离散数学 尹宝林版 第6章作业答案

第六章习题答案
2. 设P = {< 1, 2 >, < 2, 4 >, < 3, 3 >}，
Q = {< 1, 3 >, < 2, 4 >, < 4, 2 >}
找出P⋃Q, P⋂Q, dom(P), dom(Q), ran(P)及ran(Q)，并证明：
dom(P ⋃ Q) = dom(P) ⋃ dom(Q)
ran(P⋂ Q) ⊆ ran(P) ⋂ ran(Q)
解P ⋃ Q ={< 1, 2 >, < 2, 4 >, < 3, 3 >, < 1, 3 >, < 4, 2 >}，P ⋂ Q ={< 2, 4 >}
dom(P)={1, 2, 3}，dom(Q)= {1, 2, 4}，ran(P) = {2, 3, 4}，ran(Q) = {2, 3, 4}。

x∈ dom(P⋃Q)
⇔∃y (< x, y > ∈ P ⋃ Q)
⇔∃y (< x, y > ∈ P∨ < x, y > ∈ Q)
⇔∃y (< x, y > ∈ P) ∨∃y (< x, y > ∈ Q)
⇔ x∈ dom(P) ∨ x∈ dom(Q)
⇔ x∈ dom(P) ⋃ dom(Q)
y∈ ran(P⋂ Q)
⇔∃x (< x, y > ∈ P⋂Q)
⇔∃x (< x, y > ∈ P ∧ < x, y > ∈ Q)
⇒∃x (< x, y > ∈ P) ∧∃x (< x, y > ∈ Q)
⇔y∈ ran(P) ∧ y∈ ran(Q)
⇔y∈ ran(P) ⋂ ran(Q)
如上例，ran(P⋂ Q) = {4}
⊂ {2, 3, 4} = ran(P) ⋂ ran(Q)
3. 若关系R和S自反的，对称的和传递的，证明：R⋂S也是自反的，对称的和传递的。

证明设R和S是集合A上的关系。

因为R和S是自反的，所以，对于A中的任意元素x，有< x, x >∈R和
< x, x >∈S。

因此< x, x >∈R⋂S，即R⋂S是自反的。

因为R和S是对称的，所以对于任意< x, y >，
< x, y >∈R⋂S
⇔ < x, y >∈R∧ < x, y >∈S
⇔ < y, x >∈R∧ < y, x >∈S
⇔ < y, x >∈R⋂S
因此，R⋂S是对称的。

因为R和S是传递的，所以对于任意< x, y >和< y, z >，
< x, y >∈R⋂S∧ < y, z >∈R⋂S
⇔ < x, y >∈R∧ < x, y >∈S
∧ < y, z >∈R∧ < y, z >∈S
⇔ (< x, y >∈R∧ < y, z >∈R)
∧ ( < x, y >∈S∧< y, z >∈S)
⇒ < x, z >∈R∧ < x, z >∈S
⇔ < x, z >∈R⋂S
因此，R⋂S是传递的。

5．设A = {1, 2, 3}，A上的关系R1, R2, R3, R4, R5分别由图6.17给出，试
问：R1, R2, R3, R4, R5各有哪些性质？
解
R 1：自反、对称、反对称、传递。

R 2：对称。

R 3：反自反、反对称。

R 4：反自反、对称、反对称、传递。

R 5：自反、传递。

8. 设R 1和R 2是集合X = {0, 1, 2, 3}上的关系，而
R 1 = {< i , j > | j = i + 1或j = i /2}，R 2 = {< i , j > | i = j + 2}
求复合关系：
(1) R 1 ︒ R 2
(2) R 2 ︒ R 1
(3) R 1 ︒ R 2 ︒ R 1
(4)2
1R
并给出各复合关系的关系矩阵。

解 R 1 = {< 0, 1>, < 1, 2 >, < 2, 3 >, < 0, 0 >, < 2, 1 >} R 2 = { < 2, 0 >, < 3, 1 >} R 1 ︒ R 2 = {< 1, 0 >, < 2, 1 >} R 2 ︒ R 1 = {< 2, 0 >, < 2, 1 >, < 3, 2 >} R 1 ︒ R 2 ︒ R 1 ={< 1, 1 >, < 1, 0 >, < 2, 2 >}
21R ={ < 1, 1 >, < 0, 0 >, < 0, 2 >, < 2, 2 >, < 0, 1 >, < 1, 3 >}
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=0010000100000000
0000101001000011
2
1R R M M
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=01000011000000000000001000010000
1
22
1R R R R M M
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=000001001010011100000100001100002
1
121R R R R M M 13. 求R 2的自反、对称、传递闭包的关系图。

