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2014年全国高考理科数学试题及答案-全国卷

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2014年高考全国卷1理科数学试题及标准答案-(word版)

2014年高考全国卷1理科数学试题及标准答案-(word版)

2０14年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。

答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.３. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.4． 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：共12小题，每小题５分，共６0分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。

1． 已知集合A ＝｛x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x <2=,则A B ⋂= A .[-2,-1] B .[-1,２) C .[-1,1］ D ．[1，２)２. 32(1)(1)i i +-＝ A ．1i + B ．1i - C .1i -+ D .1i --3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R,且()f x 时奇函数,()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x ｜()g x 是奇函数C .()f x ｜()g x ｜是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4. 已知F 是双曲线C :223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A .3 B ．３ C .3m D .3m5. ４位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .78６． 如图,圆O 的半径为1，A 是圆上的定点,P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为７. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203B .165C .72D .1588. 设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-= B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+= 9． 不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题:1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P :(,),23x y D x y ∀∈+≤,4p :(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A ．2p ,3PB .1p ,4pC .1p ,2pD .1p ，3P10. 已知抛物线C :28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个焦点,若4FP FQ =,则||QF =A .72B .52C .３D .2 11. 已知函数()f x =3231ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0,则a 的取值范围为A .(２,＋∞)B ．(-∞，-2）C .(1，+∞）D .(-∞，-1)12． 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4第Ⅱ卷。

2014年全国统一高考数学试卷(理科)及答案

2014年全国统一高考数学试卷(理科)及答案

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•河南）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）2．（5分）（2014•河南）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数4．（5分）（2014•河南）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）（2014•河南）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）（2014•河南）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）（2014•河南）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）12．（5分）（2014•河南）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•河南）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为_________．（用数字填写答案）14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_________．15．（5分）（2014•河南）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为_________．16．（5分）（2014•河南）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为_________．三、解答题17．（12分）（2014•河南）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）（2014•河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）（2014•河南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•河南）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2014•河南）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．解答：解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）|g（x）|为奇函数，故选：C．点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．4．（5分）（2014•河南）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．解答：解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C 的一条渐近线的距离为=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）（2014•河南）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．解答：解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．点评：本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P 做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x 的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．解答：解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：概率与统计．分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．解答：解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）（2014•河南）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．解答：解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A，B后验证C，当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．点评：本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）（2014•河南）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3考点：命题的真假判断与应用．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．解答：解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，显然，区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故A：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；在直线x+2y=2的右上方区域，：∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；由图知，p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．解答：解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴直线PF的斜率为﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0）0f′（x）+0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→+∞，f（x）→+∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：0 （0，+∞）x（﹣∞，）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值=，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（5分）（2014•河南）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．解答：解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．点评：本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•河南）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．解答：解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：=8．含x2y6的系数是=28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20点评：本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．解答：解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．点评：本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）（2014•河南）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．解答：解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为临边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°点评：本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2014•河南）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．解答：解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得4﹣b2=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2014•河南）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．解答：（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n}为等差数列，设公差为d．则a n+2﹣a n=0，∴2d=0，解得d=0，∴a n=a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．解答：解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．解答：解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为点评：本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c．又，b2=a2﹣c2，即可解得a，b；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为，∴，解得c=．又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时，，．∴|PQ|===，点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3，∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，从而f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）（2014•河南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE 为等边三角形．解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．点评：本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．参与本试卷答题和审题的老师有：lincy；caoqz；wyz123；刘长柏；sxs123；wfy814；孙佑中；minqi5；清风慕竹；maths；qiss（排名不分先后）菁优网2014年6月23日。

2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案

2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案

2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x|x-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B=A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)2.(1+i)³/(1-i)²=A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)时奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数4.已知F是双曲线C：x-my=3m(m>0)的一个焦点，则点F 到C的一条渐近线的距离为A.3B.3mC.3D.3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率=A.1/3B.5/8C.7/8D.16.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x 的函数f(x)，则y=f(x)在[0,π]上的图像大致为图片无法显示)7.执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=图片无法显示)A.2016B.715C.35D.288.设α∈(0,π/2)，β∈(0,π/2)，且tanα=(1+sinβ)/cos²β，则3α-β=A.2α-βB.2α+βC.3α+βD.3α-β9.不等式组{x+y≥1，x-2y≤4}的解集记为D。

有下面四个命题：p1：对于任意的(x,y)∈D，有x+2y≥-2；p2：存在(x,y)∈D，使得x+2y≥2；p3：对于任意的(x,y)∈D，有x+2y≤3；p4：存在(x,y)∈D，使得x+2y≤-1.其中真命题是A.p2，p3B.p1，p4C.p1，p2D.p1，p310.已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若2FP=4FQ，则|QF|=A.7/5B.3C.√3D.21.已知函数$f(x)=ax-3x+1$，若$f(x)$存在唯一的零点$x$，且$x>0$，则$a$的取值范围为$\textbf{(C)}$（$1$，$+\infty$）。

2014年全国高考全国新课标I数学(理)试卷及答案【精校版】

2014年全国高考全国新课标I数学(理)试卷及答案【精校版】

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .B .3CD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18 B .38 C .58 D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203B .165C .72D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-= B .22παβ-= C .32παβ+= D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题： 1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一。

