习题10,11 静电场的环路定理 静电场力的功 电势能
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静电场的环路定理
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 ，q 、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ，电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O∞θຫໍສະໝຸດ lP= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式，
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
静电场的环路定理静电场力的功电势能
静电场力的功
02
电场力的定义
电场力是电荷在电场中受到的 力，其大小和方向由电场强度
和电荷的乘积决定。
电场力的大小为 F=qE，其 中 F 是电场力，q 是电荷量，
E 是电场强度。
电场力的方向与电场强度的方 向相同，即由正电荷指向负电
荷。
电场力做功的计算
电场力做功可以通过积分计算，即 W=∫F·dr，其中 W 是电场力做的功， F 是电场力，dr 是位移矢量。
在匀强电场中，电场力做功可以通过 W=qEd计算，其中 W 是电场力做 的功，q 是电荷量，E 是电场强度，d 是位移。
在非匀强电场中，需要计算电场力在路径上的积分来计算电场力做的功。
电场力做功的特点
01
电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关。
02
电场力做功是标量，没有方向。
03
电场力做功的过程是能量转化的过程，可以转化为其他形式 的能量。
电势能
03
电势能的定义
电势能是指电荷在电场中由于位置差 异而具有的能量。
电势能是电荷与电场共同具有的能量， 其大小由电场强度和电荷量共同决定。
电势能是相对的，与零电势点的选择 有关。
电势能的变化规律
1
电场力做功与路径无关，只与初末位置有关。
2
电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电 势能增加。
3
静电力做功与电荷的运动路径无关，只与初末位 置有关。
电势能与电场力的关系
01
电场力做功等于电势能的减少量。
02
电势能的变化量等于电场力做的功。
03 电势能与电场力做功的关系是能量守恒定律在静 电场中的具体表现。
THANKS.
静电场的环路定理、静 电场力的功、电势能
(完整版)静电场环路定理电势
E dl
p
q1
r1
E2
q2
r2 P
E1
p (E1 E2 ) dl
q1 dr
r1 4 0r 2
q2 dr
r2 4 0r 2
q1 q2
40r1 40r2
对n 个点电荷
n
u
qi
i1 40ri
• 在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存 在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。
ua
Aa"0" q0
"0" E dl
a
中电场力作的 功。
• 电势的理解： 1.电势是标量，电势的正负由电势零点的选取而定
如 q
若 U 0
a Ob
则Ua E dl 0
a
Ub E dl 0
b
若 U0 0
0
则Ua E dl 0
a
0
Ub E dl 0
b
2. 电势的单位：伏。
1) rc
c qE dl
a
a qQ
40
(1 ra
1 rc
)
两点的电势能差：
Wa Wb
b qE dl
(1 1)
a
40 ra rb
§10.5 电势 电势差
a点电势在量值 上等于：将单
一. 电势（电势是从能的角度来描述电场分布的物理量） 位正电荷
a“零”过程
• 电势定义
ua
Wa q0
对连续分布的带电体 u
dq
V 40r
——标量积分
三.电势的计算
（1） 已知电荷分布 u
dq
方法
静电场的环路定理
V
1 4πε0
dq r
4 静电场力的功计算
WAB EPA EPB q(VA VB )
例、如图所示，已知边长为a的正方形顶点 上有四个电量均为q的点电荷，求：
①正方形中心O点的电势Uo。
②将试验电荷q0从无穷远处移到正方形中
心O点时，电场力所作的功。 q
q
q
UO 4 4 0 ( 2a / 2)
解
dVP
1 4πε0
dq r
1
VP 4πε0r dq
dq
q
r
R
4πε0r q
xo x
Px
4πε0 x2 R2
例2 真空中有一电荷为Q、半径为R的
均匀带电球面. 试求 （1）球面外任意点A的电势； （2）球面内任意点B的电势.
oB
R
rB
A r
rA
0 r R
解
E
Q
4ε0r 2
rR
（1）r R
E dl
B
A E dl
B
EpB E
VB
电势零点的选取：
有限带电体以无穷远为电势零点，实际
问题中常选择地球电势为零.
