,G有n条边.设e1,e2· · · ,em-n+1为T的弦,设Cr是T 加弦er产生的G的回路,r=1,2,…m-n+1.称Cr为 对应于弦er的基本回路,称{C1,C2,· · · ,Cm-n+1}为 对应生成树T的基本回路系统.
连通分支数大于等于2,且每个连通分支均
平凡图称为平凡树. 设T＝<V,E>为一棵无向树,v∈V,若d(v)＝1,
则称v为T的树叶.若d(v)≥2,则称v为T的分 支点.
2019/1/30 3
例
（a）
（b）
（c ）
图中（a），（b）为树，而（c）不是树， 但（c）为森林。
2019/1/30 4
T有5个树枝a, b, c, d, e, 因而有5个 基本割集:Sa={a,g,f } ; Sb={b,g,h } ; Sc={c,f,h } ; Sd={d,i,h } ; Se={e,f,i}. 基本割集系统为{Sa,Sb,Sc, Sd,Se}.
离散数学PPT课件 9平面图(ppt文档)
v1 v2 v7 v6 v10 v5
v8 v9
v3
v4
v1 v2 v7 v6 v10 v5
v8 v9
v3
v4
v1 v3 v8 v2v7 v6
v9 v10 v4
v5
本节要求掌握: 平面图的概念, 平面图的边界, 欧拉公式及其应用 平面图的判定.
面的边界中出现, 所以所有面的边界总数=2e, 所以有:
2e=(r个面边界总数)≥ 3r, 即2e≥3r 所以r≤
2 3
e
由欧拉公式: v-e+r=2
得
v-e+
2 3
e≥2
整理得 e≤3v-6
用此定理可以判定一个图不是平面图, 例如证明K5不是
平面图: K5中有v=5 e=10 3v-6=3×5-6=9 不满足e≤3v-6,
K5
e条边的连通简单平面图, 若v≥3, 则e≤3v-6.
证明:⑴ 当e=2 时, 因为G是简单连通图, 所以v=3, 显然有
2≤3×3-6 即e≤3v-6
⑵当e>2时, (通过计算每个面的边界来证明)
设G有r个面, 因为G是简单图, 所以每个面至少由三条边
围成, 所以r个面的总边界数≥3r, 另外由于每条边在两个
例如右图.就是
v1
可平面化的图. v2
v3
下面是两个
重要的非平面图: v4
v5
K5和K3,3
v1
v2
v3
v4
v5
1 3 5 2 4 6
a b
c
f e
d
v1
v2
v3
v4
离散数学-树
该n元有序树又称n元位置树。2元位置树各分支结点 的左右儿子分别称为左儿子和右儿子。
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
离散数学-第9章 图
2023/11/27
例9.2.2 分析
分析 由于V中有5个结点，因此要用5个小圆圈 分别表示这5个结点，点的具体摆放位置可随意 放。而对E中的6条边，圆括号括起的结点对表示 无向边，直接用直线或曲线连接两个端点，尖括 号括起的结点对表示有向边，前一个是始点，后 一个始终点，用从始点指向终点的有向直线或曲 线连接。
ai
j
1 ， 0 ，
若 ( vi,vj ) 否则
E
或
vi,vj
E
i,j 1,2,3, ,n
2023/11/27
例9.2.4
试写出下图所示图G的邻接矩阵。
分解析 若首结先点将排图序中为的v16v个2v结3v4点v5排v6，序则， v1 然其邻后接利矩用v1阵定v义2 9.v23.2写v4出其v5邻接v6矩阵。 初按结学vv点时21 0排可1 序先01标在上0矩01结阵1 点的000，行0若与1第01列i1前行01分前别的 v5 结在否则可邻点则vvvv标接到为6543 记矩第00011。A如阵jG列若下0001的前结：第11100的点0111i10000行结排第点序111100111j有为11100列边v11000元00111v相2素11100v连30111为v4，v15则，v6，
2023/11/27
例9.2.5
试写出下图所示图G的所有结点的邻接点、所有边
的邻接边，并指出所有的孤立结点和环。
v3
v4
v5
e4 e5 v2
e6 e1
e2 v6 e7
v1 e3
2023/11/27
例9.2.5 分析
根据定义9.2.4，如果两个结点间有边相连，那 么它们互为邻接点；如果两条边有公共结点，那 么它们互为邻接边。需要注意的是，只要当一个 结点处有环时，它才是自己的邻接点；由于一条 边有两个端点，在计算邻接边时要把这两个端点 都算上，例如e2和e4都是e1的邻接边。所有边都 是自己的邻接边。
例9.2.2 分析
分析 由于V中有5个结点，因此要用5个小圆圈 分别表示这5个结点，点的具体摆放位置可随意 放。而对E中的6条边，圆括号括起的结点对表示 无向边，直接用直线或曲线连接两个端点，尖括 号括起的结点对表示有向边，前一个是始点，后 一个始终点，用从始点指向终点的有向直线或曲 线连接。
