第10讲 图像编码之变换编码
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数字图像处理技术-2016-01
映射变换的方法很多。图像变换编码基本可分为两大类，
某些特殊的映射变换编码法， 函数变换编码法。
数字图像处理技术-2016-01
10.1 行程编码（RLE，Run length encoding ）
对某些相同灰度级成片连续出现的图像（如洪水图）， 行程编码也是一种高效的编码方法。特别是对二值图像， 效果尤为显著。 在一个逐行存储的图像中，具有相同灰度值的一些像素 的序列，称为一个行程。
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
由于[T]是正交矩阵，所以
T T ' I T -1 T
T 这里[I]为单位矩阵， 是[T]的转置， T 1 是[T]的
逆。反之也有
X T Y
也就是说在编码端利用正变换得到[Y]，在译码端 可用反变换来恢复[X]。
求得其特征根，进而求得每
一个特征根所对应的特征向量；
数字图像处理技术-2016-01
10.2.3 最佳变换问题
３）由特征向量求出变换矩阵[T]； ４）用求得的[T]对图像数据进行正交变换。 经过上面四步运算就可以保证在变换后使
[CY ] [T ][C X ][T ]
是一个对角形矩阵。
这个[T]就是K-L变换中的变换矩阵。
数字图像处理技术-2016-01
10.2.3 最佳变换问题
例子
例：已知某信源的协方差矩阵为 CX ，求最佳变换矩阵
[T]。
CX 1 1 0 1 1 0 0 0 1
解：写出 λ 矩阵
1 - 1 0 [ E C X ] 1 1 0 0 1 0
式中 [Y ] 是[Y]的均值。
数字图像处理技术-2016-01
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
由正交变换的定义，有
[Y ] [T ][ X ] [ X ] [T ][Y ]
[CY ] E{([Y ] [Y ])([Y ] [Y ])} E{[T ][ X ] [T ][ X ])([T ][ X ] [T ][ X ])} E{[T ]([X ] [ X ])([X ] [ X ])[T ]} [T ]E{([ X ] [ X ])([X ] [ X ])}[T ] [T ][C X ][T ]
。
数字图像处理技术-2016-01
RLE编码方法得到的代码为：“80315084180”
数字图像处理技术-2016-01
（二）二维行程编码 一维行程编码：只考虑消除每行内像素（或水平分解 元素）的相关性，未考虑行间像素（垂直分解元素）的相
Biblioteka Baidu关性。
二维行程编码考虑两个方向分解元素之间的相关性。
数字图像处理技术-2016-01
式中 [CX ] 是[X]的协方差矩阵， [ X ] 是[X]的均值，
E是求数学期望值。
数字图像处理技术-2016-01
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
又设变换系数向量为
Y
Y0 , Y1 , Y2 , , YN 1
[CY] 为[Y]的协方差矩阵，所以
CY E [Y ] [Y ][Y ] [Y ]
(Karhunen loeve Transform)。
；
(４) 最佳变换的实现方法
K-L变换中的变换矩阵[T]不是一个固定的矩阵，它必须
由信源来确定。当给定一信源时，可用如下几个步骤求得[T]：
数字图像处理技术-2016-01
10.2.3 最佳变换问题
１）给定一幅图像后，首先要统计其协方差矩阵CX ２）由 CX 求 并且由 E C X 0 矩阵，即 [ E C X ] 。
实例
原图像文件： 17464字节 行程编码文件： 7660字节 压缩比： 2. 280
原图像文件： 66616字节
行程编码文件： 9272字节
压缩比： 7.185
数字图像处理技术-2016-01
实例
原图像文件： 72768字节 行程编码文件： 72972字节 压缩比： 0.997
原图像文件： 66616字节
f (t )
映射变换 量化器 编码器
S ( n)
图像变换编码模型
数字图像处理技术-2016-01
变换编码
主要由映射变换、量化及编码几部分操作组成。
映射变换是把图像中的各个像素从一种空间变换到另一
种空间，然后针对变换后的信号再进行量化与编码操作。
在接收端，首先对接收到的信号进行译码，然后再进行 反变换以恢复原图像。
RLE只用存一个代表那个灰度值的码，另一个是行
程的长度，而不必将相同的灰度值存很多很多次。可
以想像：对于单一颜色背景可以达到很高的压缩比，
但对其它类型的图像压缩比很低，最坏的情况，每一
个像素都与它周围的像素不同，文件长度加倍。
数字图像处理技术-2016-01
适合行程编码的图
数字图像处理技术-2016-01
nxn nxn NxN nxn nxn
nxn
数字图像处理技术-2016-01
