2013年高考文科数学北京卷试题与答案word解析版
(2021年整理)2013年高考北京文科数学试题及答案(word解析版)
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷)数学(文科)第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2013年北京，文1，5分】已知集合{}101A =-，，，{}|11B x x =-≤<，则A B =( ) (A ）{0} （B ）{}10-， (C){}01，(D){}101-，， 【答案】B【解析】1,0,11{11,}{|}{}0x x --≤<-＝，故选B ． （2）【2013年北京，文2，5分】设a ，b ，c R ∈,且a b >，则( ）（A ）ac bc > （B ）11ab< （C ）22a b > （D ）33a b > 【答案】D 【解析】：A 选项中若c 小于等于0则不成立，B 选项中若a 为正数b 为负数则不成立，C 选项中若a ，b 均为负数则不成立，故选D ．(3)【2013年北京，文3，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）（A ）1y x =(B ）x y e -= （C ）21y x =-+（D ）lg y x =【答案】C【解析】A 选项为奇函数，B 选项为非奇非偶函数，D 选项虽为偶函数但在(0)+∞，上是增函数，故选C ． （4）【2013年北京，文4，5分】在复平面内,复数i(2i)-对应的点位于( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C)第三象限 (D ）第四象限【答案】A【解析】()i 2i 12i -=+,其在复平面上的对应点为()1,2，该点位于第一象限，故选A ． （5）【2013年北京，文5，5分】在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =,则sinB =（ ）（A ）15(B)59 （C ） （D)1【答案】B【解析】根据正弦定理，sin sin a b A B =，则515sin sin 339b B A a ==⋅=,故选B ． (6）【2013年北京,文6，5分】执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ）（A ）1 （B ）23 （C ）1321（D ）610987【答案】C【解析】依次执行的循环为1S =,i 0=；23S =,i 1=；1321S =，i 2=，故选C ．（7)【2013年北京，文7，5分】双曲线221y x m-=的离心率大于2的充分必要条件是( ）（A ）12m > (B ）1m ≥ （C ）1m > （D ）2m >【答案】C【解析】该双曲线离心率1me +=，由已知1>2m +，故1m >,故选C ． （8）【2013年北京，文8,5分】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点,则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）(A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D)6个 【答案】B【解析】设正方体的棱长为a ．建立空间直角坐标系，如图所示．则()0,0,0D ,10,()0D a ,，1()0C a a ,,，,(0)0C a ,,0(,)B a a ,，1()B a a a ,,,(),0,0A a ,1,()0A a a ,，221,,333P a a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则2221113999PB a a a a =++=，222441999PD a a a a =++=， 222144423999PD a a a a =++=,22211414999PC PA a a a a ==++=, 2224116999PC PA a a a a ==++=，22211146999PB a a a a =++=，故共有4个不同取值，故选B ．第二部分（非选择题 共110分)二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．(9）【2013年北京，文9，5分】若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0),则p = ,准线方程为 ． 【答案】2;1-【解析】根据抛物线定义12p =，∴2p =，又准线方程为12px =-=-． (10)【2013年北京，文10，5分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ．【答案】3【解析】由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3,四棱锥的高为1,根据体积公式133133V =⨯⨯⨯=,故该棱锥的体积为3．(11）【2013年北京,文11，5分】若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = ． 【答案】2;122n +-【解析】由题意知352440220a a q a a +===+．由222421())10(12a a a q a q q +=+=+=，∴12a =．∴12122212n n n S +(-)==--．（12)【2013年北京，文12，5分】设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 ．【解析】区域D 表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知()1,0到D 的距离最小值为()1,0到直线2x -y =0=． （13）【2013年北京,文13，5分】函数12log ,1()2,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪ <⎩的值域为_______． 【答案】()2-∞，【解析】当1x ≥时,1122log log 1x ≤，即12log 0x ≤，当1x <时,1022x <<，即022x <<;故()f x 的值域为()2-∞，．（14)【2013年北京，文14，5分】向量(1,1)A -，(3,0)B ,(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（12λ≤≤，01μ≤≤)的点P 组成，则D 的面积为 ．【答案】3【解析】AP AB AC λμ=+，()2,1AB =，()1,2AC =．设()P x y ，，则()1,1AP x y =-+．∴1212x y λμλμ-=+⎧⎨-=+⎩得233233x y y x λμ--⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩,∵12λ≤≤，01μ≤≤,可得629023x y x y ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩,如图．可得()13,0A ，()14,2B ，()16,3C，11A B =，两直线距离d ==∴11·3S A B d ==． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15)【2013年北京，文15，13分】已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期及最大值； （2）若(,)2παπ∈，且()f α=α的值． 