ai
j
1 ， 0 ，
若 ( vi,vj ) 否则
E
或
vi,vj
E
i,j 1,2,3, ,n
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例9.2.4
试写出下图所示图G的邻接矩阵。
分解析 若首结先点将排图序中为的v16v个2v结3v4点v5排v6，序则， v1 然其邻后接利矩用v1阵定v义2 9.v23.2写v4出其v5邻接v6矩阵。 初按结学vv点时21 0排可1 序先01标在上0矩01结阵1 点的000，行0若与1第01列i1前行01分前别的 v5 结在否则可邻点则vvvv标接到为6543 记矩第00011。A如阵jG列若下0001的前结：第11100的点0111i10000行结排第点序111100111j有为11100列边v11000元00111v相2素11100v连30111为v4，v15则，v6，
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例9.2.5
试写出下图所示图G的所有结点的邻接点、所有边
的邻接边，并指出所有的孤立结点和环。
v3
v4
v5
e4 e5 v2
e6 e1
e2 v6 e7
v1 e3
2023/11/27
例9.2.5 分析
根据定义9.2.4，如果两个结点间有边相连，那 么它们互为邻接点；如果两条边有公共结点，那 么它们互为邻接边。需要注意的是，只要当一个 结点处有环时，它才是自己的邻接点；由于一条 边有两个端点，在计算邻接边时要把这两个端点 都算上，例如e2和e4都是e1的邻接边。所有边都 是自己的邻接边。
离散数学平面图
则满足欧拉公式 v – e + r = 2 即：6-9+r=2，解得r=5
又因为任取K3,3中三个结点，至少有两个点不邻接， 所以不能组成一个面，即K3,3中任何 一个面至少由四条边围成，即：所有面 的次数之和deg(r) >=4r=20 又由定理1知：deg(r)=2|E|=18 即18>=20矛盾不。论怎所么以画，K总3,有3不交是叉点平面图。
❖ 平面图基本性质
设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v3, 则：e<=3v-6。等价于: 若不满足e<=3v-6，则G不是连通平面图。
例题：证明k5图不是平面图。
K5图中,v=5,e=10,10 3*v-6=35-6=9
但定理的条件只是必要条件。
如K3,3中v= 6,e =9, e<3v-6=12 满足条件，但K3,3不是平面图。
离散数学
❖ 图论
1 图的基本概念 2 路与回路 3 图的矩阵表示 4 欧拉图与汉密尔顿图 5 平面图 6 对偶图与着色 7 树与生成树
❖ 平面图基本概念
定义1：设G=<V,E>是一个无向图，如果能把G的所有结点和
边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点， 就称G是一个平面图。
(1)
G为k条边，再添加一条边，只有下述两种情况：
面数不变 点树加1 边数加1
点数不变 面数加1 边数加1
(Vk+1)-(ek+1)+rk=2成立
(Vk)-(ek+1)+(rk+1)=2成立
通过上述归纳法证明欧拉公式v-e+r=2成立。
❖ 平面图基本性质
例1：证明K3,3不是平面图
证：假设K3,3是平面图，
又因为任取K3,3中三个结点，至少有两个点不邻接， 所以不能组成一个面，即K3,3中任何 一个面至少由四条边围成，即：所有面 的次数之和deg(r) >=4r=20 又由定理1知：deg(r)=2|E|=18 即18>=20矛盾不。论怎所么以画，K总3,有3不交是叉点平面图。
❖ 平面图基本性质
设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v3, 则：e<=3v-6。等价于: 若不满足e<=3v-6，则G不是连通平面图。
例题：证明k5图不是平面图。
K5图中,v=5,e=10,10 3*v-6=35-6=9
但定理的条件只是必要条件。
如K3,3中v= 6,e =9, e<3v-6=12 满足条件，但K3,3不是平面图。
离散数学
❖ 图论
1 图的基本概念 2 路与回路 3 图的矩阵表示 4 欧拉图与汉密尔顿图 5 平面图 6 对偶图与着色 7 树与生成树
❖ 平面图基本概念
定义1：设G=<V,E>是一个无向图，如果能把G的所有结点和
