高中数学奥林匹克训练题及答案
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)模拟卷(全国高中数学联赛一试)(解析版)
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题1参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知函数()sin()f x x 是定义在R 上的偶函数，则cos(2) 的值为 ． 答案：0．解：由于()sin()f x x 是偶函数，故()2k kZ ，所以 cos(2)cos cos sin 02k k． 2．若关于z 的复系数一元二次方程2i 0()z z R 的一个根为11z =，则另一个根2z ．答案：i 12． 解：由题意得201i 1 ，解得i 12．因此12i 12i z z ，所以2i 12z ． 3．设数列{}n a 的通项公式为2[log ]n a n n ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则{}n a 的前32项和为 ．答案：631．解：事实上，22[log ][log ]n a n n n n ．而当1n 时，2[log ]0n ；当2,3n 时，2[log ]1n ；当4,5,6,7n 时，2[log ]2n ；当8,9,,15n 时，2[log ]3n ；当16,17,,31n 时，2[log ]4n ；当32n 时，2[log ]5n ，因此{}n a 的前32项和为321232102142831645631S ．4．已知向量,a b的最小值为 ．答案：2．解：设向量,a b的夹角为 ，其中(0,) ，则． 令254()((1,1))1x f x x x ，则222(2)(21)()(1)x x f x x ．因此()f x 在11,2 单调递减，1,12单调递增，所以()f x 的最小值为142f ．2，此时1cos 2 ． 5．在梯形ABCD 中，,2260A D C A B B ，M 为CD 边点Q （异于的中点，动点P 在BC 边上，ABP 与CMP 的外接圆交于点P ），则BQ 的最小值为 ．1．解：由熟知的结论，,,ABP CMP AME 的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在AME 的外接圆上，如图所示．而AME 是直角三角形，故其外接圆半径1R AD ．在ABD中，由余弦定理，BD ，所以BQ1，此时P 在线段BC 上，且CP ．6．已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，过 的右焦点F 且斜率为3的直线与 交于,A B 两点，与 的渐近线交于,C D 两点．若||5AB ，则||CD ．答案：．7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90 的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2 ，则该圆台体积的取值范围是 ．答案：．解：设圆台上底面为圆1O ，半径为1R ，下底面为圆2O ，半径为2R ，圆台母线为l ．由圆台的侧面积为2 可得21(222)π2lR R ，故212l R R ①．由侧面展开是圆心角为90 的扇形所截得的扇环，可得 11122222l R l l R，故2144l R R ②．因此圆台的高21)h R R ，圆台的体积2222121212211(()3)V R R h R R R R R R ．结合①②可得222112R R．由于210R R，故21R R．令21x R R ，则12124124x R x x R x，进而可得3134V x x ．令31()34f x x x x ，则43()304f x x ．因此()f x在 上单调递增，故()f x f ．所以V ，即圆台体积的取值范围是 ． 8．用 表示11元集合{1,2,3,,10,2024}A 的三元子集的全体．对 中任意一个三元子集{,,}()T x y z x y z ，定义()m T y ，则()T m T的值为 ．答案：990．解：不妨将集合A 视为{}1,2,3,,10,11 （这是因为，将“2024”改成“11”不影响每个()()m T T 的值）．对每个T ，定义*{12|}T t t T ，则*T ，且*)12()(T m T m ． 由于当T 遍历 的所有三元子集时，*T 也遍历 的所有三元子集，所以**311()666C 990()()(2)T T T T m T m T m T m T ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）已知,,0a b c ，二次函数2()f x ax bx c 存在零点，求a b cb c a的最小值．解：令,b c m n a a ，则,0m n 且1a b c mn b c a m n．由题意得240b ac ，即24m n，故m ．考虑11()f m m m n，则()f m在) 上单调递增．所以()a b c f m n f n n b c a，当n m 时等号成立．因此a b c b c a． 10．（本题满分20分）在ABC 中，,30AB AC BAC ．在AB 边上取五等分点12345,,,,T T T T T （12345,,,,,,A T T T T T B 顺次排列）．记(1,2,3,4)k k BT C k ，求31141tan tan tan tan tan tan k k k A B 的值．解：在AB 延长线上任取一点D ，记05,A DBC B ，则所求式子即为410tan tan kk k．为方便，记05,T A T B ．作CH AB 于点H ，则tan (04)k k CH k T H（这里及以下，有向线段的方向约定为AB方向）．注意到,30AB AC BAC ，有111112tan tan 555k k k k k k AC T H T H T T ABCH CHCH CH ， 故115tan tan (tan tan (04))2k k k k k ．进而4411500055tan tan (ta )n tan (tan tan 22)k k k kk k575tan tan (252126211．（本题满分20分）已知A 是抛物线22(0)y px p 上一点（异于原点），斜率为1k 的直线1l 与抛物线恰有一个公共点A （1l 与x 轴不平行），斜率为2k 的直线2l 与抛物线交于,B C两点．若ABC 是正三角形，求12k k 的取值范围．解：设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y ．设直线):(A A AB y y t x x −=−，代入抛物线22y px 得2220A A y p y y p x t t ，故2B A p y y t． 设直线):(A A AC y y s x x ，同理可得2C A py y s． 由AB AC 知2222111)(1()B A C A y y y y t s． 不妨设,,A B C 是绕着ABC 的重心逆时针排列的，则由3BAC知s t ，代入化简得)2A A p t y t p y t．结合t 0t 时B A y y 与C A y y 同号可知A py ， 又22B C B C B C y y p k x x y y，进而121112B C AA y y k p k y t s y ，代入化简得1211k k0,t ． 因此121111,,00,227k k．当t时，易知AC x 轴，B 位于坐标原点，此时12122B C A y y k k y．而0,t 均不符合题意．k k 的取值范围是1(1,0)0,7．因此，12。
数学奥林匹克高中训练题(218)及解析及解析
