离散数学 图论-树

中序遍历（次序：左－根－右) 前序遍历（次序：根－左－右) 后序遍历（次序：左－右－根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例：给定二叉树，写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高．将平凡树也称为根树。 右图中树高为（ ）。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中，由于各有向边的方向是一 致的，所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头，并将树根画在最上方．
等长码：0-000；1-001；2-010；3-011；4-100； 5-101；6-110；7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游（遍历）
二叉树的周游：对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1）做一条绕行整个二叉树的行走路线（不能穿过树枝） 2）按行走路线经过结点的位臵（左边、下边、右边） 得到周游的方法有三种： 中序遍历（路线经过结点下边时访问结点） 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历（路线经过结点左边时访问结点） 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历（路线经过结点右边时访问结点） 访问的次序：左子树－右子树－根
2、根树中顶点的关系
定义：设T为一棵非平凡的根树， v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代； v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T)，称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同，则称vj与vk是兄 弟
v1
3、前缀编码 在通信中，常用二进制编码表示符号． 1, 10, 01, 101, 0101 1）等长编码与不等长编码： a, b, c , d , e 不等长编码可以使总电文总长度较短 2）不等长编码中编码的问题：如何识别？ 3) 前缀编码定义：设a1a2，…，an-1an为长为n的符号串， 称其子串a1, a1a2, …， a1a2…an-1分别为该符号串的 长度为1， 2， …， n-1的前缀． 设A＝{b1，b2，…bm }为一个符号串集合，若对于任意的bi， bj∈A (i≠ j) bi与bj互不为前缀，则称A为前缀码． 若符号串bi(i＝1，2，…，m)中只出现0，1两个符号，则 称A为二元前缀码 {1，10，101，0101，1010，0100，01001 }不是前缀码 {1，00，011，0101，01001，01000 } 为前缀码． { 1，01，111，1100，0111 } 不是前缀码
a h d i j
c
例：无向树T中度为4、3、2的结点各一个，其余为树叶，树叶＝？ 4+3+2+k = 2(3+k-1)
4) 阶数n比较小的所有非同构的无向树． 例1：画出6阶所有非同构的无向树． m=n-1=5 从树的节点之和来分析：结点之和为10分配给6个结点 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 2 4 1 1 1 1 3 3 1 1 1 2 2 3 1 1 2 2 2 2 例2：7阶无向树中有3片树叶和1个3度顶点，其余3个顶点的度数均无1和3．试 画出满足要求的所有非同构的无向树． 解答：从树的节点之和来分析：7阶无向树的边数m = （ ）， 于是∑d(vi)＝12＝3＋3 + d(v5)+d(v6)+d(v7) 1 1 1 2 2 2 3 加入2，2，2 如何组成结点的度数序列使之不同构 主要分析：度为3的结点v与其三个邻接点的关系 邻接关系不同就能得到不同构的树 三个邻接点度数：1 1 2 1 2 2 2 2 2
通路长度）．
在所有有t片树叶,带权w1,w2，…,wt的二叉树中, 总权值W(T)最小的二叉树称为最优二叉树 三棵带权二叉树
W(T1)＝2（2+2)+3*3+5*3+3*2＝38 W(T2)＝4(3+5)+3*3+2*2+2＝47 W(T3)＝3*(3+3)+5*2+2(2+2)＝36
2.Huffman算法(在给定权值下,如何构造最优二叉树) 给定实数(权值)：w1，w2，…，wt，按从小到大 排序为w1≤w2≤…≤wt. (1) 连接权为w1,w2的两片树叶,得一个分支点,其权 为w1+w2 (2) 在w1+w2，w3，w4…，wt中选出两个权最小的， 连接它们对应的顶点(不一定是树叶)，得新分支点及 所带的权． (3) 重复(2),直到形成t-1个分支点,t片树叶为止．
v1
v2 v4 v8 v5
二叉 v3 有序 v6 v7 树
v10
v1
v2 v4 v5 v3
v6 v7
v9
v8 v9 v10 v11 v12 v13 v14 v15
二叉 完全 正则 有序 树
(a)
(b)
(c)
四叉树
4、r叉树的子树
定义： 设T为一棵根树，∀v∈ V(T)，
称v及其后代的导出子图Tv为T的以v为根的根子树．
(5)G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到 惟一的一个含新边的初级回路． (6)G是连通的，但删去任何一条边后，所得图不连通． G连通：若存在二个结点无通路，则在二个结点添加边后不会出现回路
3）树的性质
对于给定的无向图—树是边数最小的连通图（m<n-1则不连通） 树是边数最多的无回路图（m>n-1则有回路） 结点的度： Σd(vi) = 2m =2(n-1) 定理：设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有 设：有x片树叶，其余结点度数至少为2 x + 2(n-x) <= 2(n-1) 片树叶
等长的编码一定不是最好的，考虑利用二元前缀码。
3）最优二元前缀码 给定所需编码的字符的频率,构造字符的二元前缀 编码，使其总电文长度为最短－称为最优二元前缀 码。
