SOR迭代(算法分析和数值算例)
数值分析6-用SOR方法求解线性方程组
程序 clear;clc; A=[4,3,0;3,4,-1;0,-1,4]; b=[24,30,-24]'; N=length(b); %解向量的维数 fprintf('库函数计算结果：'); x=inv(A)*b %库函数计算结果 x=[1;1;1];%迭代初始值 %-----(A=D-E-F)-----D=diag(diag(A)); E=-tril(A,-1);%下三角 F=-triu(A,1);%上三角 w=1.5; %松弛因子，一般 0<w<2 B=inv(D-w*E)*[(1-w)*D+w*F];g=w*inv(D-w*E)*b; eps=1e-8;%相邻解的距离小于该数时，结束迭代 %--------开始迭代------for k=1:100 %最大迭代次数为 100 fprintf('第%d 次迭代：',k); y=B*x+g; if abs(x-y)<eps break; end x=y end x
程序结果
当比较松弛因Biblioteka 取 1.0 时当比较松弛因子取 1.25 时
当比较松弛因子取 1.5 时
作业七：编写用 SOR 方法求解线性方程组 Ax=B 的标准程序，并求下 列方程组的解， 并比较松弛因子取 1.0、 1.25、 1.5 时所需迭代的次数。 可取初始向量 X(0) =（1,1,1）’；迭代终止条件||x(k+1)-x(k)||<=10e-8
4 30 ������1 24 3 4 − 1 x2 = 30 0 − 14 x3 −24
sor迭代法手算例题
sor迭代法手算例题SOR迭代法是求解线性方程组的一种经典方式，其基本思想是通过不断迭代来逼近方程组的解。
这种方法在大规模问题上具有很好的效率，因此得到了广泛的应用。
本文将介绍SOR迭代法的基本原理，并以一个手算例题来展示其具体步骤和计算结果。
一、SOR迭代法的基本原理在介绍SOR迭代法的原理之前，我们先来看一下迭代法本身的思想。
假设有一个线性方程组：$$Ax=b$$其中，A是一个$n\times n$的系数矩阵，b是一个$n\times 1$的常数向量，x是一个$n\times 1$的未知向量。
迭代法的基本思想是将方程组表示为：$$x^{(k+1)}=Tx^{(k)}+C$$其中，$x^{(k)}$表示第k次迭代的近似解，$T$是一个$n\times n$的矩阵，$C$是一个$n\times 1$的常数向量。
迭代法的步骤是从一个初始点$x^{(0)}$开始，不断应用上述公式来寻找更好的解$x^{(k+1)}$。
当接近真解时，迭代的过程会不断收敛，即$x^{(k+1)}$会不断逼近真解$x$。
那么，如何确定矩阵$T$和向量$C$呢？最简单的方法是将方程组表示为：$$x^{(k+1)}=(I-\omega A)x^{(k)}+\omega b$$其中，I是$n\times n$的单位矩阵，$\omega$是一个常数，称作松弛因子。
当$\omega=1$时，这就是最基本的迭代法——雅克比迭代法。
但是，雅克比迭代法的收敛速度比较慢，因此需要调整$\omega$的值，从而得到更好的迭代效果。
SOR迭代法就是一种改良的迭代方法，其基本思想是通过加速松弛因子的变化来改善雅克比迭代法的效率。
具体来说，SOR迭代法的公式为：$$x_i^{(k+1)}=(1-\omega)x_i^{(k)}+\frac{\omega}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j<i}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j>i}a_{ij}x_j^{(k)}\right)$$其中，$i=1,2,\cdots,n$。
(完整版)6.4超松弛迭代法
0.75 x2( ( k 1)
6 0.25x3(k
)
7.5
x (k 1) 3
0.25x2(k1)
6
②取ω=1.25 ，即SOR迭代法：
xx21((kk11))
0.25x1(k) 0.9375x2(k) 7.5 0.9375x1(k1) 0.25x2(k) 0.3125x3(k)
-5.0183105
3.1333027
4.0402646
-5.0966863
4
3.0549316
3.9542236
-5.0114410
2.9570512
4.0074838
-4.9734897
5
3.0343323
3.9713898
-5.0071526
3.0037211
4.0029250
-5.0057135
6
3.0214577
3.9821186
-5.0044703
2.9963276
4.0009262
-4.9982822
7 3.0134110
3.9888241
-5.0027940
3.0000498
4.0002586
-5.0003486
迭代法若要精确到七位小数， Gauss-Seidel迭代法需要34次迭代； 而用SOR迭代法(ω=1.25)，只需要14次迭代。
因子ω。
返回引用
opt
(1
2
1 [(BJ )]2 )
（4）
这时，有ρ(Bopt
)=
ω
opt
-
1。
SOR法分类与现状
通常，
(1)当ω>1 时，称为超松弛算法； (2)当ω<1 时，称为亚松弛算法。
SOR迭代(算法分析和数值算例)
SOR 迭代基本思想Gauss-Seidel 迭代(1)1()(1)()()k k x D L U xD L +--=-+-的结果作为中间值，记为(1)k x+ 。
SOR 方法是将(1)k x+ 与上次计算的结果()k x 做加权平均作为最后结果。
迭代格式为：1(1)(1)()()111[](1),1,2i nk k k k ii ij jij j ij j i iix b a x a x x i na ωω-++==+=--+-=∑∑或者1(1)()(1)()11[],1,2i nk k k k iii ij jij j j j iiix x b a x a x i na ω-++===+--=∑∑算法： 1．0,,,A b x t e ω输入迭代初值松弛参数，为迭代次数初始值为0,为记录误差2． 当1,2in= 时，11:[]ni i i i j j j iix x b a x a ω==+-∑，结果仍然存储在ix 中。
