离散数学 第九章：树
离散数学中的图的树与生成树的计数
在离散数学中，图是一个由点和边组成的抽象数学模型。
其中，树是一种特殊的图，它是一个无环连通图。
在图论中，树扮演了重要的角色，它具有许多有趣的性质和应用。
而生成树则是树的一个特殊子集，它由给定图中的所有顶点和部分边构成。
本文将介绍图的树的基本概念，并探讨生成树的计数方法。
首先，让我们来看看图的树。
树是一种无环连通图，其中任意两个顶点之间存在唯一一条路径。
它具有以下性质：1.n个顶点的树有n-1条边。
这可以通过归纳法证明：当n=1时，结论成立；假设n=k时成立，那么n=k+1时，只需要添加一个顶点和一条边，即可构成n=k+1个顶点的树。
因此，结论成立。
2.连接树上任意两个顶点的边都是桥。
即如果一条边被删除，那么树就会变成两个或更多个不相连的子树。
3.树是一个高度平衡的结构。
对于一个n个顶点的树，任意两个叶子结点之间的路径长度至多相差1。
4.树的任意两个顶点之间有唯一一条路径，路径长度为顶点之间的边数。
接下来，让我们来讨论生成树的计数方法。
生成树是树的一个特殊子集，它是由给定图中的所有顶点和部分边构成。
生成树的计数在图论中具有重要的意义和应用。
对于一个具有n个顶点的连通图来说，其生成树的个数可以通过Cayley公式计算得到。
Cayley公式是由亚瑟·凯利于1889年提出的，它给出了完全图的生成树数目。
据此，我们可以得到生成树的计数公式为：T = n^(n-2)，其中T表示生成树的个数。
此外，还有一种常见的计数方法是基于度数矩阵和邻接矩阵的矩阵树定理。
矩阵树定理由高斯于1847年提出，它提供了一种计算图的生成树个数的方法。
根据矩阵树定理，一个无向图G的生成树数目等于该图度数矩阵的任意一个(n-1)阶主子式的行列式的值。
其中，度数矩阵是一个对角矩阵，它的对角线上的元素为各个顶点的度数。
邻接矩阵则是一个关于顶点间连接关系的矩阵，其中1表示相邻顶点之间存在边，0表示不存在边。
除了数学方法，还存在一种基于图的遍历的计数方法，称为Kirchhoff矩阵树定理。
离散数学
(注)以上算法需假定图中每条边的权都不 相同.但事实上对图中有若干条边的权相同的情 形,只要将它们的权作微小的变动,使之各不相同, 即可使用这个算法.
例：见书本图9.4
又有计算最小生成树的实例:
1 11
6
3 2
9
7 8
10
4 5
红绿粉红紫黄
另有“破圈法”：删除边破坏回路，同时保持图的连 通性，直到没有回路为止。 a
注意，具有 n 个结点和恰有 n-1 条边的图未 必是树，但连通或无回路的是。 连通无圈完全刻划了树，这是树的一个特
性；树还有另外一个重要性质是：它以最少的
边使结点连通。
定理9.2 给定树T=<V，E>，若|V|≥2，则T中至 少存在两个悬挂结点（树叶）。
证明: 1)设T=<V,E>是树,|V|=v.因为T是连通图,viT 有deg(vi)≥1且由定理5-1.1有∑deg(vi)=2(|V|-1)=2v-2.
例：下图为根树，右边是左图省掉方向的代替图。
v1
v2 v3 v4 v2
v1
v3 v4
v5
v6
v7
v8 v9
v5
v6
v7
v8 v9
v10 v11 v12
v10
v11 v12
为表示结点间的关系，有时借用家族中的
术语。一棵根树可以看成一棵家族树。令u是有
根树中的分枝结点，若从u到v有一条边或，则 结点v称为结点u的“儿子”，或称u是v的“父 亲”；若从u到w有一条路，称u是w的“祖先”， 或称w是u的“子孙”或“后代”，同一个分枝
第九章 树
9.1 无向树及生成树
9.2 根树及其应用
离散数学中的生成树与生成树计数
离散数学是计算机科学中的重要学科，其中生成树是一个重要的概念。
在图论中，生成树是一棵树，它包含了图中的所有顶点，并且是由图边组成的无环连通子图。
生成树在图论中有着重要的应用，特别是在计算机网络、运筹学和电路设计等领域。
生成树的概念与基础就是组成它的边是有限的，并且连接图中的所有顶点，但没有形成圈回到起点。
生成树通常是用来描述一个系统的最小连接方式。
生成树可以应用于计算机网络的设计中，用于构建最小生成树算法，以便在网络中选择最小的数据传输路径。
此外，在运筹学中，生成树被用于求解最小生成树问题，即为一个加权图找到一棵包含所有顶点的生成树，使得树中边的权重之和最小。
在离散数学中，生成树计数是一个重要的研究分支。
生成树计数是指对给定图，计算其生成树的数目。
生成树计数的问题可以通过使用基于图论和组合数学的算法来解决。
通常，生成树计数的问题与相应图的特性和性质密切相关。
对于一个简单图来说，如果图中任意两点之间至少有一条边，那么该图一定存在生成树。
对于有 n 个顶点的连通图来说，它的生成树数量可以通过Cayley公式计算得到。
Cayley公式表明，一个有 n 个标号的顶点的完全图的生成树数量等于 n^(n-2)。
而对于非完全图，生成树的计数问题则较为困难。
在处理非完全图的生成树计数问题时，可以使用基于递归和动态规划的算法来解决。
一个常见的方法是使用Kirchhoff矩阵树定理，它将生成树计数的问题转化为计算矩阵的行列式的问题。
Kirchhoff矩阵树定理提供了一种计算给定图的生成树数目的有效算法，通过计算图的基尔霍夫矢量的一个特征值，可以得到图的生成树的数目。
另一个常见的方法是使用Prufer编码，它是一个用于描述无环连通图的序列。
通过Prufer编码，我们可以将计算生成树的问题转化为计数树的问题。
通过对无向图进行Prufer编码，我们可以计算出生成树的数目，并且可以根据生成树的数目来确定该无向图的种类和特征。
离散数学 求生成树的个数