先利用哈夫曼算法，生成最优二叉树；
再得到最优二元前缀码
例：传输100个八进制的数字，其出现的频率分别为： 0-25%， 1-20%， 2-15%， 3-10%， 4-10%， 5-10%， 6-5%， 7-5%。 用最优二元前缀码传输需要多少二进制数字？ 用等长码传输需要多少二进制数字？ 先得到最优二元前缀码 利用哈夫曼算法， 生成最优二叉树， 以频率为权值， 5,5,10,10,10,15,20,25 6,7,3, 4, 5, 2, 1, 0
2）利用二叉树产生二元前缀码 规定二叉树的左子树的边为0，右子树的边为1
则将从根到叶子结点的通路中边的序列即为叶子 的二元前缀编码
0 0 a b 0 1 1 0 1
a: b: c: d: e:
00 010 011 10 111
d 1
c
1 e
通信中，每个字符出现的频率不同，如何使得 传输效率最高？
3、带权图的最小生成树
(1) 定义5 设无向连通带权图G＝<V，E，W> ，T是G的一棵生成树． T的各边权之和称为T的权，记作W(T)； G的所有生成树中权最小的生成树称为G的最小生成树。 (2) 最小生成树的求法（这里介绍避圈法Kruskal算法) 设n阶无向连通带权圈G＝<V，E, W> 有m条边， 不妨设G中没有环(否则，可以将所有的环先删去)，将m条边按权从小到 大顺序排列，设为e1,e2，…,em； 取e1在T中，然后依次检查e2，e3，…，em.若ej(j≥2)与已在T中的边 不能构成回路，则取ej在T中，否则弃去ej； 算法停止时得到的T为G的最小生成树。
例： 求2，2，3，3，5的最优二叉树
例： 求2，2，3，3，5的最优二叉树 (1) 2，2，3，3，5 (2) 3，3，4，5 (3) 4，5，6 (4) 6，9
3 3 2 2 9 6 4 5 3 15 6 3
最优二叉树总的原则是：权值较大的叶子距根较近， 权值较小的可以距根较远
例：给定一组权值3，5，6，9，11，14，16，18构造 相应的最优二叉树
v3 v6 v7 v10
v9
v1为v5的祖先,v5为v1的后代； v2为v5的父亲,而v5为v2的儿子； v4与v5是兄弟
3、有序树 设T为根树，若将T中层数相同的顶点都标定次序， 则称T为有序树 根据根树T中每个分支点儿子数以及是否有序，可 以将根树分成下列各类： (1)若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉树； 又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树． (2)若T的每个分支点都恰好有r个儿子，则称T为r叉正 则树； 又若T是有序的，则称它为r叉正则有序树． (3)若T是r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高，则 称T为r叉完全正则树， 又若T是有序的，则称它为r叉完全正则有序树。
0 6
7 3
4
5
2
1
5,5,10,10,10,15,20,25 6,7,3, 4, 5, 2, 1, 0 编码：6-0000；7-0001； 3-001；4-010；5-011； 2-100；1-101,0-11
0
6 7 3 4 5 2 1
总权值:（100个字符的bit数）
W(T)=(5+5)*4+(10+10+10+15+20)*3+25*2=285
避圈法Kruskal算法(n-1次)
1
(1) 5 2 1
2 1 (2)
2 1 (3)
4
4
(4)
破圈法
3
5 2 1
(1)
64
3
5 2 1
4
5 2 1 (3)
4
(2)
作业：
P319 习题十六 1、2、3、4、5、13
§16.3 根树及其应用 有向树：设D是有向图，若D的基图是无向树， 则称D为有向树. 有向树中,根树最重要,故只讨论根树. 一、根树 1、定义：设T是n(n≥2)阶有向树,若T中有一个顶点的入 度为0,其余顶点的入度均为1,则称T为根树。 入度为0的顶点称为树根（相当于文件系统的盘符） 入度为1出度为0的顶点称为树叶（具体文件）。 入度为1出度不为0的顶点称为内点（文件夹），内 点和树根统称为分支结点
4）任何无向连通图G，都存在生成树 无向连通图G的生成树是不唯一的
3、生成树的应用 要建6个工厂，修建连接的通路（见图），为使5处都有路相通，至少 要建几条路？如何铺设？ 由于n=6 所以建5条路即可 4、无向图G的生成树的确定： 二种方法：1、破圈法：每次去掉回路中的一条边， 去掉总数为 m-n+1 条弦 2、避圈法：由一个结点开始选一条边， 逐渐添加与边关联的结点（只要不构成回路即可） 直到所有结点被添加，(挑选n-1条边）
第16章 树
第十六章
树
一、 无向树 1）定义： 连通无回路（初级回路或简单回路）的无向图称为无向树，或简称树 常用T表示树，平凡图称为平凡树． 若无向图G至少有两个连通分支，则称G为森林． 在无向树中，悬挂顶点称为树叶，度数大于或等于2的顶点称为分支结点． 2）树的等价定义 设G＝<V，E>是n阶m条边的无向图， 则下面各命题是等价的： (1)G是连通无回路（树）． 可通过循环证明 (2) G中任意两个顶点之间存在惟一的路径． （连通则存在路径，若不唯一，不同路径则构成回路） (3) G中无回路且 m = n - 1． 有长大于等于2的回路都与唯一路径矛盾。 对结点进行归纳：n=1平凡图m=0=n-1；设n=k成立；n=k+1时 两个结点有唯一的路，去掉则为两个连通分支（各自满足假设） m=m1+m2+1=n1-1+n2-1+1=n1+n2-1=n-1 (4) G是连通的且 m = n - 1． 若不连通，对各个(s>=2)连通分支是树且有mi=ni-1 m=n-s s>=2 矛盾
如：二叉正则有序树的每个分支点的两个儿子导出 的根子树分别称为左子树和右子树．
v1 v2 v4 v5 v3 v6 v7
v8 v9 v10 v11
v8 v9 v10 v11 v12 v13 v14 v15
v2 v4 v5
v3 v6 v7
v12 v13 v14 v15
左子树
右子树
二、根树的应用 1、最优二叉树定义：设二叉树T有t片树叶v1,v2,…,vt, 权分别为w1,w2,…,wt, 称 W(T)＝∑wi |(vi)｜为 T的权，其中|(vi)｜是vi的层数（也可以是从根到该叶子的