离散数学sec9 树
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离散数学 图论-树
中序遍历（次序：左－根－右) 前序遍历（次序：根－左－右) 后序遍历（次序：左－右－根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例：给定二叉树，写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高．将平凡树也称为根树。 右图中树高为（ ）。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中，由于各有向边的方向是一 致的，所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头，并将树根画在最上方．
等长码：0-000；1-001；2-010；3-011；4-100； 5-101；6-110；7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游（遍历）
二叉树的周游：对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1）做一条绕行整个二叉树的行走路线（不能穿过树枝） 2）按行走路线经过结点的位臵（左边、下边、右边） 得到周游的方法有三种： 中序遍历（路线经过结点下边时访问结点） 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历（路线经过结点左边时访问结点） 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历（路线经过结点右边时访问结点） 访问的次序：左子树－右子树－根
2、根树中顶点的关系
定义：设T为一棵非平凡的根树， v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代； v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T)，称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同，则称vj与vk是兄 弟
离散数学 树
离散数学树
离散数学中的树(Tree)是一种常见的图论结构，它是一种无向、连通且没有简单回路的无向图，或者是一个有向连通图，其中每个节点都只有唯一一个父节点（除了根节点）。
树形结构中的每一个节点都可以视为一个子树的根节点，因为它下面连接了若干个子节点，这样就形成了一棵向下生长的树状结构。
树形结构还有一个重要的特点就是它具有很好的递归性质，因为每个节点下面都可以再建立一棵子树，这样就可以逐层递归地构建出整棵树。
在离散数学中，树被广泛应用于算法设计、数据结构以及对计算机网络和信息系统进行建模等领域。
树的深度和广度优先遍历、树的一些基本性质(如高度、度、叶子节点等)以及树的遍历应用在图的搜索算法、排序、哈夫曼编码、抽象语法树等算法中都有广泛的应用。
离散数学——树ppt课件
11
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
12
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
13
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
9
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
12
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
13
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
9
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
离散数学 课件 PPT 精品课程 考研 大学课程 数学一 第九章 树
例 (2)为(1)的一棵生成树T,(3)为T的余树.
（1）
（2）
（3）
余树可能不连通，也可能含回路。
2019/1/30
11
定理9.3 任何连通图G至少存在一棵生成树. 推论1 设n阶无向连通图G有m条边,则 m≥n-1. 推论2 设n阶无向连通图G有m条边,T是G的生 成树,T'是T的余树,则T'中有m-n+1条边.
（1）
（2）
（3）
m=8,n=5
2019/1/30 12
a
d b
f
e
图中, 初级回路aed， bdf，cef.
c
这3个回路中每一 个回路都只含一条 弦,其余的边都是树 枝,这样的回路称为 基本回路.
2019/1/30
13
定义9.3 设T是n阶连通图G=<V,E>的一棵生成 树,G有n条边.设e1,e2· · · ,em-n+1为T的弦,设Cr是T 加弦er产生的G的回路,r=1,2,…m-n+1.称Cr为 对应于弦er的基本回路,称{C1,C2,· · · ,Cm-n+1}为 对应生成树T的基本回路系统.
连通分支数大于等于2,且每个连通分支均
平凡图称为平凡树. 设T＝<V,E>为一棵无向树,v∈V,若d(v)＝1,
则称v为T的树叶.若d(v)≥2,则称v为T的分 支点.
2019/1/30 3
例
（a）
（b）
（c ）
图中（a），（b）为树，而（c）不是树， 但（c）为森林。
2019/1/30 4
T有5个树枝a, b, c, d, e, 因而有5个 基本割集:Sa={a,g,f } ; Sb={b,g,h } ; Sc={c,f,h } ; Sd={d,i,h } ; Se={e,f,i}. 基本割集系统为{Sa,Sb,Sc, Sd,Se}.
