近世代数(抽象代数)课件
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《近世代数》PPT课件
– 剩余类的加法和乘法运算
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
编辑ppt
18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系:桥梁;
• 多项式的系数表示
;
• x的幂次表示
;
– 域上的多项式
• 针对系数定义;
• 例如二进制系数多项式,称为二元域GF(2)上的 多项式。
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28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件:多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解:n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积,被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
(3)加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) :
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
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6
(1)域的阶(针对群中元素的个数),记 为q。
(2)有限域或伽逻华(Galois)域,表示为:
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
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联系在一起?
7
例2-3
– F1:有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域,分别称为有理数域和实数域。
– F2:0、1两个元素模2加构成域;由于该域 中只有两个元素,记为GF(2)。
10.01.2021
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8
• 定理:
– 设p为质数,则整数全体关于p模的剩余类: 0,1,2,…,p-1,在模p的运算下(p模相 加和相乘),构成p阶有限域GF(p)。
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系:桥梁;
• 多项式的系数表示
;
• x的幂次表示
;
– 域上的多项式
• 针对系数定义;
• 例如二进制系数多项式,称为二元域GF(2)上的 多项式。
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28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件:多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解:n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积,被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
(3)加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) :
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
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6
(1)域的阶(针对群中元素的个数),记 为q。
(2)有限域或伽逻华(Galois)域,表示为:
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
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联系在一起?
7
例2-3
– F1:有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域,分别称为有理数域和实数域。
– F2:0、1两个元素模2加构成域;由于该域 中只有两个元素,记为GF(2)。
10.01.2021
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8
• 定理:
– 设p为质数,则整数全体关于p模的剩余类: 0,1,2,…,p-1,在模p的运算下(p模相 加和相乘),构成p阶有限域GF(p)。
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一,是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义,有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质,包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘,结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案:(略)
1.3 答案:群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题:若$a$是整数,则$a^3$也是整数。 2.2 选择题:下列哪个是环?
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码,其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中,经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组,这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中,态空间是一个复的向量空间,其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集,且E中的元素 都是方程f(x)=0的根,其中f(x)是F上 的一个多项式,那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集,且E中的元素 都是方程f(x)=0的根,其中f(x)是F上 的一个不可约多项式,那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义,包括左理想、右理想、双边理想等 ,并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数基础课件
37
第3讲 特殊的唯一分解环 1 主理想环 2 欧氏环 3 唯一分解环上的一元多项式环 4 因子分解与多项式的根
38
第六章 群论补充
39
第1讲 共轭元与共轭子群 1 第2讲 群的直积 第3讲 群在集合上的作用 第4讲 西罗定理
40
第1讲 共轭元与共轭子群
研究群内一些特殊类型的元素和子群
1 中心和中心化子 2 共轭元和共轭子群 3 共轭子群与正规化子
53
四 代数学发展的四个阶段