VA
E dl
A
物理意义： 把单位正试验电 荷从点A移到无限远 处时静电场力作的功.
q0 A EVpAA
B
EVpBB
E
3. 电势差
B
U AB VA VB
E dl
a
O
q
q
A
q0
(U
UO
)
4
4
qq0 0 ( 2a
/
2)
课堂练习 求均匀带电细杆延长线上一点P的电势。已知 q ,L, a
第10,11讲 静电场的环路定理 静电场力的功 电势能
P
i
P
E n dl
U1 U
2
...... U
n
U
i 1
证毕。
③ 点电荷系的电势 由电势叠加原理，P 的电势为
U
q2
r 1
r2
P
rn
U
i
qi 4 0 ri
q1
qn
④ 有限大连续带电体的电势 由电势叠加原理
dq
r
U
dU
+
2 等势面的性质
①等势面与电场线处处正交，
电场线指向电势降低的方向。
②等势面较密集的地方场强大， 较稀疏的地方场强小。
场中任意两相邻等势面间的电势差相等
3 电势梯度
单位正电荷从 a到 b电场力的功
E d l E c o s d l U (U d U )
U dU
P ( x, y )
q 4 0
2
l cos r
2
2
其中 r
2
x y
1 4 0
cos x
2
x y
2
r2
q
O
r r 1
q
x
U
px
3
( x y )2
2 2
l
练习：已知正方形顶点有四个等量的电点荷
qi 4.0 10 C
9
，r = 5cm
q1
O
①求
U
o
W W o W 2 8 .8 1 0
7
J 0
电势能
电场力作功等于电势能增量的负值！
高二物理竞赛课件：静电场的环路定理和电势
dr
b
rb
dl
dr
E
r
q ra a q0
Aab
dA
rb ra
q0
E
dl
q0q
4 π0
rb dr r ra 2
q0q ( 1 1 )
4 π 0 ra rb
b
rb
dl
dr
E
结论: 当检验电荷 q0 在电场中从 a 移到 b 点时, 电场力做的功 A 只与
r
q0 的始末位置有关, 与路径无关.
原子物理中能量单位 1eV 1.602 1019 J
2、点电荷系的电势
E Ei
i
VP E dl Ei dl
P
iP
q1 q2
r1 r2
q3
r3
E3
E2
P
E1
VP
VPi
i
i
qi （代数和）
4 π 0ri
点电荷系电场中某点的电势，等于各个点电荷单独存 在时在该点电势的代数和，此即电势叠加原理。
电势定义：
Va
Wa q0
零点 E dl
a
③电势是相对于电势零点而言的，电势零点选择方法：
有限大小带电体通常以无穷远处为电势零点，实际问 题中也常选取大地、电器外壳或某公共点为电势零点.
地球是一个带负电的大导体, 取地球为电势零点与取无穷远处
为电势零点是一致的.
④电势高低的判断:沿着电场线方向,电势降低 (dV E d l )
L
q0
E
dl
0
q0 0,
E dl 0
L
静电场的环路定理：静电场的电场强度沿任意闭合回路
的积分(称为静电场的环流)等于零。
静电场的环路定律与电势
E dl
Q 4π 0 r
dl dr
1）公式
r
r
ˆ dr r 2
r
Q 4 0 r
2
dr
Q 4π 0 r
2）说明：
①Q含符号，
■ ②∞为电势零点。 14
（2）点电荷系的场
1）公式
P 0 P 0 E dl Ei dl Ei dl
a b
1）定义：静电场中a、b两点的电势差等于电场 力把单位正电荷从a点移到b所做的功。■ 11
2）说明： ①若求任意点的电势，则需选一电势零点 ， 如选b点为电势零点，则 a点的电势：
a E dl
a
b
②积分路径为连接a、b两点的任意路径。
③电势零点的选择(参考点)任意，视分析问题 方便而定，参考点不同电势不同。■
dq
ra
结论： 电场力的功与路径无关，只与始末位置及试 验电荷的电量有关。 对闭合路径，A=?