边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点， 就称G是一个平面图。
(1)
G为k条边，再添加一条边，只有下述两种情况：
面数不变 点树加1 边数加1
点数不变 面数加1 边数加1
(Vk+1)-(ek+1)+rk=2成立
(Vk)-(ek+1)+(rk+1)=2成立
通过上述归纳法证明欧拉公式v-e+r=2成立。
❖ 平面图基本性质
例1：证明K3,3不是平面图
证：假设K3,3是平面图，
离散数学——图论
2021/10/10
11
哥尼斯堡七桥问题
❖ 把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表 示。
2021/10/10
12
❖ 欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过 每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结 论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要， 最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽 象为图的形式来分析这个问题 。
2021/10/10
2
图论的发展
❖ 图论的产生和发展经历了二百多年的历史， 从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶 段。
❖ 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主 要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、 棋盘上马的行走线路问题。
2021/10/10
3
❖ 一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
❖ P（G）表示连通分支的个数。连通图的连通 分支只有一个。
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40
练习题---图的连通性问题
❖ 1.若图G是不连通的，则补图是连通的。 ❖ 提示：直接证法。
根据图的不连通，假设至少有两个连通分 支；任取G中两点，证明这两点是可达的。
2021/10/10
41
❖ 2.设G是有n个结点的简单图，且 |E|>(n-1)(n-2)/2，则G是连通图。
❖ 例子
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29
多重图与带权图
❖ 定义多重图：包含多重边的图。 ❖ 定义简单图：不包含多重边的图。 ❖ 定义有权图：具有有权边的图。 ❖ 定义无权图：无有权边的图。
2021/10/10
30
离散数学平面图
性质
• 若简单平面图中已无不相邻顶点，则是极大平面图. 如
K1, K2, K3, K4都是极大平面图.
• 极大平面图必连通. • 阶数大于等于3的极大平面图中不可能有割点和桥. • 设G为n(n3)阶极大平面图, 则G每个面的次数均为3. • 任何n(n4)阶极大平面图G均有δ(G)3.
6
实例
12
同胚与收缩
消去2度顶点v 如上图从(1)到(2) 插入2度顶点v 如上图从(2)到(1) G1与G2同胚: G1与G2同构, 或 经过反复插入、或消去2度顶 点后同构 收缩边e 如下图从(1)到(2)
13
库拉图斯基定理
定理 G是平面图G中不含与K5同胚的子图, 也不 含与K3,3同胚的子图.
nm+r=p+1
10
与欧拉公式有关的定理
定理 设G为n阶连通平面图, 有m条边, 且每个面的次数不
小于l (l 3), 则 m l (n2) l 2
证 由定理 (各面次数之和等于边数的2倍)及欧拉公式得
2m lr = l (2+m-n) 可解得所需结论.
推论 K5 和 K3,3不是平面图. 证 用反证法, 假设它们是平面图,
则 K5 : n=5, m=10, l=3
K3,3 : n=6, m=9, l=4 与定理矛盾.
K5
K3,3
11
与欧拉公式有关的定理(续)
定理: 设G为有 p (p2) 个连通分支的平面图, 且每个面的次数不小于l (l 3), 则
m l (np1) l2
定理 设G为简单平面图，则 (G)5.
9
欧拉公式(续)
欧拉公式的推广 设G是有 p (p2) 个连通分支的平面图, 则
• 若简单平面图中已无不相邻顶点，则是极大平面图. 如
K1, K2, K3, K4都是极大平面图.