代数学经历了漫长的发展过程,抽象代 数(近世代数)是19世纪最后20年直到20世 纪前30年才发展起来的现代数学分支. 1 最初的文字叙述阶段 2 代数的简化文字阶段 3 符号代数阶段 4 结构代数阶段
54
1 最初的文字叙述阶段
古希腊之前直到丢番图(Diophantine,公元250年)时 代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊 数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学. 此时算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法,代数 运算则都采用通常的语言叙述方式表达,因而代数推理 也都采用直观的方法.在中国古代则有著名的筹算法,而 在古希腊则借助于几何图形的变换方法.最典型的代表 是毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)几何数论方 法.例如通过图形的组合可以得到
}
} }
映射相关概念及举例
映射的运算 映射及其相关概念的推广
}
特殊映射
6
第3讲 基本概念之代数运算适应的规则 ——运算律 运算律
1 与一种代数运算发生关系的运算律 (1)结合律 (2)交换律 (3)消去律 2 与两种代数运算发生关系的运算律 (1)第一分配律 (2)第二分配律
7
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射 同态映射 1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
第3讲 特殊的唯一分解环 1 主理想环 2 欧氏环 3 唯一分解环上的一元多项式环 4 因子分解与多项式的根
38
第六章 群论补充
39
第1讲 共轭元与共轭子群 1 第2讲 群的直积 第3讲 群在集合上的作用 第4讲 西罗定理
40
第1讲 共轭元与共轭子群
研究群内一些特殊类型的元素和子群
1 中心和中心化子 2 共轭元和共轭子群 3 共轭子群与正规化子
53
四 代数学发展的四个阶段
代数学经历了漫长的发展过程,抽象代 数(近世代数)是19世纪最后20年直到20世 纪前30年才发展起来的现代数学分支. 1 最初的文字叙述阶段 2 代数的简化文字阶段 3 符号代数阶段 4 结构代数阶段
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1 最初的文字叙述阶段
古希腊之前直到丢番图(Diophantine,公元250年)时 代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊 数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学. 此时算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法,代数 运算则都采用通常的语言叙述方式表达,因而代数推理 也都采用直观的方法.在中国古代则有著名的筹算法,而 在古希腊则借助于几何图形的变换方法.最典型的代表 是毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)几何数论方 法.例如通过图形的组合可以得到
}
} }
映射相关概念及举例
映射的运算 映射及其相关概念的推广
}
特殊映射
6
第3讲 基本概念之代数运算适应的规则 ——运算律 运算律
1 与一种代数运算发生关系的运算律 (1)结合律 (2)交换律 (3)消去律 2 与两种代数运算发生关系的运算律 (1)第一分配律 (2)第二分配律
7
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射 同态映射 1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
近世代数学习课件
注:X上的一元和二元代数运算均满足 运算的封闭性。
定义4 结合律:设“”是X上的一个
二元代数运算。如果a,b, c X
有:(a b) c a (b c)
则称此二元代数运算适合结合律。
交换律:若对a,b X 有: ab ba
则称此二元代数运算适合交换律。
定义5 设“”是非空集合S上的一个
近世代数 课件
教材:离散数学引论 王义和,哈工大出版社
参考教材: 1)近世代数, 熊全淹,武大
2)近世代数基础习题指导,北师大
3)离散数学及其在计算机中的应用
4)代数结构与组合数学
引言
一、近世代数的研究对象
代数最初主要研究的是数,以及由数所衍 生出来的对象,如代数方程的求根。数的 基本特征是可以进行加法、乘法等运算, 其共同点是对任两个数,通过相应法则可 唯一求得第三个数。而对于很多抽象的对 象也都具有类似数的这一特征,因此对于 它们的结构和性质的研究就导致了近世代 数的产生和发展。
同理:A为 M , , e 的非空子集,则
包含A的所有子幺半群的交成为由A生 成的子幺半群。
注:根据集合交的性质知道 由A生成的子(幺)半群 (A) 是包含A的所有子(幺)半群 中最小的,即对任意包含A的
子(幺)半群 A 有:A A
定义4 左(右)理想:半群 S ,
的一个非空子集A为S的一个左(右)
定义乘法“”:N N N
a b a b 1, a,b N,
其中*为普通乘法
定义6 设(S,,) 是具有两个二元
代数运算“”和“+”的代数系。
如果a,b, c S 有:
a (b+c) (a b) (a c)
则称“”对“+”满足左分配律。
如果a,b, c S 有:
定义4 结合律:设“”是X上的一个
二元代数运算。如果a,b, c X
有:(a b) c a (b c)
则称此二元代数运算适合结合律。
交换律:若对a,b X 有: ab ba
则称此二元代数运算适合交换律。
定义5 设“”是非空集合S上的一个
近世代数 课件
教材:离散数学引论 王义和,哈工大出版社
参考教材: 1)近世代数, 熊全淹,武大
2)近世代数基础习题指导,北师大
3)离散数学及其在计算机中的应用
4)代数结构与组合数学
引言
一、近世代数的研究对象
代数最初主要研究的是数,以及由数所衍 生出来的对象,如代数方程的求根。数的 基本特征是可以进行加法、乘法等运算, 其共同点是对任两个数,通过相应法则可 唯一求得第三个数。而对于很多抽象的对 象也都具有类似数的这一特征,因此对于 它们的结构和性质的研究就导致了近世代 数的产生和发展。
同理:A为 M , , e 的非空子集,则
包含A的所有子幺半群的交成为由A生 成的子幺半群。
注:根据集合交的性质知道 由A生成的子(幺)半群 (A) 是包含A的所有子(幺)半群 中最小的,即对任意包含A的
子(幺)半群 A 有:A A
定义4 左(右)理想:半群 S ,
的一个非空子集A为S的一个左(右)
定义乘法“”:N N N
a b a b 1, a,b N,
其中*为普通乘法
定义6 设(S,,) 是具有两个二元
代数运算“”和“+”的代数系。
如果a,b, c S 有:
a (b+c) (a b) (a c)
则称“”对“+”满足左分配律。
如果a,b, c S 有:
近世代数教学PPT(精品)
两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去, 设 是给定的集合 .由 A1 , A2 ,, A n
A1 , A2 ,, 的一切元素 An
所成的集合叫做
A1 , A2 ,, 的并; An
由 A1 , A2 ,, An的一切公共元素所成的集合叫做
A1 , A2 ,, An 的交. A1 , A2 ,, An 的并和交分别记为:
