2014年全国高考理科数学试题及答案-全国卷

2014年普通高等学校统一考试（大纲）

理科

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的. 1. 设103i

z i

=

+，则z 的共轭复数为（ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 2. 设集合2

{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M

N =（ ）

A ．(0,4]

B ．[0,4)

C ．[1,0)-

D ．(1,0]- 3. 设0

sin 33a =，0

cos55b =，0

tan 35c =，则（ ）

A ．a b c >>

B ．b c a >>

C ．c b a >>

D ．c a b >> 4. 若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）

A ．2

B

C ．1

D ．

2

5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选

法共有（ ）

A ．60种

B ．70种

C ．75种

D ．150种

6. 已知椭圆C ：22

221x y a b

+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交

C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）

A ．

22132x y += B ．22

13x y += C ．221128x y += D ．221124

x y += 7. 曲线1

x y xe

-=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）

A ．2e

B ．e

C ．2

D ．1

8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）

A ．

814

π

B ．16π

C ．9π

D ．274π

9. 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=

（ ）

A ．

14 B ．1

3

C

．4 D

．3

10. 等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

11. 已知二面角l αβ--为0

60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，

135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ） A ．

14 B

．4 C

．4 D ．1

2

12. 函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是

（ ）

A ．()y g x =

B ．()y g x =-

C ．()y g x =-

D ．()y g x =--

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.

8

-的展开式中22x y 的系数为 . 14. 设x 、y 满足约束条件0

2321x y x y x y -≥⎧⎪

+≤⎨⎪-≤⎩

，则4z x y =+的最大值为 .

15．直线1l 和2l 是圆2

2

2x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值

等于 .

16. 若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(

,)62

ππ

是减函数，则a 的取值范围是 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）

ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1

tan 3

A =

，求B. 18.（本小题满分12分）

等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1

1

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前n 项和n T .

19. （本小题满分12分）

如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内

的射影D 在AC 上，0

90ACB ∠=，

11,2BC AC CC ===.

（1）证明：11AC A B ⊥；

（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角

1A AB C --的大小.

20. （本小题满分12分）

设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立.

（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 21. （本小题满分12分）

已知抛物线C ：2

2(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5

||||4

QF PQ =

. （1）求C 的方程；

（2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线'

l 与C 相较于M 、N 两点，且A 、

M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程. 22. （本小题满分12分）

函数()ln(1)(1)ax

f x x a x a

=+-

>+. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：

23

+22

n a n n <≤

+.