R 2及其自反、对称、传递闭包的关系图从左至右排列如下。

14. 令R1, R2是集合A上的二元关系，并设R1 ⊆ R2，试证明下列关系式。

(3) t (R1) ⊆ t (R2)
证明R1⊆R2⊆t (R2)，t(R2)是包含R1的传递关系，由传递闭包定义知道，t(R1)是包含R1的最小传递关系，所以，t(R1)⊆ t(R2)。

15. 设R1, R2是A上的二元关系，试证明
(3) t (R1 ⋃ R2) ⊇t (R1) ⋃t (R2)
并用反例说明t (R1⋃R2) = t (R1) ⋃t (R2)不一定成立。

证明因为R1⊆ R1 ⋃R2，所以t(R1)⊆ t(R1⋃R2)。

因为R2⊆ R1⋃R2，所以t(R2)⊆ t(R1⋃R2)。

因此，t (R1) ⋃t (R2) ⊆ t (R1⋃R2)。

令A ={1, 2}，R1 ={< 1, 2 >}，R2 ={< 2, 1 >}。

因为R1是传递的，故t (R1) = R1。

因为R2是传递的，故t(R2)= R2。

因此，t (R1) ⋃t (R2) = R1 ⋃R2 ={< 1, 2 >, < 2, 1 >}，
而t (R1⋃R2) = {< 1, 2 >, < 2, 1 >, < 1, 1 >, < 2, 2 >}。

18. 对于下列集合上的整除关系，画出哈斯图。

(1) A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
(2) B = {1, 2, 3,…, 12}
(1) {2, 3, 4}没有最大元、最小元，极大元为3和4，极小元为2和3，上界为12和24，上确界为12，下界为1，下确界为1。

(2) {2, 3, 4}没有最大元、最小元，极大元为3和4，极小元为2和3，上界为12，上确界为12，下界为1，下确界为1。

20. 图6.21上给出了集合A = {1, 2, 3, 4}上的四个偏序关系，试画出它们的哈斯图。

并判别哪一个是全序或良序关系。

1
3
4
8 12
6
3
7
1
2
5
9
11
(a) 去掉关系图中的自环，没有进入顶点4的有向边，将4画在最下面，去掉从4发出的有向边，没有进入顶点1的有向边，将1画在第二层，去掉从1发出的有向边，剩下两个孤立点2和3，将2和3画在最上面。

连接4和1，1和2，1和3，得到哈斯图。

23. 令T 是笛卡尔平面 R ⨯R 上的关系，T 的定义如下：
< x 1, y 1 > T < x 2, y 2 > 当且仅当 x 1 ≤ x 2 ∧ y 1 ≤ y 2
请据此判断下面哪个断言是真哪个是假，如果断言是假，说明理由。

(1) T 是偏序的。

(2) T 是线序的。

(3) T 是良序的。

答 T 是偏序，不是线序，更不是良序。

< 0, 1 > 和 < 1, 0 > 不可比。

25. 正整数集合上的关系R 被定义为n i Rn j ⇔ n i / n j 能够被表达成2m 的指数形式，其中m 是任意整数。

(1) 证明关系R 是等价关系。

(2) 等价类是什么？
解 (1) 任取正整数x ，x / x = 1 = 20，所以xRx ，R 是自反的。

若xRy ，则有整数m 使得x / y = 2m ，y / x = 2-m ，- m 也是整数，
所以yRx ，R 是对称的。

4
4 4
1
1
1
1
2
2
3
3
3
3
4
2
2
若xRy且yRz，则有整数m, n使得x / y = 2m，y / z = 2n，
x / z = (x / y)*( y / z) = 2m* 2n = 2m+n
m + n也是整数，所以xRz，R是传递的。

R是等价关系。

(2) 对于每个正奇数k，{ x | ∃m (m∈N ∧x = k ⨯ 2m)}是等价类。

[1]R = {1, 2, 4, 8, 16,…}
[3]R = {3, 6, 12, 24, 48,…}
…
26. 设R表示正整数的有序偶集合上的关系，并且< x, y >R< u, v >当且仅当xv = yu，证明R是等价关系。

证明任取正整数的有序偶< x, y >，因为xy = yx，
所以< x, y > R < x, y >，R是自反的。

若< x, y > R < u, v >，则xv = yu，故uy = vx，
所以< u, v > R < x, y >，R是对称的。

若< x, y > R < u, v > 且< u, v > R < w, t >，
则xv = yu且ut = vw，因而xvut = yuvw，
故xt = yw，< x, y > R < w, t >，R是传递的。

R是等价关系。

27. 设A = {a, b, c, d}，而且π1, π2, π3是A的划分。

如果π1={{a, b, c}, {d}}，π2 ={{a}, {b}, {c}, {d}}，
π3 ={{a, b, c, d}}，请分别列出由划分
π1, π2, π3确定的等价关系。

解π1确定的等价关系为({a, b, c}⨯{a, b, c})⋃{< d, d >}，
π2确定的等价关系为I A，
π3确定的等价关系为U A = A ⨯A。