迭代次数:1t t =+ 3．计算误差*e x x=-（真解已知）4．如果6510e -<⨯，则已达到精确度要求，否则继续第2步数值结果041010141,4,001430A b x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭迭代初值，用Gauss 消去法求的其真解为*12112x ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭依次取1,1.03,1.1ω=，数值结果见下表总结从实验结果可以看出，当取松弛参数为1.03时只需五步就能达到所需精度。
附录（M文件）function [t,x]=successiive_over_Rellaxatiion(A,b,x0,w,rx)n=length(A);x=x0; %% x0为迭代初值e=norm(rx-x0,inf); %% rx为真解,e为误差t=0; %% t为迭代次数while e>5*10^(-6)for i=1:ntemp=0;for j=1:ntemp=temp+A(i,j)*x(j,1);endx(i,1)=x(i,1)+w*(b(i,1)-temp)/A(i,i);ende=norm(rx-x,inf);t=t+1;xend。
sor方法
sor方法
SOR方法是一种迭代数值解法，主要被用于求解线性系统Ax=b，其中A是系数矩阵，b是右端向量。
SOR方法的全称为"Successive Over-Relaxation Method"，意为迭代超松弛法。
在使用SOR方法求解线性方程组时，首先需要将系数矩阵A分解为L、D和U 三个部分，其中L是A的严格下三角矩阵，D是A的对角线矩阵，U是A的严格上三角矩阵。
同时，SOR方法还需要一个松弛因子w。
SOR方法的迭代公式为：
x(k+1) = (1-w)x(k) + w(D-wL)^(-1)(b-Ux(k))
其中x(k)表示第k次迭代求得的解向量，x(k+1)表示x(k)的下一次迭代，^(−1)表示逆矩阵。
可以发现，SOR方法是基于Gauss-Seidel方法的改进，它在每一次迭代中添加了一个松弛因子w，从而使得解向量的迭代更快、更稳定。
在实际应用中，我们需要选择一个合适的松弛因子w，以使得SOR方法能够收敛并且收敛速度较快。
一般来说，选择一个小于1的w能够保证SOR方法的收敛性，而选择一个大于1的w能够加快SOR方法的收敛速度。
需要注意的是，SOR方法只能够求解特定条件下的线性方程组，如系数矩阵为对称正定矩阵、对角占优矩阵等。
当系数矩阵不满足这些条件时，SOR方法可能出现发散的情况。
总的来说，SOR方法是一种简单而有效的数值解法，被广泛应用于工程计算等领域。
在使用时，需要根据具体问题选择合适的松弛因子w，并且注意其收敛性和收敛速度。
数值分析实验报告-Sor法分析
数值分析实验报告一、 实验目的1、会使用Sor 法求解一个线性方程组2、熟悉matlab 语言并结合原理编程求方程组3、改变ω的值观察实验结果4、会分析实验结果 二、实验题目编制Sor 迭代格式程序进行求解一个线性方程组的迭代计算情况，运行中要选用不同的松弛因子ω进行尝试三、 实验原理Jacobi 迭代和seidel 迭代对具体的线性方程组来说，逼近*x 的速度是固定不变的，遇到收敛很慢的情况时就显得很不实用。
Sor 法是一seidel 迭代为基础，并在迭代中引入参数ω以增加迭代选择的灵活性，具体为：!用seidel 迭代算出的,)()1()()1(k k J k k Jx x x x x -=∆++相减得到差向量与再用参数ω乘之再加上)1()()()1()1()()()1(++++-=∆+=k Jk k k k k k x x x x x x x x ωωω，即的下一步迭代作为，由seidel 迭代的公式可以得到Sor 法的迭代格式为n i x a x a b a x x k j n i j ij k j i j ij i ii k i k i ,2,1),()1()(1)1(11)()1( =--+-=∑∑+=+-=+ωω式中ω称为松弛因子。
四、 实验内容用matlab 编程得到Sor 法求线性方程组的算法为：function [x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M)if nargin==4eps= ;M = 200;elseif nargin<4errorreturn：elseif nargin ==5M = 200;endif(w<=0 || w>=2)error;return;endD=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵（U=-triu(A,1); %求A的上三角阵B=inv(D-L*w)*((1-w)*D+w*U);f=w*inv((D-L*w))*b;x=B*x0+f;n=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=epsx0=x;x =B*x0+f;n=n+1;if(n>=M)（disp('Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！'); return;endend输入数据：>> A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5];b=[1;2;10;-1];x0=[0;0;0;0];w=1;eps=1e-4;；M=100;>> [x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M)x =n =;5error;>> A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5];b=[1;2;10;-1];x0=[0;0;0;0];w=;eps=1e-4;M=100;[x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M)/x =n =@21>>A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5]; b=[1;2;10;-1];x0=[0;0;0;0];w=;eps=1e-4;M=100;[x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M)Error using ==> errorNot enough input arguments.，Error in ==> SOR at 13用实验3中的线性方程组作为例子比较得当ω=时，x = 迭代次数为n=21当ω=1时，x = 迭代次数为n=5当ω=时，出现error五、实验分析由定理，Sor法收敛的必要条件是0<ω<2，因此，当ω=和1时，算法收敛，能够求出根，并且迭代次数根据ω的不同而不同，在求方程组的根时，只要选择恰当的ω，收敛是很快的。