2014年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2014年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2014 年一般高等学校招生全国一致考试（全国Ⅰ）数学（理科）第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每题5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．（ 1）【 2014 年全国Ⅰ，理 1， 5 分】已知会集 Ax x 22x 30 ， Bx 2x 2，则AB =（）（A ） 2,1 （B ） 1,2 （C ）1,1 （D ） 1,2【答案】 A【剖析】∵ Ax x 22x 3 0x x1 或 x3 ， B x 2 x 2 ，∴ A B x 2 x 1 ，应选 A ．3（ 2）【 2014 年全国Ⅰ，理2，5 分】 1 i1 2i （A ）1i （ B ） 1 i （ C ） 1i （D ） 【答案】 D（）1 i【剖析】∵(1i) 32i(1 i)2 1 i ，应选 D ． (1 i) 2i（ 3）【 2014 年全国Ⅰ，理 3， 5 分】设函数 f x ， g x 的定义域为 R ，且 fx 是奇函数， g x 是偶函数，则以下结论中正确的选项是（）（ A ） f ( x) g (x) 是偶函数（ B ） f (x) g( x) 是奇函数（ C ） f ( x) | g( x) |是奇函数（ D ） | f (x)g ( x) | 是奇函数【答案】 C【剖析】∵ f x 是奇函数， g x 是偶函数，∴f (x) 为偶函数， g( x) 为偶函数．再依照两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 f (x) | g (x) | 为奇函数，应选 C ．（ 4）【 2014 年全国Ⅰ，理 4， 5 分】已知 F 是双曲线 C ： x 2my 23m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为（）（ A ） 3 （ B ） 3（C ） 3m （ D ） 3m 【答案】 A 【剖析】由 C ： x 2my 23m(m0) ，得 x 2y 2 1 ， c 2 3m 3,c3m 3，设 F3m 3,0 ，一条渐近线3m3y3my0 ，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离d3m33 ，应选 A ．x ，即 x1 m3m（ 5）【 2014 年全国Ⅰ，理 5， 5 分】 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（） （ A ） 1（B ） 3（C ）5（D ）78 8 88 【答案】 D【剖析】由题知 F 13,0 ， F 23,0 且x 02y 0 2 1，因此 MF 1 MF 23 x 0 , y 03 x 0 , y 02x 02 y 023 3y 021 0 ，解得3 y 0 3，应选 D ．3 3（ 6）【 2014 年全国Ⅰ，理 6，5 分】如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角x 的始边为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP的距离表示为 x 的函数 f (x) ，则 y f ( x) 在 0, 上的图像大体为（）（A ） （B ）（ C ）（D ）【答案】 B【剖析】如图：过 M 作 MDOP 于D ，则 PM sin x ， OMcos x ,在 Rt OMP 中，OM PMcos x sin x1 1 MDcos x sin x sin 2 x ，∴f xsin 2x (0 x ) ，OP122应选 B ．（ 7）【 2014 年全国Ⅰ，理 7， 5 分】执行以下列图的程序框图，若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3，则输出的M （）（ A ） 20（B ） 16（C ） 7 （D ） 1535 28【答案】 D【剖析】输入 a1, b 2, k 3 ； n 1时：M 11 3 , a 2,b 3 ；222n 2 时： M 228, a3,b8； n 3时： M3 3 15 , a 8,b 15 ；33 2328 8 38n 4 时：输出 M15，应选 D ．81sin（ 8）【 2014 年全国Ⅰ，理 8， 5分】设(0,) ， (0, ) ，且 tan，则（）cos22 （A ） 3（B ） 2（C ） 3 2 （D ） 2 2【答案】 B 22【剖析】∵ tansin 1 sin coscoscos sin， sincossin，coscos ，∴ sin222 ,0 2，∴2，即 2，应选 B ．22x y 1的解集记为 D ．有下面四个命题： p 1 ： ( x, y) D , x 2 y 2 ，（ 9【） 2014 年全国Ⅰ，理 9，5 分】不等式组2y 4 xp 2 ： (x, y) D, x 2 y 2 , P 3 ： ( x, y) D , x 2 y 3 ， p 4 ： (x, y)D , x 2 y 1 ．其中真命题是（）（ A ） p 2 ， p 3 （ B ） p 1 ， p 4 （C ） p 1 ， p 2 （ D ） p 1 ，p 3 【答案】 C【剖析】作出可行域如图： 设 x 2 y z ，即 y1x z，当直线过 A 2, 1 时，zmin2 2 0 ，2 2∴ z 0 ，∴命题 p 1 、 p 2 真命题，应选 C ．（ 10）【 2014 年全国Ⅰ，理 10，5 分】已知抛物线 C ： y 28x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP4FQ ，则 |QF |（）（ A ） 7 （B ） 5（C ）3（D ）22 2【答案】 C【剖析】过 Q 作 QMl 于 M ，∵ FPPQ 3 ，又QM PQ 3 3 ，4FQ ，∴44PF，∴ QMPF4由抛物线定义知 QF QM3，应选 C ．（ 11）【 2014 年全国Ⅰ，理 11，5 分】已知函数 fxax 3 3x 2 1 ，若 f ( x) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x 00 ，则 a的取值范围为（）（A ） 2,（B ）, 2 （C ） 1,（ D ）, 1【答案】 B【剖析】解法一：由已知 a0 ， f ( x)3ax 26 x ，令 f (x) 0 ，得 x 0 或 x2 ，a当 a0 时， x,0 , f (x) 0; x0,2, f ( x) 0; x2 , , f (x) 0 ；aa且 f (0) 10 ， f (x) 有小于零的零点，不吻合题意．当 a0 时， x2 0; x2 , f (x) 0; x0,, f (x),, f ( x) ,0aa要使 f (x) 有唯一的零点x 0 且 x 00 ，只需 2) 0 ，即 a2， a2 ，应选 B ．f ( 4a解法二：由已知 a0 ， f x ax33x21 有唯一的正零点，等价于a 3 1 13 有唯一的正零根，令 t1，则t 3t 3 x xx 问题又等价于 a3t 有唯一的正零根，即y a 与 y3t 有唯一的交点且交点在在 y 轴右侧记f (t )t 3 3t ， f (t)3t 2 3 ，由 f (t )0 ， t 1 ， t, 1 , f (t) 0;t1,1 , f (t )0; ，t 1,, f (t ) 0 ，要使 a33t 有唯一的正零根，只需 af ( 1)2 ，应选 B ．t （ 12）【 2014 年全国Ⅰ，理 12， 5 分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）（ A ） 6 2 （B ） 4 2 （C ）6（D ）4【答案】 C【剖析】以下列图，原几何体为三棱锥D ABC ，其中 ABBC 4,AC 4 2,DB DC 2 5，26 ，应选 C ．DA4 24 6 ，故最长的棱的长度为 DA第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（ 13）题 ~第（ 21）题为必考题，每个试题考生都必定作答．第（ 22）题 ~第（ 24）题为选考题，考生依照要求作答．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分（ 13）【 2014 年全国Ⅰ，理 13， 5 分】 (x y)( xy)8的张开式中 x 2 y 2 的系数为．（用数字填写答案）【答案】 20【剖析】 (x y)8 张开式的通项为T r 1 C 8r x 8 r y r (r0,1, ,8) ，∴ T 8C 87 xy 7 8xy 7 ， T 7 C 86 x 2 y 628x 2 y 6 ，∴ (xy)( x y)8 的张开式中 x 2 y 7 的项为 x 8 xy 7 y 28 x 2 y 6 20 x 2 y 7 ，故系数为20 ．（ 14）【 2014 年全国Ⅰ，理 14， 5 分】甲、乙、丙三位同学被问到可否去过 A 、 B 、 C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由 此可判断乙去过的城市为． 【答案】 AA 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B【剖析】由乙说：我没去过 C 城市，则乙可能去过 城市，则乙只能是去过 A ， B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的 城市为 A ． （ 15）【 2014 年全国Ⅰ，理 15，5 分】已知 A ， B ， C 是圆 O 上的三点，若 AO1(ABAC)，则 AB 与 AC 的2夹角为．【答案】 900【剖析】∵ AO 1 ( AB AC) ，∴ O 为线段 BC 中点，故 BC 为 O 的直径，∴BAC 900，∴ AB 与 AC 的夹2角为 90 0 ．a,b,c 分别为A,B,C 的对边， a（ 16 ）【 2014 年全国Ⅰ，理16， 5 分】已知ABC 的三个内角2 ，且(2 b )(sin AsinB ) c ( b ) sinC ，则 ABC 面积的最大值为．【答案】 3【剖析】由 a2且(2 b)(sin A sin B)(c b)sin C ，即 (a b)(sin A sin B) (cb)sin C ，由及正弦定理得：2221，∴(a b )(ab) (c b)c ，∴ b 2c 2 a 2bc ，故 cos Abc a A 600 ，∴ b 2c 2 4 bc ，12bc24 b 2 c 2 bcbc ，∴ S ABCbc sin A3 ． 