• 极大平面图必连通. • 阶数大于等于3的极大平面图中不可能有割点和桥. • 设G为n(n3)阶极大平面图, 则G每个面的次数均为3. • 任何n(n4)阶极大平面图G均有δ(G)3.
6
实例
12
同胚与收缩
消去2度顶点v 如上图从(1)到(2) 插入2度顶点v 如上图从(2)到(1) G1与G2同胚: G1与G2同构, 或 经过反复插入、或消去2度顶 点后同构 收缩边e 如下图从(1)到(2)
13
库拉图斯基定理
定理 G是平面图G中不含与K5同胚的子图, 也不 含与K3,3同胚的子图.
nm+r=p+1
10
与欧拉公式有关的定理
定理 设G为n阶连通平面图, 有m条边, 且每个面的次数不
小于l (l 3), 则 m l (n2) l 2
证 由定理 (各面次数之和等于边数的2倍)及欧拉公式得
2m lr = l (2+m-n) 可解得所需结论.
推论 K5 和 K3,3不是平面图. 证 用反证法, 假设它们是平面图,
则 K5 : n=5, m=10, l=3
K3,3 : n=6, m=9, l=4 与定理矛盾.
K5
K3,3
11
与欧拉公式有关的定理(续)
定理: 设G为有 p (p2) 个连通分支的平面图, 且每个面的次数不小于l (l 3), 则
m l (np1) l2
定理 设G为简单平面图，则 (G)5.
9
欧拉公式(续)
欧拉公式的推广 设G是有 p (p2) 个连通分支的平面图, 则
离散数学(第二版)第9章树
e10， 则分别产生初级回路e1e3e4， e1e4e5e2， e6e8e9，
•
•
•
e7e6e9e10。
•
第九章 树
这些初级回路有一个共同特点： 它们中均只含一条弦，
其余的边均是树枝， 我们称这样的回路为基本回路。 对于
G的每棵生成树T， m-n+1条弦对应着m-n+1个基本回路，
这些基本回路构成的集合称为对应T的基本回路系统。 显
例如图9.1.3中， T1和T2是图G的两棵生成树， 1 和2 是 分别对应于它们的余树。
第九章 树
图9.1.3 图的生成树和余树
第九章 树
由图9.1.3可见， G与T1、 T2的区别是G中有回路， 而 它的生成树中无回路， 因此要在一个连通图G中找到一棵 生成树， 只要不断地从G的回路上删去一条边， 最后所得 无回路的子图就是G的一棵生成树。 于是有如下定理。
这个问题的数学模型为： 在已知的带权图上求权最小 的生成树。
定义9.1.4 设无向连通带权图G=〈V, E, ω〉， G中带 权最小的生成树称为G的最小生成树(最优树)。
定理9.1.4 设连通图G的各边的权均不相同， 则回路 中权最大的边必不在G的最小生成树中。
证明略。
第九章 树
定理的结论是显然的， 由此寻找带权图G的最小生成 树， 可以采用破圈法， 即在图G中不断去掉回路中权最大 的边。
(5) 1， 1， 1， 1， 1， 2， 5
(6) 1， 1， 1， 1， 1， 3， 4
(7) 1， 1， 1， 1， 1， 1， 6
第九章 树
注意到， 不同构的度数列对应不同的树， 但对应同一 度数列的非同构的树不一定唯一， 所以对应(1)有T1， 对应 (2)有T2、 T3和T4， 对应(3)有T5和T6， 对应(4)有T7和T8， 对应(5)有T9， 对应(6)有T10， 对应(7)有T11(见图9.1.2)。
离散数学第九章树知识点总结
生成树的存在性 定理 任何无向连通图都有生成树. 证 用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树.
否则删去圈上的任一条边, 这不破坏连通性, 重复进行 直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树. 推论 1 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则 mn1. 推论 2 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则它的生成树的余树 有 mn+1 条边.
{0,10,010, 1010} 不是前缀码
例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下：
0：25%
1：20%
2：15%
3：10%
4：10%
5：10%6：5% Nhomakorabea7：5%
采用 2 元前缀码, 求传输数字最少的 2 元前缀码 (称作最佳前
缀码), 并求传输 10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需
要多少个二进制数字？若用等长的 (长为 3) 的码字传输需要
推论 3 设
为 G 的生成树 T 的余树，C 为 G 中任意一个
圈，则 C 与
一定有公共边.
