特殊平行四边形典型例题解 析题

一、参考例题

［例1］如下图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.

(1)求证：EO=FO

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论.

分析：(1)要证明OE=OF，可借助第三条线段OC，即

证：OE=OC，OF=OC，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证△OEC、△OCF是等腰三角形，由已知条件即可证明.

(2)假设四边形AECF是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角.

由已知可得到：∠ECF=90°，由(1)可证得OE=OF，所以要使四边形AECF是矩形,只需OA=OC.

证明：(1)∵CE、CF分别是∠ACB、∠ACD的平分线.

∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF

∵MN∥BC

∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD

∴∠ACE=∠OEC，∠ACF=∠OFC

∴OE=OC，OF=OC

∴OE=OF

(2)当点O运动到AC的中点时，即OA=OC

又由(1)证得OE=OF

∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)

由(1)知：∠ECA+∠ACF=∠ACB+∠ACD= (∠ACB+∠ACD)=90°

即∠ECF=90°

∴四边形AECF是矩形.

因此：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.

［例2］如下图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于

O，OF⊥AD于F，OF=3 cm，AE⊥BD于E，且BE∶ED=1∶3，求AC的长.

分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出BE=OE，进而得出AB=AO，即得出

BE=OF=3 cm，求出BD的长，即AC的长.

解：∵四边形ABCD是矩形.

∴AC=BD,OB=OD=OA=OC

又∵BE∶ED=1∶3

∴BE∶BO=1∶2

∴BE=EO

又∵AE⊥BO

∴△ABE≌△ADE

∴AB=OA即AB=AO=OB

∴∠BAE=∠EAO=30°，∠FAO=30°

∴△ABE≌△AOF

∴BE=OF=3 cm,∴BD=12 cm

∴AC=BD=12 cm

二、参考练习

1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长.

解：连结BD、BE、DF

由折叠的意义可知：EF⊥BD，EF平分BD.

∴BE=ED,BF=FD

∵四边形ABCD为矩形

∴AB=CD，AD=BC，∠C=90°，AD∥BC

∴∠EDO=∠FBO

∵点B和D重合

∴BO=DO，∠BOF=∠DOE

∴△BOF≌△DOE

∴ED=BF，∴ED=BF=FD=BE

∴四边形BFDE是菱形

S菱形=×BD×EF=BF×CD

∵BF=DF，∴可设BF=DF=x

则FC=8－x

在Rt△FCD中，根据勾股定理得：

x2=(8－x)2+62

x=

∴

EF=7.5

因此，折痕EF的长为7.5 cm.

2.当平行四边形ABCD满足条件_________时，它成为矩形(填上你认为正确的一个条件即可).

答案：∠BAC=90°或AC=BD或OA=OB或∠ABC+∠ADC=180°或

∠BAD+∠BCD= 180°等条件中的任一个即可.

典型例题

例1 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且

，求：

（1）

的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．

分析 （1）由E为AB的中点，

，可知DE是AB的垂直平分线，从而

，且

，则

是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而

，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知

解 （1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴

是AB的中点，且

，∴

∴

是等边三角形，∴

也是等边三角形．

∴

（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，

∴

∴

，∴

（3）菱形ABCD的面积

说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．

例2 已知：如图，在菱形ABCD中，

于

于 F．

求证：

分析 要证明

，可以先证明

，而根据菱形的有关性质不难证明

，从而可以证得本题的结论．

证明 ∵四边形ABCD是菱形，∴

，且

，∴

，∴

，

，

∴

，

∴

例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，

，

，求

的度数.

解答：连结AC.

∵四边形ABCD为菱形， ∴

，

.

∴

与

为等边三角形.

∴

∵

，

∴

∴

∴

∵

，

∴

为等边三角形.