用sor法解方程组
用SOR法解方程组引言方程组是数学中常见的问题，解决方程组可以帮助我们理解和预测各种实际问题。
解方程组的方法有很多种，其中一种常用的方法是SOR（Successive Over Relaxation）法。
SOR法是一种迭代法，通过不断迭代逼近解的过程来求解方程组。
本文将对SOR法进行详细的介绍和分析。
SOR法概述SOR法是一种求解线性方程组的迭代算法，其基本思想是通过引入松弛因子来加速收敛速度。
对于线性方程组Ax=b，SOR法的迭代公式为：x^(k+1) = (1-w)x^(k) + w * D^(-1) * (b - L * x^(k+1) - U * x^(k))其中，x(k)表示第k次迭代的解向量，x(k+1)表示第k+1次迭代的解向量，w为松弛因子（0 < w< 2），A被分解为下三角矩阵L、上三角矩阵U和对角矩阵D。
算法流程SOR法的算法流程如下：1.初始化解向量x^(0)2.对于每次迭代k = 0, 1, 2, …–计算下一次迭代的解向量x^(k+1)： x^(k+1) = (1-w)x^(k) + w * D^(-1) * (b - L * x^(k+1) - U * x^(k))–判断迭代是否收敛：如果迭代误差小于预设的阈值就停止迭代，否则继续迭代3.返回最终的解向量x^(k+1)SOR法特点SOR法具有以下几个特点：1.相对于传统的迭代法，SOR法引入了松弛因子，能够加速迭代的收敛速度。
2.当松弛因子w=1时，SOR法等价于高斯-赛德尔迭代法。
3.大部分情况下，SOR法是收敛的。
收敛速度与松弛因子w有关，一般来说，选择一个合适的松弛因子可以加快算法的收敛速度。
4.SOR法对于对角占优的线性方程组具有较好的收敛性能，但对于一般的线性方程组效果可能不理想。
SOR法的数值实验为了验证SOR法的性能，我们进行了一系列的数值实验。
我们选取了不同规模的线性方程组，通过对比SOR法的迭代次数和收敛速度来评估其性能。
sor迭代法
SOR迭代法的Matlab程序function [x]=SOR_iterative(A,b)% 用SOR迭代求解线性方程组,矩阵A是方阵x0=zeros(1,length(b)); % 赋初值tol=10^(-2); % 给定误差界N=1000; % 给定最大迭代次数[n,n]=size(A); % 确定矩阵A的阶w=1; % 给定松弛因子k=1;% 迭代过程while k<=Nx(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n)')/A(1,1);for i=2:nx(i)=(1-w)*x0(i)+w*(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)'-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n)')/A(i,i);endif max(abs(x-x0))<=tolfid = fopen('SOR_iter_result.txt', 'wt');fprintf(fid,'\n********用SOR迭代求解线性方程组的输出结果********\n\n');fprintf(fid,'迭代次数: %d次\n\n',k);fprintf(fid,'x的值\n\n');fprintf(fid, '%12.8f \n', x);break;endk=k+1;x0=x;endif k==N+1fid = fopen('SOR_iter_result.txt', 'wt');fprintf(fid,'\n********用SOR迭代求解线性方程组的输出结果********\n\n');fprintf(fid,'迭代次数: %d次\n\n',k);fprintf(fid,'超过最大迭代次数，求解失败！');fclose(fid);end常微分方程的数值解法实验目的：熟悉在Matlab平台上直接求解常微分方程初值问题试验方法1、利用改进欧拉法解方程：程序内容为：fun=@(x,y)x^(-2)-y/x;h=0.05;X=1:h:2;Y(1)=1;for i=2:21Y(i)=Y(i-1)+h/2*(fun(X(i-1),Y(i-1))+fun(X(i),Y(i-1))+h*fun(X(i-1),Y(i-1))); end;Y运行结果为：Y =Columns 1 through 91.0000 0.9989 0.9957 0.9909 0.9848 0.9778 0.9701 0.9618 0.9530Columns 10 through 180.9440 0.9348 0.9254 0.9160 0.9065 0.8971 0.8876 0.8783 0.8690Columns 19 through 210.8598 0.8508 0.8418真实解的求法为：x=1:0.05:2;y=1./x.