基本回路与基本回路系统
定义 设 T 是 n 阶 m 条边的无向连通图 G 的一棵生成 树，设 e1, e2, … , emn+1 为 T 的弦. 设 Cr 为 T 添加弦 er 产生的 G 中惟一的圈(由 er和树枝组成), 称 Cr 为对应 弦 er的基本回路或基本圈, r=1, 2, …, mn+1. 称{C1, C2, …, Cmn+1}为对应 T 的基本回路系统. 求基本回路的算法: 设弦 e=(u,v), 先求 T 中 u 到 v 的路径 uv, 再并上弦 e, 即得对应 e 的基本回路. 基本割集与基本割集系统定义 设 T 是 n 阶连通图 G 的一棵生成树, e1, e2, …, en1 为 T 的树枝，Si 是 G 的只含树枝 ei, 其他边都是弦
树与平面图PPT教学课件
模糊矩阵的转置
定义 设A = (aij)m×n, 称AT = (aijT )n×m为A的转 置矩阵，其中aijT = aji. 转置运算的性质：
性质1：( AT )T = A； 性质2：( A∪B )T = AT∪BT，
( A∩B )T = AT∩BT； 性质3：( A ° B )T = BT ° AT；( An )T = ( AT )n ； 性质4：( Ac )T = ( AT )c ； 性质5：A≤B AT ≤BT .
0.3 0.4
00..73
合成(° )运算的性质：
性质1：(A ° B) ° C = A ° (B ° C)；
性质2：Ak ° Al = Ak + l，(Am)n = Amn；
性质3：A ° ( B∪C ) = ( A ° B )∪( A ° C )；
( B∪C ) ° A = ( B ° A )∪( C ° A )；
矩阵的合成.
设X = {x1, x2, …, xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z= {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的模糊关系R1 = (aik)m×s， Y 到Z 的模糊关系R2 = (bkj)s×n，则X 到Z 的模糊关 系可表示为模糊矩阵的合成：
(R1∪R2 )(x, y) = R1(x, y)∨R2(x, y)； 交： R1∩R2 的隶属函数为
(R1∩R2 )(x, y) = R1(x, y)∧R2(x, y)； 余：Rc 的隶属函数为Rc (x, y) = 1- R(x, y).
(R1∪R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1或者 R2”的相关程度， (R1∩R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊 关系“R1且R2”的相关程度，Rc (x, y)表示(x, y)对 模糊关系“非R”的相关程度. 模糊关系的矩阵表示
离散数学-树PPT课件
.
(b)
2
9.1.1 树及其基本性质
定理9.1 在(n,m)树中必有m=n-1。
连通
不包含回路
树
定理9.3 图G是树的充分必要条件是图G的每对 结点间只有一条通路。
在T中不相邻接的任意两结点间添加一条边后形 成的图有且仅有一个圈
.
3
9.1.1 树及其基本性质
定理9.2 具有两个结点以上的树必至少 有两片叶。
.
52
两步图
v1
v2
v3
v4
4
v5
v6
v7
定理9.7 图G是一个两步图的充分条件是
G的所有回路的长度为偶数。
.
53
两步图-练习
P160 9.5 已知关于人员a,b,c,d,e,f的下述事实： a 说汉语、法语和日语； b 说德语、日语和俄语； c 说英语和法语； d 说汉语和西班牙语 ； e 说英语和德语； f 说俄语和西班牙语， 是否能将6人分成两组，使同组中没有两人能相互交谈？
当且仅当一个图的每个 连通分支都是平面图时， 这个图是平面图。
(c)
.
35
9.2.1 平面图的基本概念
K5
(b) (a)
(c)
K 3,3
(d)
.
(e)
36
9.2.1 平面图的基本概念
无回路的图是平面图。
一种判别平面图的直观方法：
(1)对于有回路的图找出一个长度尽可能大的且 (2) 边不相交的基本回路。 (2) 将图中那些相交于非结点的边，适当放置在已选定
51
两步图
v1
v2
v3
v 4 V { v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 ,v 7 }
(b)
2
9.1.1 树及其基本性质
定理9.1 在(n,m)树中必有m=n-1。
连通
不包含回路
树
定理9.3 图G是树的充分必要条件是图G的每对 结点间只有一条通路。
在T中不相邻接的任意两结点间添加一条边后形 成的图有且仅有一个圈
.