2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（ 17）【 2014 年全国Ⅰ，理 17，12 分】已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 11 ， a n 0 ， a n a n 1S n 1，其中为常数．（ 1）证明： a n 2 a n；（ 2）可否存在 ，使得 a n 为等差数列？并说明原由．解：（ 1）由题设 a n a n 1S n 1 ， a n 1 a n 2S n 1 1，两式相减 a n 1an 2a na n 1 ，由于 a n0 ，因此 a n 2 a n．6分（ 2）由题设 a 1 1 ， a 1a 2S 1 1，可得 a 211，由（ 1）知 a 31假设 a n 为等差数列，则 a 1 ,a 2 ,a 3 成等差数列，∴ a 1 a 3 2a 2 ，解得4 ；证明4 时， a n 为等差数列：由 a n2a n 4 知：数列奇数项构成的数列a2 m 1是首项为 1，公差为4 的等差数列 a 2m14m 3 ，令 n 2m 1, 则 m n 1，∴ a n 2n 1 ( n 2m 1)2n ，数列偶数项构成的数列 a2m 是首项为 3，公差为 4 的等差数列 a 2m 4m 1 ，令 n 2m, 则 m ∴2 1 ，∴ （ * ），2a n n ( n 2m) a n2n 1 n n 1a n2N a因此，存在存在4 ，使得 a n 为等差数列．12 分（ 18）【 2014 年全国Ⅰ，理 18， 12 分】从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得以下频率分布直方图：（ 1）求这 500 件产质量量指标值的样本平均数x 和样本方差 s 2 （同一组数据用该区间的中点值作代表） ；（ 2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 遵从正态分布 N ( , 2 ) ，其中 近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 s 2 ．（ i ）利用该正态分布，求 P(187.8 Z 212.2) ；（ ii ）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示 100 件产品中质量指标值为区间（187.8,212.2 ）的产品件数，利用（ i ）的结果，求 EX ．附： 15012.2 ．若 Z N ( , 2) ，则 P(Z) 06826.，P(2Z2 ) =0.9544．解：（ 1）抽取产质量量指标值的样本平均数x 和样本方差 s 2 分别为：x 170 0.02 1800.09 1900.22 200 0.33 2100.24 220 0.08 2300.02 200s 230 220.0920.22 00.33 10220.08302150 ．0.0220100.24200.02 6 分（ 2）（ⅰ）由（1）知 Z N(200,150)，从而 P(187.8 Z212.2) P(200 12.2 Z200 12.2)0.6826． 9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为 0.6826依题意知 X B(100,0.6826)，因此 EX 100 0.6826 68.26 ．12 分（ 19）【 2014 年全国Ⅰ，理 19， 12 分】如图三棱柱ABC A 1 B 1C 1 中，侧面 BB 1C 1C 为菱形， ABB 1C ．（ 1）证明： AC AB 1 ；（ 2）若 ACAB 1 ，CBB 1 60 o， AB BC ，求二面角 A A 1B 1 C 1 的余弦值．解：（ 1）连结 BC 1 ，交 B 1C 于 O ，连结 AO ．由于侧面 1 1 为菱形， 因此 B 1CBC 1 ，BBC C且O 为 B 1C 与 BC 1 的中点．又 AB B 1C ，因此 B 1C 平面 ABO ，故 B 1 C AO又 B 1O CO ，故 AC AB 1 ． 6分（ 2）由于 AC AB 1 且 O 为 B 1C 的中点，因此 AOCO ，又由于 AB BC ，因此 BOABOC ，故 OA OB ，从而 OA ， OB ， OB 1 两两互相垂直． 以 O 为坐标原点， OB 的方向为 x 轴正方 向，OB 为单位长，建立以下列图空间直角坐标系O xyz ．由于CBB 1 600 ， 因此 CBB 1 为等边三角形． 又 ABBC ，则 A 0,0,3，B 1,0,0， 0,3 ，B 1,033C 0,3 ,0 ， AB 1 0, 3 , 3， A 1B 1 AB1,0,3 ，33 33B C1 BC1, 3 ,0 ，设 nx, y, z 是平面的法向量，则n AB 1，即13n A 1B 13y3 03zm A 1 B 13因此可取 n1, 3,3 ，设 m 是平面的法向量，则，同理可取3n B 1C 1xz 03m1,3, 3 ，则 cos n, mn m 1 ，因此二面角 AA 1B 1C 1 的余弦值为1．12分n m 77223，F 是（ 20）【 2014 年全国Ⅰ，理 20， 12 分】已知点 A 0, 2 ，椭圆 E ：xy 1(a b 0) 的离心率为a 2b 22椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为23， O 为坐标原点．（ 1）求 E 的方程；3（ 2）设过点 A 的直线 l 与 E 订交于 P,Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程．解：（ 1）设 F c,0 ，由条件知2 2 3，得 c 3 ，又c3 ，c 3a 2因此 a2 ， b2a2c21，故 E 的方程x 2y 21 ． 6分42（ 2）依题意当 lx 轴不合题意， 故设直线 l ：y kx 2 ，设 P x 1y, 1 Q, x y 2 , 2，将 y kx 2 代入xy 2 1 ，4得 14k 2x216kx12 0 ，当16(4 k23)0 ，即 k23时， x 1,2 8k 2 4 k 2 341 4k 2从而 PQk21 x 1x 24 k21 4k 23，又点 O 到直线 PQ 的距离 d2 ，因此 OPQ 的1 4k 2k 2 1 面积 S OPQ14 4k 2 3，设4k 23 t ，则 t0 ，S OPQ4t41 ，d PQ12t 2 4424ktt当且仅当 t2 ， k7等号建立，且满足0 ，因此当 OPQ 的面积最大时，l 的方程为：2y77x 2 或 yx 2 ．.12 分22be x 1（ 21）【 2014 年全国Ⅰ，理 21， 12 分】设函数 f xae x ln x，曲线 y f ( x) 在点 1, f 1 处的切线为xy e(x 1) 2 ．（ 1）求 a, b ；（ 2）证明： f ( x) 1．解：（ 1）函数 f (x) 的定义域为 0,，xa xb x 1 b x 1xex 2exef (x) ae ln x由题意可得 f (1)2, f (1) e ，故 a 1,b2 ． 6分x2e x 1 x2（ 2）由（ 1）知， f (x)ln x，从而 f ( x) 1 等价于 x ln x xex ln x ，则ex，设函数 g( x)eg (x) xln x ，因此当 x0, 1 时， g ( x) 0 ，当 x1 ,时， g (x) 0，故 g( x) 在 0,1单调减，eee在1,单调递加，从而 g( x) 在 0,的最小值为g( 1)1． 8分eee设函数 h(x)xex2，则 h (x) ex1 x，因此当 x0,1 时， h (x)0 ，当 x1,时， h ( x) 0 ，e故 h(x) 在 0,1 单调递加，在 1,单调递减，从而 h( x) g( x) 在 0,的最小值为 h(1)1 ． 综上：当 x0 时， g( x)h( x) ，即 f ( x) 1.12e分请考生在（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．若是多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡大将所选题号后的方框涂黑． ABCD 是（ 22）【 2014 年全国Ⅰ，理 22，10 分】（选修 4-1：几何证明选讲）如图，四边形O 的内接四边形， AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E ，且 CBCE ．（ 1）证明： D E ；（ 2）设 AD 不是O 的直径， AD 的中点为 M ，且 MBMC ，证明： ABC 为等边三角形．解：（ 1）由题设得， A ， B ， C ， D 四点共圆，因此， D CBE又 CB CE ， CBE E ，因此 D E5 分（ 2）设 BC 的中点为 N ，连结 MN ，则由 MB MC 知MN BC ，故 O 在直线 MN 上，又AD 不是 O 的直径， M 为 AD 的中点，故 OM AD ，即 MN AD ，因此 AD / /BC ，故 A CBE ，又 CBE E ，故 A E ，由（ 1）知， D E ，因此 ADE 为等边三角形．10 分2 2（ 23）【 2014 年全国Ⅰ，理 23，10 分】（选修 4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C :xy1 ，49直线 l : x 2 t （ t 为参数）．y 2 2t（ 1）写出曲线 C 的参数方程，直线l 的一般方程；（ 2）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A ，求 PA 的最大值与最小值．解：（ 1）曲线 C 的参数方程为x 2cos （为参数）直线 l 的一般方程为 2xy 60 ． 5分y3sin（ 2）曲线 C 上任意一点 P(2cos,3sin) 到 l 的距离为 d5| 4cos3sin6 |，5则|PA|d2 5 | 5sin() 6| ，其中为锐角，且 tan4 ，sin3053当 sin()1时， | PA | 获取最大值，最大值为2255当 sin() 1时， | PA | 获取最小值，最小值为 25 ．10 分50 且11（ 24）【 2014 年全国Ⅰ，理 24， 10 分】（选修 4-5：不等式选讲）若 a0 ， bab ．（ 1）求 a 3 b 3 的最小值；ab（ 2）可否存在 a, b ，使得 2a 3b 6？并说明原由．解：（ 1）由 ab 1 1 2，得 ab 2 ，且当 a b 2 时等号建立．a bab故 a 3 b 32 a3 b 34 2 ，且当 a b 2 时等号建立，因此a 3b 3 的最小值为 4 2 ．5分（ 2）由（ 1）知， 2a 3b 2 6 ab 4 3，由于 4 3 6 ，从而不存在 a,b ，使得 2a 3b 6 ．10 分。