F dl q 0 E dl 0
■
5
2、静电场力的功的特点： 只与始末位置及试验电荷的电量有关，而与具 体的路径无关。
｛静电场是保守力场。
F d l 0
§4.4 静电场的环路定理 和电势(electric potential) 4.4.1静电场的保守性 4.4.2静电场的环路定理
4.4.3电势(electric potential)
4.4.4由电势求电场强度
1
4.4.1静电场的保守性
1、静电场力的功 （电荷q0在电场中移动时静电场力所做的功） 1）点电荷激发的场：
静电场的环路定理 电势能
E cos El
B
A l
El E
V dV El lim0 l l dl
V V
V
电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，等于 这一点的电势沿该方向单位长度上电势变化率的负值.
dV El dl
dV En dl n
dl dln En El
12-4 静电场的环路定理
静电场力所做的功 二 静电场的环路定理 三 电势能
一
一
qq0 dW q0 E dl r dl 3 4π 0r r dl rdl cos rdr
qq0 dW dr 2 4π 0r qq0 rB dr W rA r 2 4π 0 qq0 1 1 ( ) 4 π 0 rA rB
WA B
AB
q0 E dl ( EpB EpA ) Ep
0, EpB EpA 0, EpB EpA
WAB
令
EpB 0
EpA
AB
q0 E dl
试验电荷 q 0 在电场中某点的电势能，在数值上 就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功. 电势能的大小是相对的，电势能的差是绝对的.
静电场力所做的功 点电荷的电场
B dl dr E rB
r
q
rA
A
q0
结果: W 仅与 q0 的始末 位置有关，与路径无关.
E Ei
i
任意电荷的电场（视为点电荷的组合）
l
i l
W q0 E dl q0 Ei dl
结论：静电场力做功与路径无关. 二
试求（1）球面外两点间的电势差；（2）球面内两点 间的电势差；（3）球面外任意点的电势；（4）球面 内任意点的电势. + + + 解 r R，E1 0 + + A dr B
静电场的环路定理 电势
E2
B
AAB q0
A i 1
n n qq 1 B 1 Ei dl qo Ei dl 0 i ( ) A rAi rBi i 1 4πε0 i 1
试探电荷在任何静电场中移动时, 电场力所做的功只与试探 3 电荷的电量及路径的起点和终点的位置有关, 而与路径无关 .
0
13
[ 例1] 均匀带电球面场中电势分布（
q ， R）
q
由高斯定理
o R
E
P r
E
E
0 qr 3 4 0 r
(r R) (r R)
r
o
R
令 V 0 沿径向积分 1 面外 2
r
qr dr V外 E 外 dr 3 4 0 r P r 1 4 0 r r q
AAB W (WB WA ) WA WB
若取 B点 : WB 0
AAB
B
A
B F dl q0 E dl
A
A WA
"0"
q0 在 A 点处的电势能：W A
AA"0" q0
A
E dl
1）电势能零点的选取是任意的, 一般视问题方便而定, 通常参 考点不同 ,电势能不同。对于有限带电体，一般选无限远为势 能零点 , 实际应用中或研究电路问题时常取大地、仪器外壳等 为势能零点；对于无限大带电体，常取有限远为势能零点； 2）电势能是属于系统的 (电场 + 试验电荷) 5
21
a
E dr
6
2、电势
WA q0
WA A q0
" 0"
静电场的环路定理电势能
静电场是保守场
第八章 静电场和稳恒电场
4
物理学
第五版
8.3 电场力的功 电势
三、 电势能
静电场是保守场， 静电场力是保守力. 静 电场力所做的功就等于 电荷电势能增量的负值.
A EpA
B
EpB E
AAB EpA EpB (EpB EpA )
电场力做正功，电势能减少.
第八章 静电场和稳恒电场
第五版
8.3 电场力的功 电势
任意带电体的电场（点电荷的组合）
E i Ei
A q0
E dl
l
b b b
q0 E dl q0 E1 dl q0 E2 dl …
a
a
a
q0 l Ei dl
i
结论：静电场力做功，与路径无关.