3
9.1.1 树及其基本性质
定理9.2 具有两个结点以上的树必至少 有两片叶。
.
52
两步图
v1
v2
v3
v4
4
v5
v6
v7
定理9.7 图G是一个两步图的充分条件是
G的所有回路的长度为偶数。
.
53
两步图-练习
P160 9.5 已知关于人员a,b,c,d,e,f的下述事实： a 说汉语、法语和日语； b 说德语、日语和俄语； c 说英语和法语； d 说汉语和西班牙语 ； e 说英语和德语； f 说俄语和西班牙语， 是否能将6人分成两组，使同组中没有两人能相互交谈？
当且仅当一个图的每个 连通分支都是平面图时， 这个图是平面图。
(c)
.
35
9.2.1 平面图的基本概念
K5
(b) (a)
(c)
K 3,3
(d)
.
(e)
36
9.2.1 平面图的基本概念
无回路的图是平面图。
一种判别平面图的直观方法：
(1)对于有回路的图找出一个长度尽可能大的且 (2) 边不相交的基本回路。 (2) 将图中那些相交于非结点的边，适当放置在已选定
51
两步图
v1
v2
v3
v 4 V { v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 ,v 7 }
离散数学知识点总结（9）-树
离散数学知识点总结（9）-树⼀、⽆向树和有向树对于任何⽆向图，若图中不存在简单回路，则 m≤n-1⽆向图是⽆向树的四个条件互相等价：连通、不存在简单回路、m=n-1满⾜⾄少2个 每⼀对相异顶点之间存在唯⼀的简单道路 极⼩连通（每⼀条边都是桥） 极⼤⽆圈因此⽆向树必定不含重边和⾃环，⼀定是简单图，⼀定是平⾯图。
⽆向树中度数为1的顶点称为叶⼦，度数⼤于1的顶点称为分枝点。
平凡树：⼀阶简单图，既⽆叶⼦⼜⽆分枝点任何⾮平凡树⾄少有2个叶⼦顶点证明：设n(n≥2) 阶⽆向连通图G的边数满⾜m=n-1，设图中度数为1的顶点数为t，则2m=deg(v1)+...+dev(v n)≥t+2(n-t)，得t≥2 或者设⽆向树中存在着a i个度为i的顶点，a1+2a2+...=2m，a1+a2+...=n=m+1，故叶⼦数=a3+2a4+3a5+...+2≥2森林：不含任何简单回路的图。
森林的每个连通分⽀都是树⼆、有向树和根树有向树：不考虑边的⽅向时是⼀棵⽆向树的有向图根树：只有⼀个⼊度为0的顶点，其它顶点⼊度均为1的有向树根树中出度为0的顶点称为叶⼦，出度⼤于0的顶点称为分枝点在根树中，从根到任⼀其它顶点都存在唯⼀的简单道路以v为根的根树：有向图中存在顶点v，使得从v到图中任意其它顶点都存在唯⼀简单道路，⽽且不存在从v到v的简单回路在根树中，由根到顶点v的道路长度称作v的层数（level） ；所有顶点的层数的最⼤值称为根树的⾼度（height）若T的每个分⽀点最多m个⼉⼦，则称T为m叉树；若其每个分⽀点都恰好m个⼉⼦，则称T为m叉正则树正则m叉树，其叶⼦数为t，分枝点数为i，则所有顶点出度之和为mi=所有顶点的⼊度之和t+i-1，故(m-1)i=t-1三、标号树前序遍历结果-+×421×÷632称作前缀表⽰、波兰式将波兰式压栈，当插⼊到×42时将其替换为8后序遍历结果42×1+63÷2×-称作后缀表⽰、逆波兰式将波兰式压栈，当插⼊到42×时将其替换为8中序遍历表达式4×2+1-6÷3×2称作中缀表⽰由前缀表⽰或后缀表⽰可以唯⼀构造表⽰运算式的有序树，但是由中缀表⽰则不⾏此外还有⼀些关于遍历、哈夫曼编码的知识点，数据结构中就有。
离散数学-图论-平面图
13
例:对偶图
对偶图的性质
性质1:若G是平面图,则G必有对偶图G*,且G*是 唯一的.