在离散数学中，生成树（Spanning Tree）是一个图（Graph）的子图，它包含图中的所有顶点，并且是一个树（Tree）。
生成树的一个重要性质是它不包含任何环（Cycle）。
求一个给定图的生成树个数是一个经典问题，通常使用矩阵树定理（Matrix Tree Theorem）来解决。
矩阵树定理给出了一个图的生成树个数的计算公式，它基于图的拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）的行列式。
拉普拉斯矩阵是一个方阵，其大小为图的顶点数，矩阵的元素定义如下：•如果i和j是不同的顶点，则矩阵的第i行第j列的元素是顶点i和j之间的边的权重（如果存在边的话），否则是0。
•对于每个顶点i，矩阵的第i行第i列的元素是顶点i的度（即与顶点i相邻的边的数量）的负值。
矩阵树定理指出，图的生成树个数等于其拉普拉斯矩阵的任何一个n-1阶主子式的行列式值的绝对值。
n是图的顶点数，n-1阶主子式意味着去掉矩阵中的一行和一列后得到的矩阵。
下面是一个简单的例子，说明如何使用矩阵树定理计算生成树的个数：假设有一个包含4个顶点的简单图，其边和权重如下：A -- 2 -- B| |1 3 1| |C -- 4 -- D1 -3 1 00 1 -3 40 0 1 -4主子式的行列式值。
去掉第一行和第一列后，我们得到：1 01 -3 40 1 -4x3矩阵的行列式，我们得到：1 * 1) - (0 * 0) = 12 - 1 = 11过程可能涉及复杂的行列式计算，特别是对于大型图来说。
在实际应用中，通常会使用专门的数学软件或库（如Python中的NumPy或SciPy）来进行这些计算。
此外，还有一些算法（如Kruskal算法和Prim算法）可以用来构造生成树，但它们并不直接计算生成树的总数。
这些算法通常用于找到图的一个生成树，而不是计算所有可能的生成树的数量。
离散数学 树
离散数学树
离散数学中的树(Tree)是一种常见的图论结构，它是一种无向、连通且没有简单回路的无向图，或者是一个有向连通图，其中每个节点都只有唯一一个父节点（除了根节点）。
树形结构中的每一个节点都可以视为一个子树的根节点，因为它下面连接了若干个子节点，这样就形成了一棵向下生长的树状结构。
树形结构还有一个重要的特点就是它具有很好的递归性质，因为每个节点下面都可以再建立一棵子树，这样就可以逐层递归地构建出整棵树。
在离散数学中，树被广泛应用于算法设计、数据结构以及对计算机网络和信息系统进行建模等领域。
树的深度和广度优先遍历、树的一些基本性质(如高度、度、叶子节点等)以及树的遍历应用在图的搜索算法、排序、哈夫曼编码、抽象语法树等算法中都有广泛的应用。
树分解定理
树分解定理树分解定理（Tree decomposition theorem）是离散数学中一项重要的定理，它与图的分解和图的算法密切相关。
树分解定理描述了任意图都可以根据其边集的某个树分解表达。
首先，我们来介绍一下树分解的概念。
树分解是对一个无向图进行分解的一种方法。
给定一个无向图G=(V,E)，其中V表示图的顶点集，E表示图的边集。
树分解是将图G分解成一些子图的集合，这些子图采用树的结构组织，且满足如下条件:1. 每个子图都是图G的子图。
2. 每个顶点都属于一个或多个子图。
3. 任意两个子图之间要么没有公共顶点，要么有且只有一个公共顶点。
根据树分解的定义，我们可以得到一个关键结论：每个子图都可以用一个包含该子图所有顶点的集合作为标记。
这就是树分解的核心思想。
树分解定理指出，对于任意的无向图G=(V,E)，存在一个树分解{(B_x, X_x)}，其中B_x是一个子图，X_x是子图B_x的标记集合，满足以下三个条件：1. 图G的每个顶点都属于某个子图，即图G中所有的顶点在树分解的所有子图的标记集合中都有。
2. 图G的每条边都关联于某个子图，即图G中所有的边连接的顶点在树分解的某两个子图的标记集合中都有。
3. 任意的顶点v在树分解的所有子图中的标记集合的交集，称为顶点v的袋，即B_v = ∩{X_x|v∈X_x}。
树分解的每个子图袋的大小要小于等于某个常数k，即B_x ≤ k。
树分解定理的证明非常复杂，可以依靠递归的方法得到。
首先，我们定义以v为根的子图B_v和相应的标记集合X_v。
然后，我们选择树G的深度最大的顶点u，将其从图中删除并得到一个新的图G'。
此时，原图G的每个顶点都属于G'的一个子图，并形成一个包含u的袋B_u。
我们再次选择G'中深度最大的顶点，重复上述操作，直到最后得到只包含一个顶点并且没有边的子图。
这样就得到了一个树分解。
树分解的主要应用领域是图算法和计算理论。
离散数学09 图
第九章 图9.1设},,,,{y x w v u V =，画出图),(E V G =，其中：（1）)},(),,(),,(),,(),,{(y x y v w v x u v u E =（2）)},(),,(),,(),,(),,{(y x y w x w w v v u E =再求各个顶点的度数。
解（1）见图9.1(a )。
其中顶点u 的度数是2，顶点v 的度数是3，顶点x 的度数是2，顶点y 的度数是2，顶点w 的度数是1。
图9.1 习题1图（2）见图9.1(b )。
其中顶点u 的度数是1，顶点v 的度数是2，顶点x 的度数是2，顶点y的度数是2，顶点w 的度数是3。
9.2 设G 是具有4个顶点的完全图。
（1）画出图G 。
（2）画出G 的所有互不同构的生成子图？解（1）如图9.2(1)所示。
图9.2(1) 习题2图（2） 如图9.6(2)所示﹒ ﹒ ﹒ ﹒ ﹒ ﹒图9.2(2) 习题2图9.3 一个无向简单图，如果同构于它的补图，则称这个图为自互补图。