解：（1）21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+1cos2sin 2cos42x x x =+11sin 4cos422x x =+)4x π=+ 所以，最小正周期242T ππ==，当()4242x k k Z πππ+=+∈，即()216k x k Z ππ=+∈时，max ()f x =（2)因为22()sin(4)4f παα=+=,所以sin(4)14πα+=，因为2παπ<<，所以9174444πππα<+<,所以5442ππα+=，即916πα=．（16）【2013年北京，文16，13分】下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天． （1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此在在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明）解：(1）在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是613． （2）解法一：根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413． 解法二：此人停留的两天共有13种选择,分别是:()1,2，()2,3，()3,4,()4,5，()5,6，()6,7,()7,8,()8,9， ()9,10,()10,11，()11,12，()12,13，()13,14，其中只有一天重度污染的为()4,5，()5,6，()7,8，()8,9，共4种,所以概率为2413P =． （3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． （17）【2013年北京，文17，14分】如图,在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证：(1）PA ⊥底面ABCD ； （2）//BE 平面PAD ;（3）平面BEF ⊥平面PCD ． 解：（1)因为平面PAD ⊥底面ABCD ,且PA 垂直于这两个平面的交线AD ,PA ∴⊥底面ABCD ．（2）因为//AB CD ，2CD AB =，E 为CD 的中点，所以//AB DE ，且AB DE =．所以ABED 为平行四边形．所以//BE AD ．又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ,所以//BE 平面PAD ．（3）因为AB AD ⊥，而且ABED 为平行四边形,所以BE CD ⊥，AD CD ⊥．由（1)知PA ⊥底面ABCD ， 所以PA CD ⊥．所以CD ⊥平面PAD ．所以CD PD ⊥．因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 所以//PD EF ．所以CD EF ⊥．所以CD ⊥平面BEF ．所以平面BEF ⊥平面PCD ．（18)【2013年北京,文18，13分】已知函数2()sin cos f x x x x x =++．（1)若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切,求a 与b 的值;（2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点,求b 的取值范围． 解：（1）因为曲线()y f x =在点()()a f a ，处与直线y b =相切，所以()()2cos 0f a a a '=+=,()b f a =．解得0a =，()01b f ==．空气质量指数日期14日13日12日11日10日9日8日7日6日1日037798615812116021740160220143572586100150200250（2）解法一:令()0f x '=，得0x =．()f x 与()f x '的情况如下：所以函数()f x ()0-∞，(0)+∞，,()01f =是()f x 的最小值．当1b ≤时，曲线()y f x =与直线y b =最多只有一个交点;当1b >时，()()222421421f b f b b b b b b -=≥-->-->,()01f b =<，所以存在()12,0x b ∈-,()20,2x b ∈，使得()()12f x f x b ==．由于函数()f x 在区间()0-∞，和(0)+∞，上均单调,所以当1b >时曲线()y f x =与直线y b =有且仅有两个不同交点． 综上可知，如果曲线()y f x =与直线y b =有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1)+∞，． 解法二:因为2cos 0x +>，所以当0x >时'()0f x >，()f x 单调递增；当0x <时'()0f x <，()f x 单调递减．所以当0x =时,()f x 取得最小值(0)1f =,所以b 的取值范围是(1,)+∞．（19）【2013年北京，文19，14分】直线()0y kx m m =+≠,W ：2214x y +=相交于A ，C 两点,O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；（2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明四边形OABC 不可能为菱形． 解：（1)因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设1,2A t ⎛⎫⎪⎝⎭,代入椭圆方程得21144t +=，即t =AC =(2)解法一：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点,且AC OB ⊥，所以0k ≠．由2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩,消y 并整理得()222148440k x kmx m +++-=．设11()A x y ，，22()C x y ，，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x m k m k ++=⋅+=+．所以AC 的中点为224,1414kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 因为M 为AC 和OB 的交点，且0m ≠，0k ≠，所以直线OB 的斜率为14k-．因为114k k ⎛⎫⋅-≠- ⎪⎝⎭，所以AC 与OB 不垂直．所以四边形OABC 不是菱形,与假设矛盾． 所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．解法二：因为四边形OABC 为菱形，所以OA OC =，设()1OA OC r r ==>，则A ，C 两点为圆222x y r +=与椭圆2214x y +=的交点，联立方程2222214x y r x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得224(1)3r x -=，所以A ，C 两点的横坐标相等或互为相反数．因为点B 在W 上，若A ,C 两点的横坐标相等，点B 应为椭圆的左顶点或右顶点．不合题意．若A ，C 两点的横坐标互为相反数，点B 应为椭圆的上顶点或下顶点．不合题意．所以四边形OABC 不可能为菱形（20）【2013年北京,文20，13分】给定数列1a ，2a ，,n a ．