SOR迭代(算法分析和数值算例)

SOR 迭代

基本思想

Gauss-Seidel 迭代(1)

1()

(1)

()()

k k x D L U x

D L +--=-+-的结果作为中间值，记为

(1)

k x

+ 。SOR 方法是将(1)

k x

+ 与上次计算的结果()

k x 做加权平均作为最后结果。迭

代格式为：

1(1)

(1)

()()

1

1

1[](1),1,2i n

k k k k i

i ij j

ij j i

j j i ii

x b a x a x x i n

a ω

ω-++==+=-

-

+-=∑

∑

或者

1(1)

()

(1)

()

1

1[],1,2i n

k k k k i

i

i ij j

ij j j j i

ii

x x b a x a x i n

a ω

-++===+-

-

=∑

∑

算法： 1．

0,,,A b x t e ω输入迭代初值松弛参数，为迭代次数初始值为0,为记录误差

2． 当1,2i

n

= 时，1

1:[]n

i i i i j j j ii

x x b a x a ω

==

+-

∑

，结果仍然存储在i

x 中。迭

代次数:1t t =+ 3．

计算误差*

e x x

=-（真解已知）

4．

如果6

510

e -<⨯，则已达到精确度要求，否则继续第2步

数值结果

04

10101

41,4,001

430A b x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--== ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭

迭代初值，用Gauss 消去法求的其真解为

*

12112x ⎛⎫

⎪ ⎪=

⎪ ⎪- ⎪⎝

⎭

依次取1,1.03,1.1ω=，数值结果见下表

总结

从实验结果可以看出，当取松弛参数为1.03时只需五步就能达到所需精度。

附录（M文件）

function [t,x]=successiive_over_Rellaxatiion(A,b,x0,w,rx)

n=length(A);

x=x0; %% x0为迭代初值

e=norm(rx-x0,inf); %% rx为真解,e为误差

t=0; %% t为迭代次数

while e>5*10^(-6)

for i=1:n

temp=0;

for j=1:n

temp=temp+A(i,j)*x(j,1);

end

x(i,1)=x(i,1)+w*(b(i,1)-temp)/A(i,i);

end

e=norm(rx-x,inf);

t=t+1;

x

end