*(log(x)+1)y =Columns 1 through 81.0000 0.9988 0.9957 0.9911 0.9853 0.9785 0.9710 0.9630Columns 9 through 160.9546 0.9459 0.9370 0.9279 0.9188 0.9096 0.9004 0.8912Columns 17 through 210.8821 0.8731 0.8641 0.8553 0.8466用四阶R-K算法解常微分方程的程序为：fun=@(x,y)x^(-2)-y/x;h=0.1;X=1:h:2;Y(1)=1;for n=2:11k1=fun(x(n-1),Y(n-1));k2=fun(x(n-1)+h/2,Y(n-1)+h/2*k1);k3=fun(x(n-1)+h/2,Y(n-1)+h/2*k2);k4=fun(x(n-1)+h,Y(n-1)+h*k3);Y(n)=Y(n-1)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)end;Y运行后了结果为：Y =Columns 1 through 91.0000 0.9957 0.9853 0.9710 0.9546 0.9370 0.9188 0.9004 0.8821Columns 10 through 110.8641 0.8466真实解的求法为：x=1:0.1:2;y=1./x.*(log(x)+1)y =Columns 1 through 91.0000 0.9957 0.9853 0.9710 0.9546 0.9370 0.9188 0.9004 0.8821Columns 10 through 110.8641 0.8466可见其精确度至少已达到0.0012、MATLAB中数值解法“ode45”为：[x1,y1] = ode45(@(x,y)x^(-2)-y/x,[1,2],y0);符号解法“dsolve”求解为：dsolve('Dy=x^(-2)-y/x','y(1) = 1','x')ans =(log(x)+1)/x画出两种算法的图形位：[x1,y1] = ode45(@(x,y)x^(-2)-y/x,[1,2],1);fplot('(log(x)+1)/x',[1,2]);hold on, plot(x1,y1,'ro');数值算法同解析算法几乎完全吻合。
SOR迭代法求解线性方程组
SOR迭代法求解线性方程组一实验名称：实验四：逐次超松弛迭代法。
二实验题目：求解下面的三元一次线性方程组：2x-y+2z=4；x+2y+3z=9；2x-2y-3z=-3；要求选取不同的松弛因子进行计算，并估计最优松弛因子的大小。
三实验目的：1.熟悉掌握逐次超松值迭代法的基本原理和基本方法。
2.学会用逐次超松弛迭代法解简单的方程组。
3.选取不同的w值（0<w<2）进行试探性的计算，从中摸索出近似的最佳松弛因子。
四基础理论：超松弛迭代法以及所涉及的主要算法为：Xi^(k+1)←（1-w）*Xi^(k)+w*Xi的共轭的（k+1）次幂。
五实验环境：Visual C++6.0。
六实验过程：1. 在程序中输入不同的数据时，会得到不同的结果。
2.大于1的时候的松弛因子，被称作超松弛法。
小于则被称做低松弛法。
由于松弛因子对方程组的收敛速度影响很大，所以在一定的误差范围内，选择不同的松弛因子时，迭代次数也会不同。
3. 按照实验题目中的数据输入时，比较结果当w=0.6时，会出现下面的结果：当w=0.7时得当w=0.8时得当w=0.9时，会出现下面的结果当w=1.0时得七结果分析：当在一定的误差范围内，有以上运行结果可以得出答案，最优松弛因子的范围为0.8。
八逐次超松弛迭代法程序代码：#include<iostream.h>#include<stdlib.h>#include<stdio.h>#include<math.h>void SOR(double w, double a[3][3], double b[3], double x[3], double esp) {double t[3];int flag=0;int n=0;while(!flag){flag=1;n++;t[0]=x[0]; t[1]=x[1]; t[2]=x[2];for(int i=0;i<3;i++){double m=b[i];for(int j=0;j<3;j++){m-=(a[i][j]*x[j]);}x[i]=x[i]+w*m/a[i][i];}for(int k=0;k<3;k++){if(fabs(x[k]-t[k])>=esp){flag=0;break;}}}printf("%d\n",n);}void main(){double a[3][3];double b[3];double x[3];double w,esp;a[0][0]=2; a[0][1]=-1; a[0][2]=2;a[1][0]=1; a[1][1]=2; a[1][2]=3;a[2][0]=2; a[2][1]=-2; a[2][2]=-3;b[0]=4; b[1]=9; b[2]=-3;x[0]= x[1]= x[2]=0;w=0.6;esp=0.0001;SOR(w,a,b,x,esp);for(int i=0;i<3;i++)printf("%f\n",x[i]);}。
数值分析PPT55迭代法收敛与SOR法
|| A || || D 1 P 1 APD ||1 max ( | i | ) ( A) 易证：
1 i r
是由 || x ||v || ( PD) 1 x ||1 导出的算子范数。 Bk 0 迭代从任意向量出发收敛
所以只要取 < ，就有|| A || < (A) 。
( k 1 ) (k ) ( k 1 ) (k ) 1 x (1 ) x D [ Lx Ux b ] ( k 1 ) (k ) 1 1 x ( D L) [(1 ) D U ] x ( D L) b H f 松弛迭代阵 定理 设 A 可逆，且 aii 0，松弛法从任意 x ( 0) 出发对 某个 收敛 ( H ) < 1。
(k ) (1) ( 0 ) qk ② || x * x || || x x || 1 q
证明： ① x * x ( k ) B( x * x ( k 1) ) B ( x * x ( k ) x ( k ) x ( k 1 ) ) (k ) (k ) ( k ) ( k 1) || x * x || q(|| x * x || || x x ||)
充分条件: ||B|| < 1
e (k ) 必要条件:
|| B ||k 0 as k ( k )等价于对 ||任何算子范数有 e || 0 || 0 as k Ak || 0 as kk A B ？
( Ak (aijk ) ) nn R nn .
