奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三上部分,共)-45001
初中数学奥林匹克竞赛题包括答案.docx
初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题 1 分，共 10 分）1．如果 a，b 都代表有理数，并且a＋b=0 ，那么 ( ) A．a，b 都是 0B．a，b 之一是 0C．a，b 互为相反数D． a，b 互为倒数答案： C解析：令 a=2 ， b= － 2，满足 2+( － 2)=0 ，由此 a、b 互为相反数。
2．下面的说法中正确的是( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案： D3都是单项式．两个单项式33A。
两个单项式解析： x2， x x ， x2之和为 x +x 2是多项式，排除x2， 2x2之和为3x2是单项式，排除 B。
两个多项式x3+x2 与 x3－x2之和为2x3 是个单项式，排除 C，因此选 D。
3．下面说法中不正确的是( )A.有最小的自然数B．没有最小的正有理数Word资料C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案： C解析：最大的负整数是-1 ，故 C 错误。
4．如果 a，b 代表有理数，并且a＋b 的值大于 a－ b 的值，那么( ) A．a，b 同号B．a，b 异号C．a＞0D． b＞ 0答案： D5．大于－π并且不是自然数的整数有( )A．2 个B．3 个C．4 个D．无数个答案： C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0 在）的整数只有－3，－ 2，－1 ，0 共 4 个．选 C。
6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
Word资料这四种说法中，不正确的说法的个数是( )A．0 个B．1 个C．2 个D． 3 个答案： B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故 C 错误。
7．a 代表有理数，那么， a 和－ a 的大小关系是( )A．a 大于－ aB．a 小于－ aC．a 大于－ a 或 a 小于－ aD． a 不一定大于－ a答案： D解析：令 a=0 ，马上可以排除A、 B、 C，应选 D。
初三奥数竞赛题及答案
全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为 A, B, C, D 的四 个选项，其中有且只有一个选项是正确的•请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、 多填或错填都得0分)1如果a =-2 2，那么1 ―1的值为【C 1 2 -- 3 +a2、在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2• y 2乞2x - 2y 的整数点坐标(x ，y )的个数为【 】 (A ) 10( B ) 9(C ) 7( D ) 5解：B 解法一：x 2y^2x 2y 化为 x-1 2• y -1 2乞 2因为 X 、y 均为整数，因此 X-1 2■ y —1 2=0 或 x_1 2■ y_1 2=1 或 x_1 2■ y_1 2=2解法二：x 2 • y 2空2x 2y 化为x -1 2• y -1 2乞2它表示以点(1,1 )为圆心，.2为半径的 圆内，画图可知，这个圆内有 9 个 (0,2 )、(0,1 ) (0,0 ), (1,0 ), (1,1 ), (1,2 ), (2,0 )，(2,1 )，(2,2 )X =1\=0 x = 2 X=1 X =1'x = \ = 2 'x = 0或€或€ ■:y=1 7=1 y=1 y = 0 y = 2 片2 y = 2 ：y =分别解得 x = 2 所以共有9个整点y = 0(A) -.2(B ) '.2(C )(D ) 2 2 解：时 3 a^ 2:九「2"，2 九「2 12"因此原式=23、如图，四边形 ABC 冲，AC, BD 是对角线，△ ABC 是等边三角形.• ADC = 30 , AD = 3 , BD = 5，则CD 的长为【】 (A ) 3 2(B ) 4(C 2.5( D ) 4.5解：图，以CD 为边作等边△ CDE 连接AE 由于AC = BC, CD = CE,NBCD =NBCA+NACD =NDCE+NACD =NACE .所以 △ BCD^AACE BD = AE .又因为.ADC =30，所以 ADE =90 .在 Rt △ ADE 中, AE =5，AD =3, 于是 DE= AE -AD =4，所以 CD = DE = 4 .4、如果关于x 的方程x 2- px -q =0 (p, q 是正整数)的正根小于3,那么这样的方程的个数是【 】解:C a b a^(a 1)(b 1)-1v计算结果与顺序无关(A ) 5(B ) 6(C ) 7 (D ) 8解：Cv p 、q 是正整数二 p =1 <p = 1 € p =1 "1』 "1』 * p = 2 Q=1, 、q=2， —3， 0=4， 、q=5， W=1 ,.5、黑板上写有1,然后删去a , b , 并在黑板上写上数 a ab ，贝燈过99次操作后，黑板上剩下的数是(A ) 2012(B ) 101(C ) 100 (D 99解得 q ::: 9 -3pp =21 12 '3 —共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取 2个数a, b ,1002p + J p 2 + 4q:二 p 4q 0 , X 1 X 2 二-q ：： 0 .正根为 31 1 1•••顺次计算得：(1 1)(3 1)-仁 2 , (2 1)(3 1)—仁3 , (3 1)(； 1)-仁 4 ,2 3 41(99 1)( 1) -1 =100100、填空题(共5小题，每小题7分，共35 分)6、如果a, b, c 是正数，且满足a b ^9 , —丄 =1°，那么旦 •丄 •二a+b b+c c+a 9 b+c c+a a+b的值为 ________ .7 在—1— - -^― =10 两边乘以 a b 9 得 3 ―—=10 即a b b c c a 9a b b c c a」 「旦=7a b b c c a7、如图，。
初中数学竞赛奥数基础讲座反比例函数(含解答)
反比例函数内容讲解1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=kx（k•为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2．反比例函数的图象和性质．利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=kx具有如下的性质①当k>0时，函数的图象在第一、三象限，•在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增加是减小；②当k<0时，•函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而增大．3．反比例函数的确定方法：由于在反比例函数关系式y=kx中，•只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入y=kx中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式． 4．用待定系数法求与反比例函数关系式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为：y=kx（k ≠0）；•②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k 的方程；③由代入法解待定系数k 的值；④把k 值代入函数关系式y=kx中．例题剖析例1 如果函数y=k 222k k x +-的图象是双曲线，且在第二、四象限，•那么k 的值是多少？分析：若函数的图象是双曲线，则此函数为反比例函数y=kx，且k ≠0，若图象在第二、四象限，则k<0，故可求出k 的值．解：由反比例函数定义，得211221,200k k k k k k ⎧⎧=-=+-=-⎪⎨⎨<⎩⎪<⎩或所以k=-1，这时函数为y=-1x． 评注：函数y=k x m 反比例函数，则m=-1，k ≠0；若y=mkx 是反比例函数，则m=1，k ≠0．例2 函数y=kx 和y=kx（k<0）•在同一坐标系中的图象是（ ）分析：对于y=kx 来说，当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；对于y=kx来说，当k>0时，图象在一、三象限，当k<0时，图象在二、四象限，所以应选（C ）． 解：（C ）．评注：由于两个函数中的k 是相同的，所以可以把k 分为两类进行讨论，当k>•0时的图象是什么？当k<0时的图象是什么？例3 如图，正比例函数y=3x 的图象与反比例函数y=kx（k>0）的图象交于点A ，若取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，…，S 20，则S 1+S 2+…+S 20=_________．分析：因为过正比例函数与反比例函数的交点作x 轴的垂线，x 轴，•正比例函数与垂线所围成的Rt △AOB 的面积是k 的一半． 解：105．评注：若k 取大于0的自然数1，2，3，……n ，则对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，S 3……S n ，则S 1+S 2+S 3+……+S n =(1)4n n ． 例4 正比例函数y=-x 与反比例函数y=-1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D （如图）•，•则四边形ABCD•的面积为________．