nxn
• 变换编码的基本思想——举例
原始图像
52 63 62 63 67 79 85 87 55 59 59 58 61 65 71 79 61 66 68 71 68 60 64 69 66 90 113 122 104 70 59 68 70 61 64 73 109 85 69 72 144 104 66 73 154 106 70 69 126 88 68 70 77 68 58 75 55 61 65 83 65 76 78 94
10.2.1 变换编码的基本概念
综上所述，由于正交变换的结果，相关图像的空间
域可能变为能量保持、集中且为不相关的变换域。
如果用变换系数来代替空间样值编码传送时，只需 对变换系数中能量比较集中的部分加以编码，这样就能 使数字图像传输或存贮时所需的码率得到压缩。
数字图像处理技术-2016-01
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
x 0 y 0
N 1 N 1
e 2 ( x, y )
2 g ( x , y ) f ( x , y ) x 0 y 0
N 1 N 1
均方误差准则就是要使
e
2
最小的变换就是最佳变换。
数字图像处理技术-2016-01
10.2.3 最佳变换问题
（３） 均方误差准则下的最佳统计变换 均方误差准则下的最佳统计变换也叫K-L变换
数字图像处理技术-2016-01
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
如果在传输或存贮中只保留M个分量，M<N，则可
由[Y]的近似值
0
[Y ]
0
来恢复[X]。
[Y ] Y0 , Y1 , Y2 ,, YM 1 [ X ] T [Y ]
0
0
数字图像处理技术-2016-01
数字图像处理技术-2016-01
（一）一维行程编码
对图像进行行扫描时，行内各像素的灰度级可组成一个整
数序列x1, x2, …, xN。在行程编码中，我们将这个序列映射成
整数对(gk, lk)，其中gk 表示灰度级， lk 表示行程长度，等于
具有相同灰度级的相邻像素的数目。
行程长度lk 是一个随机变量，其分布具有很大的不均匀性
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
当然 [ X ] 是[X]的近似值。但是只要选取得当，仍可
0
保证失真在允许的范围内。
显然，关键问题在于选取什么样的正交变换[T]，才 能既得到最大的压缩率，又不造成严重的失真。
数字图像处理技术-2016-01
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
因此，有必要研究一下由正交变换得到[Y]的统计特性。 [Y]的统计特性中最为重要的是协方差矩阵。下面讨论一
预处理
正交变换
量化编码 传输、存储
后处理
反变换
解码
正交变换编码原理框图
数字图像处理技术-2016-01
– 编码、解码流程
输入图像NxN 构造nxn 的子图 正向变换 量化器 符号 编码器 压缩图像
压缩的图像
符号 解码器
逆向变换
合成nxn 的子图
解压图像
数字图像处理技术-2016-01
– 构造nxn的子图
设一图像信源为一向量 [ X ]
X X 0 , X 1 , X 2 X N 1
变换后输出一向量
Y
Y Y0 , Y1 , Y2 ,, YN 1
取正交变换为[T]，那么[X]与[Y]之间的关系为
Y T X
数字图像处理技术-2016-01
的优劣，因此，就有一个比较准则问题。下面讨论
最佳变换问题。
（１） 最佳变换应满足的条件
1).能使变换系数之间的相关性全部解除；
2).能使变换系数之方差高度集中。
数字图像处理技术-2016-01
10.2.3 最佳变换问题
（２） 最佳的准则 常用的准则仍然是均方误差准则。均方误差由 下式表示
1 2 e 2 N 1 2 N
任课教师 吴媛媛 E_mail: yuanyuanwu29@163.com
数字图像处理技术-2016-01
第10讲 图像编码之变换编码
10.1 行程编码 10.2 正交变换编码 （本章重点） 10.3 图像编码的国际标准
数字图像处理技术-2016-01
图像编码中另一类有效的方法是变换编码。变
换编码的通用模型如下图所示
数字图像处理技术-2016-01
行程编码文件： 67352字节
压缩比： 0.989
10．2 正交变换编码
变换编码中另一类方法是正交变换编码法（或 称函数变换编码法）。
这种方法的基本原理是通过正交函数变换把图
像从空间域转换为能量比较集中的变换域。然后对
变换系数进行编码，从而达到缩减比特率的目的。
数字图像处理技术-2016-01
相应的DCT系数
-415 -29 -62 7 -21 -62 -46 8 77 -50 13 35 11 -8 -13 -10 1 3 -4 -1 2 -1 -1 -1 25 9 -25 -15 -2 -3 -1 -2 55 11 -30 -9 -1 -1 2 -1 -20 -1 -7 -6 10 7 6 0 1 -4 0 2 -3 1 -1 0 3 6 -5 3 1 -1 -2 -1