数学奥林匹克高中训练题(218)注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、解答题△BOC 、△COA 、△AOB 的面积值依次成等差数列.求tanA +3tanC 的最小值，并求出此时三个内角的值.2.设x i ≥0(i =1,2,⋯,6)，且满足{x 1+x 2+⋯+x 6=1,x 1x 3x 5+x 2x 4x 6≥1540. 求x 1x 2x 3+x 2x 3x 4+x 3x 4x 5+x 4x 5x 6+x 5x 6x 1+x 6x 1x 2的最大值.3.设A 为正常数，直线l 与双曲线C:x 2−y 2=2(x >0)所围成的有限部分的面积为A.证明：（1）直线l 被双曲线C 所截线段的中点的轨迹为双曲线； （2）直线l 总是（1）中轨迹曲线的切线.4.如图，设△ABC 的外接圆为⊙O ，∠BAC 的角平分线与BC 交于点D ，M 为BC 的中点.若△ADM 的外接圆⊙Z 分别于AB 、AC 交于P 、Q ，N 为PQ 的中点，证明：MN//AD .5.设a 1,a 2,⋯,a n ,b 1,b 2,⋯,b n>0.证明：(∑a i b i ni=1)2≤(∑f (a i b i )ni=1)(∑g (a i b i )ni=1) ≤(∑a i 2ni=1)(∑b i 2ni=1)对所有正整数n 恒成立的充分必要条件为{f (a,b )g (a,b )=a 2b 2,f (ka,kb )=k 2f (a,b )(k >0,)bf (a,1)af (b,1)+af (b,1)bf (a,1)≤a b +b a .6.求满足以下条件的正整数r 的最大值：集合{1,2,⋯,1000}中任意五个500元子集，均存在两个子集至少有r 个相同的元素.7.设P (x )=(x+√x 2−4)b +(x−√x 2−4)b2b，其中，b 为正奇数.定义数列{S i }满足S i=P (S i−1)，S 0=P (6).若正整数n ≥2，使得M =b 2n +12为素数.证明：M |(S 2n −1−6) .二、填空题8.设x 、y 为正实数，且θ≠nπ2(n ∈Z ).若sinθx =cosθy ，且cos 4θx 4+sin 4θy 4=97sin2θx 3y+y 3x，则y x +xy=______.9.设a 、b 、c ≥1，且正实数x 、y 、z 满足{a x +b y+c z =4,xa x +yb y+zx z =6,x 2a x +y 2b y+z 2c z =9.则c 的最大可能值为_______.10.在棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱BB 1、B 1C 1的中点.若P 为平面DMN 内一个动点，当点P 到平面BCC 1B 1的距离等于PD 的长时，点P 轨迹的离心率为________.11.二次曲线(3x +4y −13)(7x −24y +3)=200的焦点之间的距离为________. 12.设数列{a n }、{b n }满足a 0=2，b 0=2，且{a n+1=a n √1+a n 2+b n 2−b n ,b n+1=b n √1+a n 2+b n 2+a n .则a 20172+b 20172=______.13.设非实数的复数z ，满足z 23=1.则∑11+z k +z2k22k=0=______.14.将{1,2,⋯,7}随机排成{a 1,a 2,⋯,a 7}.则a 1+a 2+a 3≥a 5+a 6+a 7的概率为______. 15.设r=1+√52.计算7arctan 2r +2arctan 2r 3−arctan 2r 5=_______.参考答案1.π4、arctan2、arctan3【解析】1.设△ABC 的外接圆半径为R. 由题意知2S ΔCOA=S ΔBOC +S ΔAOB ⇒R 2sin2B =12(R 2sin2A +R 2sin2C )⇒2sin2B =sin2A +sin2C ⇒2cosB =cos (A −C )⇒2cos (A +C )+cos (A −C )=0⇒sinA ⋅sinC =3cosA ⋅cosC⇒tanA ⋅tanC =3.而tanA +3tanC ≥2√3tanA ⋅tanC =6，当且仅当tanA=3，tanC =1时，等号成立.又tanA +tanB+tanC =tanA ⋅tanB ⋅tanC ⇒tanB =2.此时，三个角依次为π4、arctan2、arctan3. 2.19540【解析】2. 设S=x 1x 2x 3+x 2x 3x 4+x 3x 4x 5+x 4x 5x 6+x 5x 6x 1+x 6x 1x 2.由(x 1+x 4)(x 2+x 5)(x 3+x 6)≤(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6)227=127， (x 1+x 4)(x 2+x 5)(x 3+x 6)=x 1x 3x 5+x 2x 4x 6+S ≥1540+S ， 则S≤127−1540=19540.当x 1=0，x 2=160，x 3=0，x 4=13，x 5=1960，x 6=13时，上式等号成立.3.（1）见解析；（2）见解析【解析】3. 作坐标旋转，令x=√2，y =√2.代入双曲线C 的方程得(√2)2−(√2)2=2XY =2⇒Y =1X .（1）设在新坐标系中，直线l 与双曲线Y =1X 的两个交点为(s,1s )、(t,1t )(0<s <t ). 此时，直线l 的方程为Y=1t −1st−s(X −s )+1s=s+t−X st.故直线l 与双曲线Y=1X所围成的有限部分的面积为A ∫(s+t−X st−1X)dX ts=t 2−s 22st−ln t s=12(t s−s t)−ln ts.因为A 是常数，所以，由上述方程确定的ts 也是常数. 设t s=k ，即t =ks .于是，直线l 被双曲线所截线段的中点的横坐标为X =s+t 2=s+ks 2=1+k 2s ，纵坐标为Y=12(1s+1t)=12(1s+1ks).故所求中点的轨迹方程为Y =1+k 2s =(1+k )24k⋅2ks 1+k=(1+k )24kX.可见，中点的轨迹为双曲线. （2）对Y=(1+k )24kX求导得Y ′(X )=−(1+k )24kX2，这即是中点轨迹曲线上横坐标为点X 处曲线切线的斜率. 当X=1+k 2s 1时，切线斜率为Y =(1+k 2s)=−(1+k )24k⋅4(1+k )2s 2=−1ks 2，而通过点(1+k2s,1+k 2ks)的直线l 的方程为Y =s+t−X st=s+kx−X ks 2，其斜率就是−1ks 2.从而，直线l 为双曲线Y =(1+k )24kX的切线.4.见解析【解析】4. 如图.设AB=c ，BC=a ，AC=b.由BQ⋅AB=BD⋅BM⇒BQ=BD⋅BMAB=a22(b+c).类似地，CP=a22(b+c).于是，BQ=CP.联结BP、CQ，并设X、Y分别为其中点.则XN=∥12BQ=∥MY.类似地，NY=∥MX.故四边形NYMX为平行四边形.由BQ=CP，知四边形NYMX为菱形.从而，MN平分∠XNY.又AD平分∠BAC，因此，AD∥MN.5.见解析【解析】5.必要性.当n=1时(ab)2≤f(a,b)g(a,b)≤a2b2⇒f(a,b)g(a,b)=(ab)2.当n=2时，(a1b1+a2b2)2≤(f(a1,b1)+f(a2,b2))(g(a1,b1)+g(a2,b2))≤(a12+a22)+(b12+b22)⇒2a1a2b1b2≤f(a1,b1)g(a2,b2)+f(a2,b2)g(a1,b1)≤a12b22+a22+a22b12⇒2≤f(a1,b1)f(a2,b2)⋅a2b2a1b1+f(a2,b2)f(a1,b1)⋅a1b1a2b2≤a1b2a2b1a2b1a1b2.设a1=a，b1=b，a2=ka，b2=kb.则2≤f(a,b)f(ka,kb)k2+f(ka,kb)f(a,b)k−2≤2.故等号成立，即k2f(a,b)f(ka,kb)=1.再取a1=a，b1=1，a2=b，b2=1，有2≤f(a,1)af(b,1)b+f(b,1)bf(a,1)a≤ab+ba.充分性只要证：2a i b i a j b j≤f(a i,b i)g(a j,b j)+f(a j,b j)g(a i,b i)≤a i2b j2+a j2b i2.令a=a ib i，b=a jb j.则2≤f (a i ,b i )f(a j ,b j )⋅a jb j a i b i+f(a j ,b j )f (a i ,b i )+a ib i a j b j≤a ib j a j b i+a jb i a i b j.6.见解析【解析】6. 首先说明r ≤200.取k∈{1,2,⋯,10}.令A k ={100k −99,100k −98,⋯,100k }.考虑集合A 1∪A 5∪A 6∪A 7∪A 9，A 1∪A 2∪A 7∪A 8∪A 10， A 2∪A 3∪A 6∪A 8∪A 9，A 3∪A 4∪A 7∪A 9∪A 10， A 4∪A 5∪A 6∪A 8∪A 10，可以看出满足题意且每个集合均有200个元素.于是，r ≤200.定义a ij ={1,i ∈A j ;0,其他,m i=∑a ij 5j=1，其中，i =1,2,⋯,1000；j =1,2,⋯,5. 则∑m i =25001000i=1.由∑|A i ∩A j |1≤i<j≤5=∑C m i21000i=1=12(∑m i 21000i=1−∑m i 1000i=1)，∑m i 21000i=1≥11000(∑m i 1000i=1)2，知∑m i 21000i=1取最小值时，m i 之间尽量相差较小设有x 个2，y 个3. 则{x +y =1000,2x +3y =2500⇒x −y =500.故∑m i21000i=1≥500×22+500×32=6500 ⇒∑|A i ∩A j |1≤i<j≤5≥2000.