ri( k 1) (1 ) xi( k ) [ aij x (jk 1) aij x (jk ) bi ] xi( k ) aii a ii j<i j i
超松弛迭代法(SOR方法)
解：SOR迭代公式
x1( k
1)
(1 )x1(k )
4
(10 2x2(k )
4x3(k ) )
x
(k 2
1)
(1 )x2(k )
17
(3
2
x1(
k
1)
10x3(k ) )
x3( k
1)
(1 )x3(k )
9
(7 4x1(k 1)
10
x
(k 2
1)
)
初值 x (0) (0,0,0)T k = 0,1,2,…，
例该4方.4程用组S的OR精法确求解解线x (性*) 方 程(2组,1,1)T
如值只果需x(0取)迭ω取代(0=,04ω21,00x(=42)即1次T1xx,要11.高4便26达x斯11，可207到—xx要达22同4塞求到x样319德精0x精x3尔度130度迭要x,(3k7代求需1) 法要x)迭(和k) 代同1一1100初6次
数值计算方法
超松弛迭代法（SOR方法） 使用迭代法的困难在于难以估计其计算
量。有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速 度缓慢，使计算量变得很大而失去使用价值 。因此，迭代过程的加速具有重要意义。逐 次超松弛迭代（Successive Over relaxatic Method，简称SOR方法）法，可以看作是带参 数的高斯—塞德尔迭代法，实质上是高斯-塞 德尔迭代的一种加速方法。
或 Dx(k1) (1)Dx(k) (b Lx(k1) Ux(k) )
故 (D L)x(k1) (1)D Ux(k) b
显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异,(因为假设 aii 0,i 1,2,, n )于是超松弛迭代公式为
x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b
sor迭代法手算例题
sor迭代法手算例题農迭代法是一種重要的數學方法，在農業、經濟學、生物學、物理學等領域中都有廣泛的應用。
本文將通過手算例題，深入探討農迭代法的原理、應用和注意事項。
一、農迭代法的原理農迭代法是一種通過不斷迭代，逐步逼近真實值的方法，其基本原理是：假設一個初始值，然後通過一系列計算，得到一個新的值，再以此新值為初始值，重複進行計算，直到得到一個足夠接近真實值的結果。
以求解方程f(x)=0為例，農迭代法的基本步驟如下：（1）選擇一個初始值x0；（2）根據f(x)=0的形式，將x表示為x=g(x)，即x=g(x0)；（3）用x0的值代入g(x)中，得到新的值x1=g(x0)；（4）重複步驟（3），得到x2=g(x1)，x3=g(x2)，直到得到一個足夠接近真實值的結果。
需要注意的是，農迭代法的收斂性和速度都與選擇初始值有關，通常需要通過觀察函數圖像、分析函數性質等方法，選擇一個合適的初始值，才能獲得較好的結果。
二、農迭代法的應用1. 求解方程農迭代法在求解方程方面有廣泛的應用。
例如，對於方程f(x)=0，可以通過農迭代法求解，其中g(x)可以選擇為f(x)+x，即x=g(x)=f(x)+x。
2. 求解最小值農迭代法在求解最小值方面也有應用。
例如，對於函數f(x)，可以通過農迭代法求解其最小值，其中g(x)可以選擇為f(x+1)。
3. 求解微分方程農迭代法在求解微分方程方面也有應用。
例如，對於微分方程y'=f(x,y)，可以通過農迭代法求解其解析解，其中g(y)可以選擇為y0+∫f(x,y)dx。
三、手算例題下面通過手算例題，深入探討農迭代法的具體應用。
例題1：求解方程x^3-3x+1=0的根。
解答：根據農迭代法的原理，可以將方程表示為x=(3x-1)/x^2，即g(x)=(3x-1)/x^2。
選擇初始值x0=1，代入g(x)中，得到x1=g(x0)=(3-1)/1^2=2。
再將x1代入g(x)中，得到x2=g(x1)=(3*2-1)/2^2=5/4。
关于逐次超松弛迭代法(SOR方法)的教学
关于“逐次超松弛迭代法（SOR 方法）”的教学一、SOR 迭代公式逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SOR 方法，它是在GS 法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法，设求解线性代数方程组b Ax =的GS 法记为(1)再由与加权平均得这里ω＞0称为松弛参数，将(1)代入则得(2)称为SOR 迭代法，ω＞0称为松弛因子，当ω=1时，(2)即为GS 法，将(2)写成矩阵形式则得即，于是得SOR 迭代的矩阵表示(3)其中(4)亦可作矩阵分解ωωN M A -=，其中有.从而SOR 迭代矩阵 ωωωN M G 1-=. 例1 给定方程组精确解,用SOR法求解，分别取ω=1及ω=125.解用SOR迭代公式(2)可得取，迭代7次后分别为若要精确到小数后7位，对ω=1(即GS法)需迭代34次，而对ω=1.25的SOR法，只需迭代14次.它表明松弛因子ω选择的好坏，对收敛速度影响很大。
二、SOR迭代法收敛性根据迭代法收敛性定理，SOR法收敛的充分必要条件为，收敛的充分条件为，但要计算比较复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A 判断SOR迭代收敛性，下面先给出收敛必要条件定理1设，则解方程的SOR迭代法收敛的必要条件是0＜ω＜2.证明因为SOR迭代矩阵为，于是另一方面，设的特征值为，由特征根性质，有若SOR法收敛，则，由，则得0＜ω＜2.定理2若对称正定，且0＜ω＜2，则解Ax=b的SOR迭代法(3)对迭代收敛。
证明设的特征值为(可能是复数)，对应特征向量x≠0, 由(4)得因为实对称矩阵，故, 上式两边与x作内积，得(5)因A正定，故D也正定，记.又记，,由内积性质得于是由(5)有由于A正定及0＜ω＜2，故，于是。
注一：当ω=1时SOR法即为GS法，故GS法也收敛，此即为GS法的收敛定理结论。
对于SOR迭代法，松弛因子的选择对收敛速度影响较大，关于最优松弛因子研究较为复杂，且已有不少理论结果。
第五章 第三节 SOR迭代法
k
即
DX
k 1
LX
k 1
1 DX UX b
k k
于是有
( D L) X X
k 1 k 1
[1 D U ] X b
k k
( D L) 1[1 D U ] X ( D L) 1 b
阵来说，这一条件是充分的。
定理7 如果矩阵 A 是对称正定的，则 SOR 法 对于0 2 是收敛的。 这一定理说明， 对于对称正定矩阵 ，只要 0 2 ， SOR 迭代法总是收敛的。