对1,2,3,,1i n =-,该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项1i a +，2i a +，,n a 的最小值记为i B ，i i i d A B =-． (1）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值； （2）设1a ，2a ，，n a （4n ≥）是公比大于1的等比数列,且10a >，证明1d ，2d ,，1n d -是等比数列； （3)设1d ，2d ，，1n d -是公差大于0的等差数列，且10d >，证明1a ，2a ，,1n a -是等差数列．解：（1)111312d A B =-=-=，222413d A B =-=-=,333716d A B =-=-=．（2）因为1a ，2a ，,n a (4n ≥）是公比大于1的等比数列,且10a >，所以11n n a a q -=．所以当1,2,3,,1k n =-时，1k k k k k d A B a a +=-=-,所以当2,3,,1k n =-时,11111(1)(1)k k k k k k k k d a a a q q q d a a a q +------===--，所以1d ,2d ，，1n d -是等比数列．(3）解法一： 若1d ，2d ，，1n d -是公差大于0的等差数列，则1210n d d d -<<<<,1a ,2a ,，1n a -应是递增数列，证明如下:设k a 是第一个使得1k k a a -≤的项，则1k k A A -=，1k k B B -≤，所以111k k k k k k d A B A B d ---=-≥-=,与已知矛盾．所以，1a ，2a ，，1n a -是递增数列．再证明n a 数列{}n a 中最小项，否则k n a a <（2,3,,1k n =-）,则 显然1k ≠，否则11111110d A B a B a a =-=-≤-=,与10d >矛盾；因而2k ≥，此时考虑11110k k k k k d A B a a ----=-=-<,矛盾，因此n a 是数列{}n a 中最小项． 综上,()2,3,,1k k k k n d A B a a k n =-=-=-，k k n a d a ∴=+，也即1a ，2a ，，1n a -是等差数列．解法二:设d 为121n d d d -⋯，，，公差．对12i n ≤≤-，1i i B B +≤，0d >，111i i i i i i i i A B d B d d B d A +++=+≥++>+=．又因为11{}i i i A max A a ++=，，所以11i i i i a A A a ++=>≥．从而121n a a a -⋯，，，是递增数列． 因此1,2()1i i A a i n ==⋯-，，．又因为111111B A d a d a =-=-<,所以1121n B a a a -<<<⋯<．因此1n a B =．所以121n n B B B a -==⋯==．所以i i i i n i a A B d a d ==+=+．因此对1,22i n =⋯-，，都有11i i i i a a d d d ++-=-=，即121n a a a -⋯，，，是等差数列．。
2013年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．，但是B根据函数，函数满足=5．（5分）（2013•北京）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）BsinA=，=．6．（5分）（2013•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）的值为7．（5分）（2013•北京）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）Bb=．利用离心率建立解：双曲线，说明b=，等价于∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是8．（5分）（2013•北京）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）=，=到各顶点的距离的不同取值有，，二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•北京）若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），则p=2；准线方程为x=﹣1．=1=110．（5分）（2013•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为3．所以体积11．（5分）（2013•北京）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=2；前n 项和S n=2n+1﹣2．项和公式即可得出，∴12．（5分）（2013•北京）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为．=故答案为：13．（5分）（2013•北京）函数的值域为（﹣∞，2）．所以函数14．（5分）（2013•北京）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．，根据，，，，解之得坐标满足不等式组|CF|=，d==×三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2013•北京）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．（Ⅱ）通过，且T=，函数的最大值为：，，，又∵16．（13分）（2013•北京）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）P=17．（13分）（2013•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．18．（13分）（2013•北京）已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．，19．（14分）（2013•北京）直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．，（与椭圆的交点，从而解得y=代入椭圆方程得±，）AC=2与椭圆（20．（14分）（2013•北京）给定数列a1，a2，…，a n．对i=1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A i，后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i﹣B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．从而可证时，。
2013北京高考文科数学试卷与答案
