matlab数值分析-插值与曲线拟合

MATLAB插值与曲线拟合
spline插值
采用一维线性插值运算
x=0:10; y=sin(x); xx=0:0.25:10; yy=interp1(x,y,xx); plot(x,y,'o',xx,yy,xx,sin(xx));
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MATLAB插值与曲线拟合
spline插值
画一个圆并在数据点y(:,2)，…，y(:,6)处标上字母o。
x=pi*[0:0.5:2]; y=[0 1 0 -1 0 1 0;1 0 1 0 -1 0 1]; pp=spline(x,y); yy=ppval(pp,linspace(0,2*pi,101));%计算分算函数的值
一维线性插值是最简单的插值，适用范围很小
可用较为复杂的三次多项式或spline来近似找到原函数 f(x)
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一维插值
MATLAB的一维插值函数为interp1(a,c,b)和 interp1(a,c,b,method)
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MATLAB插值与曲线拟合
一维插值—举例
假设汽车引擎在额定转速下温度与时间的测量值关系 如下0—0； 1—20； 2—60； 3—68； 4—77； 5— 110；用一维插值法估计时间为2.6s和4.9s时的温度值。
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假设试验得到一组数据形态为：
f(xk)；其中k=1,2,…,n；且x1=a<xn=c 如果某些点{xi}不属于上述的{xi} ，但是a=<xi<=c， 要估计这些点的函数值f(xi)就需要做插值运算 根据原始数据所描述的函数的复杂程度，存在有：
一维插值
二维插值 Spline插值
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举例
x=[0 1 2 3 4 5]'; y=[0 20 60 68 77 110]'; y1=spline(x,y,2.6) y1=spline(x,y,[2.6,4.9])
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xi,yi为要插值的数据点，x，y，z为已知数据
通过设定interp2(x,y,z,xi,yi,method)也可以设定不同的 插值方法，有linear、cubic和spline三种
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spline插值
举例：在[0,10]区间上按正弦规律y=sin(x)取10个点yi， 再在区间[0,10]上取41个点，以yi为已知数据，对这41 个点做spline插值运算，得到函数值并绘图，比较其值 与正弦波偏离程度。
x=0:10; y=sin(x); xx=0:0.25:10; yy=spline(x,y,xx); plot(x,y,'o',xx,yy,xx,sin(xx));
插值过程中认为数据是准确的，求取描述点之间的数 据 曲线拟合中，假定已知曲线的规律，做曲线的最佳逼 近，不需要经过所有数据点
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插值计算
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2000年的人口数，并绘制人口变化趋势图。
t=1900:10:1990; p=[75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633]; y=spline(t,p,2000) plot([t 2000],[p y],'o')
MATLAB插值与曲线拟合
spline插值
向量t=1900:10:1990，p=[75.995 91.972 105.711 123.203
131.669 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633]表示 从1900年到1990年人口普查的数字，利用spline插值法预测
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MATLAB插值与曲线拟合
简介
把试验数据绘制成图是点状分布，将这些点练成曲线， 然后转化为有意义的数学函数，才能对数据做对比和 分析 上述过程涉及插值(interpolation)和曲线拟合(curvefitting)
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曲线拟合
曲线拟合(curve-fitting)顾名思义就是用近似的曲线方程 来代表一组离散的数据
曲线拟合与插值有许多相似之处，二者最大区别再于 曲线拟合要找出一个曲线函数式，而插值仅求出与数 据点对应的函数值而已 曲线拟合运用最小二乘法原理 如果拟合的曲线限定为多项式就称为多项式最小二乘 法曲线拟合 MATLAB提供的曲线拟合有多项式最小二乘拟合、普通 最小二乘拟合等
t=[1 2 3 4 5]; speed=[2000 3000 4000]; temp=[20 110 176;60 180 220;68 240 349;77 310 450;110 405 503];
temp1=interp2(speed,t,temp,2500,2.6)
temp2=interp2(speed,t,temp,2500,2.6,'cubic') temp3=interp2(speed,t,temp,2500,2.6,'spline')
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二维插值
假设试验所得到的一组数据形态为z=f(xk,yk)，期中 k=1，2，，，n；如果某些点(xi,yi)不属于上述点，要 估计这些点的函数值f(xi,yi)就需要进行二维擦绘制运算， 二维插值相当于二元函数运算
MATLAB中二维插值函数是interp2(x,y,z,xi,yi)，期中
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一维插值
一维插值可以是线性的，也可以是三次多项式或spline 插值
一维线性插值是假设两个数据中的变化为线性关系， 因此可由已知点的坐标(f(a),a)和(f(c),c)计算b点的函数 值f(b) ba f (b) f (a) [ f (c) f (a )] ca
其中a,c为已知数据，而b为要插值的数据点，method 为预先设定的插值方法，分别为线性(linear)、三次多 项式(cubic)和spline
如果数据的变化较大，以spline插值所形成的曲线最为 平滑，效果最好
三次多项式所得的曲线平滑度介于linear和spline之间
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分别用三种方法估计其值
x=[0 1 2 3 4 5]'; y=[0 20 60 68 77 110]'; y1=interp1(x,y,2.6) y2=interp1(x,y,[2.6 4.9]) y3=interp1(x,y,[2.6 4.9],'cubic') y3=interp1(x,y,[2.6 4.9],'spline')
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二维插值—举例 假设汽车的引擎转速、温度与时间的测量值关系 如下表，估计时间为2.6s和速度为2500r时的温度。
T/℃ Time/s 0 2000r 0 Speed 3000r 0 4000r 0
1
2 3
20
60 68
110
180 240
176
220 349
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plot(yy(1,:),yy(2,:),'-b',y(1,2:5),y(2,2:5),'or')
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《MATLAB数据处理与应用》2011-2012学年选修课
第八讲
MATLAB的插值与曲线拟合
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主要内容
插值运算
曲线拟合
分段函数 拉格拉日插值 牛顿插值 Hermite插值
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MATLAB插值与曲线拟合
二维插值—举例
应用函数interp2函数分别用linear、cubic、spline来估 计时间2.6s和转速2500r的温度值。
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MATLAB插值与曲线拟合
spline插值
采用一维三次多项式插值运算
x=0:10; y=sin(x); xx=0:0.25:10; yy=interp1(x,y,xx,'cubic'); plot(x,y,'o',xx,yy,xx,sin(xx));
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MATLAB插值与曲线拟合
一维插值—举例
画出插值后的时间与温度变化曲线图。
t=[0 1 2 2.6 3 4 4.9 5]; y1=[0 20 60 64.8 68 77 106.7 110]; y2=[0 20 60 65.2 68 77 105.6 110]; y3=[0 20 60 67.3 68 77 105.2 110]; plot(t,y1,t,y2,t,y3)
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MATLAB插值与曲线拟合
spline插值
函数spline有两种应用形式，spline(x,y,xi)和spline(x,y)
spline(x,y,xi)与interp1(x,y,xi,spline)效果一样