离散数学-树
该n元有序树又称n元位置树。2元位置树各分支结点 的左右儿子分别称为左儿子和右儿子。
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
《离散数学》课件-第九章 树(A)
• 证明 除根之外的每个结点都是分支点的儿子。因 为每个分支点都有m个儿子，所以，在树中除根之 外还有mi个结点。因此，这棵树共有mi+1个结点。
定理9.3.2
• 定理9.3.2一个m元正则树T 1. 若T有n个结点，则有i=（n−1）/m个分支点和 l=[(m−1)n+1]/m片树叶； 2. 若T有i个分支点，则有n=mi+1个结点和l=(m−1)i+1片树叶； 3. 若T有l片树叶，则有n=(ml−1)/(m−1)个结点和i=（l−1） /(m−1)个分支点。
大于等于2，则 2e deg(v) 2k ，从而ek,，即图T至少有k条边，与e= vV
n-1矛盾。在T中删去1度结点v0及其关联的边，得到新图T也是连通的。 根据归纳假设，T无回路，e= n-1，将删去的1度结点v0及其关联的边添 入T得到图T ，T中仍无回路，且e= n-1。
➢ （4）（5）。用反证法证明。假设在T的每一对结点之间的简单路不唯
T1
T2
T3
9
生成树
• 定义9.2.1 给定连通图G,如果它的生成子图TG是树,则称TG为G的生成树。生 成树TG中的边称为树枝；G中的不在TG中的边称为弦；TG的所有弦的集合 称为生成树TG的余树。 例如 图中黑边构成生成树 红边构成余树
注意: 余树一般不是树
10
例题
• 例9.2.1 在图9.2a.1中，哪e 些是图9a.2.1(1e)的生成树a？ e
• 证明 用归纳法对高度h进行归纳证明。
• 假设高度h=1。高度h=1的m元树由根结点及其不超过m个子 结点组成，每个子结点都是树叶。因此高度为h的m元树里至 多有m1=m片树叶。
• 因此，数据集D上的k聚类就是求使得 D( ) 最大的k划分。
定理9.3.2
• 定理9.3.2一个m元正则树T 1. 若T有n个结点，则有i=（n−1）/m个分支点和 l=[(m−1)n+1]/m片树叶； 2. 若T有i个分支点，则有n=mi+1个结点和l=(m−1)i+1片树叶； 3. 若T有l片树叶，则有n=(ml−1)/(m−1)个结点和i=（l−1） /(m−1)个分支点。
大于等于2，则 2e deg(v) 2k ，从而ek,，即图T至少有k条边，与e= vV
n-1矛盾。在T中删去1度结点v0及其关联的边，得到新图T也是连通的。 根据归纳假设，T无回路，e= n-1，将删去的1度结点v0及其关联的边添 入T得到图T ，T中仍无回路，且e= n-1。
➢ （4）（5）。用反证法证明。假设在T的每一对结点之间的简单路不唯
T1
T2
T3
9
生成树
• 定义9.2.1 给定连通图G,如果它的生成子图TG是树,则称TG为G的生成树。生 成树TG中的边称为树枝；G中的不在TG中的边称为弦；TG的所有弦的集合 称为生成树TG的余树。 例如 图中黑边构成生成树 红边构成余树
注意: 余树一般不是树
10
例题
• 例9.2.1 在图9.2a.1中，哪e 些是图9a.2.1(1e)的生成树a？ e
• 证明 用归纳法对高度h进行归纳证明。
• 假设高度h=1。高度h=1的m元树由根结点及其不超过m个子 结点组成，每个子结点都是树叶。因此高度为h的m元树里至 多有m1=m片树叶。
• 因此，数据集D上的k聚类就是求使得 D( ) 最大的k划分。
离散数学(第二版)第9章树
e10， 则分别产生初级回路e1e3e4， e1e4e5e2， e6e8e9，
•
•
•
e7e6e9e10。
•
第九章 树
这些初级回路有一个共同特点： 它们中均只含一条弦，
其余的边均是树枝， 我们称这样的回路为基本回路。 对于
G的每棵生成树T， m-n+1条弦对应着m-n+1个基本回路，
这些基本回路构成的集合称为对应T的基本回路系统。 显
例如图9.1.3中， T1和T2是图G的两棵生成树， 1 和2 是 分别对应于它们的余树。
第九章 树
图9.1.3 图的生成树和余树
第九章 树
由图9.1.3可见， G与T1、 T2的区别是G中有回路， 而 它的生成树中无回路， 因此要在一个连通图G中找到一棵 生成树， 只要不断地从G的回路上删去一条边， 最后所得 无回路的子图就是G的一棵生成树。 于是有如下定理。
这个问题的数学模型为： 在已知的带权图上求权最小 的生成树。
定义9.1.4 设无向连通带权图G=〈V, E, ω〉， G中带 权最小的生成树称为G的最小生成树(最优树)。
定理9.1.4 设连通图G的各边的权均不相同， 则回路 中权最大的边必不在G的最小生成树中。
证明略。
第九章 树
定理的结论是显然的， 由此寻找带权图G的最小生成 树， 可以采用破圈法， 即在图G中不断去掉回路中权最大 的边。
(5) 1， 1， 1， 1， 1， 2， 5
(6) 1， 1， 1， 1， 1， 3， 4
(7) 1， 1， 1， 1， 1， 1， 6
第九章 树
注意到， 不同构的度数列对应不同的树， 但对应同一 度数列的非同构的树不一定唯一， 所以对应(1)有T1， 对应 (2)有T2、 T3和T4， 对应(3)有T5和T6， 对应(4)有T7和T8， 对应(5)有T9， 对应(6)有T10， 对应(7)有T11(见图9.1.2)。
离散数学第九章树知识点总结
生成树的存在性 定理 任何无向连通图都有生成树. 证 用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树.
否则删去圈上的任一条边, 这不破坏连通性, 重复进行 直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树. 推论 1 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则 mn1. 推论 2 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则它的生成树的余树 有 mn+1 条边.