从而，必存在1≤j <j ≤5，使得|A i ∩A j |≥2000C 52=200.因此，r≥200.7.见解析【解析】7.首先利用归纳法证明：S i =p 2bi+1+q 2b i+1，√S i 2−4=q2b i+1+p 2b i+1，其中，p=√2−1，q =√2+1，pq =1.. 显然，当i=0时，S 0=P (6)=2−b((6−4√2)b+(6+4√2)b)=(3−2√2)b +(3+2√2)b=p 2b +q 2b⇒√S 02−4=q 2b −p 2b .假设i 时成立，考虑i+1时的情形，有S i+1=P (S i )=2−b ((S i −√S i 2−4)b+(S i +√S i 2−4)b)=2−b((2p2b i+1)b+(2q2b i+1)b)=p 2bi+2+q 2bi+2.记N=2n−1，M =b 2n +12,由上面知S 2n −1=s N =p 2bN+1+q 2b N+1=p 2(2M−1)+q 2(2M−1)=p 4M−2+q 4M−2=(pq )2(p 4M−2+q 4M−2)=3(p 4M +q 4M )−2√2(q 4M −p 4M ).一方面，由二项式定理及费马小定理得p 4M+q 4M =(17−12√2)M+(17+12√2)M=∑(C M 2j−1172j−1×2(12√2)M−(2j−1))M+12j=1≡17M×2(12√2)≡17×2≡34(modM )，2√2(q 4M −p 4M )=2√2((17+12√2)M−(17−12√2)M)=2√2∑(C M 2j172j×2(12√2)M−2j)M−12j=0=∑(C M 2j172j ×4×12M−2j×2M−2j+12)M−12j=0≡C M 0170×4×12M×2M+12≡4×12×2≡96(modM ).故S 2n −1=3(p 4M +q 4M )−2√2(q 4M −p 4M )≡3×34−96≡6(modM ).即：M |(S 2n −1−6) .8.4【解析】8. 设x=ksinθ, y =kcosθ.则cos 4θsin 4θ+sin 4θcos 4θ=y 4x 4+x 4y 4,97sin2θx 3y+y 3x=194sinθ⋅cosθsinθ⋅cosθ(cos 2θ+sin 2θ)=194⇒y 4x 4+x 4y 4=194.又y 4x 4+x 4y4=((y x +x y)2−2)2−2，故xy +y x=4.9.√43【解析】9. 由柯西不等式(a x+by+c z )(x 2a x+y 2by+z 2c z )≥(xa x +yb y+zb z )2，而由已知得(a x +by+c z )(x 2a x +y 2b y+z 2c z )=4×9=62=(xa x +yb y+zb z )2所以x =y =z .因此a x +by+c z =a x +b x +c x =4，xa x +yb y +zx z =x (a x +b x+c x )=6⇒x =32.从而c x=4−a x −b x，因为a 、b 、c ≥1，故a =b =1时，c 取得最大值为√43.10.2√3417【解析】10.即P 到定点D 距离与到定直线MN 距离比为sinθ，其中θ为二面角P-MN-C 的平面角，所以e=sinθ=√22+(4×2√2)2=2√3417.11.2√10【解析】11. 先令x=X +3，y =Y +1.则21X 2−44XY −96Y 2=200.再令X=11√525a +2√525b ，Y =−2√525a +11√525b .于是，a 28−b22=1.从而，焦点之间距离为2√10. 12.322018−1【解析】12.注意到，1+a n+12+b n+12 =1+a n 2(1+a n 2+b n 2)+b n 2+b n 2(1+a n 2+b n 2)+a n 2 =(1+a n 2+b n 2)2. 则1+a n2+b n 2=32n+1⇒a 20172+b 20172=322018−1.13.463【解析】13.注意到，∑11+z k +z2k22k=0=13+∑1−z k1−z 3k 22k=1=13+∑1−(z 24)k1−z 3k22k=1=13+∑∑z 3kl 7l=022k=1=13+(22−7)=463.14.73140【解析】14.当a 4=1，3，5，7时满足a 1+a 2+a 3≥a 5+a 6+a 7有A 662,当a 4=2,4,6时满足a 1+a 2+a 3≥a 5+a 6+a 7有A 662+1,所以所求概率为A 662×4+(A 662+1)×3A 77=73140.15.7π28【解析】15.7arctan2(1+√52)+2arctan2(2+√5)−arctan2(11+5√52)=7π28。
全国高中数学奥林匹克竞赛试题
全国高中数学奥林匹克竞赛试题一、设集合A为所有满足条件“能被3整除且末位数字为7”的正整数的集合，集合B为所有满足条件“能被7整除且末位数字为3”的正整数的集合。
则集合A和B的交集：A. 只含有一个元素B. 含有有限个元素C. 含有无限多个元素D. 为空集（答案）C二、在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a + 2b = 3c，且sin A : sinB : sinC = 3 : 4 : 5，则cos C的值为：A. 1/5B. -1/5C. 3/5D. -3/5（答案）B三、已知函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d的图像经过点(0,1)，且在x=1处取得极值，在x=-1处取得最值。
则a+b+c的值为：A. -1B. 0C. 1D. 2（答案）D四、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = -23，且S10 = S14，则S20的值为：A. -110B. -90C. -70D. -50（答案）C五、已知椭圆C的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a > b > 0)，其左焦点为F，过F作直线l 交椭圆C于A、B两点。
若|AF| = 3|FB|，且cos∠BFA = -5/13，则椭圆C的离心率为：A. √2/2B. √3/2C. 2√2/3D. √5/3（答案）A六、设函数f(x) = ex - ax - 1，若存在唯一的实数x0，使得f(x0) = 0，则实数a的取值范围为：A. a < 0B. 0 < a < 1C. a > 1D. a = 1（答案）C七、已知向量a = (1,2)，b = (2,m)，若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是：A. m > -1 且 m ≠ 4B. m > 4C. m ≠ 4D. -1 < m < 4（答案）A八、设函数f(x) = ln(x + 1) - x2/2，若对所有的x ∈ [0, +∞)，都有f(x) ≤ ax + b ≤ x2/2 + ln(x + 1)成立，则a + b的最大值为：A. -1B. 0C. 1/2D. 1（答案）B。
高中数学竞赛试卷及解答
高中数学奥林匹克竞赛试题(9月7日上午9:00-11:00) 注意事项:本试卷共18题,满分150分一、选择题（本大题共6个小题,每小题6分,满分36分） 1.定义在实数集R 上的函数y ＝f(－x)的反函数是y ＝f －1(－x),则(A)y ＝f(x)是奇函数 (B)y ＝f(x)是偶函数(C)y ＝f(x)既是奇函数,也是偶函数 (D)y ＝f(x)既不是奇函数,也不是偶函数2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示。
记N ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|,M ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|,则(A)M ＞N (B)M ＝N (C)M ＜N(D)M 、N 的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数是(A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC 中,若(sinA ＋sinB)(cosA ＋cosB)＝2sinC,则(A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形5.ΔABC 中,∠C ＝90°。
