高中数学奥林匹克训练题及答案

高中数学奥林匹克训练题

第一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1． 已知函数1

x a

y x a -=-

--的反函数的图象关于点(1,3)-成中心对称图形，则实数a 等于(A)．

(A) 2 (B)3 (C)-2 (D)-4

2． 我们把离心率等于黄金比21

5-的椭圆称之为“优美椭圆”．设a b

y a x (12222=+＞b ＞0)为优美椭

圆，,F A 分别是它的左焦点和右端点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于(C)．

(A)60o (B)75o (C)90o (D)120o

3． 已知ABC ∆三边的长分别是,,a b c ，复数12,z z 满足1212,,z a z b z z c ==+=，那么复数2

1

z z 一定是(C)．

(A)是实数 (B)是虚数 (C)不是实数 (D)不是纯虚数

4． 函数2152

222

341

1

(1)6()1x x C x x P f x C C C ++-⋅-⋅=+++ 的最大值是(D)． (A)20 (B)10 (C)10- (D) 20-

5． 以O 为球心，4为半径的球与三条相互平行的直线分别切于,,A B C 三点．已知4=∆BOC S ，

16ABC S ∆>，则ABC ∠等于(B)．

(A)

12π (B)512π (C)712π (D)1112

π 6． 在集合{1,2,3,,10}M = 的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有(B)．

(A)10

2个 (B)9

2个 (C)210个 (D) 2

9个

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

1．在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中线所在直线方程分别是31y x =+和2y mx =+，则实数m 的值是

3

124

或 ．

A 1 A C 1

B 1

B

C

D

2． 设()(0,1)1x

x a f x a a a =

>≠+，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则函数]2

1

)([21)([--+-x f x f 的值域是 {1,0}- ．

3．设,,a b c 是直角三角形的三条边长，c 为斜边长，那么使不等式

kabc b a c a c b c b a ≥+++++)()()(222对所有直角三角形都成立的k 的最

4． 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都是1，截面1BCD 在棱1AA 上的交点为D ，设这个截面与底面ABC 和三个侧面111111,,ABB A BCC B CAAC 所成的二面角依次为1234,,,αααα，若1234cos cos cos cos αααα+=+，则

5． 已知()f x 是定义域在实数集的函数,且(2)[1()]1().(1)2f x f x

f x f +-=+=若，则

(1949)f 2 ．

6． 设1x 是方程12cos 3sin 3-=-a x x 的最大负根，2x 是方程2

2

2cos 2sin x x

a -=的最小正根，那么，使不等式12x x ≤成立的实数a 的取值范围是 1

122

a a ≤≤-=或 ．

第二试

一、 (本题满分25分)某眼镜车间接到一任务，需要加工6000个A 型零件和2000个B 型零件，这个

车间有214名工人，他们每一个人加工5个A 型零件的时间可加工3个B 型零件．将这些人分成两组同时工作，每组加工同一型号的零件，为了在最短的时间完成，应怎样分组？77

二、 (本题满分25分)已知一个四边形的各边长都是整数，并且任意一边的长都能整除其余三边之

和．求证：这个四边形必有两边相等．

三、 (本题满分35分)实数数列1231997,,,,a a a a 满足： 1223199619971997a a a a a a -+-++-= ．若数列

{}n b 满足：12(1,21997)k

k a a a b k k

++=

= ．求199719963221b b b b b b -++-+- 的最

大可能值．

四、 (本题满分35分)给定两个七棱锥，它们有公共的底面1234567A A A A A A A ，顶点12,P P 在底面的两

侧．现将下述线段中的每一条染红，蓝两色之一：12,P P ，底面上的所有的对角线和所有的侧棱．求证：图中心存在一个同色三角形．