2014年高考真题(课标全国Ⅰ)数学(理科) 附答案

2014年高考真题(课标全国Ⅰ)数学(理科) 附答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国Ⅰ)数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014课标全国Ⅰ,理1)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=().A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)答案:A解析:由已知,可得A={x|x≥3或x≤-1},则A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1].故选A.2.(2014课标全国Ⅰ,理2)=().-A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案:D解析:=-1-i.故选D.---3.(2014课标全国Ⅰ,理3)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是().A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案:C解析:由题意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于A选项,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),f(x)g(x)为奇函数,故A错误;对于B选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)为偶函数,故B错误;对于C选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,f(x)|g(x)|为奇函数,故C正确;对于D选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x)·g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.4.(2014课标全国Ⅰ,理4)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为().A.B.3C.m D.3m答案:A解析:由题意,可得双曲线C为=1,则双曲线的半焦距c=.不妨取右焦点(,0),其渐近线方程为y=±x,即x±y=0.所以由点到直线的距离公式得d=.故选A.5.(2014课标全国Ⅰ,理5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为().A.B.C.D.答案:D解析:(方法一)由题意知基本事件总数为24=16,对4名同学平均分组共有=3(种),对4名同学按1,3分组共有种,所以周六、周日都有同学参加共有3×=14(种).由古典概型得所求概率为.(方法二)周六没有同学参加公益活动即4位同学均在周日参加公益活动,此时只有一种情况;同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况,所以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有16-2=14(种).故所求概率为.故选D.6.(2014课标全国Ⅰ,理6)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图像大致为().答案:C解析:由题意|OM|=|cos x|,f(x)=|OM||sin x|=|sin x cos x|=|sin2x|,由此可知C正确.7.(2014课标全国Ⅰ,理7)执行右面的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=().A.B.C.D.答案:D解析:当a=1,b=2,k=3,n=1时,1≤3,M=1+,a=2,b=,n=2;2≤3,M=2+,a=,b=,n=3;3≤3,M=,a=,b=,n=4;4>3,程序结束,输出M=.8.(2014课标全国Ⅰ,理8)设α∈,β∈,且tanα=,则().A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=答案:C解析:由已知,得,∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ.∴sinαcosβ-cosαsinβ=cosα.∴sin(α-β)=cosα,∴sin(α-β)=sin-.∵α∈,β∈,∴-<α-β<,0<-α<,∴α-β=-α,∴2α-β=.故选C.的解集记为D,有下面四个命题:9.(2014课标全国Ⅰ,理9)不等式组-p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1,其中的真命题是().A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3答案:B解析:画出可行域如图阴影部分所示.作直线l0:y=-x,平移l0,当直线经过A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2为真.p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2为真.故选B.10.(2014课标全国Ⅰ,理10)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=().A.B.3C.D.2答案:B解析:如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=4.过Q作QH⊥l于H,则|QH|=|QF|.由题意,得△PHQ∽△PMF,则有,∴|HQ|=3.∴|QF|=3.11.(2014课标全国Ⅰ,理11)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是().A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)答案:C解析:当a=0时,显然f(x)有2个零点,不符合题意;当a>0时,f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),易知函数f(x)在(-∞,0)上单调递增.又f(0)=1,当x→-∞时,f(x)=x2(ax-3)+1→-∞,故不适合题意;当a<0时,f(x)在-∞上单调递减,在上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,只需f>0就满足题意.由f>0,得+1>0,解得a<-2或a>2(舍去).故a<-2.12.(2014课标全国Ⅰ,理12)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为().A.6B.6C.4D.4答案:B解析:如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4.取B1B的中点G,即三棱锥G-CC1D1为满足要求的几何体,其中最长棱为D1G,D1G==6.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014课标全国Ⅰ,理13)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)答案:-20解析:(x+y)8的通项公式为T r+1=x8-r y r(r=0,1,…,8,r∈Z).当r=7时,T8=xy7=8xy7,当r=6时,T7=x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.14.(2014课标全国Ⅰ,理14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案:A解析:根据甲、乙、丙说的可列表得15.(2014课标全国Ⅰ,理15)已知A,B,C为圆O上的三点,若),则与的夹角为. 答案:90°解析:由)可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即∠BAC=90°,故与的夹角为90°.16.(2014课标全国Ⅰ,理16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.答案:解析:由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=-.∴sin A=.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.∴S△ABC=bc·sin A≤,即(S△ABC)max=.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅰ,理17)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.分析:(1)已知数列{a n}的前n项和S n与相邻两项a n,a n+1间的递推关系式a n a n+1=λS n-1,要证a n+2-a n=λ,故考虑利用a n+1=S n+1-S n消去S n进行证明.(2)若{a n}为等差数列,则有2a2=a1+a3,故可由此求出λ,进而由a n+2-a n=4验证{a n}是否为等差数列即可.解:(1)由题设,a n a n+1=λS n-1,a n+1a n+2=λS n+1-1,两式相减,得a n+1(a n+2-a n)=λa n+1.由于a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故a n+2-a n=4.由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.因此存在λ=4,使得数列{a n}为等差数列.18.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅰ,理18)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求E(X).附:≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.分析:(1)利用=x1p1+x2p2+…+x n p n求,利用s2=(x1-)2p1+(x2-)2p2+…+(x n-)2p n,求s2.(2)①由(1)可知μ,σ2,则N(μ,σ2)可知.将P(187.8<Z<212.2)进行转化,利用3σ原则求解.②由①可知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为p,则100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数X服从二项分布B(100,p),则由E(X)=100p可求E(X).解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826.②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.6826),所以E(X)=100×0.6826=68.26.19.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅰ,理19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(1)证明:AC=AB1;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.分析:(1)因为侧面BB1C1C为菱形,故考虑利用菱形的性质:对角线互相垂直平分,故连接BC1,不妨设其交B1C于点O,则O为B1C的中点,要证AC=AB1,故只需证B1C⊥AO.又B1C⊥AB,故考虑通过证B1C⊥平面ABO来达到目的.(2)利用空间直角坐标系求解,由(1)知B1O⊥AO,B1O⊥BO.故考虑以O点为坐标原点,以的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系,但需证明OB⊥OA,然后分别求出平面AA1B1和平面A1B1C1的法向量n,m,最后利用cos<n,m>=·求出二面角A-A1B1-C1的余弦值.解:(1)连接BC1,交B1C于点O,连接AO,因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1,且O为B1C及BC1的中点.又AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO,故B1C⊥AO.又B1O=CO,故AC=AB1.(2)因为AC⊥AB1,且O为B1C的中点,所以AO=CO.又因为AB=BC,所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB,从而OA,OB,OB1两两互相垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形.又AB=BC,则A,B(1,0,0),B1,C-----.设n=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,则··即所以可取n=(1,.设m是平面A1B1C1的法向量,则··同理可取m=(1,-).则cos<n,m>=·.所以二面角A-A1B1-C1的余弦值为.20.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅰ,理20)已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.分析:(1)由过A(0,-2),F(c,0)的直线AF的斜率为或过两点的直线斜率公式可求c,再由e=,可求a,由b2=a2-c2可求b2,则椭圆E的方程可求.(2)由题意知动直线l的斜率存在,故可设其斜率为k,写出直线方程,并与椭圆方程联立,消去y,整理成关于x 的一元二次方程,利用弦长公式求出弦PQ的长|PQ|,利用点到直线的公式求出点O到直线PQ的距离d,则由S△OPQ=|PQ|·d,可将S△OPQ表示成关于k的函数,转化为求函数f(k)的最大值问题.注意k应使得一元二次方程的判别式大于0.解:(1)设F(c,0),由条件知,,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=-.从而|PQ|=|x1-x2|=·-.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=-.设-=t,则t>0,S△OPQ=.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0.所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.21.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅰ,理21)设函数f(x)=a e x ln x+-,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)>1.分析:(1)由已知可得f(1)=e(1-1)+2=2,切线斜率k=e=f'(1),由此可求出a,b.(2)由(1)可求f(x),结合不等式的特点将之转化为g(x)>h(x)的形式,通过比较g(x)的最小值与h(x)的最大值进行证明.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a e x ln x+e x-e x-1+e x-1.由题意可得f(1)=2,f'(1)=e.故a=1,b=2.(2)由(1)知,f(x)=e x ln x+e x-1,从而f(x)>1等价于x ln x>x e-x-.设函数g(x)=x ln x,则g'(x)=1+ln x.所以当x∈时,g'(x)<0;当x∈∞时,g'(x)>0.故g(x)在单调递减,在∞单调递增,从而g(x)在(0,+∞)的最小值为g=-.设函数h(x)=x e-x-,则h'(x)=e-x(1-x).所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减,从而h(x)在(0,+∞)的最大值为h(1)=-.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.请考生在第22,23,24题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)(2014课标全国Ⅰ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(1)证明:∠D=∠E;(2)设AD不是☉O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.分析:(1)由CB=CE可得∠CBE=∠E,要证∠D=∠E,故只需证∠CBE=∠D,利用圆内接四边形的一个外角等于它的内对角可证.(2)由(1)知∠D=∠E,要证△ADE为等边三角形,只需证∠A=∠E,又因为∠CBE=∠E,故只需证∠A=∠CBE,只需证AD∥BC,因为已知MB=MC,故考虑利用等腰三角形的三线合一的性质.故取BC的中点N,连接MN,则MN⊥BC,通过证明MN⊥AD来达到证明AD∥BC的目的.解:(1)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.(2)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上.又AD不是☉O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,即MN⊥AD.所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.又∠CBE=∠E,故∠A=∠E.由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE为等边三角形.23.(本小题满分10分)(2014课标全国Ⅰ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C:=1,直线l:-(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.分析:(1)利用椭圆=1(a>0,b>0)的参数方程为(θ为参数),写出曲线C的参数方程.消去直线l的参数方程中的参数t可得直线l的普通方程.(2)设出点P的坐标的参数形式.求出点P到直线l的距离d,则|PA|=.转化为求关于θ的三角函数的最值问题,利用辅助角公式a sinθ+b cosθ=sin(θ+φ)求解.解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=|4cosθ+3sinθ-6|,则|PA|=|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.24.(本小题满分10分)(2014课标全国Ⅰ,理24)选修4—5:不等式选讲若a>0,b>0,且.(1)求a3+b3的最小值;。

2014年高考理科数学试题及答案全国卷i

2014年高考理科数学试题及答案全国卷i

2014年高考理科数学试题及答案全国卷i 2014年高考理科数学试题及答案全国卷I一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