若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根,则下列关系中正确的是(A)p ＝q 21+±且q ＞21- (B)p ＝q 21+且q ＞21-(C)p ＝－q 21+且q ＞21- (D)p ＝－q 21+且0＜q ≤216.已知A （－7,0）、B （7,0）、C （2,－12）三点,若椭圆的一个焦点为C,且过A 、B 两点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为(A)双曲线 (B)椭圆(C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分二、填空题（本大题共6个小题,每小题6分,满分36分）7. 满足条件{1,2,3}⊆ X ⊆{1,2,3,4,5,6}的集合X 的个数为＿＿＿＿。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
数学奥林匹克高中训练题(15)及答案.doc
数学奥林匹克高中训练题（15）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）2．(训练题20)把直线L 沿Y 轴平移sin cos 0θθ-≠个单位，再沿x0个单位，所得到的直线与原直线重合，则原直线的斜率为(B)．(A) 不存在 (B) θθsin cos --- (C) θθcos sin --- (D) θθsin cos +3．(训练题20)三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ．则CAD ∠与CBD ∠的关系为(D)．(A) CAD CBD ∠>∠ (B) CAD CBD ∠=∠ (C) CAD CBD ∠=∠ (D) 不确定4．(训练题20)设递增正数列12,,,n a a a 是分母为60的既约真分数．则1cos ni i a π==∑ (A)．(A) 0 (B)8 (C) 16 (D) 305．(训练题20)从正方体的８个顶点中取出３个顶点使至少有两个顶点在同一棱上，其取法数为(B)．(A)44 (B)48 (C)50 (D) 526．(训练题20)存在12,,,n x x x 满足210k x +=，且使1122310n n n x x x x x x x x -+++=成立的充要条件是(B)． (A) 2|n (B) 4|n (C) 6|n (D) 8|n二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题20)已知()tan(arctan )4f x x π=-则f2．(训练题20)递推数列，12211()n n n x x x ax bx n N ++==⎧⎨=+∈⎩， 若1996T =是使121T T x x ++==的最小自然数，则19961i i x -∑= 0 ． 3．(训练题20)在平面α上有一个ABC ∆，105,o ABC AC ∠==．在平面α的两侧分别有一点,S T ，满足5SA SB SC TA TB TC ======．则ST = 8 ． 5．(训练题20)在双曲线222x y -=上任取三点,,A B C ，则ABC ∆垂心H 的轨迹方程为222xy -=．6．(训练题20)对复数x，解析式u x x i x =+-+第二试一、(训练题20)(本题满分25分)在ABC ∆的AB 边上任取一点D 作//DE AC 交BC 于E ，连CD ．求证:CDE ∆的面积不超过原三角形面积的14． 二、(训练题20)(本题满分25分)求证:对于任给的正数a ，必存在一个自然数N ，使每一个大于N 的自然数n 都有唯一的自然数()f n ，使1010()1()n na f n f n <≤+． 三、(训练题20)(本题满分35分)对于坐标平面上的整点集{(,)|16,,}S x y x y x N y N =≤<≤∈∈，求证:从中任取11个点时必存在3个点，两两之间连线的斜率存在且不为零．四、(训练题20)(本题满分35分)设{1,2,,}(5)n S n n =≥.取,n n X S Y S ⊆⊆(无顺序),若X Y ⊆或Y X ⊆时，则称,X Y 为”包含子集对”，否则称为非包含子集对，问n S 中包含子集对多还是非包含子集多?证明你的结论.。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题参考答案
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题参考答案和评分标准本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A x x−=≤ − 集合2{20}Bx x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
答案 3m ≤− 解 集合11,2A xx=<≤要使A B ⊆，则21210m +×+≤，解得3m ≤−。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 []()1()f f x f x −=，则这样的函数有_______个. 答案：10 解 令()1{1,2,3}yf x =−∈，则()1f y y =+。
对(1)2f =以下三种情况都满足条件(2)(3)2;(2)(3)3;(2)(3)4f f f f f f ======，共3种。
同理对(2)3,(1)(3)f f f ==有3种情况；(3)4,(1)(2)f f f ==也有3种情况。
又(1)2,(2)3,(3)4f f f ===显然满足条件。
所以满足已知条件的函数共有331×+= 10个。
（可以看出这种映射的限制仅在值域上，因此也可对值域大小分类讨论。
）3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
答案：34解 令sin ,11t x t =−≤≤ ，原式变形11,1y t t=++当0t ≠时13,22y ≤≤。
当0t =时，1y =。
所以y 的最大、最小值分别为3122，，其积为34。
4.已知数列{}n x满足：111n x x x n +=≥，则通项n x =__________。
答案解 将已知条件变形得22111111n n x x n n +−=−+，将上式从1到n 叠加得到 2211111n x x n−=−，即n x =。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，若1,60BC BDC =∠= ，球心到平面BDC 的距离为______________。
高中奥林匹克试题及答案
高中奥林匹克试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，下列关于该函数的描述中，正确的是：A. 函数是奇函数B. 函数的对称轴为x = 2C. 函数的顶点坐标为(1, 0)D. 函数在(-∞, 1)上单调递减答案：D2. 若a, b, c是等差数列，且a + c = 2b，则下列等式中一定成立的是：A. a^2 + c^2 = 2b^2B. a^2 + c^2 = 4b^2C. a^2 + c^2 = b^2D. a^2 + c^2 = 6b^2答案：A3. 对于任意实数x，不等式x^2 - 6x + 8 ≥ 0的解集是：A. (-∞, 2] ∪ [4, +∞)B. (-∞, 4] ∪ [2, +∞)C. (-∞, 4] ∪ [2, +∞)D. (-∞, 2) ∪ (4, +∞)答案：A4. 若复数z满足|z - 1| = |z + i|，则z对应的点位于：A. 虚轴上B. 实轴上C. 直线y = x上D. 直线y = -x上5. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且a^2 + b^2 = c^2，下列关于三角形ABC的描述中，正确的是：A. 三角形ABC是锐角三角形B. 三角形ABC是直角三角形C. 三角形ABC是钝角三角形D. 三角形ABC是等腰三角形答案：B6. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[0, 2]上单调递减，则实数k的取值范围是：A. k ≥ 2B. k ≤ 2C. k ≥ 1D. k ≤ 17. 已知集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，B = {x | x^2 - 4x + 3 = 0}，则A∩B等于：A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}答案：D8. 若直线y = kx + b与椭圆x^2/4 + y^2/3 = 1有公共点，则实数k的取值范围是：A. -√3/2 ≤ k ≤ √3/2B. -2 ≤ k ≤ 2C. -√3 ≤ k ≤ √3D. -√6/3 ≤ k ≤ √6/3答案：D9. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 3，f(-1) = 1，则2a + b的值为：A. 0B. 2C. 4D. -2答案：B10. 若双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的一条渐近线方程为y =(√3/3)x，则双曲线的离心率为：A. √3B. 2C. 3D. √6答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，其前n项和Sn = 3^n - 1，则a_5的值为______。