分析：易知四边形ABCD 是一平行四边形，故可知其面积为S 的4倍，为一常数． 解：函数y=x 与y=1x的图象交点A 、C 的坐标分别为（1，1），（-1，-1），所以△AOB•的面积等于12，根据反比例函数的图象是中心对称图形，得平行四边形ABCD 的面积为2．评注：理解反比例函数中的不变量k 的几何意义是解题的关键． 例5 两个反比例函数y=3x ，y=6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3，…，P 2005在反比例函数y=6x图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2005，纵坐标分别是1，3，•5，•…，•共2005个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2005分别作y 轴的平行线，与y=3x的图象交点依次是Q 1（•x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2005（x 2005，y 2005），则y 2005=________．分析：解题关键是抓住点P 1，P 2，P 3，…，P 2005与点P 1，P 2，P 3，…，P 2005的横坐标相同．解：当点P 1，P 2，P 3，…，P 2005在函数y=6x的图象上，它们的纵坐标分别取1，3，5，...，4009•时相应的横坐标分别为666,,135， (6)4009．Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2005（x 2005，y 2005）在函数y=3x的图象上，•且这些点的横坐标分别与点P 1，P 2，P 3，…，P 2005的横坐标相同，点Q 2005横坐标是64009．所以点Q 2005的纵坐标是y 2005=k x =34009624009． 评注：本题以能力立意，一方面通过“数”与“形”的转换考查了学生的数学表达能力，另一方面也考查了学生自主探索与合情推理等能力．此类题背景较新颖，有时规律较隐蔽，而成为填空题中的“把关题”．例6 设函数f （x ）对所有非零实数x ，有f （x ）+2f （1x）=3x ，求方程f （x ）=f （-x ）的解．分析：通过观察，发现x 与1x 互为倒数，把1x 换成x 后可得到关于f （x ）和f （1x）的两个方程，可以求解．解：由f （x ）+2f （1x ）=3x 得f （1x ）+2f （x ）=3x ， 联立两式，消去f （1x ），得3f （x ）=6x -3x ，所以f （x ）=2x-x ．从而方程f （x ）=f （-x ），可化为2x -x=-2x+x ，解得：x=经检验是方程的解．评注：本题由于方程比较特殊，抓住x 与1x互为倒数的特点是解题的关键．例7 反比例函数y=kx（k>0）在第一象限内的图像如图所示，P 为该图像上任意一点，PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ．设△POQ 的面积为S ，•那么S 的值与k 的值是否存在关系？若有关系，请写出S 与k 之间的关系式；若没有关系，请说明理由．分析：因为S △POQ =12·OQ ·PQ ，若设P 点坐标为P （x ，y ），则OQ=│x │，PQ=│y │，又因为P•点在第一象限，所以x>0，y>0，因此可以得到S △POQ =12xy ，而由y=kx可以得到xy=k ，•于是可以确定S 与k 的关系式． 解：S 与k 之间的关系式为S=12k ， 设P 点的坐标为P （x ，y ），则OQ=│x │，PQ=│y │． ∵点P 在第一象限内，∴x>0，y>0， ∴OQ=x ，PQ=y ．∴S△POQ=12·OQ·PQ=12xy．又∵xy=k，∴S△POQ =12k．评注：反比例函数的系数k与过双曲线上的点作x轴、y轴的垂线所围成的矩形的面积之间的关系在解题中作用很大，要熟练掌握．例8如图所示，已知反比例函数y=12x的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P、•Q两点，并且P点的纵坐标是6．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△POQ的面积．分析：由已知条件P点的纵坐标是6，而点P在反比例函数y=12x上，可以求得P•点的横坐标为x=2，即P点坐标为（2，6）．又P点也在一次函数y=kx+4上，把点（2，6）•代入即可求出一次函数的解析式，•△POQ的面积可以分成△PON与△QON两部分，这两部分的面积能通过P、Q两点的坐标得到．解：（1）∵点P在反比例函数y=12x的图像上，且其纵坐标为6．∴12x=6解得x=2，∴P（2，6）．又∵点P在函数y=kx+4的图像上，∴6=2k+4，解得k=1．∴所求一次函数的解析式为y=x+4．（2）解方程组12124,62122, 6.,y x x x y y y x =+⎧=-=⎧⎧⎪⎨⎨⎨=-==⎩⎩⎪⎩得 ∴点Q 的坐标为（-6，-2）． 令y=0，代入y=x+4，解得x=-4．∴函数y=x+4的图像与x 轴的交点是N （-4，0）．∴△PON 和△QON 的公共边ON=4，ON 边上的高分别为PA=6，QB=2． ∴S △POQ =S △PON +S △QON =12×4×6+12×4×2=16． 评注：本题涉及一次函数及反比例函数的图像，识别图形的形状位置及交点是挖掘此类题目隐含条件的关键．例9 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧后，y 与x 成反比例（如图）．观测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，•请根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）•药物燃烧时，•y•关于x•的函数关系式为________，•自变量x•的取值范围是__________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为________．（2）研究表明，当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克时，学生方可进教室，•那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室．（3）研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10•分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？分析：这是一道紧扣生活热点的应用题，应引起同学们的重视，•同时要学会看图形．解：由图知药物燃烧时，函数为正比例函数设y与x的解析式为y=kx（k≠0）∵点（8，6）在直线上，∴6=8k，∴k=34，∴y与x的解析式为y=34x（0<x≤8）．药物燃烧后函数为反比例函数设y与x的解析式为y=`kx（k′≠0），点（8，6）在曲线上，∴k′=8×6=48．∴y与x的解析式为y=48x（x>8）．（2）将x=1.6代入反比例函数解析式中y=481.6=30（分钟）答：从消毒开始，至少要经过30分钟后学生才能回教室．（3）把y=3分别代入两个函数解析式，解得x=4和x=16，而16-4=12>10．即空气中每立方米的含药量不低于3毫克的持续时间为12分钟，∴这次消毒有效．评注：本题通过具体问题情境，既考数学的应用，又考应用的数学．•解答这类问题要善于从图象中提取有效信息、从实际问题中构建出数学模型．例10 某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；（2）按照这种变化规律，若2005年已投入技改资金5万元．①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）？分析：观察表格发现“投入技改资金x ”与“产品成本y ”的积不变，•故表中数据满足反比例函数关系．解：（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b 当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6 7.2 2.5 2.46313.2k b k k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ∴一次函数解析式为y=-2.4x+13.2． 把x=4时，y=4.5代入此函数解析式 左边≠右边，∴其不是一次函数． 同理，其也不是二次函数． 设其为反比例函数，解析式为y=kx当x=2.5时，y=7.2可得7.2=2.5k，得k=18 ∴反比例函数为y=18x ． 验证：当x=3时，y=183=6，符合反比例函数．同理可验证：x=4时，y=4.5；x=4.5时，y=4成立．∴可用反比例函数y=18x表示其变化规律． （2）解：①当x=5万元时，y=185=3.6．∵4-3.6=0.4（万元），∴生产成本每件比2004年降低0.4万元．②当y=3.2时，3.2=18x，得x=5.625，∵5.625-5=0.625≈0.63（万元）．∴还需投入0.63万元．评注：这是一道渗透新课程理念的好题．它没有直接给出函数的解析式，而是让学生从表中获取信息，来索取与其变化规律相合拍的函数，并付诸于具体实际的应用问题之中．较好地考查了学生直觉思维能力和合情推理探索能力、建模能力和解决实际问题的能力．例11 已知，如图所示，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，•点C在y轴上，点B在函数y=kx（k>0，x>0）的图像上，点P（m，n）是函数y=kx上的任意一点，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分面积为S．