5
物理学
第五版
8.3 电场力的功 电势
AB q0E dl EpA EpB (EpB EpA )
令 EpB 0
零势点
得 EPA q0 E dl
A
(8.23)
A EpA
B
EpB E
试验电荷q0在电场中某点的电势能，在 数值上等于把它从该点移到零势能处静电场
第五版
8.3 电场力的功 电势
dA
4
qq0 πε0r 2
dr
A qq0 rB dr
4 πε0 r rA 2 qq0 ( 1 1 )
4 πε0 rA rB
B
rB
dr
dl
E
r
结论: A仅与q0的始末位
静电场的环路定理电势能等势面场强与电势的关系PPT课件
LF
dl
0
A
D
可以证明在静电场中有
E dl 0 L
C
B
E dl E dl E dl E dl E dl 0
L
ACB
BDA
ACB
ADB
在静电场中，场强沿任意闭合路径的环路积分
等于零。称为静电场的环路定理。
二、电势能 电势
静电场是保守场，可引入仅与位置有关 Q
的电势能概念。用WP和WQ分别表示试探
三、电势的计算 (electric potential ) 1. 点电荷产生的电场中的电势分布
可用场强分布和电势的定义直接积分。
p
E r
E
q
4π 0r 2
er
Vp
E dl
p
p
q
4π 0
r
2
dr
q
Vp
q
4π 0rp
正点电荷周围的场电势为正 离电荷越远，电势越低。
负点电荷周围的场电势为负
V内
Vq内
Vq内
q
4 0
(1 R1
1 R2
)
V外 Vq外 Vq外 0
这样二球面电势差为：
V内
V外
q
4 0
1 (
R1
1 R2
rQ
q0
电荷q0在电场中P点和Q点的电势能。电场 q 力对试探电荷q0所作的功可以表示为
rP
P
APQ q0 E dl WQ WP q0UQP
3
PQ
实际中为了确定q0在电场中一点的电势能，必须 选择一个电势能为零的参考点。
由于电势能的减小与试探电荷之比，完全由电
场在P、Q两点的状况所决定。可把(WP/q0)-(WQ/q0)
静电场的环路定理和电势
若令 E p(b) 0
(0)
(0)
Ep(a)
(a)
F dl
q0
E dl
(a)
3 电势
定义：把一个单位正电荷从静电场中 P1点移到 P2 点，电场力作的功等于 P1点到P2点电势的减量。
P1
P2
两点之间的电势差， 并不仅由这两点处的电场决定， 它取决于电场的分布。
设 P2为电势为零的参考点，2 =0
对无限大电荷分布， 选有限远 的适当点为电势零点。
实际上：常选大地或机壳的公共线 为电势零点。
例1：求点电荷 q 的电势分布。
【解】 利用电势定义（积分法）
取无限远为电势零点,
()
E dl ( p)
r
q
4 π 0r 2
dr
q
4 π0r
0
q
r
P
∞
r dl
q> 0 r
q< 0
--------点电荷的电势公式
取某一距离直线为 r0 的 P0点的电势为零。
任一点 P 的电势
P0
rP
Edl P
P P0
P’
P0
Edl Edl
P
P
r0
r0
0
dr
r 2 π0r
rP
P’
r0
> 0
0 r0
r0
dr
r 2 π0r
P0
r > r0 的点，电势为负,
r = r0 的点，电势为零,
由场强叠加原理
可以证明：
任意点电荷系或连续带电体的静电场也是保守力场。
常用下式表示静电场 的保守性：
……称为静电场的环路定理
2022-2023学年高二物理竞赛课件：静电场的环路定理和电势能
静电场的环路定理和电势 能
静电场的环路定理和电势能
一.电场力所作的功
试探电荷 q0在点电荷q 的电场中从点a移到点
b的过程中，静电场力所作的功为:
dA F dl qoE dl
a q0 F
b b
ra r
dl
Aab a qoE dl a qoE dlcos q
dl cos dr
解：由于是球对称场，在球
r
体内部和外部各作一半径为r
同心高斯球面,根据高斯定理
E dS E dS 4 r 2E
RQ
S
S
当场点在球体外时 当场点在球体内时
qi Q i
E1＝
4
Q
0r
2
rR
qi
i
Q
4 R3
4 r 3
3
Qr 3 R3
Байду номын сангаас
3
E2＝
4
Qr
0 R
3
rR
例 线电荷密度为λ,无限长均匀带电直线的电场强度.