2023年全国中学生数学奥林匹克暨2023年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及参考答案
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）试题（含参考答案）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 设复数910i z （i 为虚数单位），若正整数n 满足2023n z ，则n 的最大值为 ． 答案：2．解：22910181nnnnz z．因21812023z ，而当3n 时，181132023nn n z，故n 的最大值为2．2. 若正实数,a b 满足lg 2b a ，lg lg 5a b a b ，则lg ()ab ab 的值为 ． 答案：20．解：因为lg lg lg lg 102a a b b b a ，所以lg lg lg lg lg lg lg ()()()52220ab a b a b b a ab ab a b a b ．3. 将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为,,x y z ，则事件“777C C C x y z”发生的概率为 ． 答案：127．解：由于162534777777C C C C C C ，因此当,,{1,2,3,4,5,6}x y z 时，事件“777C C C x y z”发生当且仅当“{1,6},{2,5},{3,4}x y z ”成立，相应的概率为321627． 4. 若平面上非零向量,, 满足 ，2|| ，3|| ，则||的最小值为 ．答案：23．解：由 ，不妨设(,0),(0,)a b ，其中,0a b ，并设(,)x y，则由2||得2by a ，由3|| 得3ax b ．所以2232||2223b ax y xy a b． 取3,2a b ，此时6x y ，||取到最小值23．5. 方程sin cos2x x 的最小的20个正实数解之和为 ． 答案：130 ．解：将2cos212sin x x 代入方程，整理得(2sin 1)(sin 1)0x x ，解得532,2,2()662Z x k k k k．上述解亦可写成2()36Z k x k，其中0,1,,19k 对应最小的20个正实数解，它们的和为192219202013036326k k． 6. 设,,a b c 为正数，a b ．若,a b 为一元二次方程20ax bx c 的两个根，且,,a b c 是一个三角形的三边长，则a b c 的取值范围是 ．答案：7,518． 解：由条件知2222()()()ax bx c a x a x b ax a ab x a b ，比较系数得22,b a ab c a b ，故24,11a a b c a a，从而 24231a a a b c a a a a a ．由于201a a b a，故112a ．此时显然0b c ．因此，,,a b c 是一个三角形的三边长当且仅当a c b ，即4211a a a a a，即2(1)0a a a ，结合112a ，解得15122a ．令23()f x x x x ，则()a b c f a ．显然当0x 时()f x 连续且严格递增，故a b c 的取值范围是151,22f f，即7,518 ． 7. 平面直角坐标系xOy 中，已知圆 与x 轴、y 轴均相切，圆心在椭圆2222:1(0)x y a b a b内，且 与 有唯一的公共点(8,9)．则 的焦距为 ．答案：10．解：根据条件，可设圆心为(,)P r r ，则有222(8)(9)r r r ，解得5r 或29r ．因为P 在 内，故5r ．椭圆 在点(8,9)A 处的切线为2289:1x y l a b ，其法向量可取为2289,n a b． 由条件，l 也是圆 的切线，故n 与PA 平行，而(3,4)PA ，所以223227a b．又2264811a b ，解得22160,135a b ．从而 的焦距为22210a b ．8. 八张标有,,,,,,,A B C D E F G H 的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按,,,,,,,D A B E C F G H 的次序取走卡片，但不可按,,,,,,,D B A E C F G H 的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为 ．AB C D EFGH答案：392．解：如左下图重新标记原图中的八张卡片．现将每张卡片视为顶点，有公共边的两张卡片所对应的顶点之间连一条边，得到一个八阶图，该图可视为右下图中的2m n 阶图(,)G m n 在3,3m n 时的特殊情况．231-3-20P-1 G (m , n )Pn...210-1-2-m ...取卡片（顶点）的规则可解释为：(i) 若顶点P 已取走，则以下每步取当前标号最小或最大的顶点，直至取完； (ii) 若顶点P 未取走，则必为某个(,)(,0)G m n m n 的情形，此时若0m ，则将P 视为1 号顶点，归结为(i)的情形；若0,0m n ，则将P 视为1号顶点，归结为(i)的情形；若,1m n ，则当前可取P 或m 号顶点或n 号顶点，分别归结为(i)或(1,)G m n 或(,1)G m n 的情形．设(,)G m n 的符合要求的顶点选取次序数为(,)f m n ，本题所求即为(3,3)f ．由(i)、(ii)知1(,0)2(0)m f m m ，1(0,)2(0)n f n n ，且(,)2(1,)(,1)(,1)m n f m n f m n f m n m n ．由此可依次计算得(1,1)12f ，(1,2)(2,1)28f f ，(1,3)(3,1)60f f ，(2,2)72f ，(2,3)(3,2)164f f ，(3,3)392f ，即所求数目为392．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:4y x ，F 为 的焦点，,A B 为 上的两个不重合的动点，使得线段AB 的一个三等分点P 位于线段OF 上（含端点），记Q 为线段AB 的另一个三等分点．求点Q 的轨迹方程．解：设1122(,),(,)A x y B x y ．不妨设AP PQ QB ，则121222,33x x y y P． 易知(1,0)F ．由于点P 位于线段OF 上，故122[0,1]3x x ，12203y y ． ……………4分可设12,2y t y t ，则2212,4t x x t ．此时有2122[0,1]32x x t ，且由,A B 不重合知0t ，所以2(0,2]t ． ……………8分设(,)Q Q Q x y ，则21212232,343Q Q x x y y x t y t，有243Q Q y x ． 注意到2330,42Q x t ，故点Q 的轨迹方程为243(0)32y x x ．……………16分10.（本题满分20分）已知三棱柱111:ABC A B C 的9条棱长均相等．记底面ABC 所在平面为 ．若 的另外四个面（即面111111111,,,A B C ABB A ACC A BCC B ）在 上投影的面积从小到大重排后依次为23,33,43,53，求 的体积．解：设点111,,A B C 在平面 上的投影分别为,,D E F ，则面11111,,A B C ABB A 1111,ACC A BCC B 在 上的投影面积分别为,,,DEF ABED ACFD BCFE S S S S ．由已知及三棱柱的性质，DEF 为正三角形，且,,ABED ACFD BCFE 均为平行四边形．由对称性，仅需考虑点D 位于BAC 内的情形（如图所示）． 显然此时有ABED ACFD BCFE S S S ． ……………5分XFEB DCA由于,,,23,33,43,53DEF ABED ACFD BCFE S S S S ，故,ABED ACFD S S 必为23,33的排列，53BCFE S ，进而43DEF S ，得DEF 的边长为4，即正三棱柱 的各棱长均为4． ……………10分不妨设23,33ABED ACFD S S ，则333,2ABD ACD S S ．取射线AD 与线段BC 的交点X ，则23ABD ACD BX S CX S ，故85BX ．