（1）试画出五个顶点的自互补图。
（2）证明一个自互补图一定只有k 4或14+k 个顶点（k 为整数）。
解（1）(a) (b)图9.3 习题3图 （2）因为n 个顶点的无向完全图有)1(21-n n 条边，所以自互补图有)1(41-n n 条边，因此，k n 4=或14+k 。
9.4 画出两个不同构的简单无向图。
每一个图都仅有6个顶点，且每个顶点都均是3度，并指出这两个图为什么不同构。
解图9.4 习题9.4图9.5 证明任意两个同构的无向图，一定有一个同样的顶点度序列。
顶点度序列是一组按大小排列的正整数。
每一个数对应某一个顶点的度数。
证明两个同构的无向图，度数相同的顶点数目一定相同，这样才能够建立起顶点之间的一一对应关系，进而建立起边的对应关系。
所以，任意二个同构的无向图，一定有一个同样的顶点度序列。
9.6图9.6中所给的图(a )与图(b )是否同构？为什么？(a )(b ) 图9.6 习题6图 解左图9.2（a ）中次数为4的点，与3个度数为1，一个度数为2的顶点相邻接，右图9.2（b ）中度数为4的点，却与3个度数为1，一个度数为3的顶点相邻接。
离散数学课件_9 树与平面图
1.概念:有向树,根树,树叶,内点,分支
点,层数,树高,祖先,后代,父亲,儿子,
兄弟,有序树,m叉树,完全m叉树,根子树,
左子树,右子树,带权二叉树,最优二叉
树,前缀,前缀码,二元前缀码,二叉树遍
历等;
4
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2019/12/4
第三节 有向树与根树(2)
2.定理: 设T是一棵根树，r是T的树根,则 对于T的任一顶点v,存在唯一的有向路 从r到v；
3.算法:最优二叉树的Huffman算法;
4.前缀码问题:前缀码与二叉树的对应关 系；
5.二叉树的遍历:三种遍历方法,即先根遍 历,中根遍历,后根遍历法.
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第四节 平面图
平面图是很多实际问题的模型. 例如在 集成电路的布线设计中就遇到了平面图 的问题.
1.基本概念:平面图,平面嵌入,面,无限 面(外部面),内部面,边界,次数等;
第九章 树与平面图
树是一类结构较为简单的图，是用途极 为广泛的离散数学模型，特别是二叉树， 它在计算机科学中用得最多.因此在学习 时应很好地掌握好诸如树的充要条件、 生成树、最优生成树、根树、树的各种 算法、及二叉树的访问次序等内容.平面 图是实际背景很强的一类图，能用本章 介绍的方法判断一个图是否为平面图.
2.基本非平面图:K3,3与K5； 3.平面图的欧拉公式； 4.平面图的判定:库拉图斯基定理.
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6 2019/12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4
本章小结
本章我们介绍树与平面图，但以介绍树 为主.给出树的定义及树的充要条件， 生成树、最优生成树及最优生成树的克 鲁斯卡尔算法，特别是二叉树，我们讨 论 了 二 叉 树 的 Huffman 算 法 、 前 缀 码 、 二叉树的遍历等问题.最后介绍了一类 实际背景很强的一类图——平面图.
离散数学 课件 PPT 精品课程 考研 大学课程 数学一 第九章 树
例 (2)为(1)的一棵生成树T,(3)为T的余树.
（1）
（2）
（3）
余树可能不连通，也可能含回路。
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11
定理9.3 任何连通图G至少存在一棵生成树. 推论1 设n阶无向连通图G有m条边,则 m≥n-1. 推论2 设n阶无向连通图G有m条边,T是G的生 成树,T'是T的余树,则T'中有m-n+1条边.
（1）
（2）
（3）
m=8,n=5
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a
d b
f
e
图中, 初级回路aed， bdf，cef.
c
这3个回路中每一 个回路都只含一条 弦,其余的边都是树 枝,这样的回路称为 基本回路.
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定义9.3 设T是n阶连通图G=<V,E>的一棵生成 树,G有n条边.设e1,e2· · · ,em-n+1为T的弦,设Cr是T 加弦er产生的G的回路,r=1,2,…m-n+1.称Cr为 对应于弦er的基本回路,称{C1,C2,· · · ,Cm-n+1}为 对应生成树T的基本回路系统.
连通分支数大于等于2,且每个连通分支均
平凡图称为平凡树. 设T＝<V,E>为一棵无向树,v∈V,若d(v)＝1,
则称v为T的树叶.若d(v)≥2,则称v为T的分 支点.
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例
（a）
（b）
（c ）
图中（a），（b）为树，而（c）不是树， 但（c）为森林。
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T有5个树枝a, b, c, d, e, 因而有5个 基本割集:Sa={a,g,f } ; Sb={b,g,h } ; Sc={c,f,h } ; Sd={d,i,h } ; Se={e,f,i}. 基本割集系统为{Sa,Sb,Sc, Sd,Se}.