称为电势差，也叫电压.
令 ub 0
ua E dl ab
3.说明:
◆电势是标量,有正负无方向,电势的叠加即求代数和;
◆ 电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电势零
点，实际问题中常选择地球电势为零.
ua E dl a
与电势零点选取有关
◆电势的物理意义： 把单位正试验电荷从点a移到无 穷远时，静电场力所作的功.
3）电势能属于系统(电荷与电场). 和人们从力的观点引入了E，用以描述电场
性质类似，人们希望从功、能的观点引入另外一 个描述电场性质的物理量。
因为电势能和电荷 q本0 身有关，所以不适合。
静电场的环路定理和电势能
一.电场力所作的功
试探电荷 q0在点电荷q 的电场中从点a移到点
b的过程中，静电场力所作的功为:
dA F dl qoE dl
a q0 F
b b
ra r
dl
Aab a qoE dl a qoE dlcos q
dl cos dr
解：由于是球对称场，在球
r
体内部和外部各作一半径为r
同心高斯球面,根据高斯定理
E dS E dS 4 r 2E
RQ
S
S
当场点在球体外时 当场点在球体内时
qi Q i
E1＝
4
Q
0r
2
rR
qi
i
Q
4 R3
4 r 3
3
Qr 3 R3
Байду номын сангаас
3
E2＝
4
Qr
0 R
3
rR
例 线电荷密度为λ,无限长均匀带电直线的电场强度.
称为电势差，也叫电压.
令 ub 0
ua E dl ab
3.说明:
◆电势是标量,有正负无方向,电势的叠加即求代数和;
◆ 电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电势零
点，实际问题中常选择地球电势为零.
ua E dl a
与电势零点选取有关
◆电势的物理意义： 把单位正试验电荷从点a移到无 穷远时，静电场力所作的功.
3）电势能属于系统(电荷与电场). 和人们从力的观点引入了E，用以描述电场
性质类似，人们希望从功、能的观点引入另外一 个描述电场性质的物理量。
因为电势能和电荷 q本0 身有关，所以不适合。
静电场的环路定理
a ( L2 )
b
a ( L1 )
v v b q0 E ⋅ dl − ∫
v v q0 E ⋅ dl
环路定理
=0
∫
L
v v E ⋅ dl = 0
该定理还可表达为：电场强度的环流等于零。 该定理还可表达为：电场强度的环流等于零。 根据保守力的定义，任何力场， 根据保守力的定义，任何力场，只要其场强的环流 为零，该力场就叫保守力场 势场。 保守力场或 为零，该力场就叫保守力场或势场。可以引入相应 的势能，即电势能。 的势能，即电势能。
q 4πε 0 x
•从电荷分布求场强，再由场强分布求电势 从电荷分布求场强， 从电荷分布求场强
U P = ∫ E • d r （场强积分法） 场强积分法）
P ∞
例4 求均匀带电球面的电场中电势的分布 解 由高斯定理可以求的球面内外的场强分布为
+ P1 + + + + +
2
r <R r ≥R
对球外一点P 对球外一点
二 电势
某点电势电W 之比只取决于电场， 某点电势电 a与q0之比只取决于电场，定义电该 点的电势 单位：伏特（ ） 电势. 点的电势. 单位：伏特（V） 电势电
W a = q0 ∫
"0"
a
v E ⋅ dl
电势
WA VA = q0
=∫
"0"
A
v E⋅ E⋅ dl
由上式可以看出, 由上式可以看出,静电场中某点的电势在数值上 等于单位正电荷放在该点处时的电势能, 等于单位正电荷放在该点处时的电势能,也等于单位 正电荷从该点经任意路径到电势零点处(无穷远处) 正电荷从该点经任意路径到电势零点处(无穷远处) 时电场力所做的功。 时电场力所做的功。
b
a ( L1 )
v v b q0 E ⋅ dl − ∫
v v q0 E ⋅ dl
环路定理
=0
∫
L
v v E ⋅ dl = 0
该定理还可表达为：电场强度的环流等于零。 该定理还可表达为：电场强度的环流等于零。 根据保守力的定义，任何力场， 根据保守力的定义，任何力场，只要其场强的环流 为零，该力场就叫保守力场 势场。 保守力场或 为零，该力场就叫保守力场或势场。可以引入相应 的势能，即电势能。 的势能，即电势能。
q 4πε 0 x
•从电荷分布求场强，再由场强分布求电势 从电荷分布求场强， 从电荷分布求场强