因此2242cos60195AX AB BX AB BX ， 而58ABD ACD ABC AD S S AX S ，故192AD． ……………15分 于是 的高221352h AA AD． 又43ABC S ，故 的体积615ABC V S h ． ……………20分11.（本题满分20分）求出所有满足下面要求的不小于1的实数t ：对任意,[1,]a b t ，总存在,[1,]c d t ，使得()()1a c b d ．解：记[1,]t I t ，()()S a c b d ．假如2t ，则当a b t 时，对任意,t c d I ，均有2(1)1S t ，不满足要求．假如312t，则当1,2a b t 时，对任意,t c d I ，均有 21a c t ，12t b d ．若,a c b d 同正或同负，则2(1)1S t ，其余情况下总有01S ，不满足要求． ……………5分以下考虑322t 的情形．为便于讨论，先指出如下引理．引理：若1,2u v ，且52u v ，则1uv ．事实上，当32u v 时，22225312244u v u v uv ． 当32u v 时，1131222uv ．引理得证． 下证对任意,t a b I ，可取11,t c d I ，使得111()()1S a c b d ．① 若12a b ，则取111c d ，此时1(1)(1)(1)(1)S a b a b ，其中31311,12222a b b a ，且5(1)(1)2()2a b a b ，故由引理知11S ．若12a b ，则取1132t c d I ，此时13322S a b， 其中331,222a b ，且3353222a b a b ，故由引理知11S ． ……………15分 注意到，当,t a b I 时，可取2t c I ，使得21a c （例如，当[1,1]a 时取20c ，当(1,]a t 时取21c ），同理，可取2t d I ，使得21b d ．此时22222()()1S a c b d a c b d ．②根据①、②，存在一个介于12,c c 之间的实数c ，及一个介于12,d d 之间的实数d ，使得()()1a c b d ，满足要求．综上，实数t 满足要求当且仅当322t ． ……………20分。
数学奥林匹克高中训练题(01)及答案.doc
数学奥林匹克高中训练题（01）第一试一、选择题（本题满分30分，每小题6分） 1．(训练题06)设211)(xx x f +=，对任意自然数n ，定义))(()(11x f f x f n n =+，则)(1993x f 的解析式为(C)．(A)211993xx + (B)21993xx + (D)2199311993xx +2．(训练题06)若1532>==zy x ，则z y x 5,3,2从小到大的顺序是(A)．(A)z x y 523<< (B)y x z 325<< (C)z y x 532<< (D)x y y 235<< 3．(训练题06)自然数q p n m ,,,满足等式2222q p n m +=+，则q p n m +++(B)．(A)是质数 (B)是合数 (C)可能是质数，也可能是合数 (D)既不是质数，也不是合数 4．(训练题06)一圆台的上底半径为cm 1，下底半径为cm 2，母线AB 为cm 4，现有一蚂蚁从下底面圆周的A 点，绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的B 点爬行的最短路线是 (A)．(A)3234π+(B)3434π+ (C)3232π+ (D)3432π+ 5．(训练题06)若复数z 的共轭复数是z ，且1=z 又)1,0(),0,1(-=-=B A 为定点，则函数))(1()(i z z x f -+=取最大值时在复平面上以B A Z ,,三点为顶点的图形是(C)．(A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形6．(训练题06)若ABC ∆是钝角三角形，则)arccos(sin)arccos(sin )arccos(sin C B A ++的值域是(C)．(A)(0,]2π(B)}2{π (C)3(,)22ππ (D)3(0,)2π二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题06)满足不等式log log x x yy xy ≥的点),(y x 的集合是{(,)|1}{(,)|01}x y x y x x y x y x >><<<且且．2．(训练题06)一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为1V ，圆柱的体积为2V ，且21kV V =，则k 的最小值是43．3．(训练题06)一个三位自然数321a a a 称为凹数，如果同时有2321,a a a a >>（例如849,525,104都是凹数而200,684,123都不是凹数），则所有的凹数的个数是 285 ．4．(训练题06)如图，已知椭圆221,,,2x y DA AB CB AB +=⊥⊥2,23==CB DA ，动点P 在AB 上移动，则PCD ∆是45．(训练题06)四次方程038420234=++-kx x x 的四个根当中的两个的积是24，则k 的值是 140 ． 6．(训练题06)四个正数之和为4，平方和为8，则这四个数中最大的那个数的最大值是 1+ 三、(训练题06)(本题满分20分)n a a a a 321,,是互不相等的自然数，证明：+++++)(7737271n a a a a ≥++++)(5535251n a a a a 333321232()n a a a a ++++．四、(训练题06)(本题满分20分)设M P ,分别在正方形ABCD 的边CD BC ,上，PM 与以AB 为半径的圆相切，线段PA 与MA 分别交对角线BD 于N Q ,，证明：五边形PQNMC 内接于圆．五、(训练题06)(本题满分20分)100个火柴盒，标号为1至100.我们可以问其中任15个盒子总共含有的火柴为奇数或偶数，至少要问几才能确定1号盒子里的火柴数的奇偶性． (3个问题)第二试一、(训练题06)(本题满分35分)右图中CDE BCD ABC ∆∆∆,,都是正三角形，线段FG ∥BA ，连EF DG ,相交于O ，连CO 并延长与AB 的延长线相交于P ，证明：D二、(训练题06)(本题满分35分)假定10321,,a a a a 和10321,,b b b b 都是由不相等的复数所组成的序列，已知对10,,2,1 =i 均有1210()()()100i i i a b a b a b +⋅+⋅⋅+=.证明：对任何10,,2,1 =j ，乘积1210()()()j j j b a b a b a +++都等于同一常数，并求出此常数．三、(训练题06)(本题满分35分)证明任意28个介于104和208之间(包括104和208)的不同的正整数，其中必有两个数不互素(即此二数的最大公约数大于1)．。
数学奥林匹克高中训练题(36)及答案
数学奥林匹克高中训练题(36)第一试一、选择题(本题满分 36分，每小题6分)1. (训练题 36)给定三个二次三项式：P i (X )=X 2+b l X+C l, P 2(X )=X 2+b 2X+C 2, P 3(x)=x 2+b 3X+C 3.则方程 |P i (x)| + P 2(x)=| P 3(X )| 至少有(C)个根.(A)4(B)6(C)8(D)以上都不对2. (训练题36)函数f (x) =-log i (x 2-ax-a)在区间-：：,1-.3上是减函数.则a 的取值范围是(B).2(A) 0< a w 2 (B)2(1- ,3) < a < 2 (C) 0< a < 2或 a <- 4 (D) 2(1 -、「3) < a < 2或 a <- 43. (训练题36)空间中有九个点，其中任四点不共面，在这九点间连接若干条线段，使图中不存在四面体.则图中最多有(D)个三角形.(A) 21(B)24(C)25(D)274. (训练题 36)设 A={(x , y)| 0< x w 2, 0< y w 2}, B={(x , y)| x w 10, y > 2, y w x — 4}是直角坐标平面6.(训练题 36)设 a^R , A = 2(x,y) (x —1)2+(y —2)2 兰一 '与 B={(x, y)||x — 1|+2|y — 2|w a}是直角 I5J坐标平面xOy 内的点集.则B 的充要条件是(A).(A) a >2(B)a > .5(C) a 》.6(D)a > 3二、填空题(本题满分 54分，每小题9分) 1.(训练题36)平坦的桌面上，放有半径分别 1, 2, 2的三个木球，每球与桌面相切，且与其余两球外切另外，在桌面上还有一个半径小于 1的小木球在三球之间，与桌面相切，且与三木球都外切.那么，这个小木球的半径为4 - 2、、3.2 .(训练题36)设a 1 > a 2》a n 是满足下列条件的n 个实数：对任何整数k > 0,有kk ■-ka 1 ' a^ J11 ' a n > 0成立.