离散数学-树
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
离散数学第四版课后答案(第9章)
第9章 习题解答9.1 有5片树叶.分析 设T 有x 个1度顶点(即树叶).则T 的顶点数Tx x n ,523+=++=的边数.41x n m +=-=由握手定理得方程.∑=+=⋅+⨯+⨯==+=ni ix x vd x m 1.1312233)()4(22由方程解出.5=x所求无向树T 的度数列为1,1,1,1,1,2,2,3,3,3.由这个度数列可以画多棵非同构的无向树,图9.6给出的4棵都具有上述度数列,且它们是非同构的.9.2 T 中有5个3度顶点.分析 设T 中有x 个3度顶点,则T 中的顶点数,7x n +=边数x n m +=-=61,由握手定理得方程.∑=+==+=ni ix v d x m 173)(2122由方程解出x=5.所求无向树T 的度数列为1,1,1,1,1,2,2,3,3,3.由这个度数列可以画多棵非同构的无向树,图9.6给出的4棵都具有上述度数列,且它们是非同构的.9.2 T 中有5个3度顶点.要析 设T 中有x 个3度顶点,则T 中的顶点数x n +=7,边数x n m +=-=61,由握手定理得方程.∑=+==+=ni ix v d x m 173)(2122.由此解出5=x ,即T 中有5个3度顶.T 的度数列为1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,3,3.由于T 中只有树叶和3度顶点,因而3度顶点可依次相邻,见图9.7所示. 还有一棵与它非同构的树,请读者自己画出.9.3 加1-k 条新边才能使所得图为无向树.分析 设具有k 个连通分支的森林为G,则G 有k 个连通分支i K T T TT ,,,21全为树,.,,2,1k i =加新边不能在i T 内部加,否则必产生回路.因而必须在不同的小树之间加新边. 每加一条新边后,所得到的森林就减少一个连通分支. 恰好加1-k 条新边,就使得图连通且无回路,因而是树.在加边过程中,只需注意,不在同一人连通分支中加边. 下面给出一种加边方法,取iv 为iT 中顶点,加新边1,,2,1),(1-=+k i vv i i,则所得图为树,见图9.8 给出的一个特例.图中虚线边为新加的边.9.4 不一定.分析 n 阶无向树T 具有1-n 条边,这是无向树T 的必要条件,但不是充公条件.例如, 阶圈(即1-n 个顶点的初级回路)和一个孤立点组成无向简单图具有1-n 条边, 但它显然不是树.9.5 非同构的无向树共有2棵,如图 9.9所示.分析由度数列1,1,1,1,2,2,4不难看出，唯一的4度顶点必须与2度顶点相邻，它与1个2度顶点相邻，还是与两个2度顶点都相邻，所得树是非同构的，再没有其他情况.因而是两棵非同构的树.9.6 有两棵非同构的生成树,见图9.10所示.分析图9.10 是5阶图(5个顶点的图), 5阶非同构的无向树只有3棵,理由如下. 5阶无向树中,顶点数5=n,边数4=m,各顶点度数之和为8,度数分配方案有3种,分别为①1,1,1,1,4;②1,1,1,2,3;③1,1,2,2.2.每种方案只有一棵非同构的树.图9.10所示的5阶图的非同构的生成树的度数列不能超出以上3种,也就是说,它至多有3棵非同构的生成树, 但由于图中无4度顶点,所示,不可能有度数列为①的生成树,于是该图最多有两棵非同构的生成树. 但在图9.10 中已经找出了两个非同构的生成树,其中(1)的度数列为③,(2) 的度数列为②,因而该图准确地有两棵非同构的生成树.9.7 基本回路为: .,,,hfab C gfa C ead C cbad C h g e c====基本回路系统为}.,,,{h g e cC C C C基本割集为:},,{},,{},,,{},,,,,{h g f Sc ed S h c b S h g ce a S fd b a ====基本回路系统为},,,{f d b aS S S S.分析 1°注意基本回路用边的序列表示,而基本割集用边的集合表示.2° 基本回路中,只含一条弦,其余的边全为树枝,其求法是这样的: 设弦),(j iv ve =,则jiv v,在生成树T 中,且在T 中,ji v v ,之间存在唯一的路径ji ,Γ与),(j iv ve =组成的回路为G 中对应弦e 的基本回路.3° 基本割集中,只含一条树枝,其余的边都是弦,其求法是这样的:设树枝),(j iv ve =,则e 为T 中桥,于是eT-(将e 从T中支掉),产生两棵小树1T 和2T ,则}|{21'''中和的两端点分别在中且在T T e G e e S e =e S 为树枝e 对应的基本割集. 显然ee S S e ,∈中另外的边全是弦. 注意,两棵小树1T 和2T ,中很可能有平凡的树(一个顶点).aT -得两棵小树如图9.11中(1) 所示. G 中一个端点在i T 中,另一个端点在2T 中的边为a(树枝), h g c e ,,,,它们全是弦,于是},,,,{h g c e a Sa=bT - 得两棵小树如图9.11中(2) 所示, 其中有一棵为平凡树. G 中一个端点在1T 中,另一个端点在2T 中的边数除树枝b 外,还有弦,,h c 所以, },,{h c b Sb=dT -产生的两棵小树如图9.11中(3) 所示 . G 中一个端点在1T 中,另中一个端点在2T 中的边,除树枝d 外,还有两条弦e c ,,所示, },,{e c d Sd=fT -产生的两棵小树如图9.11中(4) 所示. 由它产生的基本割集为},,{h g f Sf=9.8 按Kruskal 求最小生成树的算法,求出的图9.3(1)的最小生成树T 为图9.12中(1) 所示, 其7)(=T W .(2) 的最小生成树T 为图9.12中(2)所示,其.11)(=T W9.9 421,,B B B为前缀码.分析 在421,,B B B中任何符号串都不是另外符号串的前串,因而它们都是前缀码.而在3B 中, 1是11,101的前缀,因而3B不是前缀码. 在5B 中,,a 是ac aa ,等的前缀,因而5B 也不是前缀码.9.10 由图9.4 (1) 给出的2元前缀码.}11,011,01010,0100,00{1=B由(2) 给出的3元前缀码为.}.2,1,022,0202,0201,0200,01,00{2=B分析 1B 是2元树产生的2元前缀码(因为码中的符号串由两个符号0,1组成),类似地,2B 是由3元树产生的3元前缀码(因为码中符号串由3个符号0,1,2组成).一般地,由r 元树产生r 元前缀码.9.11 (1) 算式的表达式为ji h g f e d c b a *)*()()*)*((((++÷-+.