（1）求B点的坐标和k的值；（2）当S=92时，求点P的坐标；（3）写出S关于m的函数关系式．分析：把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含n的代数式表示，解题的关键是双曲线关于y=x对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密．解：（1）依题意，设B点坐标为（x0，y0）．所以S正方形OABC=x0y0=9，x0=y0=3即B（3，3），所以x0y0=k，k=9；（2）①P （m ，n ）在y=9x上，S 正方形OEP1F =mn=9，所以S矩形OAGF =3n ，由已知可得S=9-3n=92，解得n=32，m=6，•所以P 1（6，32）． ②如图（a ）所示，同理可求得P 2（32，6）．（3）如图（b ）所示，当0<m<3时，因为点P 坐标为（m ，n ），所以S 矩形OEGC =3m ，S=S 矩形OEPF -S 矩形OEGC所以S=9-3m （0<m<3）如图（c ）所示，当m ≥3时，因为P 点坐标为（m ，n ） 所以S 矩形OAGF =3n ，mn=9，n=9m，所以S=9-3n=9-27m ． 评注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合某种条件的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程（组），解方程（组）便可求得有关点的坐标，对于几何问题，•还应注意图形的分类讨论．例12 三个反比例函数（1）y=1k x ；（2）y=2kx ；（3）y=3k x在x 轴上方的图象如图所示，•由此推出k 1，k 2，k 3的大小关系．分析：由图象所在的象限可知：k 1<0，k 2>0，k 3>0；在（2）（3）中，为了比较k 与k 的大小，可取x=a>0，作直线x=a ，与两图象相交，找到y=2k x 与y=3k x的对应函数值b 和c ，由于k 2=ab ，k 3=ac ，而c>b>0，因而k 3>k 2>k 1． 解：k 3>k 2>k 1．评注：比较反比例函数的系数k 的大小一般先从图象上去考虑，图象在一、•三象限的k 值比图象在二、四象限的k 值大，同一个象限内图象在外部的k•值比在内部的k 值大． 例13 已知点（1，3）在函数y=kx（k>0）的图象上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E•是对角线BD 的中点，函数y=kx（k>0）的图象．经过A 、E 两点，点E 的横坐标为m ．（1）求k 的值；（2）求点C 的横坐标（用m 表示）；（3）当∠ABD=45°时，求m 的值．分析：由点P 在反比例函数上，可以先求出k 值，利用对称性可以求出点C 的坐标． 解：（1）因为点（1，3）在函数y=kx（x>0）的图象上， 所以3=1k，所以k=3； （2）因为点E 在函数y=3x 的图象上，所以E 点的纵坐标为3m．所以点E 的坐标为（m ，3m ），•设B 点的坐标为（b ，0），所以A 点的坐标为（b ，6m）． 因为A 点在函数y=3x 的图象上，所以6m =3b ，所以b=2m．所以C 点的横坐标为OB+BC=b+2（m-b ）=2m +2（m-2m ）=2m +m=32m ；（3）当∠ABD=45°时，│AB │=│AD │，所以6m =32m -2m=m ．所以m 2=6，又因为m>0，所以评注：此题是函数和几何综合题，所以在解题中一定要先看图、读懂图，找出图形中的内在联系．例14 有一个Rt △ABC ，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，•将它放在直角坐标系中，使斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在反比例函数y=x的图象上，求点C 的坐标．分析：通过画图可发现：点A 的位置有两种情况（在第一象限的那支图象上或在第三象限的那支图象上），点B 、C 的位置也有两种情况（可能点靠近原点，也可能点不靠近原点），解题时要注意利用反比例函数图象的对称性． 解：本题共有4种情况．（1）如图①，过点A 做AD ⊥BC 于D ，∵AB=1，∠B=60°，∴BD=12，AD=2，∴点A 的纵坐标为2．将其代入y=x ，得x=2，即OD=2． 在Rt △ADC 中，DC=32，所以OC=72，即点C 1的坐标为（72，0）．（2）如图②，过点A 作AE ⊥BC 于E 则AE=2，OE=2，CE=32，所以OC=12．即点C 2的坐标为（12，0）．• 根据双曲线的对称性，得点C 3的坐标为（-72，0），点C 4的坐标为（-12，0）．所以点C 的坐标分别为：（72，0）、（12，0）、（-72，0）、（-12，0）．评注：根据题意，进行分类，是解决本题的突破口．此题涉及与反比例函数相关的综合性问题，能较好地展示学生的思维过程和思维个性，着重考查学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力，具有较好的选拨功能． 巩固练习一、填空题1．若一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则抛物线y=x 2+kx+b•的对称轴位于y•轴的_______侧；反比例函数y=kbx的图象在第_______象限，在每一个象限内，y 随x•的增大而________． 2．反比例函数y=kx的图象经过点A （m ，n ），其中m ，n 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，则A 点坐标为________． 3．如图：函数y=-kx （k ≠0）与y=-4x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，•垂足为点C ，则△BOC 的面积为________．4．已知，点P （n ，2n ）是第一象限的点，下面四个命题： （1）点P 关于y 轴对称的点P 1的坐标是（n ，-2n ）；（2）点P 到原点O ； （3）直线y=-nx+2n 不经过第三象限； （4）对于函数y=nx，当x<0时，y 随x 的增大而减小；其中真命题是_______．（填上所有真命题的序号） 二、选择题5．已知反比例函数y=1mx的图像上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1<0<x 2时，有y 1<y 2，则m 的取值范围是（ ） （A ）m<0 （B ）m>0 （C ）m<12 （D ）m>126．已知反比例函数y=kx的图象如图（a ）所示，则二次函数y=2k x 2-x+k 2的图象大致为（ ）7．函数y=-ax+a 与y=ax（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）8．如图，A 、B 是函数y=1x的图象上的点，且A 、B 关于原点O 对称，AC ⊥x 轴于C ，BD•⊥x 轴于D ，如果四边形ACBD 的面积为S ，那么（ ）（A ）S=1 （B ）1<S<2 （C ）S>2 （D ）S=29．如图，在直角坐标系中，直线y=6-x 与函数y=4x（x>0）的图象相交于点A 、B ，•设点A 的坐标为（x 1，y 1），那么长为x 1，宽为y 1的矩形面积和周长分别为（ ） （A ）4，12 （B ）8，12 （C ）4，6 （D ）8，6 三、解答题10．如图，已知一次函数y=kx+b （k≠0）的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，•且与反比例函数y=mx（m ≠0）的图像在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，若OA=OB=OD=1．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．11．如图，一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数y=kx的图象交于M 、N 两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．12．已知反比例函数y=2kx和一次函数y=2x-1，其中一次函数图像经过（a ，b ），（a+•1，b+k ）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A 点坐标； （3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．13．反比例函数y=kx的图象上有一点P（m，n），其中m、n是关于t•的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P到原点O，则该反比例函数的解析式为________．14．老师给出一个函数y=f（x），甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图像不经过第三象限；乙：函数图像经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时，y>0已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数：_______．15．已知反比例函数y=12x的图象和一次函数y=kx-7的图象都经过点P（m，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A、B的横坐标分别为a和a+2，求a 的值．16．