可平面图的不同平面嵌入可有不同构的对偶图. 即使G不连通.
性质2: G*是连通图.
性质3:若G是连通平面图,那么(G*)* G. 性质4:对连通平面图G及其对偶图G*: m m*, n d *, d n*
原图与加细图称为同胚.
定理(Kuratowski):G是可平面图 G没有同胚 于K5和K3,3的子图.
9
极大可平面图u和v之间加 入边(u,v)都会使G + (u,v)成为不可平面图,则称 G是极大可平面图.
注意:这里指的是加入边(u,v)在本质上破坏了图的可 平面性. 可能在一种平面表示下不能加,但在另一种表示下可 以加.
不可平面图
定理:设G是简单连通平面图.若每个面的度k, 则 kr/2 m (n – 2)k/(k – 2) 例: K5是不可平面图.
K5是结点数最少的不可平面图. K3,3是n6时边数最少的不可平面图.
例: K3,3是不可平面图.
8
Kuratowski定理
加细:在图的边上任意增加一些度为2的顶点.
12
对偶图
定义:给定图G,如下构造的图G*,称为G的对偶 图(dual graph). 1.G中每个面Ri内放一个G*顶点v*i ; 2.对应面Ri和Rj的公共边e,作一条仅与e相交一 次的边e* (v*i,v*j) E(G*); 3.若割边e在面Ri的边界上,则作v*i上仅与e相交 一次的环e*.
趣题:Gardner的愚人节地图
离散数学 第九章 常用图之树 课件
Nhomakorabea通路
即：m=n-1
定理：一无向图G是树的充分必要条件是图中每对结点之间只
有一条通路
定理：具有两个结点以上的树至少有两个树叶
定义：满足下列条件的有向树T称为外向树
1.T仅有一个结点的引入次数为0，该结点为T的根
2.T的其他结点的引入次数均为1
3.T有一些结点的引出次数为0——T的叶
外向树
d是外向树林
v3
7
e3
e6
e7
v4
v5
e8
（最短树）
定义：满足下列条件的有向树T称为内向树
1.T仅有一个结点的引出次数为0，该结点为T的根 2.T的其他结点的引出次数均为1 3.T有一些结点的引入次数为0——T的叶
当m=2时则分别称为二元树和二元完全树
P148
P149
避圈法:在无向连通图G中只考虑那些不
是自环的边，在其中任取一条边e1，找一 条不与e1构成基本循环的边e2，然后再找 一条不与e1 和e2构成基本循环的边e3，这 样继续下去，直到这种过程不能进行时为 止，这时得到的就是一棵生成树TG
破圈法:在无向连通图G中任取一条基本
循环（若没有， G本身就是一棵生成树）， 去掉其中的任一边得图G1，再在G1中任 取一条基本循环，去掉其中的任一边得到 图G2，这样继续下去，直到所得的图没有 基本循环为止，这时得到的就是一棵生成 树TG
一个连通图可有多棵生成树.
v1
e1 e 2 v6 v2 e4 e e10 e5 9 v
满足下列条件的有向树t称为内向树1t仅有一个结点的引出次数为0该结点为t的根2t的其他结点的引出次数均为13t有一些结点的引入次数为0t的叶当m2时则分别称为二元树和二元完全树p148p149
即：m=n-1
定理：一无向图G是树的充分必要条件是图中每对结点之间只
有一条通路
定理：具有两个结点以上的树至少有两个树叶
定义：满足下列条件的有向树T称为外向树
1.T仅有一个结点的引入次数为0，该结点为T的根
2.T的其他结点的引入次数均为1
3.T有一些结点的引出次数为0——T的叶
外向树
d是外向树林
v3
7
e3
e6
e7
v4
v5
e8
（最短树）
定义：满足下列条件的有向树T称为内向树
1.T仅有一个结点的引出次数为0，该结点为T的根 2.T的其他结点的引出次数均为1 3.T有一些结点的引入次数为0——T的叶
当m=2时则分别称为二元树和二元完全树
P148
P149
避圈法:在无向连通图G中只考虑那些不
是自环的边，在其中任取一条边e1，找一 条不与e1构成基本循环的边e2，然后再找 一条不与e1 和e2构成基本循环的边e3，这 样继续下去，直到这种过程不能进行时为 止，这时得到的就是一棵生成树TG
破圈法:在无向连通图G中任取一条基本
循环（若没有， G本身就是一棵生成树）， 去掉其中的任一边得图G1，再在G1中任 取一条基本循环，去掉其中的任一边得到 图G2，这样继续下去，直到所得的图没有 基本循环为止，这时得到的就是一棵生成 树TG
一个连通图可有多棵生成树.