由于使其成为因而可以省去一些括号优先于,,,*,-+÷ji h g f e d c b a **)()*)*((++÷-+.(2) 算式的波兰符号法表达式为.****hij fg bcde a ++-÷+(3) 算式的逆波兰符号法表达式为.****+÷+-+jI hi fg e d abc9.12 答案 A:①; B ②; C:④; D:⑨.分析 对于每种情况都先求出非同构的无向树,然后求出每棵非同构的无向树派生出来的所有非同构的根树.图9.13 中,(1),(2),(3),(4)分别画出了2阶,3阶,4阶,5阶所有非同构的无向树,分别为1棵,1棵,2棵和3棵无向树.2阶无向树只有1棵,它有两个1度顶点,见图9.13中(1)所示,以1个顶点为树根,1个顶点为树叶,得到1棵根树.3阶非同的无向树也只有1棵,见图9.13中(2)所示.它有两个1度顶点,1个2度顶点,以1度顶点为根的根树与以2度顶点为根的树显然是非同构的根树,所以2个阶非同构的根树有两棵.4阶非同构的无向树有两棵,见图9.13中(3)所示. 第一棵树有3片树叶,1个3度顶点, 以树叶为根的根树与以3度顶点为根的树非同构.所以,由第一棵树能生成两个非同构的根树, 见图9.14 中(1)所示. 第二棵树有两片树叶,两个2度顶点,由对称性,以树叶为根的根树与2度顶点为根的根树非同构,见图9.14中(2) 所示. 所以,4阶非同构的根树有4棵.5阶非同构的无向树有3棵,见图9.13中(4)所示. 由第一棵能派生两棵非同构的根树, 由第二棵能派生4棵非同构的根树,由第三棵能派生3棵非同构的根树,所以,5阶非同构的根树共有9棵,请读者将它们都画出来.9.13 答案 A:②; B:②; C:③; D:③; E:③;F:④; G: ④; H:③.分析 将所有频率都乘100,所得结果按从小到大顺序排列:.35,20,15,10,10,5,5=======a b c d e f g w w w w w w w以以上各数为权,用Huffman 算法求一棵最优树,见图9.15所示.对照各个权可知各字母的前缀码如下:a ——10，b ——01，c ——111，d ——110，e ——001，f ——0001，g ——0000.于是，a,b 的码长为e d c ,,,2的码长为g f ,,3的码长为4. W(T)=255(各分支点的权之和),W(T)是传输100按给定频率出现的字母所用的二进制数字,因则传输104个按上述频率出现的字母要用25500⨯个二进制数字..24=1055最后还应指出一点,在画最优树叶, 由于顶点位置的不同,所得缀码可能不同,即有些字母的码子在不同的最优树中可能不同,但一般说来码长不改变.特别是,不同的最优树,它们的权是固定不变的.9.14 答案 A:②; B:④分析用2元有序正则树表示算式,树叶表示参加运算的数,分支点上放运算符,并将被减数(被除数)放在左子树上,所得2元树如图9.16所示.用前序行遍法访问此树,得波兰符号表示法为abc-++de-*.**ghf用后序行遍法访问此树,得逆波兰符号表示法为dec*fghab--++**。
离散数学第9章习题答案
习题91. 设G 是一个(n ，m)简单图。
证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。
证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。
根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。
（2） =〉G 是完全图 因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。
所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。
G 是完全图 =〉 因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数 。
■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。
与题设m = n+1，矛盾。
因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。
因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。
可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。
最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。
下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。
离散数学(第二版)第9章树
e10， 则分别产生初级回路e1e3e4， e1e4e5e2， e6e8e9，
•
•
•
e7e6e9e10。
•
第九章 树
这些初级回路有一个共同特点： 它们中均只含一条弦，
其余的边均是树枝， 我们称这样的回路为基本回路。 对于
G的每棵生成树T， m-n+1条弦对应着m-n+1个基本回路，
这些基本回路构成的集合称为对应T的基本回路系统。 显
例如图9.1.3中， T1和T2是图G的两棵生成树， 1 和2 是 分别对应于它们的余树。
第九章 树
图9.1.3 图的生成树和余树
第九章 树
由图9.1.3可见， G与T1、 T2的区别是G中有回路， 而 它的生成树中无回路， 因此要在一个连通图G中找到一棵 生成树， 只要不断地从G的回路上删去一条边， 最后所得 无回路的子图就是G的一棵生成树。 于是有如下定理。
这个问题的数学模型为： 在已知的带权图上求权最小 的生成树。
定义9.1.4 设无向连通带权图G=〈V, E, ω〉， G中带 权最小的生成树称为G的最小生成树(最优树)。
定理9.1.4 设连通图G的各边的权均不相同， 则回路 中权最大的边必不在G的最小生成树中。
证明略。
第九章 树
定理的结论是显然的， 由此寻找带权图G的最小生成 树， 可以采用破圈法， 即在图G中不断去掉回路中权最大 的边。
(5) 1， 1， 1， 1， 1， 2， 5
(6) 1， 1， 1， 1， 1， 3， 4
(7) 1， 1， 1， 1， 1， 1， 6
第九章 树
注意到， 不同构的度数列对应不同的树， 但对应同一 度数列的非同构的树不一定唯一， 所以对应(1)有T1， 对应 (2)有T2、 T3和T4， 对应(3)有T5和T6， 对应(4)有T7和T8， 对应(5)有T9， 对应(6)有T10， 对应(7)有T11(见图9.1.2)。
离散数学结点和树叶的关系
离散数学结点和树叶的关系离散数学是现代数学的一个分支，它研究离散的数学结构以及其中的规律和性质。