{0,10,010, 1010} 不是前缀码
例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下：
0：25%
1：20%
2：15%
3：10%
4：10%
5：10%6：5% Nhomakorabea7：5%
采用 2 元前缀码, 求传输数字最少的 2 元前缀码 (称作最佳前
缀码), 并求传输 10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需
要多少个二进制数字？若用等长的 (长为 3) 的码字传输需要
推论 3 设
为 G 的生成树 T 的余树，C 为 G 中任意一个
圈，则 C 与
一定有公共边.
基本回路与基本回路系统
定义 设 T 是 n 阶 m 条边的无向连通图 G 的一棵生成 树，设 e1, e2, … , emn+1 为 T 的弦. 设 Cr 为 T 添加弦 er 产生的 G 中惟一的圈(由 er和树枝组成), 称 Cr 为对应 弦 er的基本回路或基本圈, r=1, 2, …, mn+1. 称{C1, C2, …, Cmn+1}为对应 T 的基本回路系统. 求基本回路的算法: 设弦 e=(u,v), 先求 T 中 u 到 v 的路径 uv, 再并上弦 e, 即得对应 e 的基本回路. 基本割集与基本割集系统定义 设 T 是 n 阶连通图 G 的一棵生成树, e1, e2, …, en1 为 T 的树枝，Si 是 G 的只含树枝 ei, 其他边都是弦
离散数学中的图的树与生成树计数算法
离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是离散的对象和离散的结构。
图论作为离散数学的分支之一，研究的是图的性质和结构。
在离散数学中，图的树是一种重要的概念，而生成树则是树的一种特殊类型。
本文将介绍图的树以及生成树的计数算法。
在图论中，图是由节点和边组成的集合。
树是一种特殊的图，它是一个无环图，并且其中的任意两个节点都是通过唯一的路径连接在一起的。
树的一个重要性质是它具有n个节点的话，就有n-1条边。
这个性质可以通过归纳法进行证明。
生成树是图的一个特殊类型，它是包含所有节点并且没有环的子图。
图中可能存在多个生成树，而生成树的计数是一个重要的问题。
一个图有多少种不同的生成树取决于图的结构和节点之间的连接关系。
在计算生成树数量时，有一些经典的算法可以使用。
其中，几个著名的算法包括Matrix Tree 定理、Kirchhoff定理和Prufer编码。
Matrix Tree 定理是一个重要的生成树计数定理。
该定理指出，一个图的生成树数量等于其拉普拉斯矩阵中任意一个不连通的块的行列式。
拉普拉斯矩阵是一个图的特殊矩阵，其中的元素是节点之间的连接关系。
通过计算拉普拉斯矩阵的行列式，我们可以得到图的生成树数量。
Kirchhoff定理是图论中的另一个重要定理。
它指出，一个图的所有生成树组成的集合，可以通过这个图的基尔霍夫矩阵的任意一个不连通部分的代数余子式求和得到。
基尔霍夫矩阵是一个与图的边相关的矩阵，通过对基尔霍夫矩阵的计算，我们可以得到图的生成树数量。
Prufer编码是一个用于计算生成树数量的编码技术。
在Prufer编码中，我们将图的生成树转化为一个特殊的序列。
通过对这个序列的计算和转化，我们可以得到图的生成树数量。
Prufer编码是一个相对简单的方法，但它可以应用于不同类型的图，因此是一个实用且灵活的生成树计数方法。
总之，在离散数学中，图的树和生成树是重要的概念。
图的树是一种无环图，而生成树是包含所有节点且没有环的子图。
离散数学知识点总结（9）-树
离散数学知识点总结（9）-树⼀、⽆向树和有向树对于任何⽆向图，若图中不存在简单回路，则 m≤n-1⽆向图是⽆向树的四个条件互相等价：连通、不存在简单回路、m=n-1满⾜⾄少2个 每⼀对相异顶点之间存在唯⼀的简单道路 极⼩连通（每⼀条边都是桥） 极⼤⽆圈因此⽆向树必定不含重边和⾃环，⼀定是简单图，⼀定是平⾯图。
⽆向树中度数为1的顶点称为叶⼦，度数⼤于1的顶点称为分枝点。
平凡树：⼀阶简单图，既⽆叶⼦⼜⽆分枝点任何⾮平凡树⾄少有2个叶⼦顶点证明：设n(n≥2) 阶⽆向连通图G的边数满⾜m=n-1，设图中度数为1的顶点数为t，则2m=deg(v1)+...+dev(v n)≥t+2(n-t)，得t≥2 或者设⽆向树中存在着a i个度为i的顶点，a1+2a2+...=2m，a1+a2+...=n=m+1，故叶⼦数=a3+2a4+3a5+...+2≥2森林：不含任何简单回路的图。