通过市场调查，一段时间内某地区特种农产品的需求量y（千克）•与市场价格x（元/千克）存在下列函数关系式：y=100000x+6000（0<x<100）；又已知该地区农民的这种农产品的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正比例关系：z=400x（0<x<100），现不计其他因素影响，如果需求数量y等于生产数量z时，即供需平衡，•此时市场处于平衡状态．（1）根据以上市场调查，请你分析当市场处于平衡状态时，•该地区这种农产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？（2）受国家“三农”政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，减少产量，以大力提高产品质量．此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，•而需求函数关系未发生变化，当市场再次处于平衡状态时，市场价格已上涨了a（0<a<25）•元，问在此后的相同时间段内该地区农民的总销售收入是增加了还是减少了？变化多少？17．如图，直线经过A（1，0），B（0，1）两点，点P是双曲线y=12x（x>0）上任意一点，PM•⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．PM与直线AB交于点E，PN的延长线与直线AB交于点F．（1）求证：AF×BE=1；（2）若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．18．已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，设点A的坐标为（x，y），其中x>0，y>0．（1）求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：方法：∵a2+22ka=（a-ka）+2k（k为常数且k>0，a≠0），且（a-ka）2≥0，∴a2+22ka≥2k，∴当a-ka=0，•即a=a2+22ka取得最小值2k．问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小？并求出S的最小值；（3）如果直线y=mx+2（m<0）与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m，使得点P、Q与（2）中求出的点A构成△PAQ的面积是矩形ABCD面积的16？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．19．已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数y=12x的图象在第一象限内的一个分支，点P•是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（点M、N•为垂足）分别与直线AB相交于点E和点F．（1）设交点E和F都在线段AB上（如图所示），分别求点E、点F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出答案，不要求写出计算过程）．（2）求△OEF的面积（结果用a、b的代数式表示）．（3）△AOF与△BOE是否一定相似，如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由．（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，•大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论．答案:一、1．右，二、四、增大 2．（-2，-2） 3．2 4．②、③、④二、5～9．CDCDA三、10．（1）A （-1，0），B （0，1），D （1，0）；（2）y=2x，y=x+1． 11．（1）将N （-1，-4）代入y=k x 中得到k=4，反比例函数的解析式为y=4x， 将M （2，m ）•代入解析式y=4x 中得m=2， 将M （2，2），N （-1，-4）代入y=ax+b 中，224a b a b +=⎧⎨-+=-⎩解得a=2，b=-2，• 一次函数的解析式为y=2x-2．（2）由图象可知：当x<-1或0<x<2时反比例函数的值大于一次函数的值．12．（1）k=2，y=1x； （2）解方程组121,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得x 1=1，x 2=-12（舍去）， 从而y=1，点A 的坐标为（1，1）；（3）符合条件的点P 存在，有下列情况：①若OA 为底，则∠AOP 1=45°，OP 1=P 1A •得P 1（1，0）；②若OA 为腰，AP 为底，则由P 2（0），P 30）； ③若OA 为腰，OP 为底，则由OP=2，P 4（2，0）．13．y=2x-． 14．可填入的答案为：y=1x （x>0）或y=-x+2或y=（x-2）2或y=│x-2│等均可． 15．（1）y=32x-7；（2）A （32a ，a-7），B （a+2，32a-4），C （a+2，122a +），D （a ，12a）． 由AB=CD ，得22+32=22+（122a +-12a）2， 即（122a +-12a）=±3，解方程得a=-4，a=2均为所求的值． 16．（1）由已知市场处于平衡，此时y=z 得100000x +6000=400x （x-25）（x+10）=0， ∴x 1=25，x 2=-10（•舍去），把x=25代入z=400x 中，得z=10000（千克）．• 一段时间内该地区农民的总销售收入=25×10000=250000（元）．（2）∵需求函数关系未变，∴平衡点仍在需求函数图象上．由已知此时价格为（a+25）元/千克，代入y=100000x +6000中得： 此时的需求数量y 1=10000025a ++6000（千克）． 又∵此时市场处于平衡，生产数量z 1=需求数量y 1， ∴此时的总销售收入为：（a+25）·（10000025a ++6000）=250000+6000a （•0<a<25）． ∴农民总销售收入增加了（250000+6000a ）-250000=6000a （元）．17．（1）过点E ，F 分别作y 轴，x 轴垂线，垂足分别为D 、C ，则△AOB ，△FCA ，△DBE•为等腰直角三角形．设P （x 0，y 0），则FC=y 0，DE=x 0，0，∴AF·0=2x 0y 0， 又y 0=012x ，即2x 0y 0=1，∴AF ·BE=1； （2）平行于AB 的直线L 的解析式为y=-x+b ，设L 与双曲线的惟一公共点Q 的坐标为（x ，y ）．联立12y x b y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩， 得2x 2-2bx+1=0，由△=4b 2-8=0，得所以x=2，y=2，即Q 点的坐标为（2，2）． 18．（1）y=9x ，x>0； （2）S=π（x 2+y 2）=π [x 2+（9x ）2]≥18π， 当且仅当x=9x ，即x=3，S 最小=18π，此时，y=9x=3， 所以当点A 的坐标为（3，3）时，矩形的外接圆面积S 最小，S 的最小值为18π．（3）存在，如图，设AB 与y 轴相交于点E ，由已知得A （3，3），Q （0，2），P （-2m，0）， ∴S △PAQ =S 梯形APOE -S △AEQ -S △OPQ =12 [（-2m +3）×3-1×3-2×（-2m ）]=3-1m． ∴3-1m =16×36，解得m=-13．19．（1）E （a ，1-a ），F （1-b ，b ）（2）当PM 、PN 和线段AB 相交时，S △EOF =S △AOB -S △AOE -S △BOF =12×1×1-12×1×（1-a ）-12×1×（-b ）=12a b +-．• 当PM 、PN 中一条与线段AB 相交，另一条与线段AB 的延长线相交时，也可求得S △EOF =12a b +-． （3）△AOF 一定和△BOE 相似，∵OA=OB=1，∴∠OAF=∠EBO ，，，∴点P在函数y=12x图象上，∴b=12a，即：2ab=1．∴AF OAOB BE=，∴△AOF∽△BEO．（4）当点P在曲线上移动时，△OEF中，∠EOF=45°，∵△AOF和△BOE一定相似，•∴∠AFO=∠BOE而∠AFO=∠B+∠BOF，∠BOE=∠BOF+∠EOF，∴∠EOF=45°．。
奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三上部分,共)-58-60
初三上参考答案（6）练习58一.1. 90 2. 712+n 3. 1，3＋3 4. －1 5. －26. a 2－2b,当a 2－2b ＜0时无解7. 2，－28.②3（a+b ）(b+c)(c+a)9. a,b, 2b a + 10. x=y=z=w=±17 二.①B ②C ③C ④A ⑤C 三.① －3，1，2153±－ ②－41，－1，－5 ③2（增根－1） 四.（仿例4）五.已知两边乘以x-1得x 5=1, 原式=x 1985(x 4+x 3+x 2+x)=1×(-1)=-1练习591. ①-1或3 ②3且-3 ③ x ≥1且 x ≠3 ④1或-1或3或-3 ⑤x=1且y=1；…… 2 ①x>0或x<0 ②a<-3或-3<a<3或a>3… 3只有④假命题 4①2或-3③3<x<6 5有4个解 6.2<x<5 7.0<a -1<1 8.a+b>0 9. 40 ≤∠B ≤75 10.(C)11. a=3且b=1 12.大于或等于1.练习601①60 ②北偏西25 ③3 ④大于221；小于221；大于1；小于1 ⑤21<CosA<23, 33<tanA<3. 1. 由余弦定理得∠ADC=120度，再由正弦定理得AB=265. 2. 3. CD=(3-1)a 4. 152 5. 53 6.2)33(m + 7. 用公式S △=))()(-S(S c S b S a --，其中S=2c b a ++或先求最大边的高为8， S △=21×21×8=84 . 8. 由正弦定理得a ∶b ∶c=3∶5∶7 ，CosC=-21,∠C=120度 9. 应沿方位角141度48分的方向， 1小时可到达10. 左边==⋅=⋅=FGh h FC BF h FC h BF h 22…11.可由余弦定理求AC=3+1，∠C=120或60度……或AC=3-1，∠B=15或75度……4. 由正弦定理PN=① MA MR MNP S MP in ， NR=② MBMP MNP S MR in ，①÷②即可 5. 由正弦定理1<2R 2B S 1≤=in ， 21≤SinB<1 ， 30 ≤B<90 0<CoOSB ≤23， 由余弦定理1-a 2-c 2+3ac ≥0①，a 2+c 2-1>0②……。