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷)第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．(2013北京，文1)已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x ＜1}，则A ∩B ＝( )．A ．{0}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{－1,0,1} 2．(2013北京，文2)设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则( )．A ．ac ＞bcB ．11<a b C ．a2＞b2 D ．a3＞b33．(2013北京，文3)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )．A ．1y x =B ．y ＝e －xC ．y ＝－x2＋1D ．y ＝lg |x|4．(2013北京，文4)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．(2013北京，文5)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )． A ．15 B ．59 C．3 D ．16．(2013北京，文6)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )．A ．1B ．23C ．1321D ．6109877．(2013北京，文7)双曲线x 2－2y m＝1的充分必要条件是( )．A ．m ＞12 B ．m≥1 C ．m ＞1 D ．m ＞28．(2013北京，文8)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2013北京，文9)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝__________；准线方程为__________．10．(2013北京，文10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________．11．(2013北京，文11)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝__________；前n 项和S n ＝__________.12．(2013北京，文12)设D 为不等式组0,20,30x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为__________．13．(2013北京，文13)函数f (x )＝12log ,1,2,1,x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为__________． 14．(2013北京，文14)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP u u u r ＝λABu u ur＋μAC u u u r(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．(2013北京，文15)(本小题共13分)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，且f (α)＝2，求α的值． 16．(2013北京，文16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留时间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结果不要求证明)17．(2013北京，文17)(本小题共14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)PA ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面PAD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD . 18．（本小题共13分） 已知函数2()sin cos f x x x x x =++（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值。
2013年全国高考文科数学试题及答案-北京卷
20． （本小题共 13 分） 给定数列 a1 ，a2 ，LL ，an 。 对 i = 1, 2,3,L , n − 1 ， 该数列前 i 项的最大值记为 Ai ， 后n−i 项 ai +1 ， ai + 2 ， LL ， an 的最小值记为 Bi ， d i = Ai − Bi 。 （1）设数列 {an } 为 3 ， 4 ， 7 ， 1 ，写出 d1 ， d 2 ， d3 的值。 （2）设 a1 ， a2 ，LL ， an （ n ≥ 4 ）是公比大于 1 的等比数列，且 a1 > 0 ，证明 d1 ， d 2 ，LL ，
d n−1 是等比数列。
（3）设 d1 ， d 2 ，LL ， d n −1 是公差大于 0 的等差数列，且 d1 > 0 ，证明 a1 ， a2 ，LL ， an −1 是 等差数列。
2013 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文） （北京卷）参考答案
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B
B． 4 个
第二部分（选择题 共 110 分）
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9．若抛物线 y 2 = 2 px 的焦点坐标为 (1, 0) ，则 p = ，准线方程为 。
10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为
。
11 ． 若 等 比 数列 {an } 满 足 a2 + a4 = 20 ， a3 + a5 = 40 ，则 公比 q =
4．在复平面内，复数 i (2 − i ) 对应的点位于（ A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限
）
5．在 ∆ABC 中， a = 3 ， b = 5 ， sin A =
2013年高考北京文科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2013年北京，文1，5分】已知集合{}101A =-，，，{}|11B x x =-≤<，则A B =I （ ） （A ）{0} （B ）{}10-，（C ）{}01， （D ）{}101-，， 【答案】B【解析】1,0,11{11,}{|}{}0x x --≤<-I ＝，故选B ． （2）【2013年北京，文2，5分】设a ，b ，c R ∈，且a b >，则（ ）（A ）ac bc > （B ）11a b< （C ）22a b > （D ）33a b >【答案】D 【解析】：A 选项中若c 小于等于0则不成立，B 选项中若a 为正数b 为负数则不成立，C 选项中若a ，b 均为负数则不成立，故选D ．（3）【2013年北京，文3，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）（A ）1y x = （B ）x y e -= （C ）21y x =-+（D ）lg y x =【答案】C【解析】A 选项为奇函数，B 选项为非奇非偶函数，D 选项虽为偶函数但在(0)+∞，上是增函数，故选C ． （4）【2013年北京，文4，5分】在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】A【解析】()i 2i 12i -=+，其在复平面上的对应点为()1,2，该点位于第一象限，故选A ．