森林的每个连通分⽀都是树⼆、有向树和根树有向树：不考虑边的⽅向时是⼀棵⽆向树的有向图根树：只有⼀个⼊度为0的顶点，其它顶点⼊度均为1的有向树根树中出度为0的顶点称为叶⼦，出度⼤于0的顶点称为分枝点在根树中，从根到任⼀其它顶点都存在唯⼀的简单道路以v为根的根树：有向图中存在顶点v，使得从v到图中任意其它顶点都存在唯⼀简单道路，⽽且不存在从v到v的简单回路在根树中，由根到顶点v的道路长度称作v的层数（level） ；所有顶点的层数的最⼤值称为根树的⾼度（height）若T的每个分⽀点最多m个⼉⼦，则称T为m叉树；若其每个分⽀点都恰好m个⼉⼦，则称T为m叉正则树正则m叉树，其叶⼦数为t，分枝点数为i，则所有顶点出度之和为mi=所有顶点的⼊度之和t+i-1，故(m-1)i=t-1三、标号树前序遍历结果-+×421×÷632称作前缀表⽰、波兰式将波兰式压栈，当插⼊到×42时将其替换为8后序遍历结果42×1+63÷2×-称作后缀表⽰、逆波兰式将波兰式压栈，当插⼊到42×时将其替换为8中序遍历表达式4×2+1-6÷3×2称作中缀表⽰由前缀表⽰或后缀表⽰可以唯⼀构造表⽰运算式的有序树，但是由中缀表⽰则不⾏此外还有⼀些关于遍历、哈夫曼编码的知识点，数据结构中就有。
离散数学 第九章：树
4
9.1 无向树
ห้องสมุดไป่ตู้
5
9.1 无向树
如果将上图看作一个图的话，这个图就是一棵树，如下图。 如果将上图看作一个图的话，这个图就是一棵树，如下图。
1 7 4 5 2 1 6 3 2 3 2 6 5 4
7
3 4 1 5 6 7
6
9.1 无向树
一、无向树的定义 定义9.1.1 连通不含回路的无向图称为无向树，简称 连通不含回路的无向图称为无向树 无向树， 定义 常用T表示一棵树 连通分支数大于等于2， 表示一棵树。 为树。常用 表示一棵树。连通分支数大于等于 ， 森林。 且每个连通分支都是树的非连通无向图称为森林 且每个连通分支都是树的非连通无向图称为森林。平 凡图称为平凡树 平凡树。 凡图称为平凡树。 例1： ：
证明： 只要证明T是连通的 是连通的。 证明：（6）⇒（1）只要证明T是连通的。
则新边(u,v)∪T产生唯一的圈 ，显然有 产生唯一的圈C， ∀u,v∈V且u ≠ v ，则新边 u,v∈ 且 ∪ 产生唯一的圈 C-(u,v)为T中u到v的通路，故u~v,由u,v的任意性可知，T是 的通路， 的任意性可知， 是 为 中 到 的通路 由 的任意性可知 连通的。 连通的。
15
9.1 无向树
(4)T是连通的，且m=n-1; 是连通的， 是连通的 (6)T中无回路，但在 的任何两个不相邻的顶点之间增加一条新边，就得 中无回路， 的任何两个不相邻的顶点之间增加一条新边， 中无回路 但在T的任何两个不相邻的顶点之间增加一条新边 到唯一的一条含新边的初级回路。 到唯一的一条含新边的初级回路。 证明： ⇒ 证明：(4)⇒(6) 归纳法 连通且有n-1条边 条边。 若T连通且有 条边。 连通且有 必无回路。 当n=2时，m=2-1=1,故T必无回路。如果增加一条边得到且仅得到一条 时 故 必无回路 回路。 回路。 时命题成立。 设n=k-1时命题成立。 时命题成立 考察n=k时的情况。因为 是连通的，m=n-1,故每个结点 有deg(u)≥1, 时的情况。 是连通的， 故每个结点u有 考察 时的情况 因为T是连通的 故每个结点 ≥ 可以证明至少有一个结点v,使得 使得deg(v)=1;若不然，即所有结点 有 若不然， 可以证明至少有一个结点 使得 若不然 即所有结点u有 deg(u)≥2则2m≥2n，即m ≥n,与假设 与假设m=n-1矛盾。删去 及其关联的边， 矛盾。 及其关联的边， ≥ 则 ≥ ， 与假设 矛盾 删去v及其关联的边 而得到新图T’,由归纳假设可知 无回路； 由归纳假设可知T’无回路 中加入v及其关联的边又得 而得到新图 由归纳假设可知 无回路；在T’中加入 及其关联的边又得 中加入 是无回路的； 中增加新的边(u,w),则该边与 中u到 则该边与T中 到 到T，故T是无回路的；若在连通图 中增加新的边 ， 是无回路的 若在连通图T中增加新的边 则该边与 W的一条通路构成一个回路，则该回路必是唯一的，否则若删去此新边， 的一条通路构成一个回路， 的一条通路构成一个回路 则该回路必是唯一的，否则若删去此新边， T中必有回路，得出矛盾。 中必有回路， 中必有回路 得出矛盾。
《离散数学》树及其应用
44
最小瓶颈支撑树
A
10
E
7
3
2
C 9D
8
B5
4 F
A MST
E
3
2
C 9D
B5
4 F
A
E
7
3
2
C 9D
8
B
F
A
E
7
9
C
D
8
B5
4
F
45
最小瓶颈支撑树
定理
无向连通赋权图的最小支撑树一定是最小 瓶颈支撑树，但最小瓶颈支撑树不一定是 最小支撑树
46
最小瓶颈支撑树
证明 —— MST一定是MBST
C
42
博鲁夫卡算法
思考：
该算法能否用来寻找最小支撑森林?