用 SOR 法计算方程组时，选取合适的松弛因
子很重要，松弛因子选取得好，可能使得收敛速 度大大加快，下面举例来说明松弛因子的选取对 收敛速度的影响。
将方程组 AX b 写成
ai1 x1 ai 2 x2 ai ,i 1 xi 1 aii xi ain xn bi , (i 1, 2,, n)
aii xi bi ai1 x1 ai 2 x2 ai ,i 1 xi 1 ai ,i 1 xi 1 ain xn aii xi aii xi (bi ai1 x1 ai 2 x2 ai ,i 1 xi 1 aii xi ai ,i 1 xi 1 ain xn )
SOR
迭代法收敛与否或收敛快慢都与松弛因 的范围，有如下定理。
子 有关 。 关于
定理6
SOR
迭代法收敛的必要条件是松弛
因子 应满足条件 0 2 。
因 SOR 法收敛，故 B 1 。记 B 的 特征值 为 1,2 , n 。因为n阶矩阵的n个 特征值之积等于其行列式之值，即 证明
数值分析Python实现系列——二、逐次超松弛迭代法（SOR）
数值分析Python 实现系列——⼆、逐次超松弛迭代法（SOR ）⼆、超松弛迭代法(SOR)1.原理:回顾:在⼀般情况下 : 收敛过慢甚⾄不收敛的B 与f ,经过对系数矩阵A 分裂成A =M −N 的形式, 使得迭代公式变为: x k +1=(I −M −1)Ax k +M −1f 雅克⽐迭代法选取 : 现将A 如下分解A =D −L −U ,D 为对⾓阵,L 为下三⾓阵,U 为上三⾓阵,取M ≡D ,取N ≡L +U ,在这⼀章中我们选取下三⾓矩阵M =1ω(D −ωL ),ω>0,其中ω为松弛因⼦,我们可以发现当ω为1时,M =D −L ,正是⾼思-赛德尔迭代法,下⾯推导迭代公式:x k +1=I −M −1A x k +M −1bx k +1=I −ω(D −ωL )−1A x k +ω(D −ωL )−1bx k +1=(D −ωL )−1((1−ω)D +ωU )x k +ω(D −ωL )−1b推导完毕,我们较为常⽤的是下式:(D −ωL )x k +1=((1−ω)D +ωU )x k +ωb以及:x (0)=(x (0)1,...,x (0)n )T ,x (k +1)i =x (k +)i +Δx i Δx i =ωb i −i −1∑j =1a ij x (k +1)j −n ∑j =1a ij x (k )j a ii i =1,2,...,n ,k =0,1,...,ω为松弛因⼦当ω>1时为超松弛迭代,当ω<1时为低松弛迭代迭代终⽌条件:max 1≤i ≤n |Δx i |=max1≤i ≤n |x (k +1)i −x (k )i |<ε,下⾯我们试试⽤Python 实现这⼀功能.2.实现:import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltMAX = 110 # 遍历最⼤次数A = np.array([[-4, 1, 1, 1], [1, -4, 1, 1], [1, 1, -4, 1], [1, 1, 1, -4]])b = np.array([[1], [1], [1], [1]]) # 注意这⾥取列向量omega_list = [1 + 0.005 * i for i in range(100)] # 取到不同的omega 值,观察趋势length = len(A)count = [] # 记录遍历的次数for omega in omega_list: # 遍历每⼀个omega 值times = 0x_0 = np.zeros((length, 1))x_hold = x_0 + np.ones((length, 1))while (np.linalg.norm(x_hold - x_0, ord=2) >= 10 ** (-5)) and (times <= MAX):# 遍历停⽌条件以k+1次与k 次迭代的向量差的⼆范数以及遍历最⼤次数为标准x_hold = x_0.copy() # 这⾥不要⽤赋值,要⽤copyx_new = x_0.copy()for i in range(length):# 根据迭代公式迭代x_new[i][0] = x_0[i][0] + omega * (b[i][0] - sum([A[i][j] * x_new[j][0] for j in range(i)]) - sum([A[i][j] * x_0[j][0] for j in range(i, length)])) / A[i][i]x_0 = x_new.copy()times += 1count.append(times)plt.plot(omega_list, count) # 观察omega 与迭代次数的关系plt.show()思路:1.遍历设限:第⼀种是到达精度,到达精度停⽌迭代,第⼆种是到达规定最⼤次数,这个可以⾃⼰设定.2.在根据迭代公式改变各个向量分量时,要注意遍历范围.结果:{。
数值分析第二次大作业SOR最优松弛因子选取方法及SOR迭代法的改进
《数值分析》第二次大作业题目：SOR最优松弛因子选取方法及SOR迭代法的改进内容：1.SOR最优松弛因子选取方法2.SOR迭代法的改进（SSOR迭代法）3.SSOR迭代法的Matlab程序4.举例比较jacobi，Gauss-Seidel，SOR及SSOR 迭代法的收敛速度姓名：合肥工业大学学号：2011班级：信息与计算科学11-1班参考资料：1.《确定SOR最优松弛因子的一个实用算法》李春光等《计算力学学报》2.《数值分析与实验》，薛毅,北京工业大学出版社.3.《数值分析中的迭代法解线性方程组》，马云,科学出版社4.《非线性互补问题的改进超松弛迭代算法》，段班祥等,江西师范大学出版社5.《迭代法解线性方程组的收敛性比较》，郑亚敏,江西科学出版社.一、SOR最优松弛因子选取方法SOR迭代法迭代公式：x(k+1)i=(1-ω)xi+(k) bi-∑aijxjaii⎝j=1ω⎛ i-1(k+1)-j=i+1∑axijn(k)j⎫⎪ (i=1,2,..n.), ⎪⎭1.二分比较法将松弛因子1/2，ω的区间（1,2）进行二分，每个小区间的长度为ω去中间值3/2，按照SOR 迭代法迭代公式，求出跌代次数k,如果k不超过指定的发散常数，则可确定ω的值；否则将（1,2）四等分，每个区间长度为1/4,ω取各分点值，继续迭代，一般地，将1区间（1,2）二分M次，每次二分步长为，ω一次取取各分点值，2M按照SOR迭代法迭代公式，求出跌代次数k,如果k不超过指定的发散常数，则可确定的ω的值，这样总能找到一个不超过指定发散常数ω值。