下正交变换后得到的[Y]的协方差矩阵采用何种形式。
数字图像处理技术-2016-01
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
设图像信号是Ｎ维向量
X X 0 , X 1 , X 2 ,, X N 1
当然，[X]的统计特性可以测得。 [X] 的协方差矩阵
C X E [ X ] [ X ][ X ] [ X ]
较少的比特，从而使数据率有较大的压缩。
数字图像处理技术-2016-01
10.2.1 变换编码的基本概念
（４）去相关特性。正交变换可以使高度相关的空 间样值变为相关性很弱的变换系数。换句话说， 正交变换有可能使相关的空间域转变为不相关的 变换域。这样就使存在于相关性之中的多余度得
以去除。
数字图像处理技术-2016-01
（２）正交变换有能量保持性质。这就是第三章提到
的各种正交变换的帕斯维尔能量保持性质。它的意
义在于：只有当有限离散空间域能量全部转移到某
个有限离散变换域后，有限个空间取样才能完全由
有限个变换系数对于基础矢量加权来恢复。
数字图像处理技术-2016-01
10.2.1 变换编码的基本概念
（３）能量重新分配与集中。这个性质使我们有可 能采用熵压缩法来压缩数据。也就是在质量允许的 情况下，可舍弃一些能量较小的系数，或者对能量 大的谱点分配较多的比特，对能量较小的谱点分配
数字图像处理技术-2016-01
因此
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
变换系数的协方差矩阵[CY]决定于变换矩阵[T]和空间域图像的 协方差矩阵 [CX]。 而 [CX] 是图像本身所固有的，因此，关键在于寻求合适的[T]。
数字图像处理技术-2016-01
10.2.3 最佳变换问题
在研究各种变换矩阵[T]的过程中，自然要比较它们
数字图像处理技术-2016-01
10.2.1 变换编码的基本概念
正交变换编码之所以能够压缩数据率，主要是它有如 下一些性质： （１）正交变换具有熵保持性质。这说明通过正交
变换并不丢失信息，因此，可以用传输变换系数来达
到传送信息的目的。
数字图像处理技术-2016-01
10.2.1 变换编码的基本概念
映射变换的方法很多。图像变换编码基本可分为两大类，
某些特殊的映射变换编码法， 函数变换编码法。
数字图像处理技术-2016-01
10.1 行程编码（RLE，Run length encoding ）
对某些相同灰度级成片连续出现的图像（如洪水图）， 行程编码也是一种高效的编码方法。特别是对二值图像， 效果尤为显著。 在一个逐行存储的图像中，具有相同灰度值的一些像素 的序列，称为一个行程。
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
由于[T]是正交矩阵，所以
T T ' I T -1 T
T 这里[I]为单位矩阵， 是[T]的转置， T 1 是[T]的
逆。反之也有
X T Y
也就是说在编码端利用正变换得到[Y]，在译码端 可用反变换来恢复[X]。
求得其特征根，进而求得每
一个特征根所对应的特征向量；
数字图像处理技术-2016-01
10.2.3 最佳变换问题
３）由特征向量求出变换矩阵[T]； ４）用求得的[T]对图像数据进行正交变换。 经过上面四步运算就可以保证在变换后使
[CY ] [T ][C X ][T ]
是一个对角形矩阵。
这个[T]就是K-L变换中的变换矩阵。
数字图像处理技术-2016-01
10.2.3 最佳变换问题
例子
例：已知某信源的协方差矩阵为 CX ，求最佳变换矩阵
[T]。
CX 1 1 0 1 1 0 0 0 1
解：写出 λ 矩阵
1 - 1 0 [ E C X ] 1 1 0 0 1 0
式中 [Y ] 是[Y]的均值。
数字图像处理技术-2016-01
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
由正交变换的定义，有
[Y ] [T ][ X ] [ X ] [T ][Y ]
[CY ] E{([Y ] [Y ])([Y ] [Y ])} E{[T ][ X ] [T ][ X ])([T ][ X ] [T ][ X ])} E{[T ]([X ] [ X ])([X ] [ X ])[T ]} [T ]E{([ X ] [ X ])([X ] [ X ])}[T ] [T ][C X ][T ]
。
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RLE编码方法得到的代码为：“80315084180”
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（二）二维行程编码 一维行程编码：只考虑消除每行内像素（或水平分解 元素）的相关性，未考虑行间像素（垂直分解元素）的相