10 B D A 55
12 C E
6
FH
28
10
J
11 5
3 G 12 I
K
43
最小瓶颈支撑树
设 ( G, W ) 是无向连通赋权图，G 的所 有支撑树中权值最大的边的权值最小 的支撑树称为 G 的最小瓶颈支撑树（ minimal bottleneck spanning tree, MBST）
58
单源最短道路
迪杰斯特拉算法 Dijkstra ( G ) 输入：赋权简单连通图 G=(V, E)，起点 s 输出：G 的最短道路树 T=(VT, ET) 1. VT ，ET ，d(s) 0 2. 对于所有 vV{s}，d(v) 3. 若 VT = V，则输出 T = (VT , ET)，否则 3.1. 在集合 VVT 中选取 d(v) 值最小的顶点v
u2
v
u3
57
最小瓶颈支撑树
A
10
E
7
3
2
C 9D
8
B5
4 F
A MST
E
3
2
C 9D
B5
4 F
A
E
7
3
2
C 9D
8
B
F
A
E
7
9
C
D
8
B5
4
F
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最小瓶颈支撑树
定理
无向连通赋权图的最小支撑树一定是最小 瓶颈支撑树，但最小瓶颈支撑树不一定是 最小支撑树
46
最小瓶颈支撑树
证明 —— MST一定是MBST
C
42
博鲁夫卡算法
思考：
该算法能否用来寻找最小支撑森林?
10 B D A 55
12 C E
6
FH
28
10
J
11 5
3 G 12 I
K
43
最小瓶颈支撑树
设 ( G, W ) 是无向连通赋权图，G 的所 有支撑树中权值最大的边的权值最小 的支撑树称为 G 的最小瓶颈支撑树（ minimal bottleneck spanning tree, MBST）
58
单源最短道路
迪杰斯特拉算法 Dijkstra ( G ) 输入：赋权简单连通图 G=(V, E)，起点 s 输出：G 的最短道路树 T=(VT, ET) 1. VT ，ET ，d(s) 0 2. 对于所有 vV{s}，d(v) 3. 若 VT = V，则输出 T = (VT , ET)，否则 3.1. 在集合 VVT 中选取 d(v) 值最小的顶点v
u2
v
u3
57
离散数学 第九章：树
！最小生成树不一定唯一
v1 5 1 v6 5 v5 v2 1 5 v6 5 2 v4 v5 v1
6 5
6
2
v4
3 v3
or
v2 3 v3
1 v6
5 2
v4
v5
or
v2 3 v3
1
5
v6 5 2
v5
v4
W(T)=1+2+3+5+5=16
五：★基本回路与基本回路系统
定义： 设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵 生成树，设e1, e2, … , emn+1为T的弦. 设Cr为T添加弦er产生的G中惟一的圈 (由er和树枝组成), 称Cr为对应弦er的 基本回路。（路径） r=1, 2, …, mn+1. 称{C1,C2, …, Cmn+1}为对应T 的基本回路系统.（路径的集合） （共有m-n+1条弦，每条弦有一个基本回路）
根树的画法:树根放上方,省去所有有向边上的箭头 如右图所示 a是树根 b,e,f,h,i是树叶 c,d,g是内点 a,c,d,g是分支点 a为0层;1层有b,c; 2层有d,e,f; 3层有g,h; 4层有i. 树高为4
家族树：
定义 把根树看作一棵家族树: (1) 若顶点 a 邻接到顶点 b, 则称 b 是 a 的儿子, a 是 b 的父亲; (2) 若b和c为同一个顶点的儿子, 则称b和c是 兄弟; (3) 若ab且a可达b, 则称a是b的祖先, b是a的 后代. (4)设v为根树的一个顶点且不是树根, 称v及其 所有后代的导出子图为以v为根的根子树.
2元树.
Huffman算法 给定实数w1, w2, …, wt,
① 作t片树叶, 分别以w1, w2, …, wt为权.并将其从小 到大排列。
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20
实例
例5 求图的一棵最小生成树
避圈法
W(T)=38
21
实例
例5 求图的一棵最小生成树
Prim算法
W(T)=38
22
作业
第九章：3，6，8，10，11
第9章 树
• 无向树及其性质 • 生成树
1
无向树及其性质
• 无向树 • 无向树的性质
2
无向树的定义
无向树: 连通无回路的无向图 平凡树: 平凡图 森林: 每个连通分支都是树的非连通的无向图 树叶: 树中度数为1的顶点 分支点: 树中度数2的顶点
例如
(a)
(b)
3
无向树的性质
定理9.1 设G=<V,E>是n阶m条边的无向图, 下面 各命题是等价的： (1) G是树(连通无回路); (2) G中任意两个顶点之间存在惟一的路径; (4) G中无回路且m=n1; (3) G是连通的且m=n1; (6) G是连通的且G中任意一条边均为桥. (5) G中无回路, 但在任何两个不相邻的顶点之间 加一条边所得图中有惟一的一条初级回路.