v1
e1 e 2 v6 v2 e4 e e10 e5 9 v
满足下列条件的有向树t称为内向树1t仅有一个结点的引出次数为0该结点为t的根2t的其他结点的引出次数均为13t有一些结点的引入次数为0t的叶当m2时则分别称为二元树和二元完全树p148p149
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7 2019/8/26
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3 2019/8/26
第三节 有向树与根树(1)
有向树是有向图中结构最为简单的一类 图. 它是一种典型的非线性结构，在计 算机算法分析、数据结构等方面有广泛 的应用；在有向树中，根树最为重要， 我们主要考虑根树.
1.概念:有向树,根树,树叶,内点,分支点, 层数,树高,祖先,后代,父亲,儿子,兄弟, 有序树,m叉树,完全m叉树,根子树,左子 树,右子树,带权二叉树,最优二叉树,前 缀,前缀码,二元前缀码,二叉树遍历等;
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6 2019/8/26
本章小结
本章我们介绍树与平面图，但以介绍树 为主.给出树的定义及树的充要条件， 生成树、最优生成树及最优生成树的克 鲁斯卡尔算法，特别是二叉树，我们讨 论 了 二 叉 树 的 Huffman 算 法 、 前 缀 码 、 二叉树的遍历等问题.最后介绍了一类 实际背景很强的一类图——平面图.
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5 2019/8/26
第四节 平面图
平面图是很多实际问题的模型. 例如在 集成电路的布线设计中就遇到了平面图 的问题.
1.基本概念:平面图,平面嵌入,面,无限面 (外部面),内部面,边界,次数等;
2.基本非平面图:K3,3与K5； 3.平面图的欧拉公式； 4.平面图的判定:库拉图斯基定理.
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4 2019/8/26
第三节 有向树与根树(2)
2.定理: 设T是一棵根树，r是T的树根,则 对于T的任一顶点v,存在唯一的有向路 从r到v；
3.算法:最优二叉树的Huffman算法;
4.前缀码问题:前缀码与二叉树的对应关 系；
5.二叉树的遍历:三种遍历方法,即先根遍 历,中根遍历,后根遍历法.
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1 2019/8/26
第一节 树的概念
本节介绍树的一些最基本的概念与结论. 1.概念有:树,树叶,分支点(或内点),森林,
平凡树等 2.结论: 设G是n阶无向图，则下列条件等
价： （1）G是树；(2）G连通并且删去G的任一
边，所得之图都不连通；(3）对G中的 任 意 两 点 u,v(u≠v) ， 恰 有 一 条 从 u 到 v 的简单路；(4）G不含回路，且G有n-1 条边；(5）G连通，且G有n-1条边.
第九章 树与平面图
树是一类结构较为简单的图，是用途极 为广泛的离散数学模型，特别是二叉树， 它在计算机科学中用得最多.因此在学习 时应很好地掌握好诸如树的充要条件、 生成树、最优生成树、根树、树的各种 算法、及二叉树的访问次序等内容.平面 图是实际背景很强的一类图，能用本章 介绍的方法判断一个图是否为平面图.
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2 2019/8/26
ห้องสมุดไป่ตู้
第二节 生成树与最优支撑树
本节讨论连通图的生成树与连通权图的 最优生成树(或称为最优支撑树).
1.基本概念:生成树,余树,树枝,最优(小) 生成树等;
2.定理:图G有生成树当且仅当G是连通的； 3.算法:(1)无向连通图可采用破坏回路与
不形成回路两种方法寻找生成树； (2)权图中求最优生成树的两种算法,即 克鲁斯卡尔算法与管梅谷的破圈法.