（5）【2013年北京，文5，5分】在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sinB =（ ）（A ）15 （B ）59（C ）5 （D ）1【答案】B【解析】根据正弦定理，sin sin a b A B =，则515sin sin 339b B A a ==⋅=，故选B ． （6）【2013年北京，文6，5分】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）1 （B ）23 （C ）1321（D ）610987【答案】C【解析】依次执行的循环为1S =，i 0=；23S =，i 1=；1321S =，i 2=，故选C ．（7）【2013年北京，文7，5分】双曲线221yx m-=的离心率大于2的充分必要条件是（ ）（A ）12m > （B ）1m ≥ （C ）1m > （D ）2m >【答案】C【解析】该双曲线离心率1me +=，由已知1>2m +，故1m >，故选C ．（8）【2013年北京，文8，5分】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个【答案】B【解析】设正方体的棱长为a ．建立空间直角坐标系，如图所示．则()0,0,0D ，10,()0D a ,，1()0C a a ,,，,(0)0C a ,，0(,)B a a ,，1()B a a a ,,，(),0,0A a ，1,()0A a a ,，221,,333P a a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则PB =u u u r，PD a =u u u r ，1PD ==u u u u r，11PC PA a ==，PC PA ==，1PB u u u r ，故共有4个不同取值，故选B ． 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2013年北京，文9，5分】若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ，准线方程为 ． 【答案】2；1-【解析】根据抛物线定义12p =，∴2p =，又准线方程为12px =-=-．（10）【2013年北京，文10，5分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ． 【答案】3【解析】由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为1，根据体积公式133133V =⨯⨯⨯=，故该棱锥的体积为3．（11）【2013年北京，文11，5分】若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = ． 【答案】2；122n +-【解析】由题意知352440220a a q a a +===+．由222421())10(12a a a q a q q +=+=+=，∴12a =．∴12122212n n n S +(-)==--．（12）【2013年北京，文12，5分】设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 ．【解析】区域D 表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知()1,0到D 的距离最小值为()1,0到直线2x -y =0（13）【2013年北京，文13，5分】函数12log ,1()2,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪ <⎩的值域为_______．【答案】()2-∞，【解析】当1x ≥时，1122log log 1x ≤，即12log 0x ≤，当1x <时，1022x <<，即022x <<；故()f x 的值域为()2-∞，． （14）【2013年北京，文14，5分】向量(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB ACλμ=+u u u r u u u r u u u r （12λ≤≤，01μ≤≤）的点P 组成，则D 的面积为 ． 【答案】3【解析】AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，()2,1AB =u u u r ，()1,2AC =u u u r ．设()P x y ，，则()1,1AP x y =-+u u u r．∴1212x y λμλμ-=+⎧⎨-=+⎩得233233x y y x λμ--⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩,∵12λ≤≤，01μ≤≤，可得629023x y x y ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩，如图．可得()13,0A ，()14,2B ，()16,3C ，21214325A B (-)+==，两直线距离2521d ==+，∴11·3S A B d ==． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）【2013年北京，文15，13分】已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期及最大值；（2）若(,)2παπ∈，且2()f α=，求α的值．解：（1）21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+1cos2sin 2cos42x x x =+11sin 4cos422x x =+2sin(4)4x π=+所以，最小正周期242T ππ==，当()4242x k k Z πππ+=+∈，即()216k x k Z ππ=+∈时，max 2()2f x =． （2）因为22()sin(4)4f παα=+=，所以sin(4)14πα+=，因为2παπ<<，所以9174444πππα<+<， 所以5442ππα+=，即916πα=．（16）【2013年北京，文16，13分】下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天． （1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此在在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 解：（1）在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613．（2）解法一：根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413．解法二：此人停留的两天共有13种选择，分别是：()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，()5,6，()6,7，()7,8，()8,9，()9,10，()10,11，()11,12，()12,13，()13,14，其中只有一天重度污染的为()4,5，()5,6，()7,8，()8,9，共4种，所以概率为2413P =． （3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． （17）【2013年北京，文17，14分】如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证： （1）PA ⊥底面ABCD ； （2）//BE 平面PAD ；（3）平面BEF ⊥平面PCD ． 