在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合Vnew中的元素， 而v则是V中没有加入Vnew的顶点（如果存在有多条满足前述条件即具 有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
将v加入集合Vnew中，将（u, v）加入集合Enew中； 输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
{{a,f,g}, {e,b,f,g}, {c,b}, {d,g} }
17
基本割集与基本割集系统
• 求基本割集 设e为生成树T的树枝，Te为两棵小树T1与 T2，令Se ＝{e|eE(G)且e的两个端点分别属于 T1与T2}，则Se为e对应的基本割集。
例4 图中红边为一棵生成树, 对应它的基本割集系统为 {{a,f,g}, {e,b,f,g}, {c,b}, {d,g} }
定理的证明(续)
(5) G中无回路, 但在任何两个不相邻的顶点之间加一条 边所得图中有惟一的一条初级回路. (6) G是连通的且G中任意一条边均为桥
(1)(5) 由(2), 任意2个不相邻的顶点之间有一条惟 一的路径, 故在这2个顶点之间添加一条新边, 必得到一条 惟一的初级回路.
(1)(6) 删除任一边均有m=n-2，非联通图，G中任意一 条边均为桥.
最小生成树
图G的每一条边e附加一个实数w(e), 称作边e的权. 图G连 同附加在边上的权称作带权图, 记作G=<V,E,W>. 设H是 G的子图, H所有边的权的和称作H的权, 记作W(H). 最小生成树: 带权图权最小的生成树
避圈法 (Kruskal) (1) 将所有非环边按权从小到大排列, 设为e1, e2, …, em (2) 令T = (3) For k=1 to m Do
4
定理的证明
(1) G是树(连通无回路) (2)任两个顶点之间存在惟一的路径
(1)(2) 由连通性可知, 任意2个顶点之间有一条路径. 又, 假设某2 个顶点之间有2条路径, 则这2条路径可组合成一条回路, 与树的定 义矛盾. (2)(1) 连通性显然，无回路用反证法。
(3) G是连通的且m=n1;
(6)(1) G中无回路, 否则删去回路上任意条边, G仍连通.
7
无向树的性质(续)
定理9.2 非平凡的无向树至少有两片树叶 证 设有n(n>1)个顶点, x片树叶, 由握手定理和前定 理, 有
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
解得 x2.
8
实例
例1 已知无向树T中, 有1个3度顶点, 2个2度顶点, 其余顶 点全是树叶. 试求树叶数, 并画出满足要求的非同构的无 向树.
例3 图中红边为一棵生成树, 对应它的基本回路系统为 {bce, fae, gaed}
15
基本回路与基本回路系统
• 求基本回路
设弦e=(u,v)，先求T中u到v的路径(u,v)，再并
上弦e，即得对应e的基本回路。
例3 图中红边为一棵生成树, 对应它的基本回路系统为 {bce, fae, gaed}
16
基本割集与基本割集系统
定义16.4 设T是n阶连通图G的一棵生成树, e1, e2, …, en1为T的树枝，Si是G的只含树枝ei, 其 他边都是弦的割集, 称Si为对应树枝ei的基本割集. 称{S1, S2, …, Sn1}为对应T的基本割集系统, (G)=n1为G的割集秩
例4 图中红边为一棵生成树, 对应它的基本割集系统为
生成树T的余树 T : 所有弦的集合的导出子图 注意：T 不一定连通, 也不一定不含回路.
黑边构成生成树 红边构成余树
12
生成树的存在性
定理9.3 无向图G有生成树当且仅当G是连通图; 任何无向连通图都有生成树.
证: 用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树. 否则删去圈上的任一条边, 不破坏连通性, 重复进行直到 无圈为止, 得到图的一棵生成树. 推论1 设n阶无向连通图有m条边, 则mn1. (同定理 7.9) 推论2 设n阶无向连通图有m条边, 则它的生成树的余树 有mn+1条边.
解 设有x片树叶, 2(2+x)=13+22+x 解得x=3， 故T有3片树叶. T的度数列为1, 1, 1, 2, 2, 3
9
实例
例2 画出所有6阶非同构的无向树
解 m=5条边, 总度数等于10
可能的度数列:
(1) 1,1,1,1,1,5
(2) 1,1,1,1,2,4
(3) 1,1,1,1,3,3
(12)(3) 显然连通, 只需证m=n1. 对n作归纳证明. 当n=1时, 显然m=0, 结论成立. 假设当nk(k1)时结论成立, 考虑n=k+1. 任取一条边e=(u,v), 它 是u,v之间惟一的通路, 删去e, G被分成2个连通分支, 设它们分别 有m(32)n=1n, 2(n-121)个,连得顶通m点性=和显mm然1+1，,mm只2+2条1需=边证n,-无1n.回1k路, 。n2假k设. 由G归存纳在假回设路,，m任1=取n1一-1个, 回路, 删去回路中的一条边, 所得图仍是连通的. 重复这个做法, 直 到没有回路为止, 得到一棵树, 它有n个顶点m-r条边, r>0. 由 1)(2)(3), 得m-r =n-1, 矛盾.