1. 若函数f(x)=x^2+bx+c，且f(1)=0，则b的值为：A. 1B. -1C. 2D. -22. 已知向量a=(3,2)，向量b=(-1,2)，向量a与向量b的点积为：A. 4B. 5C. 6D. 73. 若直线l的方程为y=kx+b，且直线l与x轴交于点(2,0)，与y轴交于点(0,3)，则k的值为：A. 3/2B. -3/2C. 2/3D. -2/34. 已知等差数列{an}的首项为1，公差为2，求该数列的前10项和S10：A. 100B. 105C. 110D. 1155. 若复数z满足|z|=1，且z的实部为1/2，则z的虚部为：A. √3/2B. -√3/2C. √3/2iD. -√3/2i6. 已知函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)：A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^2+37. 若双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，且双曲线C的渐近线方程为y=±(√3/3)x，则a与b的关系为：A. a=bB. a=√3bC. b=√3aD. b=3a8. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数f(x)的最小值：A. -1B. 0C. 1D. 49. 若圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=9，求圆C的圆心坐标和半径：A. 圆心(1,2)，半径3B. 圆心(2,1)，半径3C. 圆心(1,2)，半径√9D. 圆心(2,1)，半径√910. 已知正方体的棱长为a，求正方体的表面积：A. 6a^2B. 12a^2C. 24a^2D. 36a^211. 若函数f(x)=ln(x+√(x^2+1))，求f'(x)：A. 1/(x+√(x^2+1))B. 1/(x-√(x^2+1))C. 1/(2x+2√(x^2+1))D. 1/(2x-2√(x^2+1))12. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求函数f(x)的零点：A. 2和4B. 1和5C. 3和3D. 4和2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2014年高考全国卷1理科数学试题及答案-(word版)

2014年高考全国卷1理科数学试题及答案-(word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12 小题，每小题 5 分，共60 分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={ x| 2 2 3 0x x } ，B={ x| －2≤x＜2＝，则 A B =A .[-2,-1]B .[-1,2 ）C .[-1,1]D .[1,2）3 (1 i)2. =2(1 i)A .1 iB .1 iC . 1 iD . 1 i3. 设函数 f (x) ，g( x) 的定义域都为R，且 f ( x) 时奇函数，g( x) 是偶函数，则下列结论正确的是A . f (x) g( x) 是偶函数B .| f (x) |g(x) 是奇函数C . f (x) | g( x) |是奇函数D .| f ( x) g( x) |是奇函数4. 已知F 是双曲线 C ： 2 2 3 ( 0)x my m m 的一个焦点，则点 F 到C 的一条渐近线的距离为A . 3B .3C . 3mD . 3m5. 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A . 18B .38C .58D .786. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x的函数 f ( x) ，则y = f (x) 在[0, ] 上的图像大致为5. 执行下图的程序框图，若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3，则输出的 M =A .20 3B .165C .7 215 8D .6. 设(0, ) 2 ，(0, ) 2，且tan 1 sin cos，则A .3B . 222C .3D . 22 27. 不等式组xy 1 x 2y 4的解集记为 D .有下面四个命题：p ： (x, y) D, x 2y2 ， p 2 ： ( x, y) D ,x 2y 2 ,1P ： (x, y) D, x 2y 3 ， 3p ： (x, y) D ,x 2y1 .4其中真命题是A . p 2 ， PB . 3p ， p 4C . 1 p ， p 2D . 1p ， 1P38. 已知抛物线 C ：28yx 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与C 的一个焦点，若F P 4FQ ，则 | QF |=A .7 2B .5 2C .3D .29. 已知函数 f (x) =33 2 1 axx ，若 f ( x) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x 0 ＞0，则 a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .6 2B .4 2C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2014年高考全国卷1理科数学试题及答案-(word版)2014年高考全国卷1理科数学试题及答案-(

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2014年普通高等学校招生全国统一考试一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2）2. 32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x |()g x 是奇函数 C .()f x |()g x |是奇函数 D .|()f x ()g x |是奇函数4. 已知F 是双曲线C ：223(0)x m y m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A .3 B .3 C .3m D .3m5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18 B .38 C .58 D .786. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线O A ，终边为射线O P ，过点P 作直线O A 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线O P 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588. 设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1s in ta n c o s βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9. 不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x yD x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x yD x y ∃∈+≤-. 其中真命题是 A .2p ，3P B .1p ，4p C .1p ，2p D .1p ，3P10. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4F P F Q=，则||QF =A .72 B .52C .3D .211. 已知函数()f x =3231a x x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为 A .（2，+∞） B .（-∞，-2） C .（1，+∞） D .（-∞，-1）12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .62 B .42 C .6 D .4二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

2014年高考真题(理科数学)全国卷 纯Word版解析可编辑

2014年高考真题(理科数学)全国卷 纯Word版解析可编辑

2014·全国卷(理科数学)1．[2014·全国卷] 设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i 1．D [解析] z ＝10i 3＋i ＝10i （3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝10（1＋3i ）10＝1＋3i ，根据共轭复数的定义，其共轭复数是1－3i.2．、[2014·全国卷] 设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0]2．B [解析] 因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝{x |－1<x <4}∩{0≤x ≤5}＝{x |0≤x <4}．3．[2014·全国卷] 设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b3．C [解析] 因为b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b ＞a .因为cos 35°<1，所以1cos 35°>1，所以sin 35°cos 35°>sin 35°.又c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°，所以c >b ，所以c >b >a .4．[2014·全国卷] 若向量a ，b 满足：|a|＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.224．B [解析] 因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝0，即|a|2＋b·a ＝0.因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即2a·b ＋|b|2＝0，与|a|2＋b·a ＝0联立，可得2|a|2－|b|2＝0，所以|b|＝2|a|＝ 2. 5．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种5．C [解析] 由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有C 26C 15＝75(种)．6．[2014·全国卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 6．A [解析] 根据题意，因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c a ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.7．[2014·全国卷] 曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2 D ．17．C [解析] 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线斜率是2.8．、[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π48．A [解析] 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE ＝12AC ＝ 2.设球心为O ，球的半径为R ，则OE ＝4－R ，OA ＝R ，又知△AOE 为直角三角形，根据勾股定理可得，OA 2＝OE 2＋AE 2，即R 2＝(4－R )2＋2，解得R ＝94，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4. 9．[2014·全国卷] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13C.24D.239．A [解析] 根据题意，|F 1A |－|F 2A |＝2a ，因为|F 1A |＝2|F 2A |，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a .又因为双曲线的离心率e ＝ca ＝2，所以c ＝2a ，|F 1F 2|＝2c ＝4a ，所以在△AF 1F 2中，根据余弦定理可得cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F 2A |2－|F 1A |22|F 1F 2|·|F 2A |＝16a 2＋4a 2－16a 22×4a ×2a＝14. 10．[2014·全国卷] 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．310．C [解析] 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，根据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝16125，q ＝52，所以a n ＝a 1qn －1＝16125×⎝⎛⎭⎫52n －1＝2×⎝⎛⎭⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝⎛⎭⎫4×52＝4. 11．[2014·全国卷] 已知二面角α-l -β为60°，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，∠ACD ＝135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A.14B.24C.34D.1211．B [解析] 如图所示，在平面α内过点C 作CF ∥AB ，过点F 作FE ⊥β，垂足为点E ，连接CE ，则CE ⊥l ，所以∠ECF ＝60°.过点E 作DE ⊥CE ，交CD 于点D 1，连接FD 1.不妨设FC ＝2a ，则CE ＝a ，EF ＝3a .因为∠ACD ＝135°，所以∠DCE ＝45°，所以，在Rt △DCE 中，D 1E ＝CE ＝a ，CD 1＝2a ，∴FD 1＝2a ，∴cos ∠DCF ＝4a 2＋2a 2－4a 22×2a ×2a＝24.12．[2014·全国卷] 函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＋y ＝0对称，则y ＝f (x )的反函数是( )A ．y ＝g (x )B ．y ＝g (－x )C ．y ＝－g (x )D ．y ＝－g (－x )12．D [解析] 设(x 0，y 0)为函数y ＝f (x )的图像上任意一点，其关于直线x ＋y ＝0的对称点为(－y 0，－x 0)．根据题意，点(－y 0，－x 0)在函数y ＝g (x )的图像上，又点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为(y 0，x 0)，且(y 0，x 0)与(－y 0，－x 0)关于原点对称，所以函数y ＝f (x )的反函数的图像与函数y ＝g (x )的图像关于原点对称，所以－y ＝g (－x )，即y ＝－g (－x )．13．[2014·全国卷] ⎝⎛⎭⎫x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答) 13．70 [解析] 易知二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x y 8－r ⎝⎛⎭⎫－y x r＝(－1)r C r 8x 8－3r 2y 3r 2－4.要求x 2y 2的系数，需满足8－3r 2＝2且3r 2－4＝2，解得r ＝4，所以T 5＝(－1)4C 48x 2y 2＝70x 2y 2，所以x 2y 2的系数为70.14．[2014·全国卷] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．14．5 [解析] 如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC 的内部(包括边界), z ＝x ＋4y 的最大值即为直线y ＝－14x ＋14z 的纵截距最大时z 的值．结合题意，当y ＝－14x ＋14z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋2y ＝3，可得点A 的坐标为(1，1)， 所以z max ＝1＋4＝5. 15．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．15.43 [解析] 如图所示，根据题意，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43， 即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.16．、[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．16．(－∞，2] [解析] f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，令sin x ＝t ，则f (x )＝－2t 2＋at ＋1.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.因为f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，又对称轴为x ＝a 4，∴a 4≤12，所以a ∈(－∞，2]．17．[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .17．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C .因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 18．、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0， 解得－103≤d ≤－52，因此d ＝－3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）.19．、[2014·全国卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B;(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 ­ AB ­ C 的大小．19．解：方法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1. 作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即A 1E ＝ 3.因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，所以A 1D ＝A 1E ＝ 3.作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1 ­ AB ­ C 的平面角．由AD ＝AA 21－A 1D 2＝1，得D 为AC 中点，DF ＝55，tan ∠A 1FD ＝A 1D DF ＝15，所以cos ∠A 1FD ＝14. 所以二面角A 1 ­ AB ­ C 的大小为arccos 14.方法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C - xyz .由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．(1)证明：设A 1(a ，0，c )．由题设有a ≤2，A (2，0，0)，B (0，1，0)，则AB →＝(－2，1，0)，AC →＝(－2，0，0)，AA 1→＝(a －2，0，c )，AC 1→＝AC →＋AA 1→＝(a －4，0，c )，BA 1→＝(a ，－1，c )．由|AA 1→|＝2，得（a －2）2＋c 2＝2，即a 2－4a ＋c 2＝0.①又AC 1→·BA 1→＝a 2－4a ＋c 2＝0，所以AC 1⊥A 1B .(2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则m ⊥CB →，m ⊥BB 1→，即m ·CB →＝0，m ·BB 1→＝0.因为CB →＝(0，1，0)，BB 1→＝AA 1→＝(a －2，0，c )，所以y ＝0且(a －2)x ＋cz ＝0.令x ＝c ，则z ＝2－a ，所以m ＝(c ，0，2－a )，故点A 到平面BCC 1B 1的距离为|CA →|·|cos 〈m ，CA →〉|＝|CA →·m ||m |＝2c c 2＋（2－a ）2＝c .又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3，所以c ＝3，代入①，解得a ＝3(舍去)或a ＝1， 于是AA 1→＝(－1，0，3)．设平面ABA 1的法向量n ＝(p ，q ，r )， 则n ⊥AA 1→，n ⊥AB →，即n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，－p ＋3r ＝0，且－2p ＋q ＝0.令p ＝3，则q ＝2 3，r ＝1，所以n ＝(3，2 3，1)． 又p ＝(0，0，1)为平面ABC 的法向量，故 cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝14.所以二面角A 1 ­ AB ­ C 的大小为arccos 14.20．、[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．20．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2， 所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝ P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝ 0．31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C ) ＝P (B )P (A 0)P (C )＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以 EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.21．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．21．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)． 又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ， |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2＋⎝⎛⎭⎫2m 2＋22＝ 4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 22．、[2014·全国卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2.22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数； 若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数.(iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数； 若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0， 所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数． 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2xx ＋2(x >0)．又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)是减函数． 当x ∈(0，3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋1)<3xx ＋3(0<x <3)．下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2.(i)当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立．(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ⎝⎛⎭⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n＝k＋1时，有2k＋3<a k＋1≤3k＋3，结论成立．根据(i)(ii)知对任何n∈N*结论都成立．。