诺特, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根,1900年入埃朗 根大学,1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。1916年 后,她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年,她已 引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理 想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论, 证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域 的理想理论的抽象构造>>,给戴德金环一个公理刻画,指出 素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也 就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论,一般认为抽 象代数形式的时间就是1926年,从此代数学研究对象从研究代 数方程根的计算与分布,进入到研究数字、文字和更一般元素 的代数运算规律和各种代数结构,完成了古典代数到抽象代数 的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人 之一。
近世代数是在19世纪末至20世纪初发展起来的 数学分支。 1930年荷兰数学家范德瓦尔登(B.Lvan der Wearden 1930-1996) 根据该学科领域几位创始 人的演讲报告,综合了当时近世代数的研究成果, 编 著了《近世代数学》(Moderne Algebra)一书,这 是该学科领域第一本学术专著,也是第一本近世代 数的教科书。
近世代数理论的三个来源
近世代数精品课程25页PPT
近世代数精品课程
•
6、黄金时代是在我们的前面,而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性,但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法,不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧,便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为,请 记住, 除了在 脑海中 ,恐惧 无处藏 身。-- 戴尔. 卡耐基 。
6பைடு நூலகம்最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂,怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
•
6、黄金时代是在我们的前面,而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性,但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法,不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧,便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为,请 记住, 除了在 脑海中 ,恐惧 无处藏 身。-- 戴尔. 卡耐基 。
6பைடு நூலகம்最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂,怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
近世代数引论PPT课件
域是近世代数中的一个基本概念,它是一个加法群和 一个乘法半群的组合,具有一些重要的性质。
详细描述
域是一个非空集合,其中定义了两种运算:加法和乘法 ,满足一定的性质。在域中,加法和乘法都是可逆的, 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外,域 中的乘法满足结合律,且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支,它在几何学中也有着广泛的应用。例如,在代数几 何中,环论被用于描述多项式环的结构;在解析几何中,环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支,它在数论中有着广泛的应用。例如,在代数数论中,域论被用于描述代数数 的性质;在数论中,域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域,它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ,而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环,也就是说,如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除,则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合,它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说,给 定一个函数f和一个集合D,函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合,它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向,如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究,可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
感谢观看
环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统,满足一定的性 质。
详细描述
域是一个非空集合,其中定义了两种运算:加法和乘法 ,满足一定的性质。在域中,加法和乘法都是可逆的, 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外,域 中的乘法满足结合律,且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支,它在几何学中也有着广泛的应用。例如,在代数几 何中,环论被用于描述多项式环的结构;在解析几何中,环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支,它在数论中有着广泛的应用。例如,在代数数论中,域论被用于描述代数数 的性质;在数论中,域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域,它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ,而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环,也就是说,如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除,则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合,它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说,给 定一个函数f和一个集合D,函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合,它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向,如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究,可以促