初中数学竞赛辅导 含答案 第10讲 抛物线
初中奥数培优系列讲座第十讲 抛物线一般地说来，我们称函数c bx ax y ++=2 (a 、b 、c 为常数，0≠a )为x 的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：1．a 、b 、c 的符号决定抛物线的大致位置；2．抛物线关于ab x 2-=对称，抛物线开口方向、开口大小仅与a 相关，抛物线在顶点(ab 2-，a b ac 442-)处取得最值； 3．抛物线的解析式有下列三种形式：①一般式：c bx ax y ++=2；②顶点式：k h x a y +-=2)(；③交点式：))((21x x x x a y --=，这里1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个实根．确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有：(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x 轴所截得的弦长获得对称信息．【例题求解】【例1】 二次函数c bx x y ++=2的图象如图所示，则函数值0<y 时，对应x 的取值范围是 ．思路点拨 由图象知抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出b ，c 值，先求出0=y 时，对应x 的值．【例2】 已知抛物线c bx x y ++=2(a <0)经过点(一1，0)，且满足024>++c b a ．以下结论：①0>+b a ；②0>+c a ；③0>++-c b a ；④2252a ac b >-．其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个思路点拨 由条件大致确定抛物线的位置，进而判定a 、b 、c 的符号；由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系．【例3】 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN ＝4分米，抛物线顶点处到边MN 的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD ，使矩形顶点B 、C 落在边MN 上，A 、D 落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?思路点拨 恰当建立直角坐标系，易得出M 、N 及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A(x ，y )，建立含x 的方程，矩形铁皮的周长能否等于8分米，取决于求出x 的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．注： 把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．【例4】 二次函数223212-++-=m x x y 的图象与x 轴交于A 、两点(点A 在点B 左边)，与y 轴交于C 点，且∠ACB ＝90°．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设计两种方案：作一条与y 轴不重合，与△A BC 两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC 相似，并且面积为△BOC 面积的41，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设计的方案不必证明)．思路点拨 (1)A 、B 、C 三点坐标可用m 的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m 的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．注： 解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键．【例5】 已知函数1)1(2)2(22+--+=x a x a y ，其中自变量x 为正整数，a 也是正整数，求x 何值时，函数值最小．思路点拨 将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为23)2(212++-=+-=a a a a x ，因1230≤+<a ，12122-≤+-<-a a a a ，故函数的最小值只可能在x 取2-a ，2-a ，212+-a a 时达到．所以，解决本例的关键在于分类讨论．学历训练1．如图，若抛物线2ax y =与四条直线1=x 、2=x 、1=y 、2=y 所围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是 ．2．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为 ．3．如图，抛物线的对称轴是直线1=x ，它与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、C 的坐标分别为(-l ，0)、(0，23)，则(1)抛物线对应的函数解析式为 ；(2)若点P 为此抛物线上位于x 轴上方的一个动点，则△ABP 面积的最大值为 ．4．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，且OA ＝OC ，则由抛物线的特征写出如下含有a 、b 、c 三个字母的式子①1442-=-ab ac ，②01=++b ac ，③0>abc ，④0>+-c b a ，>0，其中正确结论的序号是 (把你认为正确的都填上)．5．已知1-<a ，点(1-a ，1y )，(a ，2y )，(1+a ，3y )都在函数2x y =的图象上，则( )A ．321y y y <<B ．231y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<6．把抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为532+-=x x y ，则有( )A ．3=b ，7=cB ．9-=b ，15-=cC ．3=b ，c ＝3D ．9-=b ，21=c7．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则点(b a +，ac )所在的直角坐标系是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．周长是4m 的矩形，它的面积S(m 2)与一边长x (m)的函数图象大致是( )9．阅读下面的文字后，回答问题：“已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A(0，a )，B(1，-2) ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线2=x ．题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．(1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不能，说明理由．(2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整．10．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1. 8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?11．如图，抛物线和直线k kx y 4-= (0<k )与x 轴、y 轴都相交于A 、B 两点，已知抛物线的对称轴1-=x 与x 轴相交于C 点，且∠ABC ＝90°，求抛物线的解析式．12．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若△ABC 是直角三角形，则=ac ．13．如图，已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于 ．14．已知二次函数c bx ax y ++=2，一次函数4)1(2k x k y --=．若它们的图象对于任意的实数是都只有一个公共点，则二次函数的解析式为 ．15．如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A ，B ，E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系式中不能总成立的是( )A ．b=0B ．S △ADC ＝c 2 C ．ac ＝一1D ．a+c ＝016．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数c bx x y ++=2的图象过点(1，0)…求证：这个二次函数的图象关于直线2=x 对称．