2014年全国高考数学(理科)试题及答案-新课标1卷(解析版)

2014年全国高考数学(理科)试题及答案-新课标1卷(解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）【答案】：A【解析】：∵A={x |2230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或，B={}22x x -≤<， ∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A..2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --【答案】：D【解析】：∵32(1)(1)i i +-=2(1)12i i i i+=---，选D..3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【答案】：C【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m【答案】：A【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+=设)F，一条渐近线y x =，即0x =，则点F 到C 的一条渐近线的距离d = A. .5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .78【答案】：D【解析】：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有246C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168+=；或间接解法：4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选D.6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为【答案】：B【解析】：如图：过M 作M D ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM=cos x ,在Rt OMP ∆中，MD=cos sin 1x xOM PM OP =cos sin x x = 1sin 22x =，∴()f x 1sin 2(0)2x x π=≤≤，选B. .7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .158【答案】：D【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M = . 选D.8.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】：Ｂ【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 【答案】：C【解析】：过Q 作Q M ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ =∴34PQ PF=，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM == 选C11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）【答案】：B【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。

2014年全国高考-全国卷理科数学试题及答案

2014年全国高考-全国卷理科数学试题及答案

2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设103i zi，则z 的共轭复数为（）A ．13iB ．13i C ．13i D ．13i2. 设集合2{|340}M x xx ，{|05}Nx x ，则MN（）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)D ．(1,0]3. 设0sin 33a，0cos55b ，0tan 35c，则（）A ．a bcB ．bc a C ．cb a D ．ca b4. 若向量,a b 满足：||1a ，()a b a ，(2)a b b ，则||b （）A ．2B ．2C ．1D ．225. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6. 已知椭圆C ：22221x y ab(0)a b 的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B 的周长为43，则C 的方程为（）A ．22132xyB ．2213xyC ．221128xyD ．221124xy7. 曲线1x y xe 在点（1,1）处切线的斜率等于（）A ．2eB ．eC ．2D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．814B ．16C ．9D ．2749. 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A ，则21cos AF F （）A ．14B ．13C ．24D ．2310. 等比数列{}n a 中，452,5a a ，则数列{lg }n a 的前8项和等于（）A ．6B ．5C ．4D ．311. 已知二面角l为060，AB ，AB l ，A 为垂足，CD，C l ，0135ACD，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．14B ．24C ．34D ．1212. 函数()yf x 的图象与函数()yg x 的图象关于直线0xy对称，则()yf x 的反函数是（）A ．()yg x B ．()y g x C ．()y g x D ．()y g x 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8()x y yx的展开式中22x y 的系数为.14. 设x 、y 满足约束条件02321xy xyx y，则4z xy 的最大值为.15．直线1l 和2l 是圆222xy的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于.16. 若函数()cos 2sin f x x a x 在区间(,)62是减函数，则a 的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a Cc A ，1tan 3A，求B.18.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a ，2a 为整数，且4n S S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11nn nb a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABCA B C 中，点1A 在平面ABC内的射影D 在AC 上，090ACB，11,2BC ACCC . （1）证明：11AC A B ；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A ABC 的大小.20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p 的焦点为F ，直线4y 与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ .（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程.22. （本小题满分12分）函数()ln(1)(1)ax f x x a xa.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设111,ln(1)nn a a a ，证明：23+22na n n.参考答案一、选择题：1. D2.B3.C4.B5.C6.A7.C8.A9.A10.C11.B12.D二、填空题：13. 70 14. 5 15.4316.(,2]三、解答题：17.（本小题满分10分）解：由题设和正弦定理得3sin cos 2sin cos A C C A故3tan cos 2sin A CC因为1tan 3A ，所以cos 2sin CC即1tan 2C……………………………6分所以tan tan[180()]B AC tan()A C tan tan tan tan 1A CA C ……………8分1即135B ………………………………10分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由110a ，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数又4nS S ，故450,0a a 即1030,1040d d 解得10532d因此3d数列{}n a 的通项公式为133na n …………………………………6分（Ⅱ）1111()(133)(103)3103133nb n n nn………………………8分于是12...n nT b b b 1111111[()()...()]371047103133nn 111()310310n 10(103)n n ……………….12分19.（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）因为1A D平面1,ABC A D平面11AAC C ，故平面11AAC C平面ABC ，又BCAC ，所以BC平面11AAC C ，……………3分连结1AC ，因为侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC 由三垂线定理得11AC A B ………5分（Ⅱ）BC平面11,AAC C BC平面11BCC B ，故平面11AAC C 平面11BCC B 作11,A ECC E 为垂足，则1A E 平面11BCC B 又直线1//AA 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，13A E因为1AC 为1ACC 的平分线，故113A D A E………………8分作,DF AB F 为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A FAB ，故1A FD 为二面角1A ABC 的平面角由22111ADAA A D得D 为AC 中点，1525AC BC DFAB ，11tan 15A D A FDDF所以二面角1A ABC 的大小为arctan 15………………12分解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz ，由题设知1A D 与z 轴平行，x 轴在平面11AAC C 内（Ⅰ）设1(,0,)A a c ，由题设有2a，(2,0,0)A ，(0,1,0)B ，则(2,1,0)AB ，(2,0,0)AC ，1(2,0,)AA a c ，11(4,0,)AC ACAA a c ，1(,1,)BA a c ………………2分由1||2AA 得22(2)2a c，即2240aac①于是221140AC BA aa c，所以11AC A B ………………………5分（Ⅱ）设平面11BCC B 的法向量(,,)mx y z ，则1,m CB mBB ，即0m CB，1m BB 因为(0,1,0)CB，11(2,0,)BB AA a c ，故0y ，且(2)0a x cz 令x c ，则2za ，(,0,2)mc a ，点A 到平面11BCC B 的距离为22||2|||cos,|||(2)CA m c CA m CA cm ca 又依题设，A 到平面11BCC B 的距离为3，所以3c 代入①解得3a （舍去）或1a………………………………………8分于是1(1,0,3)AA 设平面1ABA 的法向量(,,)n p q r ，则1,nAA n AB ，即10n AA ，0n AB ，30pr且20pq，令3p ，则23q ，1r ，(3,23,1)n ，又(0,0,1)p为平面ABC 的法向量，故。