离散数学中有一个重要的概念是图论，而图论中的结点和树叶是其中的两个基本要素。
在图论中，结点是图的基本组成单位，它代表着图中的一个元素或对象。
结点可以用来表示各种实际问题中的个体或元素，比如人、物品、城市等。
结点之间的连接关系可以用边来表示，边可以是有向的也可以是无向的。
通过连接不同的结点，可以形成各种复杂的图结构。
树是一种特殊的图，它是一种无环的连通图。
树由结点和边组成，其中有一个特殊的结点被称为根结点，其他结点都可以通过一条唯一的路径与根结点相连。
树中没有回路，每个结点都有唯一的父结点（除了根结点），也可以有零个或多个子结点。
树的叶子结点是没有子结点的结点，它们位于树的末端。
结点和树叶在离散数学中有着重要的作用。
结点是图中最基本的元素，它们代表了图中的个体或元素，可以用来描述各种实际问题中的对象。
在图的分析和处理过程中，结点的属性和关系常常是研究的重点。
通过对结点之间的连接关系的分析，可以揭示出图的一些重要特性和规律。
树叶则是树中的末端结点，它们是没有子结点的结点。
树叶的数量和位置可以反映出树的形状和结构。
在树的分析和应用中，树叶的特性常常是关注的焦点。
通过对树叶的统计和分析，可以得到关于树的一些重要信息，比如树的高度、深度和宽度等。
结点和树叶之间存在着密切的关系。
树叶是从根结点到末端结点经过的路径上的最后一个结点，它是树的一个子树。
一个树可以有多个树叶，每个树叶都是树的一个子树。
通过对树叶的研究，可以揭示出树的一些重要性质和特点。
同时，树叶也可以通过逆向追踪的方式，找到从根结点到树叶的路径，进而揭示整个树的结构和关系。
除了在图论中的应用外，结点和树叶在计算机科学、人工智能等领域也有广泛的应用。
以搜索算法为例，搜索算法常常用来在一个图或树中找到特定的结点或树叶。
通过对结点和树叶的搜索，可以实现各种实际问题的解决，比如路径规划、图像识别等。
离散数学第九章树知识点总结
生成树的存在性 定理 任何无向连通图都有生成树. 证 用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树.
否则删去圈上的任一条边, 这不破坏连通性, 重复进行 直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树. 推论 1 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则 mn1. 推论 2 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则它的生成树的余树 有 mn+1 条边.
{0,10,010, 1010} 不是前缀码
例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下：
0：25%
1：20%
2：15%
3：10%
4：10%
5：10%6：5% Nhomakorabea7：5%
采用 2 元前缀码, 求传输数字最少的 2 元前缀码 (称作最佳前
缀码), 并求传输 10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需
要多少个二进制数字？若用等长的 (长为 3) 的码字传输需要
推论 3 设
为 G 的生成树 T 的余树，C 为 G 中任意一个
圈，则 C 与
一定有公共边.
基本回路与基本回路系统
定义 设 T 是 n 阶 m 条边的无向连通图 G 的一棵生成 树，设 e1, e2, … , emn+1 为 T 的弦. 设 Cr 为 T 添加弦 er 产生的 G 中惟一的圈(由 er和树枝组成), 称 Cr 为对应 弦 er的基本回路或基本圈, r=1, 2, …, mn+1. 称{C1, C2, …, Cmn+1}为对应 T 的基本回路系统. 求基本回路的算法: 设弦 e=(u,v), 先求 T 中 u 到 v 的路径 uv, 再并上弦 e, 即得对应 e 的基本回路. 基本割集与基本割集系统定义 设 T 是 n 阶连通图 G 的一棵生成树, e1, e2, …, en1 为 T 的树枝，Si 是 G 的只含树枝 ei, 其他边都是弦
无向树及其性质
第九章树9.1 无向树及其性质定义9.1 连通无回路的无向图称为无向树, 或简称树, 常用T表示树(Tree);平凡图称为平凡树;若无向图G至少有两个连通分支, 每个连通都是树, 则称G为森林(Forest);在无向图中, 悬挂顶点称为树叶(Leaf);度数大于或等于2的顶点称为分支点(Node)无向树有许多性质, 它们是树的充要条件, 因此它们都可看作是树的定义。
定理9.1 设G = <V, E>是n阶m条边的无向图, 则下面各命题是等价的:(1) G是树(2) G中任意两个顶点之间存在唯一的路径(3) G中无回路, 且m = n-1(4) G是连通的, 且m = n-1(5) G是连通的, 且G中任何边均为桥(6) G中没有回路, 但在任何两个不同的顶点之间加一条新边, 在所得图中得到唯一一个含新边的圈证：(1) ⇒ (2)由G的连通性和定理14.5的推论可知: ∀u,v∈V, u与v之间存在路径。
若路径不是唯一的, 设Γ1与Γ2都是u到v的路径。
显然必存在由Γ1和Γ2上边构成的回路, 这就与G中无回路矛盾。
(2) ⇒ (3)先证明: G中无回路。
若G中存在关联某顶点v的环, 则v到v存在长为0和1的两条路经, 这与已知矛盾。
若G中存在长度大于或等于2的圈, 则圈上任何两个顶点之间都存在两条不同的路径, 这与已知条件矛盾。
下面用归纳法证明: m = n-1。
1) n = 1时, G为平凡图, 结论显然成立。
2) 设n ≤ k(k ≥ 1)时, 结论成立。
3) 当n = k+1时设e = (u, v)为G中的一条边, 由于G中无回路, 所以, G-e有两个连通分支G1和G2。
设n i和m i分别为G i中的顶点数和边数, 则n i≤ k(i = 1, 2)。
由归纳假设可知: m i = n i-1, 于是, m=m1+m2+1=n1+n2+1-2=n-1。
(3) ⇒ (4)假设: G不是连通的。
离散数学知识点总结（9）-树
离散数学知识点总结（9）-树⼀、⽆向树和有向树对于任何⽆向图，若图中不存在简单回路，则 m≤n-1⽆向图是⽆向树的四个条件互相等价：连通、不存在简单回路、m=n-1满⾜⾄少2个 每⼀对相异顶点之间存在唯⼀的简单道路 极⼩连通（每⼀条边都是桥） 极⼤⽆圈因此⽆向树必定不含重边和⾃环，⼀定是简单图，⼀定是平⾯图。
⽆向树中度数为1的顶点称为叶⼦，度数⼤于1的顶点称为分枝点。