U P = ∫ E • d r （场强积分法） 场强积分法）
P ∞
例4 求均匀带电球面的电场中电势的分布 解 由高斯定理可以求的球面内外的场强分布为
+ P1 + + + + +
2
r <R r ≥R
对球外一点P 对球外一点
二 电势
某点电势电W 之比只取决于电场， 某点电势电 a与q0之比只取决于电场，定义电该 点的电势 单位：伏特（ ） 电势. 点的电势. 单位：伏特（V） 电势电
W a = q0 ∫
"0"
a
v E ⋅ dl
电势
WA VA = q0
=∫
"0"
A
v E⋅ E⋅ dl
由上式可以看出, 由上式可以看出,静电场中某点的电势在数值上 等于单位正电荷放在该点处时的电势能, 等于单位正电荷放在该点处时的电势能,也等于单位 正电荷从该点经任意路径到电势零点处(无穷远处) 正电荷从该点经任意路径到电势零点处(无穷远处) 时电场力所做的功。 时电场力所做的功。
10静电场2(环路定理、电势)
2
P 1
3.关系：E q V P 0
W EP1 EP2 q0U12
二、点电荷电场的电势 在点电荷的电场中任取一点P，由电势的定义来 计算P的电势：
V
P
E dr E dr
P
q
P
q 40 r
2
P
dr
q 40 r
r
E dr
积分路径选为沿径向的直线 在正点电荷的电场中，电势为正，随r的增大电 势逐渐减小；在负点电荷的电场中，电势为负，随 r的增大电势逐渐增大。并且，在点电荷的电场中， 电势也呈球对称分布。
2．在电场中任一点，电势沿不同方向的空间 变化率不相等。 当 0 时，l 沿着 E 的方向，变化率有最 大值： dV E max dl
即沿某一方向的电势的空间变化率最大， 此最大值称为该点的电势梯度，其方向是 该点附近电势升高最快的方向。
E
三、电势能 静电场力是保守力，可引入电势能的概念。 静电场力做功等于电势能的减少。 在静电场中，试验电荷由点 P 运动到点 P2， 1 则电场力做功为： P W q0 E dr EP EP
2
P 1
1
2
P E P1 、 P2 即分别为 q0 在 P 、 2 点的电势能。 E 1
则有： 1 V2 V
P2
P 1
E dr
1.单位：V， V 1J / C 1 2.通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有： EP V E dr P q0
即P点的电势等于场强沿任意路径从P点到 无穷远处的线积分。
电势的值随电势零点选取的不同而不同， 是相对的；而两点的电势差是绝对的，与 电势零点无关。 P U12 V1 V2 E dr
P 1
3.关系：E q V P 0
W EP1 EP2 q0U12
二、点电荷电场的电势 在点电荷的电场中任取一点P，由电势的定义来 计算P的电势：
V
P
E dr E dr
P
q
P
q 40 r
2
P
dr
q 40 r
r
E dr
积分路径选为沿径向的直线 在正点电荷的电场中，电势为正，随r的增大电 势逐渐减小；在负点电荷的电场中，电势为负，随 r的增大电势逐渐增大。并且，在点电荷的电场中， 电势也呈球对称分布。
2．在电场中任一点，电势沿不同方向的空间 变化率不相等。 当 0 时，l 沿着 E 的方向，变化率有最 大值： dV E max dl
即沿某一方向的电势的空间变化率最大， 此最大值称为该点的电势梯度，其方向是 该点附近电势升高最快的方向。
E
三、电势能 静电场力是保守力，可引入电势能的概念。 静电场力做功等于电势能的减少。 在静电场中，试验电荷由点 P 运动到点 P2， 1 则电场力做功为： P W q0 E dr EP EP
2
P 1
1
2
P E P1 、 P2 即分别为 q0 在 P 、 2 点的电势能。 E 1
则有： 1 V2 V
P2
P 1
E dr
1.单位：V， V 1J / C 1 2.通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有： EP V E dr P q0
即P点的电势等于场强沿任意路径从P点到 无穷远处的线积分。
电势的值随电势零点选取的不同而不同， 是相对的；而两点的电势差是绝对的，与 电势零点无关。 P U12 V1 V2 E dr
2020-2021学年高中物理竞赛：静电场的环路定理、电势能
qq0 ( 1 1 )
4 π0 rA rB
结果: A 仅与 q0的始末
位置有关，与路径无关.