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题目：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45 6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f （x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题目：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M 是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题目：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=3，y1y2=﹣．∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=×|y1﹣y2|==×=．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题目：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．∴对n∈N+时，++…+＜．【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M 是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1] 2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β= 9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3 10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．﹣a n=λ（Ⅰ）证明：a n+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y ≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n﹣a n=λ+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n（a n+2﹣a n）=λa n+1+1≠0，∵a n+1∴a n﹣a n=λ．+2（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，则λ=a n+2∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5H：空间向量及应用．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C ⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g （x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．【专题】15：综合题；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．【考点】RI：平均值不等式．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。

2014年高考新课标1全国卷理科数学试题及答案

2014年高考新课标1全国卷理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标1理科数学 第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1。

已知集合2{|230}A x x x =--，{|22}B x x =-<，则A B ⋂=（ ）.A 。

[]2,1--B 。

[)1,2-C 。

[]1,1-D 。

[)1,22。

32(1)(1)i i +=-（ ）. A .1i + B .1i - C 。

1i -+ D 。

1i --3。

设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）。

A .()()f x g x 是偶函数B 。

()()f x g x 是奇函数C 。

()()g x f x 是奇函数D 。

()()f x g x 是奇函数4。

已知F 是双曲线C :223(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ）.A 。

3B .3C .3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率( ）.A .18B .38C 。

58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为( ).7。

执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2，3，则输出的M =( ）。

A .203 B . 72 C . 165 D 。

1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=,则（ ）. A 。

32παβ-=B . 32παβ+=C 。

22παβ-=D 。

22παβ+=9。

不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-， 2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥， 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤, 4p :(,),21x y D x y ∃∈+≤-。

2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—新课标Ⅱ卷

2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—新课标Ⅱ卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标卷Ⅱ）第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合0,1,2M =｛｝，2{|320}N x x x =-+≤，则M N =( )A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}2．设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）A ．5-B ．5C ．4i -+D ．4i -- 3．设向量,a b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=( )A ．1B ．2C ．3D ．54．钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC ，则AC =( )A ．5B ．2 D ．15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是075．，连续两天优良的概率是06．，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A ．08．B ．075．C ．06．D ．045． 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A ．1727 B ． 59 C ． 1027D ． 13 7．执行右图程序框图，如果输入的,x t 均为2，则输出的S =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．设,x y 满足约束条件70,310,350.x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．3D ．210．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（ ）A C ．6332 D ．9411．直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M N ,分别是1111A B AC ,的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A ．110 B ．25 C12．设函数()xf x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ）A ．()(),66,-∞-⋃∞B ．()(),44,-∞-⋃∞C ．()(),22,-∞-⋃∞D ．()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题13．10()x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________．(用数字填写答案) 14．函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________．15．已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f =．若(1)0f x ->，则x 的取值范围是______．16．设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是____．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+．（Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1211132n a a a +++<． 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面 ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB AEC ∥平面；（Ⅱ）设二面角D AE C --为60°，1AP = ，AD =，求三棱锥E ACD - 的体积．19． （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆa y bt=- 20．（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆22221x y a b+= （0a b >> ）的左右焦点，M 是C上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b ． 21．（本小题满分12分）已知函数()2x x f x e e x -=--。

2014年全国统一高考数学试卷及解析(理科)(大纲版)

2014年全国统一高考数学试卷及解析(理科)(大纲版)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1、（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A、﹣1+3iB、﹣1﹣3iC、1+3iD、1﹣3i2、（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A、（0，4]B、[0，4）C、[﹣1，0）D、（﹣1，0]3、（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A、a＞b＞cB、b＞c＞aC、c＞b＞aD、c＞a＞b4、（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A、2B、C、1D、5、（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A、60种B、70种C、75种D、150种6、（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A、+=1B、+y2=1C、+=1D、+=17、（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A、2eB、eC、2D、18、（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A、B、16πC、9πD、9、（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A、B、C、D、10、（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A、6B、5C、4D、311、（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A、B、C、D、12、（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）A、y=g（x）B、y=g（﹣x）C、y=﹣g（x）D、y=﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13、（5分）的展开式中x2y2的系数为、（用数字作答）14、（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为、15、（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于、16、（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是、三、解答题17、（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B、18、（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2为整数，且S n≤S4、（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n、19、（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2、（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小、20、（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立、（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望、21、（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|、（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程、22、（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）、（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）、参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1、（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A、﹣1+3iB、﹣1﹣3iC、1+3iD、1﹣3i题目分析：直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求、试题解答解：∵z==，∴、故选：D、点评：本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题、2、（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A、（0，4]B、[0，4）C、[﹣1，0）D、（﹣1，0]题目分析：求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解、试题解答解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4、∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，又N={x|0≤x≤5}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）、故选：B、点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题、3、（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A、a＞b＞cB、b＞c＞aC、c＞b＞aD、c＞a＞b题目分析：可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得、试题解答解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a故选：C、点评：本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题、4、（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A、2B、C、1D、题目分析：由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•=0，（2+）•=0，由此求得||、试题解答解：由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，则||=，故选：B、点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题、5、（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A、60种B、70种C、75种D、150种题目分析：根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案、试题解答解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；故选：C、点评：本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同、6、（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A、+=1B、+y2=1C、+=1D、+=1题目分析：利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程、试题解答解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1、故选：A、点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题、7、（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A、2eB、eC、2D、1题目分析：求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率、试题解答解：函数的导数为f′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，故选：C、点评：本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础、8、（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A、B、16πC、9πD、题目分析：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积、试题解答解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=、故选：A、点评：本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题、9、（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A、B、C、D、题目分析：根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论、试题解答解：∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===、故选：A、点评：本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力、10、（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A、6B、5C、4D、3题目分析：利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10、再利用对数的运算性质即可得出、试题解答解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10、∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4、故选：C、点评：本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题、11、（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A、B、C、D、题目分析：首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案、试题解答解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC=90°∵CD∥AF又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===、故选：B、点评：本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题、12、（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）A、y=g（x）B、y=g（﹣x）C、y=﹣g（x）D、y=﹣g（﹣x）题目分析：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x 的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得、试题解答解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）故选：D、点评：本题考查反函数的性质和对称性，属中档题、二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13、（5分）的展开式中x2y2的系数为70、（用数字作答）题目分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数、=•（﹣1）试题解答解：的展开式的通项公式为T r+1 r••=•（﹣1）r••，令8﹣=﹣4=2，求得r=4，故展开式中x2y2的系数为=70，故答案为：70、点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题、14、（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5、题目分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案、试题解答解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）、化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得、由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大、此时z max=1+4×1=5、故答案为：5、点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题、15、（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于、题目分析：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果、试题解答解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，故答案为：、点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题、16、（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2] 、题目分析：利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x 的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围、试题解答解：由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=﹣2t2+at+1、∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=、∴，解得：a≤2、∴a的取值范围是（﹣∞，2]、故答案为：（﹣∞，2]、点评：本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题、三、解答题17、（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B、题目分析：由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出、试题解答解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=、∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=点评：本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题、18、（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2为整数，且S n≤S4、（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n、题目分析：（1）通过S n≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1=13、a2为整数可得d=﹣4，进而可得结论；（2）通过a n=13﹣3n，分离分母可得b n=（﹣），并项相加即可、试题解答解：（1）在等差数列{a n}中，由S n≤S4得：a4≥0，a5≤0，又∵a1=13，∴，解得﹣≤d≤﹣，∵a2为整数，∴d=﹣4，∴{a n}的通项为：a n=17﹣4n；（2）∵a n=17﹣4n，∴b n===﹣（﹣），于是T n=b1+b2+……+b n=﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]=﹣（﹣）=、点评：本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题、19、（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2、（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小、题目分析：（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得、试题解答解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan点评：本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题、20、（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立、（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望、题目分析：记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求、（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX i，再利用数学期望公式计算即可、试题解答解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31、（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38、故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2点评：本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题、21、（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|、（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程、题目分析：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程、（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|、把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|、由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程、试题解答解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=、又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）、故C的方程为y2=4x、（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4、∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）、又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3、过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）、故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0、点评：本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题、22、（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）、（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）、题目分析：（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式、试题解答解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=，①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数、②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数、（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立，①当n=1时，由已知，故结论成立、②假设当n=k时结论成立，即，=ln（a n+1）＞ln（），则当n=k+1时，a n+1a k+1=ln（a k+1）＜ln（），即当n=k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立、。