平凡树：⼀阶简单图，既⽆叶⼦⼜⽆分枝点任何⾮平凡树⾄少有2个叶⼦顶点证明：设n(n≥2) 阶⽆向连通图G的边数满⾜m=n-1，设图中度数为1的顶点数为t，则2m=deg(v1)+...+dev(v n)≥t+2(n-t)，得t≥2 或者设⽆向树中存在着a i个度为i的顶点，a1+2a2+...=2m，a1+a2+...=n=m+1，故叶⼦数=a3+2a4+3a5+...+2≥2森林：不含任何简单回路的图。
森林的每个连通分⽀都是树⼆、有向树和根树有向树：不考虑边的⽅向时是⼀棵⽆向树的有向图根树：只有⼀个⼊度为0的顶点，其它顶点⼊度均为1的有向树根树中出度为0的顶点称为叶⼦，出度⼤于0的顶点称为分枝点在根树中，从根到任⼀其它顶点都存在唯⼀的简单道路以v为根的根树：有向图中存在顶点v，使得从v到图中任意其它顶点都存在唯⼀简单道路，⽽且不存在从v到v的简单回路在根树中，由根到顶点v的道路长度称作v的层数（level） ；所有顶点的层数的最⼤值称为根树的⾼度（height）若T的每个分⽀点最多m个⼉⼦，则称T为m叉树；若其每个分⽀点都恰好m个⼉⼦，则称T为m叉正则树正则m叉树，其叶⼦数为t，分枝点数为i，则所有顶点出度之和为mi=所有顶点的⼊度之和t+i-1，故(m-1)i=t-1三、标号树前序遍历结果-+×421×÷632称作前缀表⽰、波兰式将波兰式压栈，当插⼊到×42时将其替换为8后序遍历结果42×1+63÷2×-称作后缀表⽰、逆波兰式将波兰式压栈，当插⼊到42×时将其替换为8中序遍历表达式4×2+1-6÷3×2称作中缀表⽰由前缀表⽰或后缀表⽰可以唯⼀构造表⽰运算式的有序树，但是由中缀表⽰则不⾏此外还有⼀些关于遍历、哈夫曼编码的知识点，数据结构中就有。
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例9.1.3：
Ca=aef
b d e f c
Cb=bde
Cc=cdf
a
基本回路系统为：{Ca, Cb, Cc}
六：基本割集与基本割集系统
定义： 设T是n阶连通图G的一棵生成树, e1, e2, …, en1为T的树枝，Si是G的只含 树枝ei, 其他边都是弦的割集, 称Si为 对应生成树T由树枝ei生成的基本割 集。 i=1, 2, …, n1. 称{S1, S2, …, Sn1}为对应T的基 本割集系统.
例9.2.1：
例 求带权为1, 1, 2, 3, 4, 5的最优树. 解题过程由下图给出，W(T)=38
前缀码：
设 =12…n-1n是长度为n的符号串 的前缀: 12…k , k=1,2,…,n-1 前缀码: {1, 2, …, m}, 其中1, 2, …, m为非空字符 串, 且任何两个互不为前缀 2元前缀码: 只出现两个符号(如0与1)的前缀码 如 {0,10,110, 1111}, {10,01,001,110}是2元前缀码 {0,10,010, 1010} 不是2元前缀码
根树的画法:树根放上方,省去所有有向边上的箭头 如右图所示 a是树根 b,e,f,h,i是树叶 c,d,g是内点 a,c,d,g是分支点 a为0层;1层有b,c; 2层有d,e,f; 3层有g,h; 4层有i. 树高为4
家族树：
定义 把根树看作一棵家族树: (1) 若顶点 a 邻接到顶点 b, 则称 b 是 a 的儿子, a 是 b 的父亲; (2) 若b和c为同一个顶点的儿子, 则称b和c是 兄弟; (3) 若ab且a可达b, 则称a是b的祖先, b是a的 后代. (4)设v为根树的一个顶点且不是树根, 称v及其 所有后代的导出子图为以v为根的根子树.
树的编码：
一棵2元树产生一个二元前缀码: 对每个分支点, 若关联2条边, 则给左边标0, 右边标1; 若只关联1条边, 则可以给它标0(看作左边), 也可以 标1(看作右边). 将从树根到每一片树叶的通路上标 的数字组成的字符串 记在树叶处, 所得的字符 串构成一个前缀码. 如右图所示： 最优2进制编码：使信息传 递的2进制数最短
v1 5
5
v2 1 5 6 4 6
v5
2 v4
v2
3 v3 5
1 4 2 v4
v5
3
v3
5
W(T)=1+2+3+4+5=15
例9.1.2： 5 v2 3 v3 5 5
！最小生成树不一定唯一
v1 5 1 5 v5 v2 1 v5 2 v4 5 5 v1
6 5
6
2
v4
3 v3
or
v2 3 v3
1
5 2
编码: 0---01 1---11 2---001 3---100 4---101 5---0001 6---00000 7---00001
传100个按比例出现的八进制数字所需二进制数字的个数 为 W(T)=285. 传10n(n2)个所用二进制数字的个数为2.8510n, 而用等长 码(长为3)需要用 310n个数字. 课后习题：9.9，9.13
树的遍历：
行遍(周游)根树T : 对T 的每个顶点访问且仅访问一次. 行遍2元有序正则树的方式： ① 中序行遍法: 左子树、根、右子树 ② 前序行遍法: 根、左子树、右子树 ③ 后序行遍法: 左子树、右子树、根
例如, 对图所示根树按中序、前序、 后序行遍法访问结果分别为： b a (f d g) c e a b (c (d f g) e) b ((f g d) e c) a 带下划线的是(子)树根, 一对括号内是一棵子树
定义 设2元树T有t片树叶v1, v2, …, vt, 树叶的权分别
为w1, w2, …, wt, 称 W ( t ) wi l ( vi ) 为T的权, 记作
t i 1
W(T), 其中l(vi)是vi的层数. 在所有有t片树叶, 带权
w1, w2, …, wt 的 2元树中, 权最小的2元树称为最优
9.1
一、树的概念
无向树及生成树
树：连通而不含回路的无向图称为无向树， 简称树，记作 T。 森林：连通分支数大于等于2，且每个连通
分支均是树的非连通无向图。
平凡树：平凡图为平凡树。 树叶: 树中度数为1的顶点 分支点: 树中度数2的顶点
森林
树的性质： 设G=<V,E>是n阶m条边的无向树， 则下面各命题是等价的： (1) G连通而不含回路；
例9.2.2：
例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下：
0：25% 4：10% 1：20% 5：10% 2：15% 6：5% 3：10% 7：5%
采用2元前缀码, 求传输数字最少的2元前缀码 (称作最佳前
缀码), 并求传输10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需 要多少个二进制数字？若用等长的 (长为3) 的码字传输需要 多少个二进制数字? 解 用Huffman算法求以频率(乘以100)为权的最优2元树. 这 里 w1=5, w2=5, w3=10, w4=10, w5=10, w6=15, w7=20, w8=25. 最优2元树如图所示.