5
定理的证明(续)
(3) G是连通的且m=n1; (4) G中无回路且m=n1; (123)(4) 略 (4)(123) 只需证G连通. 假设G不连通, 有p(p>1)个连通分 支.设第k个连通分支有nk个顶点和mk条边, 由(123),mk= nk-1. 得到m= n-p, 与m=n-1矛盾.
6
13
定理
定理9.4 设T为无向连通图G中一棵生成树，e 为T的任意一条弦，则T∪e中含G中只含一 条弦其余边均为树枝的圈，而且不同的弦对 应的圈也不同。
14
基本回路与基本回路系统
定义16.3 设G是n阶m条边的无向连通图, T是G的一 棵生成树, e1, e2, … , emn+1为T的弦. G中仅含T的一 条弦er的圈Cr称作对应弦er的基本回路. 称{C1,C2, …, Cmn+1}为对应T的基本回路系统。 (G)=mn+1为G的圈秩。
若ek与T 中的边不构成回路, 则将ek加入T 中
19
最小生成树
Prim算法:从单一顶点开始，普里姆算法按照以下步骤逐步扩大树中所含
顶点的数目，直到遍及连通图的所有顶点。 输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E； 初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {}； 重复下列操作，直到Vnew = V) 1,1,1,2,2,3
(5) 1,1,2,2,2,2
(4a)
(4b)
(5)
10
生成树
• 生成树与基本回路和基本割集 • 最小生成树
11
生成树
P146定义9.2 设G为无向连通图 G的生成树: G的生成子图（定义7.11）并且是树 生成树T的树枝: G在T中的边 生成树T的弦: G不在T中的边
实例
例5 求图的一棵最小生成树
避圈法
W(T)=38
21
实例
例5 求图的一棵最小生成树
Prim算法
W(T)=38
22
作业
第九章：3，6，8，10，11
第9章 树
• 无向树及其性质 • 生成树
1
无向树及其性质
• 无向树 • 无向树的性质
2
无向树的定义
无向树: 连通无回路的无向图 平凡树: 平凡图 森林: 每个连通分支都是树的非连通的无向图 树叶: 树中度数为1的顶点 分支点: 树中度数2的顶点
例如
(a)
(b)
3
无向树的性质
定理9.1 设G=<V,E>是n阶m条边的无向图, 下面 各命题是等价的： (1) G是树(连通无回路); (2) G中任意两个顶点之间存在惟一的路径; (4) G中无回路且m=n1; (3) G是连通的且m=n1; (6) G是连通的且G中任意一条边均为桥. (5) G中无回路, 但在任何两个不相邻的顶点之间 加一条边所得图中有惟一的一条初级回路.
在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合Vnew中的元素， 而v则是V中没有加入Vnew的顶点（如果存在有多条满足前述条件即具 有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
将v加入集合Vnew中，将（u, v）加入集合Enew中； 输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
{{a,f,g}, {e,b,f,g}, {c,b}, {d,g} }
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基本割集与基本割集系统
• 求基本割集 设e为生成树T的树枝，Te为两棵小树T1与 T2，令Se ＝{e|eE(G)且e的两个端点分别属于 T1与T2}，则Se为e对应的基本割集。
例4 图中红边为一棵生成树, 对应它的基本割集系统为 {{a,f,g}, {e,b,f,g}, {c,b}, {d,g} }
定理的证明(续)
(5) G中无回路, 但在任何两个不相邻的顶点之间加一条 边所得图中有惟一的一条初级回路. (6) G是连通的且G中任意一条边均为桥
(1)(5) 由(2), 任意2个不相邻的顶点之间有一条惟 一的路径, 故在这2个顶点之间添加一条新边, 必得到一条 惟一的初级回路.
(1)(6) 删除任一边均有m=n-2，非联通图，G中任意一 条边均为桥.
最小生成树
图G的每一条边e附加一个实数w(e), 称作边e的权. 图G连 同附加在边上的权称作带权图, 记作G=<V,E,W>. 设H是 G的子图, H所有边的权的和称作H的权, 记作W(H). 最小生成树: 带权图权最小的生成树
避圈法 (Kruskal) (1) 将所有非环边按权从小到大排列, 设为e1, e2, …, em (2) 令T = (3) For k=1 to m Do
4
定理的证明
(1) G是树(连通无回路) (2)任两个顶点之间存在惟一的路径
(1)(2) 由连通性可知, 任意2个顶点之间有一条路径. 又, 假设某2 个顶点之间有2条路径, 则这2条路径可组合成一条回路, 与树的定 义矛盾. (2)(1) 连通性显然，无回路用反证法。
(3) G是连通的且m=n1;
(6)(1) G中无回路, 否则删去回路上任意条边, G仍连通.