Biblioteka Baidu关性。
二维行程编码考虑两个方向分解元素之间的相关性。
数字图像处理技术-2016-01
式中 [CX ] 是[X]的协方差矩阵， [ X ] 是[X]的均值，
E是求数学期望值。
数字图像处理技术-2016-01
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
又设变换系数向量为
Y
Y0 , Y1 , Y2 , , YN 1
[CY] 为[Y]的协方差矩阵，所以
CY E [Y ] [Y ][Y ] [Y ]
(Karhunen loeve Transform)。
；
(４) 最佳变换的实现方法
K-L变换中的变换矩阵[T]不是一个固定的矩阵，它必须
由信源来确定。当给定一信源时，可用如下几个步骤求得[T]：
数字图像处理技术-2016-01
10.2.3 最佳变换问题
１）给定一幅图像后，首先要统计其协方差矩阵CX ２）由 CX 求 并且由 E C X 0 矩阵，即 [ E C X ] 。
实例
原图像文件： 17464字节 行程编码文件： 7660字节 压缩比： 2. 280
原图像文件： 66616字节
行程编码文件： 9272字节
压缩比： 7.185
数字图像处理技术-2016-01
实例
原图像文件： 72768字节 行程编码文件： 72972字节 压缩比： 0.997
原图像文件： 66616字节
f (t )
映射变换 量化器 编码器
S ( n)
图像变换编码模型
数字图像处理技术-2016-01
变换编码
主要由映射变换、量化及编码几部分操作组成。
映射变换是把图像中的各个像素从一种空间变换到另一
种空间，然后针对变换后的信号再进行量化与编码操作。
在接收端，首先对接收到的信号进行译码，然后再进行 反变换以恢复原图像。
RLE只用存一个代表那个灰度值的码，另一个是行
程的长度，而不必将相同的灰度值存很多很多次。可
以想像：对于单一颜色背景可以达到很高的压缩比，
但对其它类型的图像压缩比很低，最坏的情况，每一
个像素都与它周围的像素不同，文件长度加倍。
数字图像处理技术-2016-01
适合行程编码的图
数字图像处理技术-2016-01
nxn nxn NxN nxn nxn
nxn
数字图像处理技术-2016-01
nxn
• 变换编码的基本思想——举例
原始图像
52 63 62 63 67 79 85 87 55 59 59 58 61 65 71 79 61 66 68 71 68 60 64 69 66 90 113 122 104 70 59 68 70 61 64 73 109 85 69 72 144 104 66 73 154 106 70 69 126 88 68 70 77 68 58 75 55 61 65 83 65 76 78 94
10.2.1 变换编码的基本概念
综上所述，由于正交变换的结果，相关图像的空间
域可能变为能量保持、集中且为不相关的变换域。
如果用变换系数来代替空间样值编码传送时，只需 对变换系数中能量比较集中的部分加以编码，这样就能 使数字图像传输或存贮时所需的码率得到压缩。
数字图像处理技术-2016-01
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
x 0 y 0
N 1 N 1
e 2 ( x, y )
2 g ( x , y ) f ( x , y ) x 0 y 0
N 1 N 1
均方误差准则就是要使
e
2
最小的变换就是最佳变换。
数字图像处理技术-2016-01
10.2.3 最佳变换问题
（３） 均方误差准则下的最佳统计变换 均方误差准则下的最佳统计变换也叫K-L变换
数字图像处理技术-2016-01
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
如果在传输或存贮中只保留M个分量，M<N，则可
由[Y]的近似值
0
[Y ]
0
来恢复[X]。
[Y ] Y0 , Y1 , Y2 ,, YM 1 [ X ] T [Y ]
0
0
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（一）一维行程编码
对图像进行行扫描时，行内各像素的灰度级可组成一个整
数序列x1, x2, …, xN。在行程编码中，我们将这个序列映射成
整数对(gk, lk)，其中gk 表示灰度级， lk 表示行程长度，等于
具有相同灰度级的相邻像素的数目。
行程长度lk 是一个随机变量，其分布具有很大的不均匀性
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
当然 [ X ] 是[X]的近似值。但是只要选取得当，仍可
0
保证失真在允许的范围内。
显然，关键问题在于选取什么样的正交变换[T]，才 能既得到最大的压缩率，又不造成严重的失真。