例9.1.4：
Sa={a,f,g} Sb={b,g,h}
f c a b d e
Sc={c,f,h} Sd={d,h,i}
Se={e,f,i}
g h i
基本割集系统为：{Sa, Sb, Sc , Sd, Se}
课后例题：9.5，9.6，9.7，9.8 课后作业：9.1，9.3，9.4，9.5，9.6，9.7，9.8
2元树.
Huffman算法
给定实数w1, w2, …, wt, ① 作t片树叶, 分别以w1, w2, …, wt为权.
② 在所有入度为0的顶点(不一定是树叶)中选出两个 权最小的顶点, 添加一个新分支点, 以这2个顶点为 儿子, 其权等于这2个儿子的权之和.
③ 重复②, 直到只有1个入度为0 的顶点为止. W(T)等于所有分支点的权之和
小结与学习要求
1.掌握树的概念及其各种等价定义；
2.熟悉生成树与回路和割集的关系，掌握
最小生成树的构造方法；
3.熟练掌握根树的性质和最优二元树的生
成方法和应用;
4. 了解平面图的概念及其性质。
作业六
课后习题：
9.1-9.9，9.11，9.13
9.2
一、树的概念
根树及其应用
有向树: 基图为无向树的有向图 根树: 有一个顶点入度为0, 其余的入度均为1的 非平凡的有向树 树根: 有向树中入度为0的顶点 树叶: 有向树中入度为1, 出度为0的顶点 内点: 有向树中入度为1, 出度大于0的顶点 分支点: 树根与内点的总称(出度大于等于1） 顶点v的层数: 从树根到v的通路长度，记作l(v) 树高: 有向树中顶点的最大层数，记作h(T)
根树的分类： 有序树: 每一层的结点均有序 r元树:根树的每个分支点至多有r个儿子 r元正则树: 根树的每个分支点恰有r个儿子 r元完全正则树: 所有树叶层数相同都等于树高的r元 正则树 r元有序树: 有序的r元树 r元正则有序树: 有序的r元正则树 r元完全正则有序树: 有序的r元完全正则树
最优二元树：
v4
v5
or
v2 3 v3
1
v5 2
5
5
v4
W(T)=1+2+3+5+5=16
五：基本回路与基本回路系统
定义： 设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵 生成树，设e1, e2, … , emn+1为T的弦. 设Cr为T添加弦er产生的G中惟一的圈 (由er和树枝组成), 称Cr为对应弦er的 基本回路 r=1, 2, …, mn+1. 称{C1,C2, …, Cmn+1}为对应T 的基本回路系统.
应用：算术式的波兰符号法与逆波兰符号法 用2元有序正则树表示算式: 最高层次运算放在树 根上, 然后依次将运算符放在根子树的根上, 数放 在树叶上, 规定被除数、被减数放在左子树树叶上.
例如, 右图表示算式 ((b+(c+d))a)((ef)(g+h)(ij))
波兰符号法(前缀符号法): 按前序法遍历算式树, 其 结果不加括号. 例如, 对上页中树的访问结果为 b+cdaef+ghij 逆波兰符号法(后缀符号法): 按后序法遍历, 规定每 个运算符与前面紧邻两数运算. 例如, 对上页中树的访问结果为 课后作业：9.11，9.14 bcd++aefgh+ij
由上式解出x2.
三、生成树及其构造方法
生成树：若图G为无向连通图. T为G的生成子
图，且T为树，称T为G的生成树。 树枝与弦：G在T中的边称为T的树枝，G不
在T中的边称为T的弦。 余树：T的弦的集合的导
A
生成树
D B C
余树
D
B
B
C
C
生 成 树
A
余树
D
D
B
B C
C
无向连通图的生成树不一定唯一
(2) 每对顶点之间具有唯一一条初级通路
(3) n = m+1 (4) 若在G中任意两个不相邻的顶点之间增加一 条边，就形成唯一一条初级回路。 (5) 连通且每条边都是桥 (6) 连通但删除任何一条边后就不连通
性质(7): 任一棵非平凡树 T = < V,E >，至少有 两片叶。 证明：设T有x片树叶，由握手定理及定理9.1知，
生成树的余树不一定是树
四、最小生成树
带权图的最小生成树：设G = < V,E,W >是带权
的连通简单图， T是G的一棵生成树， T中所有枝的权之和称为T的权，记作：
W(T)。
具有权最小的生成树称为最小生成树。