那么，p=max{|a 1|,…,|a n |}= _____ 6 _______3. (训练题36) m 个互不相同的正偶数与 n 个互不相同的正奇数的和为117.对于所有这样的 m 与n ,3m+2n 的最大值是 37.4. (训练题36)已知点(a, b )在曲线arcsinx=arccosy 上运动，且椭圆ax 2+by 2=1在圆x 2，y 2 = 2L x Xo xOy 上的点集.则C = ..Wy 1 y2 (N ，yJ A,(X 2，y 2) B 所成图形的面积是(D). J(A) 6(B)6.5(C)2 n5. (训练题36) a 1, a 2,…，a 6是和为23的六个两两不同的正整数 值为(B). (D)7.那么 a 1a 2+ a 2a 3+ …+ a5&+ a 6a 1 的最小(A) 62(B)64(C) 65 (D)67的外部（包括两者相切的情形）•那么，arcsinb的取值范围为一，_6 4 -------------1 2 35. （训练题36）不等式—2 3的解集，是总长为2的一些不相交的区间的并集.x—1 x—2 26. （训练题36）在四张卡片的正反面上分别写有0与1, 0与2，3与4，5与6,将其中任三张并排放在一起组成三位数，总共可得124 个不同的三位数.1 三、（训练题36）（本题满分20分）证明：（1）对于任何x，数|sinx|与|sin（x+1）|中至少有一个大于丄;3 （2）|sin 10 | |sin 11| |sin 12 | 川|sin29| 110 11 12 29 6 .四、（训练题36）（本题满分20分）通过四面体ABCD的棱AD和BC的中点K、N作平面，交棱CD点M，交棱AB 于点L.证明：（1）|DM| : |MC|=|AL| : |LB|; （2）面积S^KLN =S^KMN .五、（训练题36）（本题满分20分）在复平面上有三个点：C1=a+bi，C2=m+bi，C3=a+ni，其中a> m，n1 1 1> b，C1C2C3 （这里C i表示复数C i对应的点）组成一个三角.证明：满足0的Z _ C[ Z _ C2 Z _ C3复数Z所代表的点乙位于这个三角形的内部.第二试一、（训练题36）（本题满分50分）Rt△ CDF中，/ D=90 °，DO丄CF，O为垂足.以C为圆心、CD为半径作一圆，AA '为过O点的圆C的动弦，E为直线A'A上一点，且EF丄CF .证明：由A、A ' 至EF的距离的倒数和为定值.二、（训练题36）（本题满分50 分）（1）当0w x< 1 时，求函数h（x）= （、、1 • x 亠1 —x • 2）（• 1 —X2• 1）a的取值范围；（2）证明：当0w x< 1时，存在正数3，使得不等式、、1 • x ：飞'1「X乞2「L成立的最小正数a =2.并求此时的最小正数3 .三、（训练题36）（本题满分50分）（1）对于三点A1（X1, y”，A2（x2，y2），A3（X3, y3）组成的三角形，有X1<X2V X3.证明：当d适当小时，点（X2，y2-d）及点（X2，y2+d），一在形内，一在形外.（2）S是平面上n（n > 3）个点A i组成的集合，S中任三点不共线.证明：平面上存在一个含有2n —5个点的集合P，使S中任意三点所组成的三角形内部至少有一个P集中的点•试问：对于怎样的n点，这样的P集的点数尚可减少？。
数学奥林匹克高中训练题及答案
数学奥林匹克高中训练题（11）第一试一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题11)若,x y R ∈，则实数集2{|31}P s s x x ==++与2{|31}Q t t y y ==-+具有的关系是(D)．(A) P Q φ= (B)P Q ⊂ (C)Q P ⊃ (D)P Q =2．(训练题11)方程112log log y x x +-=的图象是(C)． 3．(训练题11)在ABC ∆中，cos2cos2B A >是A B >的(C)．(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要的条件 4．(训练题11)圆台两底面半径分别为R 和r ()R r >，平行底面的截面将圆台的侧面分成面积相等的两部分．那么，截面圆半径是(B)．(A) Rr (B) 222r R + (C) 2r R + (D) 无法确定 5．(训练题11)等差数列{}n a 中，2n ≥，公差0d <，前n 项和是n S ．则有(C)．(A)1n S na ≥ (B)n n S na ≤ (C)1n n na S na << (D)1n n na S na <<6．(训练题11)过抛物线y 2=4x 的焦点作直线与此抛物线交于P ，Q 两点。
那么，线段PQ 中点的轨迹方程是(B)．(A)221y x =- (B)222y x =- (C)221y x =-+ (D)222y x =-+二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题11)已知函数, 01,()1, 10.x x f x x x -<≤⎧=⎨+-≤≤⎩则它的反函数是11,(0,1](),[1,0]x x f x x x --∈⎧=⎨-∈-⎩．2．(训练题11)已知复数z 的模1z =且，111z z +=，则z=1(1)2±． 3．(训练题11)某市电话号码从六位升至七位，这一改可增加761010-个拨号．4．(训练题11)1arctan arctan 1x x x -++的值是 3144ππ-或 ． 5．(训练题11)平面α内有圆ABC (如图)AB 是直径，SA α⊥，C 是AB 上一点．若::1:2:2AC AB SA =，则二面角C SB A --的平面角的余弦值是5 ． 6．(训练题11)ABC ∆顶点在以x 轴为对称轴，原点为焦点的抛物线上，已知(6,8)A -，且ABC ∆的重心在原点，则过B ，C 两点的直线方程为480x y +-=．三、(训练题11)(本题满分20分) 如图，四棱锥S ABCD -的顶点在底面的射影恰是底面对角线的交点O ，已知棱锥S ABCD -的高恒为3，22,(,,)S ADO S BCO V m V n m n R m n +--==∈≠．问当四棱锥S ABCD -取得最小体积时，底面ABCD 是怎样的四边形？四、(训练题11) (本题满分20分) 抛物线22(0)y px p =>的焦点是F ．问：是否存在内接等腰直角三角形，该三角形的一条直角边过F 点？如果存在，存在几个？如果不存在，说明理由五、(训练题11)(本题满分20分)数列{}n a 的首项0a ≠，该数列是公比为a -的等比数列．记lg n n n b a a =，1nn i i S b ==∑．(1) 证明: 当1a ≠-时，对一切n N ∈，都有12lg [1(1)(1)](1)n n n a a S n na a a +=+-+++． (2) 当01a <<时，是否存在自燃数m ，使得对任何自然数n ，都有n m b b ≤．第二试一、(训练题11)(本题满分35分)H 为ABC ∆的垂心，,,D E F 分别是,,BC CA AB 中点，一个以H为S C B A OD圆心的H 交直线,,EF FD DE 于121212,,,,,A A B B C C ．求证：121212AA AA BB BB CC CC =====．二、(训练题11)(本题满分35分)若n 是素数，证明存在0,1,2,,1n -的一个排列12(,,,)n a a a ，使得11212312,,,,n a a a a a a a a a 被n 除的余数各不相同．三、(训练题11)(本题满分35分)某组学生进行一次考试，共有3道选择题，每题有四个选择支．已知这组学生中任何两人的答案都至多有一题相同，而且只要再加一人，则无论该人答案如何，上述性质都不再成立．问这组学生最少有多少人？。
数学奥林匹克高中训练题(附答案)