2.逐步搜索法将1+ω的取值区间（1,2）进行M等分，ω分别取ω的值。
12M-1,1+,...,1+，通过迭代公式依次对同意精度要求求出迭代MMM次数k的值，并从中选出最优松弛因子3.黄金分割法依据黄金分割比的思想，通过计算机主动选取最优松弛因子的近似值，步骤如下a.对（1，2）区间进行第一次0.618的分割，区间边界a1=1,b1=2，在区间(a1,b1)分割出黄金点p1=a1+0.618(b1-a1)，进行SOR迭代法的迭代，求出迭代次数k的值，如果没有超过规定的发散常数，迭代结束，否则做步骤b。
MATLAB编制SOR算法求解AX=b
MATLAB 编制SOR 算法求解AX=b 实例1.题目：用SOR 方法求解方程组（分别取松弛因子w=1.03；w=1；w=1.1）。
1212323414443x x x x x x x -=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=-⎩ 其中精确解*11,1,22x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ 要求当*55*10k x x --<迭代终止，并且对每个w 确定迭代次数。
2.SOR 方法SOR 原理参考李庆扬主编《数值分析》第五版6.3节超松弛迭代法。
MATLAB 编程如下： 首先编制SOR 调用的功能函数。
%SOR 函数%输入变量：x0为初始值，x1为精确值，w 为松弛因子，eps 为精度，M 为最大迭代次数 %输出变量：x2为迭代值，n 为满足精度要求的最小迭代次数function [x2,n]=SOR(A,b,x0,x1,w,eps,M)D=diag(diag(A)); %求A 的对角矩阵L=-tril(A,-1); %求A 的下三角阵U=-triu(A,1); %求A 的上三角阵B=inv(D -L*w)*((1-w)*D+w*U);f=w*inv((D -L*w))*b;x2=B*x0+f; %进行第一次迭代n=1;while norm(x1-x2)>=eps %迭代的精度控制x2=B*x2+f;n=n+1;if(n>=M)disp('Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！');return;endend然后编制求解的主程序。
clcclear allA=[4 -1 0;-1 4 -1;0 -1 4]; %输入方程A、b和精确解x1、迭代初值x0 b=[1;4;-3];x1=[0.5;1;-0.5];x0=[0;0;0];eps=5e-5; %控制精度为5e-5w=1.03%w=1 %分别计算w=1.03、w=1、w=1.1三种情况%w=1.1;M=200; %迭代次数超过200认为不收敛[x2,n]=SOR(A,b,x0,x1,w,eps,M)；vpa(x2,8) %对迭代值x2保留8位小数3.求解结果。
用SOR迭代法
一、数值求解如下正方形域上的Poisson 方程边值问二、2222(,)2,0,1(0,)(1,)(1),01(,0)(,1)0,01u u f x y x y x y u y u y y y y u x u x x ⎧⎛⎫∂∂-+==<<⎪ ⎪∂∂⎪⎝⎭⎨==-≤≤⎪⎪==≤≤⎩二、用椭圆型第一边值问题的五点差分格式得到线性方程组为2,1,1,,1,10,1,,0,141,?,?,?,?0,1i j i j i j i j i j ijj N j i i N u u u u u h f i j Nu u u u i j N -+-+++----=≤≤====≤≤+，写成矩阵形式Au=f 。
其中 三、基本原理程序步骤：所有的步骤基本一致 1． 设置u ，n ，并给u ，n 赋初值； 2． While 语句循环，到的6步 3． Up 我第K 次迭代的值； 4． 分别进行计算，sum=0; 例如:Jacobi :sun= sum+A(i,j)*Ub; SOR 和Gauss_Seidel= sum+A(i,j)*u; 各自进行相应的下不运算。
5． 计算|Up-u|<ep 的绝对值，判断是否停机 6． 如果小于规定误差，迭代终止； 7． 输出结果u 和迭代次数k8． 在块的迭代中调用了追赶法的求解子程序zg ，在SOR 设计了A 得自动生成子程序creat_matix.1122N N v b v b u f v b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4114114ii A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 11,12,1,121,22,2,21,2,,2211,12,1,121,22,2,221,2,,(,,...,),(,,...,),......,(,,...,)(,,...,)?,(,,...,)?,......,(,,...,)?1,999,0.10.011T T N N TN N N N N T T N N T N N N N N v u u u v u u u v u u u b h f f f b h f f f b h f f f h N h N ====+=+=+===+取或则或,2,,1,2,...,i j f i j N==1122NN A I I A A I IA -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭四、编写求解线性方程组Au=f的算法程序，用下列方法编程计算，并比较计算速度。
sor迭代法
sor迭代法Sor迭代法是一种求解线性方程组的算法，它是Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的改进。
在本文中，我们将深入探讨Sor迭代法的原理、优缺点以及应用。
一、原理1.1 Sor迭代法的基本思想Sor迭代法是通过对Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法进行改进得到的。
其基本思想是在Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代中引入一个松弛因子，使得每次更新后的值更接近于真实解。