进近世代数的发展和应用。
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环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统,满足一定的性 质。
近世代数ppt
8
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
特权福利
特权说明
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
近世代数教学 ppt课件
PPT课件
5
(1) 代数方程的解
两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开 ax2+bx+c=0 方法解二次方程 。16世纪初欧洲 文艺复兴时期之后,求解高次方程成为欧洲代 数学研究的一个中心问题。1545年意大利数学 家 G.Cardano(1501-1576)在他的著作《大术》 (Ars Magna)中给出了三、四次多项式的求根 公式,此后的将近三个世纪中人们力图发现五 次方程的一般求解方法,但是都失败了。
产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展,甚至对于二十世纪结构
主义哲学的产生和发展都发生了巨大P的PT影课响件。
8
(2)Hamilton四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法,后来发现 可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi,其中i2= -1。二元数按 (a,b)±(c,d)=(a±c,b±d),(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行代 数运算,二元数具有直观的几何意义;与平面上的点一一对应。 这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产生的一个 直接问题是:是否存在三元数?经过长时间探索,力图寻求三 元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865) 于1843年成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一 样可以作加减乘除四则运算,但与以前的数系相比,四元数是 一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于 数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象 代数研究的一个新的起点,它是近世代数的另一个重要理论来 源。
彻的解答,解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断
几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法,圆满解决了三等分任意角或倍立方
近世代数课件(全)--近世代数1-0 基本概念
2019/1/20
2 3
1 8
4 5
7 6
例1 用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链
利用枚举法,得到一共8种不同类型的项链。 随着n、m的增加,用枚举法解决越来越难, 采用群论方法解决是最简单、有效的方法。
2019/1/20
2.分子结构的计数问题 在化学中研究由某几种元素可合成多少种 不同物质的问题,由此可以指导人们在大自 然中寻找或人工合成这些物质。 例2 在一个苯环上结合H原子或CH3原子团, 问可能形成多少种不同的化合物? 如果假定苯环上相邻C原子 之间的键是互相等价的,则 此问题就是两种颜色6颗珠 子的项链问题。
2019/1/20
数学上的确切描述
设由m颗珠子做成一个项链,可用一个正m边形 来代表它,它的每个顶点代表一颗珠子。
沿逆时针方向给珠子标号, 由于每一颗珠子的颜色有n种选 择,因而用乘法原理,这些有标 号的项链共有nm种。
但其中有一些可以通过旋转一个角 度或翻转180度使它们完全重合, 我们称为是本质相同的,我们要考 虑的是无论怎么旋转、翻转都不能 使它们重合的项链类型数。
2019/1/20
8. 代数方程根式求解问题 我们知道,任何一个一元二次代数方程 可用根式表示它的两个解。对于一元三次和 四次代数方程,古人们经过长期的努力也巧 妙地做到了这一点。于是人们自然要问:是 否任何次代数方程的根均可用根式表示?许 多努力都失败了,但这些努力促使了近世代 数的产生,并最终解决了这个问题:五次以 上代数方程没有根式解。
2019/1/20
f的定义域A×A×…×A中的元素个数为 2n,f在每个元素上的取值有两种可能,所以 n 2 全部开关函数的数目为2 ,这也就是n个开 关的开关线路的数目。 如果不考虑开关的标号,则若开关线路结 构完全相同,称这些开关线路是本质相同的 。要进一步解决本质上不同的开关线路的数目 问题,必须用群论的方法。
2 3
1 8
4 5
7 6
例1 用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链
利用枚举法,得到一共8种不同类型的项链。 随着n、m的增加,用枚举法解决越来越难, 采用群论方法解决是最简单、有效的方法。
2019/1/20
2.分子结构的计数问题 在化学中研究由某几种元素可合成多少种 不同物质的问题,由此可以指导人们在大自 然中寻找或人工合成这些物质。 例2 在一个苯环上结合H原子或CH3原子团, 问可能形成多少种不同的化合物? 如果假定苯环上相邻C原子 之间的键是互相等价的,则 此问题就是两种颜色6颗珠 子的项链问题。
2019/1/20
数学上的确切描述
设由m颗珠子做成一个项链,可用一个正m边形 来代表它,它的每个顶点代表一颗珠子。
沿逆时针方向给珠子标号, 由于每一颗珠子的颜色有n种选 择,因而用乘法原理,这些有标 号的项链共有nm种。
但其中有一些可以通过旋转一个角 度或翻转180度使它们完全重合, 我们称为是本质相同的,我们要考 虑的是无论怎么旋转、翻转都不能 使它们重合的项链类型数。
2019/1/20
8. 代数方程根式求解问题 我们知道,任何一个一元二次代数方程 可用根式表示它的两个解。对于一元三次和 四次代数方程,古人们经过长期的努力也巧 妙地做到了这一点。于是人们自然要问:是 否任何次代数方程的根均可用根式表示?许 多努力都失败了,但这些努力促使了近世代 数的产生,并最终解决了这个问题:五次以 上代数方程没有根式解。
2019/1/20
f的定义域A×A×…×A中的元素个数为 2n,f在每个元素上的取值有两种可能,所以 n 2 全部开关函数的数目为2 ,这也就是n个开 关的开关线路的数目。 如果不考虑开关的标号,则若开关线路结 构完全相同,称这些开关线路是本质相同的 。要进一步解决本质上不同的开关线路的数目 问题,必须用群论的方法。
《近世代数》PPT课件
例2 设 A 1 { 东} , A 2 { 西 南 } , B { 高} ,低
则 1 :A 1 A 2 B ; ( 西 , 南 ) 高 不是映射.