数字图像处理技术-2016-01
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
因此，有必要研究一下由正交变换得到[Y]的统计特性。 [Y]的统计特性中最为重要的是协方差矩阵。下面讨论一
预处理
正交变换
量化编码 传输、存储
后处理
反变换
解码
正交变换编码原理框图
数字图像处理技术-2016-01
– 编码、解码流程
输入图像NxN 构造nxn 的子图 正向变换 量化器 符号 编码器 压缩图像
压缩的图像
符号 解码器
逆向变换
合成nxn 的子图
解压图像
数字图像处理技术-2016-01
– 构造nxn的子图
设一图像信源为一向量 [ X ]
X X 0 , X 1 , X 2 X N 1
变换后输出一向量
Y
Y Y0 , Y1 , Y2 ,, YN 1
取正交变换为[T]，那么[X]与[Y]之间的关系为
Y T X
数字图像处理技术-2016-01
的优劣，因此，就有一个比较准则问题。下面讨论
最佳变换问题。
（１） 最佳变换应满足的条件
1).能使变换系数之间的相关性全部解除；
2).能使变换系数之方差高度集中。
数字图像处理技术-2016-01
10.2.3 最佳变换问题
（２） 最佳的准则 常用的准则仍然是均方误差准则。均方误差由 下式表示
1 2 e 2 N 1 2 N
任课教师 吴媛媛 E_mail: yuanyuanwu29@163.com
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第10讲 图像编码之变换编码
10.1 行程编码 10.2 正交变换编码 （本章重点） 10.3 图像编码的国际标准
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图像编码中另一类有效的方法是变换编码。变
换编码的通用模型如下图所示
数字图像处理技术-2016-01
行程编码文件： 67352字节
压缩比： 0.989
10．2 正交变换编码
变换编码中另一类方法是正交变换编码法（或 称函数变换编码法）。
这种方法的基本原理是通过正交函数变换把图
像从空间域转换为能量比较集中的变换域。然后对
变换系数进行编码，从而达到缩减比特率的目的。
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相应的DCT系数
-415 -29 -62 7 -21 -62 -46 8 77 -50 13 35 11 -8 -13 -10 1 3 -4 -1 2 -1 -1 -1 25 9 -25 -15 -2 -3 -1 -2 55 11 -30 -9 -1 -1 2 -1 -20 -1 -7 -6 10 7 6 0 1 -4 0 2 -3 1 -1 0 3 6 -5 3 1 -1 -2 -1
下正交变换后得到的[Y]的协方差矩阵采用何种形式。
数字图像处理技术-2016-01
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
设图像信号是Ｎ维向量
X X 0 , X 1 , X 2 ,, X N 1
当然，[X]的统计特性可以测得。 [X] 的协方差矩阵
C X E [ X ] [ X ][ X ] [ X ]
较少的比特，从而使数据率有较大的压缩。
数字图像处理技术-2016-01
10.2.1 变换编码的基本概念
（４）去相关特性。正交变换可以使高度相关的空 间样值变为相关性很弱的变换系数。换句话说， 正交变换有可能使相关的空间域转变为不相关的 变换域。这样就使存在于相关性之中的多余度得
以去除。
数字图像处理技术-2016-01
（２）正交变换有能量保持性质。这就是第三章提到
的各种正交变换的帕斯维尔能量保持性质。它的意
义在于：只有当有限离散空间域能量全部转移到某
个有限离散变换域后，有限个空间取样才能完全由
有限个变换系数对于基础矢量加权来恢复。
数字图像处理技术-2016-01
10.2.1 变换编码的基本概念
（３）能量重新分配与集中。这个性质使我们有可 能采用熵压缩法来压缩数据。也就是在质量允许的 情况下，可舍弃一些能量较小的系数，或者对能量 大的谱点分配较多的比特，对能量较小的谱点分配
数字图像处理技术-2016-01
因此
10.2. 2 变换编码的数学模型分析
变换系数的协方差矩阵[CY]决定于变换矩阵[T]和空间域图像的 协方差矩阵 [CX]。 而 [CX] 是图像本身所固有的，因此，关键在于寻求合适的[T]。
数字图像处理技术-2016-01
10.2.3 最佳变换问题
在研究各种变换矩阵[T]的过程中，自然要比较它们
数字图像处理技术-2016-01
10.2.1 变换编码的基本概念
正交变换编码之所以能够压缩数据率，主要是它有如 下一些性质： （１）正交变换具有熵保持性质。这说明通过正交
变换并不丢失信息，因此，可以用传输变换系数来达
到传送信息的目的。
数字图像处理技术-2016-01
10.2.1 变换编码的基本概念