根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是( )A ．过点(3，0)B ．顶点是(2，一2)C ．在x 轴上截得的线段长为2D ．与y 轴的交点是(0，3)17．已知A(x 1，2002)，B(x 2，2002)是二次函数52++=bx ax y (0≠a )的图象上两21x x x += 时，二次函数的值是( )A ．522+a bB ．542+-ab C ． 2002 D ．518．某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量(单位：吨)与费用(单位：万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1所示)；该产品的年销售量(单位：吨)与销售单价(单位：万元／吨)之间函数的图象是线段(如图2所示)．若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大?(毛利润＝销售额一费用)．19．如图，已知二次函数222-=x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，直线：x ＝m(m>1)与x 轴交于点D ．(1)求A 、B 、C 三点的坐标；(2)在直线x ＝m (m>1)上有一点P (点P 在第一象限)，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求P 点坐标(用含m 的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，试问：抛物线222-=x y 上是否存在一点Q ，使得四边形ABPQ 为平行四边形?如果存在这样的点Q ，请求出m 的值；如果不存在，请简要说明理由．20．已知二次函数22--=x x y 及实数2->a ，求(1)函数在一2<x ≤a 的最小值；(2)函数在a ≤x ≤a+2的最小值．21．如图，在直角坐标：x O y 中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，3-)，且在x 轴上截得的线段AB 的长为6．(1)求二次函数的解析式；(2)在y 轴上求作一点P (不写作法)使PA+PC 最小，并求P 点坐标；(3)在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q 、A 、B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似?如果存在，求出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由．22．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax 2+2x+3(a≠0)，当实数a 变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a 变化时，若把抛物线y=ax 2+2x+3的顶点的横坐标减少a 1，纵坐标增加，得到A 点的坐标；若把顶点的横坐标增加a 1，纵坐标增加a1，得到B 点的坐标，则A 、B 两点一定仍在抛物线y=ax 2+2x+3上．(1)请你协助探求出当实数a 变化时，抛物线y=ax 2+2x+3的顶点．．所在直线的解析式； (2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗?并说明理由；(3)在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊—一般”的思想，你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由．参考答案。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答锐角三角函数
第十六讲锐角二角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论： 在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等•正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究， 1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式.三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系， 是数形结合的桥梁之一， 有以下丰富的性质：1 •单调性；2•互余三角函数间的关系； 3•同角三角函数间的关系. 一、一 2 2平方关系：Sin a +COS a =1 ；sincos ■商数关系：tg a =, Ctg a =— coso since倒数关系：tg a Ctg a =1 • 【例题求解】5【例1】 已知在△ ABC 中，/ A 、/ B 是锐角，且 si nA =, tan B=2 , AB=29cm ,13 则 ABC = •思路点拨 过C 作CD 丄AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= CD = 5，AC 13CDtanB= CD =2，设 CD=5m , AC = 13m , CD = 2n , BD = n ,解题的关键是求出 m 、n 的值. BD 注：设△ ABC 中，a 、b 、c 为/ A 、/ B 、/ C 的对边，R ABC 外接圆的半径，不难证 明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：111S ^ABC = bcsin Aacsin BabsinC ;22 2由15 °构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化. 注：(1 )求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形.(2)求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换. 【例3】 如图，已知△ ABC 是等腰直角三角形，/ ACB = 90°，过诧C 的中点D 作DE 丄 AB 于E ，连结 CE ，求sin / ACE 的值.思路点拨作垂线把/ ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比.【例4】 如图，在△ ABC 中，AD 是BC 边上的高,(1)求证：AC = BD ;⑵若 sinC= 12，BC=12，求 AD 的长.(1) (2)【例2】 asin A 如图, bsin B 在厶 c2R •sin CABC 中./ ACB = 90°，/ ABC = 15°，BC=1，贝U AC=(2.3B .2 - -3 C . 0.3 D • '一 3 - 一 2 思路点拨13思路点拨(1)把三角函数转化为线段的比，禾U用比例线段证明;⑵sinC= 12 =AD ，引入参数可设 AD=12 k , 13 AC【例5】 已知：在 Rt △ ABC 中，/ C=90 ° , （1）求实数p 、q 应满足的条件；2⑵若p 、q 满足（1）的条件，方程x px=0的两个根是否等于 Rt △ ABC 中两锐角A 、B 的正弦？思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立 p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性, 建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件.学历训练1 .已知a 为锐角，下列结论① sin a +cos a =l ；②如果a >45 °,那么sin a >COS a ；③如 果 cos a > 1 ，那么 a <60°； ④.(sin a -1)2 =1 _sin 二.正确的有.2. 如图，在菱形ABCD 中，AE 丄BC 于E , BC =1 , cos 嗚，则这个菱形的面积为.3. 如图，/ C=90°,/ DBC=30 ° , AB = BD ，利用此图可求得 tan75° =.― ----- !子 Ta4.化简 ：_____ // ABC（1） .tan 2 27 "tan 2 6T 二2 匸.（第2甌'第3题）2 2 2 2（2） sin l ° +sin 2 ° + …+sin 88° +sin 89° =.5. 身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛.三人放出风筝线长、线与地面夹角如下 表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（）A .甲的最高B .丙的最高C .乙的最低D .丙的最低则AD 的长为（6.已知 sin aA . 鱼7. 如图， 2 在厶是（)A . V3学cos a=^，且 0°< a <45 ° CO a -Sin a的值为（）B . 2、3 ,/ ABC = 30°, 34D 是AC 的中点，贝U ctg / DBC的值&如图, 在等腰 Rt △ ABC 中./ C = 90 ° , AC = 6, D 是 AC 上一点，若 tan / DBA=AC = 13k .B .上 2ABC 中，/ C = 90°29.已知关于x 的方程4x -2（m 1）x ^0的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦， 求m 的值.A . .2C .D . 2.2310. 如图，D 是厶 ABC 的边 AC 上的一点，CD=2AD , AE 丄BC 于 E,若 BD = 8, sin / CBD=—,3求AE 的长.3；711 .若 0 ° < a <45°，且 si n a con a = ，贝V si n a =.1612.已知关于x 的方程3x2 _4x sin .j 2(1 —cos:•) =0有两个不相等的实数根， a 为锐角，那么a 的取值范围是.13. 已知是厶 ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式(2b)2 =4(c ，a)(c-a)，且有5a-3c=0，贝U17 .己在△ ABC 中，a 、b 、c 分别是/ A 、/ B 、/ C 的对边，且 c= 5. 3，若关于x 的方程 (53 b)x 2 2ax (5.3 -b^0有两个相等的实根， 又方程2x 2 -(10sinA)x ，5sinA =0的两实 根的平方和为6，求△ ABC 的面积.18 .如图，已知 AB=CD=1，/ ABC = 90。