因为映射要满足每一个元 (a1,a2) 都要有一个像.
而 2 : A 1 A 2 B ; ( 西 , 南 ) 高 ; ( 东 , 南 ) 低 是一个映射. 7
A 1A 2 A n{a1 (,a2, an)ai A i}.
即由一切从 A1,A2, ,An 里顺序取出元素组成的元素 组 (a1,a2, an),ai Ai 组成的集合.
例 A={1,2,3}, B={4,5}, 则
AB={(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)},
A称为 的定义域,B称为 的值域.
注: (1) 映射定义中 “b”的唯一性:映射不能“一对多”,
但可以“多对一”.
(2) 记法: :A B ;ab (a ),aA .
(3) 一般情形,将A换成集合 A 1A 2.. .A n 的积,则
对 ( a 1 ,a 2 ,.a n .) .A ,1 A 2 . .A .n有 : A 1 A 2 . . . A n B ; ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) b ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) . 6
2. 元素(或元): 组成一个集合的事物.
如果a是集合A中的元素,记作a A ; 如果a不是集合A的元 素,记作 a A 或a A .
2
3.空集:没有元素的集合,记作 .
4.子集:设A,B是集合,则
B A (B是A的子集)是指 b B b A . 真子集:B是A的真子集是指 B A 且 aA,但aB .
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例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵 组成的集合.则矩阵的加法、减法和乘法都是 P nn 上 的二元运算.数与矩阵的乘法是 P , P nn 到 P nn 的代 数运算,不是 P nn 上的二元运算.
7
CHENLI
§1 代数运算
例 3 设V 是实数域 R 上的三维欧几里得 空间.于是,向量的加法“”,减法“-”以及向 量与向量的叉乘“”都是V 上的二元运算;实数 与向量乘法“ ”是 R ,V 到V 的代数运算,不是 V 上 的 二 元 运 算 ; 向 量 与 向 量 的 点 乘“ ”是 V ,V 到 R 的代数运算,不是V 上的二元运算.
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
例 4 设 K4 {e, a, b, c} ,我们可以利用 下表来定义 K4 上的乘法“ ”:
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
11
CHENLI
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
(1)若对于任意的 a, b, c A 总有 (ab)c a(bc) ,
则称“ ”适合结合律. (2)若对于任意的 a, b A 总有 ab ba ,
则称“ ”适合交换律.
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CHENLI
§1 代数运算
(3)若对于任意的 a, b, c A ,由 ab ac 可以推得 b c ,则称“ ”适合左消去律;若对 于任意的 a, b, c A ,由 ba ca 可以推得 b c , 则称“ ”适合右消去律;若“ ”既适合左消去 律,又适合右消去律,则称“ ”适合消去律.
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CHENLI
§1 代数运算
定义 1.1 设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)和 A 都是非空集合. A1 A2 An 到 A 的映射 又 称 为 A1, A2 , , A n 到 A 的 代 数 运 算 ; 特 别 地, An 到 A 的映射又称为 A 上的 n 元运算.
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§1 代数运算
例 7 向量空间上的加法适合结合律、交换律和 消去律;向量空间上的减法不适合结合律和交换律,适 合消去律.
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CHENLI
§1 代数运算
例 5 设 R 是实数集.则 R 上的加法“”适合 结合律、交换律和消去律; R 上的乘法“”适合结 合律和交换律,不适合消去律; R 上减法“-”不适 合结合律和交换律,但适合消去律.
注意: R \{0}上的乘法“”适合结合律、交换 律和消去律.
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
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CHENLI
§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
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§1 代数运算
例 6 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方 阵构成的集合.则 P nn 上的加法适合结合律、交换 律和消去律; P nn 上的减法不适合结合律和交换律, 适合消去律; P nn 上的乘法适合结合律,不适合消去 律,当 n 1时不适合交换律.
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§1 代数运算
以下,如无特别声明,凡是提到代数运算 都是指二元运算.
有限集 A 上的每一个代数运算“ ”都可 以用一张表(称为乘法表)来定义.
设 A {a1, a2 , , an} ,“ ”A 是上的乘法 “ ”,则相应的乘法表如下:
第一章 群 论
CHENLI
LOGO
1
目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
2
CHENLI
§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将 集合
本课程只介绍最基本的一些近世代数知 识,主要讨论二元运算.