1.2 Sor迭代公式Sor迭代公式如下：$x^{(k+1)}_i=(1-\omega)x^{(k)}_i+\frac{\omega}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j=1,j\neq i}^n a_{ij}x^{(k+1)}_j\right)$其中，$x^{(k+1)}_i$表示第$k+1$次迭代中第$i$个未知数的值；$x^{(k)}_i$表示第$k$次迭代中第$i$个未知数的值；$\omega$为松弛因子；$a_{ii}$为系数矩阵中第$i$行第$i$列元素；$\sum_{j=1,j\neq i}^n a_{ij}x^{(k+1)}_j$表示第$k+1$次迭代中除第$i$个未知数外的其他未知数的值的和；$b_i$为方程组中第$i$个方程的常数项。
1.3 松弛因子松弛因子$\omega$是Sor迭代法中一个重要的参数，它控制了每次迭代后更新值与真实解之间的距离。
一般情况下，松弛因子取值在0和2之间。
当$\omega=1$时，Sor迭代法退化成Gauss-Seidel迭代法；当$\omega=0$时，Sor迭代法退化成Jacobi迭代法。
二、优缺点2.1 优点（1）收敛速度快：相比于Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，Sor迭代法具有更快的收敛速度。
（2）适用范围广：Sor迭代法适用于大多数线性方程组求解问题，并且不需要对系数矩阵做任何特殊处理。
2.2 缺点（1）松弛因子需要调整：松弛因子是影响Sor迭代法收敛速度和精度的关键参数，因此需要通过试验或经验来确定最优值。
用SOR迭代法
一、数值求解如下正方形域上的Poisson 方程边值问二、2222(,)2,0,1(0,)(1,)(1),01(,0)(,1)0,01u u f x y x y x y u y u y y y y u x u x x ⎧⎛⎫∂∂-+==<<⎪ ⎪∂∂⎪⎝⎭⎨==-≤≤⎪⎪==≤≤⎩二、用椭圆型第一边值问题的五点差分格式得到线性方程组为2,1,1,,1,10,1,,0,141,?,?,?,?0,1i j i j i j i j i j ijj N j i i N u u u u u h f i j N u u u u i j N -+-+++----=≤≤====≤≤+，写成矩阵形式Au=f 。
其中 三、基本原理程序步骤：所有的步骤基本一致 1． 设置u ，n ，并给u ，n 赋初值； 2． While 语句循环，到的6步 3． Up 我第K 次迭代的值； 4． 分别进行计算，sum=0; 例如:Jacobi :sun= sum+A(i,j)*Ub; SOR 和Gauss_Seidel= sum+A(i,j)*u; 各自进行相应的下不运算。
5． 计算|Up-u|<ep 的绝对值，判断是否停机 6． 如果小于规定误差，迭代终止； 7． 输出结果u 和迭代次数k8． 在块的迭代中调用了追赶法的求解子程序zg ，在SOR 设计了A 得自动生成子程序creat_matix.1122N N v b v b u f v b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4114114ii A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭11,12,1,121,22,2,21,2,,2211,12,1,121,22,2,221,2,,(,,...,),(,,...,),......,(,,...,)(,,...,)?,(,,...,)?,......,(,,...,)?1,999,0.10.011T T N N TN N N N N T T N N T N N N N N v u u u v u u u v u u u b h f f f b h f f f b h f f f h N h N ====+=+=+===+取或则或,2,,1,2,...,i j f i j N==1122NN A I I A A I IA -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭四、编写求解线性方程组Au=f的算法程序，用下列方法编程计算，并比较计算速度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
SOR 迭代
基本思想
Gauss-Seidel 迭代(1)
1()
(1)
()()
k k x D L U x
D L +--=-+-的结果作为中间值，记为
(1)
k x
+ 。
SOR 方法是将(1)
k x
+ 与上次计算的结果()
k x 做加权平均作为最后结果。
迭
代格式为：
1(1)
(1)
()()
1
1
1[](1),1,2i n
k k k k i
i ij j
ij j i
j j i ii
x b a x a x x i n
a ω
ω-++==+=-
-
+-=∑
∑
或者
1(1)
()
(1)
()
1
1[],1,2i n
k k k k i
i
i ij j
ij j j j i
ii
x x b a x a x i n
a ω
-++===+-
-
=∑
∑
算法： 1．
0,,,A b x t e ω输入迭代初值松弛参数，为迭代次数初始值为0,为记录误差
2． 当1,2i
n
= 时，1
1:[]n
i i i i j j j ii
x x b a x a ω
==
+-
∑
，结果仍然存储在i
x 中。
迭
代次数:1t t =+ 3．
计算误差*
e x x
=-（真解已知）
4．
如果6
510
e -<⨯，则已达到精确度要求，否则继续第2步
数值结果
04
10101
41,4,001
430A b x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--== ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
迭代初值，用Gauss 消去法求的其真解为
*
12112x ⎛⎫
⎪ ⎪=
⎪ ⎪- ⎪⎝
⎭
依次取1,1.03,1.1ω=，数值结果见下表
总结
从实验结果可以看出，当取松弛参数为1.03时只需五步就能达到所需精度。
附录（M文件）
function [t,x]=successiive_over_Rellaxatiion(A,b,x0,w,rx)
n=length(A);
x=x0; %% x0为迭代初值
e=norm(rx-x0,inf); %% rx为真解,e为误差
t=0; %% t为迭代次数
while e>5*10^(-6)
for i=1:n
temp=0;
for j=1:n
temp=temp+A(i,j)*x(j,1);
end
x(i,1)=x(i,1)+w*(b(i,1)-temp)/A(i,i);
end
e=norm(rx-x,inf);
t=t+1;
x
end。