数学奥林匹克高中训练题_46学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、填空题三、解答题13．在△ABC 中，实数x 满足2222sec x csc A csc B csc C =++，求证：的定圆P 的圆心上一动点，Q 与P 相外切，Q 交l 于N 两点．对于任意直径使得△MAN 求△MAN 的度数．．设函数f(x)、g(x)定义为()f x ()()11?2000,n f a b ==，2000的最小正．上的O 与其他三边都相切，)0nn i i x b x ==∑的所有根的平方的相反数是f(x)=0的全部根．求证：参考答案：【详解】0,4a π⎛∈ ⎝()tanacota <)(cotatana <34t t ＜＜.【详解】1 022≤3.3arccot arc≤1 arccos2,a b a ≥∴(222a x a +1,?4y 又≥∴22 4.x y ∴+≤满足22x y +≤其面积为1··3π3((0011821122sina sin a b a β<<≤<=-即()26a -【详解】(a b c ++项，但(a )nc +的展开式中不同的项数为)(nd a ⎡+=⎣=AB AC∴⊥SD BC∴⊥面BC于是SA与2.当两条较长棱相邻时，不妨设2sec x csc=2∴=tan x2=+cot A(cotA cotB=+60【详解】以l为r,h）.△Q2222rh r k r +3,tan MAN ∠223r k r r nhr +-=)223nh k r r -=±+-两边平方，得2m 对于任意实数r≥1223,m k =-另一方面，用数学归纳法可证明：()281n n a b +>当n=1时，()31223181128n n a b a b +>=>.假设式(1)在n=k 时成立，即28k k a b +>.当n=k+1时，()()2883112121282000820008k k k k k b ba b b k k a b +++=>=>⨯>⨯=. 所以，式(1)对所有n 成立.由式(1)得1998199820008b b a ≤<.1998m ∴>.综上所述，m=1999.16．2或7【详解】1当p=7m -5(m 为自然数，下同)时，()123721p p m =+=-.当m ＞1时，1p 为合数.当m=1时，p=2.此时123456711,19,29,31,101p p p p p p ======，均为质数，所以p 可为2.2当p=7m -6时，()243743p p m =+=-.当m=1时，p=1与p 为质数相矛盾.当m>1时，2p 为合数.3当p=7m -3时，()383783p p m =+=-为合数.4当p=7m -2时，()41637165p p m =-=-为合数.5当p=7m -4时，()5323373223p p m =-=-为合数.6当p=7m -1时，()6642776413p p m =-=-为合数.7 当p=7m 时，因p 为质数,则p=7.当p=7时，1234561731,59,109,191,421p p p p p p ======，均为质数.AB AD =即OA OB +1sina sin ∴+11sin sin a +sin 2αβ+2cos α⎛∴ ⎝4sin sin 2a ⋅202β+＜22αϕ+∴即2αϕ+亦即BAD ∠则AB//CD。
高中数学奥林匹克训练试卷附答案
数学奥林匹克第一天一、设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c---++≥ 二、设D 是ABC ∆的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。
如果DE=DF ， 求证：DM=DN三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
（2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。
如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。
求棋盘中“优格”个数的最大值。
第二天五、已知不等式63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围。
六、设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。
求证：CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。
但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。
如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。
注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。
八、求满足0x y y z z ux y y z z u---++>+++，且110x y zu ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。
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高中数学奥林匹克训练题
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1． 已知函数1
x a
y x a -=-
--的反函数的图象关于点(1,3)-成中心对称图形，则实数a 等于(A)．
(A) 2 (B)3 (C)-2 (D)-4
2． 我们把离心率等于黄金比21
5-的椭圆称之为“优美椭圆”．设a b
y a x (12222=+＞b ＞0)为优美椭
圆，,F A 分别是它的左焦点和右端点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于(C)．
(A)60o (B)75o (C)90o (D)120o
3． 已知ABC ∆三边的长分别是,,a b c ，复数12,z z 满足1212,,z a z b z z c ==+=，那么复数2
1
z z 一定是(C)．
(A)是实数 (B)是虚数 (C)不是实数 (D)不是纯虚数
4． 函数2152
222
341
1
(1)6()1x x C x x P f x C C C ++-⋅-⋅=+++ 的最大值是(D)． (A)20 (B)10 (C)10- (D) 20-
5． 以O 为球心，4为半径的球与三条相互平行的直线分别切于,,A B C 三点．已知4=∆BOC S ，
16ABC S ∆>，则ABC ∠等于(B)．
(A)
12π (B)512π (C)712π (D)1112
π 6． 在集合{1,2,3,,10}M = 的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有(B)．
(A)10
2个 (B)9
2个 (C)210个 (D) 2
9个
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中线所在直线方程分别是31y x =+和2y mx =+，则实数m 的值是
3
124
或 ．
A 1 A C 1
B 1
B
C
D
2． 设()(0,1)1x
x a f x a a a =
>≠+，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则函数]2
1
)([21)([--+-x f x f 的值域是 {1,0}- ．
3．设,,a b c 是直角三角形的三条边长，c 为斜边长，那么使不等式
kabc b a c a c b c b a ≥+++++)()()(222对所有直角三角形都成立的k 的最
4． 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都是1，截面1BCD 在棱1AA 上的交点为D ，设这个截面与底面ABC 和三个侧面111111,,ABB A BCC B CAAC 所成的二面角依次为1234,,,αααα，若1234cos cos cos cos αααα+=+，则
5． 已知()f x 是定义域在实数集的函数,且(2)[1()]1().(1)2f x f x
f x f +-=+=若，则
(1949)f 2 ．
6． 设1x 是方程12cos 3sin 3-=-a x x 的最大负根，2x 是方程2
2
2cos 2sin x x
a -=的最小正根，那么，使不等式12x x ≤成立的实数a 的取值范围是 1
122
a a ≤≤-=或 ．
第二试
一、 (本题满分25分)某眼镜车间接到一任务，需要加工6000个A 型零件和2000个B 型零件，这个
车间有214名工人，他们每一个人加工5个A 型零件的时间可加工3个B 型零件．将这些人分成两组同时工作，每组加工同一型号的零件，为了在最短的时间完成，应怎样分组？77
二、 (本题满分25分)已知一个四边形的各边长都是整数，并且任意一边的长都能整除其余三边之
和．求证：这个四边形必有两边相等．
三、 (本题满分35分)实数数列1231997,,,,a a a a 满足： 1223199619971997a a a a a a -+-++-= ．若数列
{}n b 满足：12(1,21997)k
k a a a b k k
++=
= ．求199719963221b b b b b b -++-+- 的最
大可能值．
四、 (本题满分35分)给定两个七棱锥，它们有公共的底面1234567A A A A A A A ，顶点12,P P 在底面的两
侧．现将下述线段中的每一条染红，蓝两色之一：12,P P ，底面上的所有的对角线和所有的侧棱．求证：图中心存在一个同色三角形．。