5
CHENLI
§1 代数运算
在讨论二元运算时,一般不用字母 f 或 g
等 表 示 二 元 运 算 , 而 是 用“”,“” ,
“ ” ,“-”,“”,“”或“”等记号表示二
元运算.特别地,我们常常用记号“ ”来表示任
设 A 是一个非空集合. f 是 A 上的一个二
元运算.于是,对于任意的 a, b A ,存在唯
一的 c A ,使得 f (a, b) c .我们约定,将等
式 f (a, b) c 改写成 afb c .
4
CHENLI
§1 代数运算
近世代数又称为抽象代数,主要研究各式 各样的代数运算,是现代数学的一个内容丰富 有趣的分支.它不仅渗透到其它所有的数学分 支,而且在许多自然科学领域都有重要的应用.
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CHENLI
§1 代数运算
· a1 a2 … an a1 a11 a12 … a1n a2 a21 a22 … a2n an an1 an2 … ann
其中, aia j aij A , i, j 1, 2, , n .
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§1 代数运算
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§1 代数运算
例 3 设V 是实数域 R 上的三维欧几里得 空间.于是,向量的加法“”,减法“-”以及向 量与向量的叉乘“”都是V 上的二元运算;实数 与向量乘法“ ”是 R ,V 到V 的代数运算,不是 V 上 的 二 元 运 算 ; 向 量 与 向 量 的 点 乘“ ”是 V ,V 到 R 的代数运算,不是V 上的二元运算.
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
例 4 设 K4 {e, a, b, c} ,我们可以利用 下表来定义 K4 上的乘法“ ”:
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
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§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
(1)若对于任意的 a, b, c A 总有 (ab)c a(bc) ,
则称“ ”适合结合律. (2)若对于任意的 a, b A 总有 ab ba ,
则称“ ”适合交换律.
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§1 代数运算
(3)若对于任意的 a, b, c A ,由 ab ac 可以推得 b c ,则称“ ”适合左消去律;若对 于任意的 a, b, c A ,由 ba ca 可以推得 b c , 则称“ ”适合右消去律;若“ ”既适合左消去 律,又适合右消去律,则称“ ”适合消去律.
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§1 代数运算
定义 1.1 设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)和 A 都是非空集合. A1 A2 An 到 A 的映射 又 称 为 A1, A2 , , A n 到 A 的 代 数 运 算 ; 特 别 地, An 到 A 的映射又称为 A 上的 n 元运算.
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§1 代数运算
例 7 向量空间上的加法适合结合律、交换律和 消去律;向量空间上的减法不适合结合律和交换律,适 合消去律.
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§1 代数运算
例 5 设 R 是实数集.则 R 上的加法“”适合 结合律、交换律和消去律; R 上的乘法“”适合结 合律和交换律,不适合消去律; R 上减法“-”不适 合结合律和交换律,但适合消去律.
注意: R \{0}上的乘法“”适合结合律、交换 律和消去律.
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
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§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
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§1 代数运算
例 6 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方 阵构成的集合.则 P nn 上的加法适合结合律、交换 律和消去律; P nn 上的减法不适合结合律和交换律, 适合消去律; P nn 上的乘法适合结合律,不适合消去 律,当 n 1时不适合交换律.
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§1 代数运算
以下,如无特别声明,凡是提到代数运算 都是指二元运算.
有限集 A 上的每一个代数运算“ ”都可 以用一张表(称为乘法表)来定义.
设 A {a1, a2 , , an} ,“ ”A 是上的乘法 “ ”,则相应的乘法表如下:
第一章 群 论
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将 集合
本课程只介绍最基本的一些近世代数知 识,主要讨论二元运算.
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§1 代数运算
在讨论二元运算时,一般不用字母 f 或 g
等 表 示 二 元 运 算 , 而 是 用“”,“” ,
“ ” ,“-”,“”,“”或“”等记号表示二
元运算.特别地,我们常常用记号“ ”来表示任
设 A 是一个非空集合. f 是 A 上的一个二
元运算.于是,对于任意的 a, b A ,存在唯
一的 c A ,使得 f (a, b) c .我们约定,将等
式 f (a, b) c 改写成 afb c .
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§1 代数运算
近世代数又称为抽象代数,主要研究各式 各样的代数运算,是现代数学的一个内容丰富 有趣的分支.它不仅渗透到其它所有的数学分 支,而且在许多自然科学领域都有重要的应用.
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§1 代数运算
· a1 a2 … an a1 a11 a12 … a1n a2 a21 a22 … a2n an an1 an2 … ann
其中, aia j aij A , i, j 1, 2, , n .
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