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2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设103iz i=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 2. 设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则MN =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 3. 设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 4. 若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）A ．2BC ．1D ．25. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6. 已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 7. 曲线1x y xe-=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π9. 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14 B ．13C．4 D．310. 等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．311. 已知二面角l αβ--为060，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ） A ．14 B．4 C．4 D ．1212. 函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.8-的展开式中22x y 的系数为 . 14. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .16. 若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B. 18.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程. 22. （本小题满分12分）函数()ln(1)(1)axf x x a x a=+->+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+.参考答案一、选择题：1. D2.B3.C4.B5.C6.A7.C8.A9.A10.C11.B12.D二、填空题：13. 70 14. 5 15.4316.(,2]-∞三、解答题：17.（本小题满分10分）解：由题设和正弦定理得3sin cos 2sin cos A C C A =故3tan cos 2sin A C C =因为1tan 3A =，所以cos 2sin C C =即1tan 2C =……………………………6分 所以tan tan[180()]B A C =-+tan()A C =-+tan tan tan tan 1A CA C +=-……………8分1=-即135B =………………………………10分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数又4n S S ≤，故450,0a a ≥≤ 即 1030,1040d d +≥+≤解得 10532d -≤≤- 因此3d =-数列{}n a 的通项公式为133n a n =-…………………………………6分（Ⅱ）1111()(133)(103)3103133n b n n n n==⋅-----………………………8分于是12...n n T b b b =+++1111111[()()...()]371047103133n n=-+-++--- 111()310310n =-- 10(103)nn =-……………….12分19.（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）因为1A D ⊥平面1,ABC A D ⊂平面11AAC C ，故平面11AA C C ⊥平面ABC ， 又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AAC C ，……………3分连结1A C ，因为侧面11AAC C 为菱形，故11AC A C ⊥由三垂线定理得11AC A B ⊥………5分（Ⅱ）BC ⊥平面11,AAC C BC ⊂平面11BCC B ，故平面11AA C C ⊥平面11BCC B作11,A E CC E ⊥为垂足，则1A E ⊥平面11BCC B又直线1//AA 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，13A E =因为1A C 为1ACC ∠的平分线，故113A D A E ==………………8分 作,DF AB F ⊥为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ⊥， 故1A FD ∠为二面角1A AB C --的平面角 由22111AD AA A D =-=得D 为AC 中点，1525AC BC DF AB ⨯=⨯=，11tan 15A DA FD DF∠==所以二面角1A AB C --的大小为arctan 15………………12分解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，由题设知1A D 与z 轴平行，x 轴在平面11AAC C 内（Ⅰ）设1(,0,)A a c ，由题设有2a ≤，(2,0,0)A ，(0,1,0)B ，则 (2,1,0)AB =-， (2,0,0)AC =-，1(2,0,)AA a c =-，11(4,0,)AC AC AA a c =+=-， 1(,1,)BA a c =-………………2分由1||2AA =得22(2)2a c -+=，即2240a a c -+= ①于是221140AC BA a a c ⋅=-+=，所以11AC A B ⊥………………………5分 （Ⅱ）设平面11BCC B 的法向量(,,)m x y z =，则1,m CB m BB ⊥⊥，即0m CB ⋅=，10m BB ⋅=因为(0,1,0)CB =，11(2,0,)BB AA a c ==-，故0y =，且(2)0a x cz -+= 令x c =，则2z a =-，(,0,2)m c a =-，点A 到平面11BCC B 的距离为22||2|||cos ,|||(2)CA m c CA m CA c m c a ⋅⋅<>===+-又依题设，A 到平面11BCC B 的距离为3，所以3c =代入①解得3a =（舍去）或1a = ………………………………………8分 于是1(1,0,3)AA =- 设平面1ABA 的法向量(,,)n p q r =，则1,n AA n AB ⊥⊥，即10n AA ⋅=，0n AB ⋅=，30p r -+=且20p q -+=，令3p =，则23q =，1r =，(3,23,1)n =，又(0,0,1)p =为平面ABC 的法向量，故1cos ,||||4n p n p n p ⋅<>==⋅所以二面角1A AB C --的大小为1arccos4……………………12分 20.（本小题满分12分）解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，0,1,2i =，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备 （Ⅰ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅22()0.6,()0.4,()0.5,0,1,2ii P B P C P A C i ===⨯=………3分所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()P A B C P A B P A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P B P C =⋅⋅+⋅+⋅⋅0.31=……………………………………6分（Ⅱ）χ的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为0(0)()P P B A C χ==⋅⋅0()()()P B P A P C =⋅⋅2(10.6)0.5(10.4)=-⨯⨯-0.06=001(1)()P P B A C B A C B A C χ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅001()()()()()()()()()P B P A P C P B P A P C P B P A P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅2220.60.5(10.4)(10.6)0.50.4(10.6)0.5(10.4)=⨯⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯-0.25=222(4)()()()()0.50.60.40.06P P A B C P A P B P C χ==⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=(3)()(4)0.25P P D P χχ==-==(2)1(0)(1)(3)(4)P P P P P χχχχχ==-=-=-=-=10.060.250.250.06=----0.38=…………………………………………………………………10分数学期望0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P P P P P χχχχχ=⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=0.2520.3830.2540.06=+⨯+⨯+⨯2=……………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设0(,4)Q x ，代入22y px =得08x p=所以088||,||22p p PQ QF x p p==+=+ 由题设得85824p p p+=⨯，解得2p =-（舍去）或2p = 所以C 的方程为24y x =……………………………………………5分 （Ⅱ）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为1(0)x my m =+≠代入24y x =得 2440y my --= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,4y y m y y +==-故AB 的中点为2212(2 1.2),|||4(1)D m m AB y y m +=-=+又l '的斜率为m -，所以l '的方程为2123x y m m=-++ 将上式代入24y x =，并整理得2244(23)0y y m m+-+= 设3344(,),(,)M x y N x y ，则234344,4(23)y y y y m m+=-=-+ 故MN 的中点为2222(23,)E m m m ++-，23424(|||m MN y y m+=-=…10分 由于MN 垂直平分AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于1||||||2AE BE MN ==， 从而22211||||||44AB DE MN += 即222222224224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m +++++++=化简得210m -=，解得1m =或1m =-所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=……………………………12分22.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为222[(2)](1,),()(1)()x a a f x x x a --'-+∞=++………………….2分（ⅰ）当12a <<时，若2(1,2)x a a ∈--，则()0f x '>，()f x 在2(1,2)a a --是增函数；若2(2,0)x a a ∈-，则()0f x '<，()f x 在2(2,0)a a -是减函数；若(0,)x ∈+∞，则()0f x '>，()f x 在(0,)+∞是增函数；……………………4分（ⅱ）当2a =时，()0f x '≥，()0f x '=成立当且仅当0x =，()f x 在(1,)-+∞是增函数； （ⅲ）当2a >时，若(1,0)x ∈-，则()0f x '>，()f x 在(1,0)-是增函数；若2(0,2)x a a ∈-，则()0f x '<，()f x 在2(0,2)a a -是减函数；若2(2,)x a a ∈-+∞，则()0f x '>，()f x 在2(2,)a a -+∞是增函数；……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当2a =时，()f x 在(1,)-+∞是增函数，当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f >=，即2ln(1)(0)2xx x x +>>+ 又由（Ⅰ）知，当3a =时，()f x 在[0,3)是减函数， 当(0,3)x ∈时，()(0)0f x f <=，即3ln(1)(03)3xx x x +<<<+…………………9分 下面用数学归纳法证明2322n a n n <≤++ （ⅰ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立； （ⅱ）设当n k =时结论成立，即2322k a k k <≤++ 当1n k =+时，122222ln(1)ln(1)22322k k k a a k k k +⨯+=+>+>=++++ 133332ln(1)ln(1)32332k k k a a k k k +⨯+=+≤+>=++++即当1n k =+时有12333k a k k +<≤++，结论成立。

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