任意电荷的电场（视为点电荷的组合）
E Ei
i
W q0
E dl
l
i
q0 l Ei dl
结论：静电场力做功与路径无关，与始末位置有关.
10.4.2 静电场的环路定理
l E dl 0
1
B
A
Q1 Q2
4 π0r 4 π0R2
r R2 U (r) U1 U2
Q2
R2
Q1
O
R1
Q1 Q2 Q1 Q2
4 π0r 4 π0r 4 π0r
o
AB
R
rA
r
rB
（1）球面外两点间的电势差；U U A UB
B E dl
A
解
0 r R
E
Q
4ε0r 2
rR
B
U A UB
E dr
A
rB rA
Edr
A dr B
o
Er
rA r rB
Q
4 π0
rB dr rA r 2
Q (1 1)
4 π0 rA rB
（2）球面内两点间的电势差；
UA
Q 4πε0r
（5）球面内任意点的电势.
rR
U
Rr
E dr
r E dr R E dr
R
Q
4 0r2
dr
Q 4πε0 R
o
A
R
r
rB
V
Q 4π 0 R
oR
B
r
Q 4π0r
r
例3 如图10.24所示，半径分别为 R1 、R2的两个 同心带电球面，所带电量分别为 Q1 、Q2 求电势分布。
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第11，12次课
一、选择题 1．下列关于场强E 与电势U 的关系的说法正确的是（ ） （A ）已知某点的E ，就可以确定该点的U 。
（B ）已知某点的U ，就可以确定该点的E （C ）在某空间内E 不变，则U 也一定不变 （D ）在等势面上，E 值不一定相等
２．某电场的电力线分布情况如右图所示。
一负电荷从M 点移到N 点。
有人根据这个图作
出下列几点结论，其中哪点是正确的？
(A) 电场强度E M >E N 。
(B) 电势U M <U N .
(C) 电势能W M <W N 。
(D) 电场力功A>0.
3．真空中一半径为R 的未带电的导体球，在离球心O 的距离为a （a >R ）处放一点电荷q ，
设无穷远处电势为0，如右图所示，则导体球的电势为（ ）。
（A ）
R q 04πε （B ）a q 04πε （C ）()R a -04πεε
（D ）⎪⎭
⎫ ⎝⎛-R a q 1140πε 二、填空题
1．在静电场中有一立方形均匀导体，边长为a ，如图１所示。
知立方导体中心O 处的电势
为0U ，则立方体顶点A 的电势为 。
图１
图２ 图３
2．如图２所示，一等边三角形边长为a ，三个顶点分别放置着电量为q 、2q 、3q 的三个正
点电荷，设无穷远处为电势零点，则三角形中心O 处的电势0U = 。
3．如图３所示，半径为R 的均匀带电圆环，环的中心上两点1P 和2P 分别离开环心的距离
为R 和2R ，若无穷远的电势为零，而1P 和2P 两点的电势分别为1U 和2U ，则：U 2／U 1的值为 。
3q。