初中奥数竞赛试题及答案
初中奥数竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 若\( a \)和\( b \)是方程\( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \)的两个实数根，则\( a^2 + b^2 \)的值等于（）A. 17B. 23C. 27D. 31答案：D解析：根据韦达定理，\( a + b = \frac{5}{2} \)，\( ab = \frac{3}{2} \)。
所以，\( a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab =\left(\frac{5}{2}\right)^2 - 2 \times \frac{3}{2} = \frac{25}{4} - 3 = \frac{25 - 12}{4} = \frac{13}{4} \times 2 = 31 \)。
2. 若\( x \)是方程\( 4x - 3 = 2x + 5 \)的解，则\( 3x - 2 \)的值等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C解析：解方程\( 4x - 3 = 2x + 5 \)，得\( 2x = 8 \)，即\( x = 4 \)。
所以，\( 3x - 2 = 3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = 10 \)。
3. 若\( a, b, c \)是等差数列的前三项，且\( a + b +c = 12 \)，\( abc = 27 \)，则该等差数列的公差是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：由题意得\( a + b + c = 3a = 12 \)，即\( a = 4 \)。
又因为\( abc = 27 \)，所以\( b \times 4 \times c = 27 \)，即\( bc = \frac{27}{4} \)。
因为\( b \)和\( c \)是等差数列的第二项和第三项，所以\( c - b = d \)。
由\( a + b + c = 12 \)得\( b + c = 8 \)，即\( c = 8 - b \)。
初三奥数题及答案
初三奥数题及答案题目一：几何问题已知一个圆的半径为5厘米，圆内接一个等腰三角形，三角形的底边恰好是圆的直径。
求三角形的高。
解答：设等腰三角形的底边为AB，高为CD，其中A、B是圆上的两点，C是三角形的顶点。
由于AB是圆的直径，所以AB=10厘米。
设圆心为O，根据勾股定理，我们可以计算出OC的长度。
由于三角形AOC是直角三角形（因为OC是高，且AO是半径），我们有：\[ OC^2 + AC^2 = AO^2 \]\[ OC^2 + (5)^2 = (5\sqrt{2})^2 \]\[ OC^2 + 25 = 50 \]\[ OC^2 = 25 \]\[ OC = 5 \]由于三角形ABC是等腰三角形，所以AC=BC，我们可以设AC=BC=x厘米。
根据勾股定理，我们有：\[ x^2 = 5^2 + (10/2 - x)^2 \]\[ x^2 = 25 + (5 - x)^2 \]\[ x^2 = 25 + 25 - 10x + x^2 \]\[ 10x = 50 \]\[ x = 5 \]所以，三角形的高CD等于OC，即5厘米。
题目二：数列问题一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是其前三项的和。
求这个数列的前10项。
解答：已知数列的前三项为a_1=1, a_2=1, a_3=2。
根据题意，我们可以计算出后续项：- 第四项：a_4 = a_1 + a_2 + a_3 = 1 + 1 + 2 = 4- 第五项：a_5 = a_2 + a_3 + a_4 = 1 + 2 + 4 = 7- 第六项：a_6 = a_3 + a_4 + a_5 = 2 + 4 + 7 = 13- 以此类推，我们可以继续计算出后续项。
数列的前10项为：1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149。
题目三：组合问题有5个不同的球和3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，求所有可能的放球方式。
初三数学竞赛及答案(K12教育文档)
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2010年广州市白云区初三数学竞赛试卷（完成时间:120分钟，满分100分）学校 姓名 得分一、选择题(下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．共8个小题，每小题3分，共24分）1．在平面直角坐标系中,点A （x ，2y -）在第四象限，那么点B(2y -，x -）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 计算(-2)2005+（-2）2006所得结果是( )A. 2B. －2C. 1 D 。
220053．在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干,要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量,于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗?这些箱子的个数是( ）A ．9B ．8C ． 7D ．64．已知2110 x x x x-<<，则，，的大小关系是（ ）（A ）21x x x << （B ）21x x x <<（C ）21x x x << （D)21x x x<<5． 13个小朋友围成一圈做游戏，规则是从某一个小朋友开始 按顺时针方向数数，数到第13,该小朋友离开；这样继续 下去。
，直到最后剩下一个小朋友. 小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从几号小朋友开始数起？(A ）7号 （B)8号 （C ）13号 （D)2号 （第4题)6．已知22204(2) a b x a b y b a x y =++=-、是实数，，，则、的大小关系是（ ） (A)x y < （B ） x y > （C ） x y ≤ （D)x y ≥7．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有 ( ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种8。
初三数学竞赛辅导练习题及答案
数学竞赛辅导练习题2006、10、22一、 选择题：1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）184、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个6、计算的值是（ ）。
（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－2。
7、△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（ ）。
（A ）12；（B ）16；（C ）24；（D ）30。
8、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）。
9、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝998，DC ＝1001，AD ＝1999，点P 在线段AD 上，则满足条件∠BPC＝90°的点P 的个数为（ ）。
（A ）0；（B ）1；（C ）2；（D ）不小于3的整数。
10、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。
初三奥数竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分。
）1、如图，有一块矩形纸片ABCD， AB＝8，AD＝6。
将纸片折叠，使得AB边上，折痕为 AE，再将△ AED沿 DE向右翻折， AE与 BC的交点为的面积为（）A、2B、4C、6D、8AD 边落在F，则△ CEFA B A D D B ABFD CE C E C答： A解：由折叠过程知， DE＝ AD＝6，∠ DAE＝∠ CEF＝ 45°，所以△ CEF 是等腰直角三角形，且 EC＝ 8－ 6＝ 2，所以， S△CEF＝22、若 M＝3x28xy9y 24x 6 y13（，是实数），则M 的值一定是（）x yA、正数B、负数C、零D、整数解：因为 M＝3x28x y9 y24x 6 y 13 ＝ 2( x2y) 2( x2) 2( y3)2≥0且 x 2y ， x 2 ， y3这三个数不能同时为0，所以 M≥0BA 13、已知点 I 是锐角三角形 ABC的内心， A ， B ，C 分别是C1D111点 I 关于边 BC， CA，AB的对称点。