7
无向树的性质(续)
定理9.2 非平凡的无向树至少有两片树叶 证 设有n(n>1)个顶点, x片树叶, 由握手定理和前定 理, 有
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
解得 x2.
8
实例
例1 已知无向树T中, 有1个3度顶点, 2个2度顶点, 其余顶 点全是树叶. 试求树叶数, 并画出满足要求的非同构的无 向树.
例3 图中红边为一棵生成树, 对应它的基本回路系统为 {bce, fae, gaed}
15
基本回路与基本回路系统
• 求基本回路
设弦e=(u,v)，先求T中u到v的路径(u,v)，再并
上弦e，即得对应e的基本回路。
例3 图中红边为一棵生成树, 对应它的基本回路系统为 {bce, fae, gaed}
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基本割集与基本割集系统
定义16.4 设T是n阶连通图G的一棵生成树, e1, e2, …, en1为T的树枝，Si是G的只含树枝ei, 其 他边都是弦的割集, 称Si为对应树枝ei的基本割集. 称{S1, S2, …, Sn1}为对应T的基本割集系统, (G)=n1为G的割集秩
例4 图中红边为一棵生成树, 对应它的基本割集系统为
生成树T的余树 T : 所有弦的集合的导出子图 注意：T 不一定连通, 也不一定不含回路.
黑边构成生成树 红边构成余树
12
生成树的存在性
定理9.3 无向图G有生成树当且仅当G是连通图; 任何无向连通图都有生成树.
证: 用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树. 否则删去圈上的任一条边, 不破坏连通性, 重复进行直到 无圈为止, 得到图的一棵生成树. 推论1 设n阶无向连通图有m条边, 则mn1. (同定理 7.9) 推论2 设n阶无向连通图有m条边, 则它的生成树的余树 有mn+1条边.
解 设有x片树叶, 2(2+x)=13+22+x 解得x=3， 故T有3片树叶. T的度数列为1, 1, 1, 2, 2, 3
9
实例
例2 画出所有6阶非同构的无向树
解 m=5条边, 总度数等于10
可能的度数列:
(1) 1,1,1,1,1,5
(2) 1,1,1,1,2,4
(3) 1,1,1,1,3,3
(12)(3) 显然连通, 只需证m=n1. 对n作归纳证明. 当n=1时, 显然m=0, 结论成立. 假设当nk(k1)时结论成立, 考虑n=k+1. 任取一条边e=(u,v), 它 是u,v之间惟一的通路, 删去e, G被分成2个连通分支, 设它们分别 有m(32)n=1n, 2(n-121)个,连得顶通m点性=和显mm然1+1，,mm只2+2条1需=边证n,-无1n.回1k路, 。n2假k设. 由G归存纳在假回设路,，m任1=取n1一-1个, 回路, 删去回路中的一条边, 所得图仍是连通的. 重复这个做法, 直 到没有回路为止, 得到一棵树, 它有n个顶点m-r条边, r>0. 由 1)(2)(3), 得m-r =n-1, 矛盾.
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定理的证明(续)
(3) G是连通的且m=n1; (4) G中无回路且m=n1; (123)(4) 略 (4)(123) 只需证G连通. 假设G不连通, 有p(p>1)个连通分 支.设第k个连通分支有nk个顶点和mk条边, 由(123),mk= nk-1. 得到m= n-p, 与m=n-1矛盾.
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定理
定理9.4 设T为无向连通图G中一棵生成树，e 为T的任意一条弦，则T∪e中含G中只含一 条弦其余边均为树枝的圈，而且不同的弦对 应的圈也不同。
14
基本回路与基本回路系统
定义16.3 设G是n阶m条边的无向连通图, T是G的一 棵生成树, e1, e2, … , emn+1为T的弦. G中仅含T的一 条弦er的圈Cr称作对应弦er的基本回路. 称{C1,C2, …, Cmn+1}为对应T的基本回路系统。 (G)=mn+1为G的圈秩。
若ek与T 中的边不构成回路, 则将ek加入T 中
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最小生成树
Prim算法:从单一顶点开始，普里姆算法按照以下步骤逐步扩大树中所含
顶点的数目，直到遍及连通图的所有顶点。 输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E； 初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {}； 重复下列操作，直到Vnew = V) 1,1,1,2,2,3
(5) 1,1,2,2,2,2
(4a)
(4b)
(5)
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生成树
• 生成树与基本回路和基本割集 • 最小生成树
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生成树
P146定义9.2 设G为无向连通图 G的生成树: G的生成子图（定义7.11）并且是树 生成树T的树枝: G在T中的边 生成树T的弦: G不在T中的边