若点 B 在△ A1B1C1的外接I圆上，则∠ ABC等于（）AC A、30°B、45°C、60°D、 90°答： C B 1解：因为 IA 1＝IB 1＝ IC1＝ 2r （r 为△ ABC的内切圆半径），所以点 I 同时是△ A1B1C1的外接圆的圆心，设 IA 1与 BC的交点为 D，则 IB ＝IA 1＝2ID，所以∠ IBD＝ 30°，同理，∠ IBA＝30°，于是，∠ ABC＝60°4、设 A＝48(111) ，则与A最接近的正整数为（）32442410024A、18B、20C、24D、25答： D解：对于正整数 mn ≥ 3 ，有n 21 1 (1 1 )，所以 A ＝4 4 n2n2481(1 11)(111) 12 (1 1 1 1111 1 )42985610223499100101102＝25 12(1111)99100101102因为12 (11 11)＜12 4 ＜ 1 ，所以与 A 最接近的正整数为 25。
初三奥数竞赛试题及解答
ABCD 全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。
请将正确答案的代号填在题后的括号里）1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ）A 、P M =B 、P MC 、P MD 、不确定答案：B解析：∵3c b a M ++=，2b a N +=，222c b a c N P ++=+=，122cb a P M -+=- ∵c b a ∴0122122=-+-+=-cc c c b a P M ，即0 P M -，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）答案：C解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A解析：由题意知3×（甲－乙）151025=-= ∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个答案：B解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41+-=，N y 525+-=，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N +-，且0525≤+-N ，∴541≤≤N ，即1=N ，2，3，4，55、设a ，b ，c 分别是ABC ∆的三边的长，且cb a ba ba+++=，则它的内角A ∠、B ∠的关系是（ ）A 、AB ∠∠2 B 、A B ∠=∠2C 、A B ∠∠2D 、不确定答案：B解析：由c b a b a ba +++=得c a bb a +=，延长CB 至D ，使AB BD =，于是c a CD +=在ABC ∆与DAC ∆中，C C ∠=∠，且DCACAC BC =∴ABC ∆∽DAC ∆，D BAC ∠=∠ ∵D BAD ∠=∠∴BAC D BAD D ABC ∠=∠=∠+∠=∠226、已知ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，111C B A ∆的三边长分别为1a ，1b ，1c ，面积为1S ，且1a a ，1b b ，1c c ，则S 与1S 的大小关系一定是（ ）A 、1S SB 、1S SC 、1S S =D 、不确定答案：D解析：分别构造ABC ∆与111C B A ∆如下：①作ABC ∆∽111C B A ∆，显然1211 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a S S ，即1S S ；②设101==b a ，20=c ，则1=c h ，10=S ，10111===c b a ，则10100431 ⨯=S ，即1S S ；③设101==b a ，20=c ，则1=c h ，10=S ，2911==b a ，101=c ，则2=c h ，101=S ，即1S S =；因此，S 与1S 的大小关系不确定。
(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用第一讲 走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。
【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。
【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。
思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。
【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值。
思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。
初中数学奥林匹克竞赛题和答案
初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。
2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x²，x3都是单项式．两个单项式x3，x²之和为x3+x²是多项式，排除A。
两个单项式x²，2x2之和为3x2是单项式，排除B。
两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。
3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。
4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。
6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。
7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。
8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。
初三(上)数学竞赛辅导
九年级数学竞赛辅导材料（上）45、一元二次方程的根46、完全平方数和完全平方式47、配方法48、非负数49、对称式50、基本对称式51、待定系数法52、换元法53、条件等式的证明54、整数解55、未知数比方程个数多的方程组解法56、列表法57、逆推法58、观察法59、“或者”与“并且”60、解三角形初中数学竞赛辅导资料（45）一元二次方程的根一、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题）解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42- 依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习451. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11 ＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1986年全国初中数学联赛题）6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.（1987年泉州市初二数学双基赛题）7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定 （1989年全国初中数学联赛题）8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 （1990年泉州市初二数学双基赛题）10. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围. （1997年泉州市初二数学双基赛题）13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛题）17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m 的取值范围是（ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1（1995年全国初中数学联赛题）18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解（1990年全国初中数学联赛题）返回目录 参考答案练习451. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1, m>1）15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C初中数学竞赛辅导资料为（46）完全平方数和完全平方式一、内容提要一定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数.例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.二、例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根三、练习461. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解.(1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题)练习461. 1，2，5，6，7，02. 0，3，33. 04. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除5. 5。