解：（1）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，PA ∴⊥底面ABCD ．（2）因为//AB CD ，2CD AB =，E 为CD 的中点，所以//AB DE ，且AB DE =．所以ABED 为平行四边形．所以//BE AD ．又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BE 平面PAD ．（3）因为AB AD ⊥，而且ABED 为平行四边形，所以BE CD ⊥，AD CD ⊥．由（1）知PA ⊥底面ABCD ，空气质量指数日期14日13日12日11日10日9日8日7日6日1日037798615812116021740160220143572586100150200250所以PA CD ⊥．所以CD ⊥平面PAD ．所以CD PD ⊥．因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 所以//PD EF ．所以CD EF ⊥．所以CD ⊥平面BEF ．所以平面BEF ⊥平面PCD ．（18）【2013年北京，文18，13分】已知函数2()sin cos f x x x x x =++．（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值； （2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围． 解：（1）因为曲线()y f x =在点()()a f a ，处与直线y b =相切，所以()()2cos 0f a a a '=+=，()b f a =．解得0a =，()01b f ==．（2）解法一：令()0f x '=，得0x =．()f x 与()f x '的情况如下：所以函数()f x ()01=是()f x 的最小值． 当1b ≤时，曲线()y f x =与直线y b =最多只有一个交点；当1b >时，()()222421421f b f b b b b b b -=≥-->-->，()01f b =<，所以存在()12,0x b ∈-，()20,2x b ∈，使得()()12f x f x b ==．由于函数()f x 在区间()0-∞，和(0)+∞，上 均单调，所以当1b >时曲线()y f x =与直线y b =有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线()y f x =与直线y b =有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1)+∞，．解法二：因为2cos 0x +>，所以当0x >时'()0f x >，()f x 单调递增；当0x <时'()0f x <，()f x 单调递减． 所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =，所以b 的取值范围是(1,)+∞．（19）【2013年北京，文19，14分】直线()0y kx m m =+≠，W ：2214x y +=相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．（1）当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；（2）当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明四边形OABC 不可能为菱形． 解：（1）因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设1,2A t ⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程得21144t +=，即t =AC =（2）解法一：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC OB ⊥，所以0k ≠．由2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，消y 并整理得()222148440k x kmx m +++-=．设11()A x y ，，22()C x y ，，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x m k m k ++=⋅+=+．所以AC 的中点为224,1414kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 因为M 为AC 和OB 的交点，且0m ≠，0k ≠，所以直线OB 的斜率为14k-．因为114k k ⎛⎫⋅-≠- ⎪⎝⎭，所以AC 与OB 不垂直．所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形． 解法二：因为四边形OABC 为菱形，所以OA OC =，设()1OA OC r r ==>，则A ，C 两点为圆222x y r +=与椭圆2214x y +=的交点，联立方程2222214x y r x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得224(1)3r x -=，所以A ，C 两点的横坐标相等或 互为相反数．因为点B 在W 上，若A ，C 两点的横坐标相等，点B 应为椭圆的左顶点或右顶点．不合题意．若A ，C 两点的横坐标互为相反数，点B 应为椭圆的上顶点或下顶点．不合题意． 所以四边形OABC 不可能为菱形（20）【2013年北京，文20，13分】给定数列1a ，2a ，L L ，n a ．对1,2,3,,1i n =-L ，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项1i a +，2i a +，L L ，n a 的最小值记为i B ，i i i d A B =-． （1）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值；（2）设1a ，2a ，L L ，n a （4n ≥）是公比大于1的等比数列，且10a >，证明1d ，2d ，L L ，1n d -是等比数列；（3）设1d ，2d ，L L ，1n d -是公差大于0的等差数列，且10d >，证明1a ，2a ，L L ，1n a -是等差数列．解：（1）111312d A B =-=-=，222413d A B =-=-=，333716d A B =-=-=． （2）因为1a ，2a ，L L ，n a （4n ≥）是公比大于1的等比数列，且10a >，所以11n n a a q -=．所以当1,2,3,,1k n =-L 时，1k k k k k d A B a a +=-=-，所以当2,3,,1k n =-L 时，11111(1)(1)k k k k k k k k d a a a q q q d a a a q +------===--，所以1d ，2d ，L L ，1n d -是等比数列． （3）解法一：若1d ，2d ，L L ，1n d -是公差大于0的等差数列，则1210n d d d -<<<<L ， 1a ，2a ，L L ，1n a -应是递增数列，证明如下：设k a 是第一个使得1k k a a -≤的项，则1k k A A -=，1k k B B -≤，所以111k k k k k k d A B A B d ---=-≥-=，与已知矛盾．所以，1a ，2a ，L L ，1n a -是递增数列．再证明n a 数列{}n a 中最小项，否则k n a a <（2,3,,1k n =-L ），则 显然1k ≠，否则11111110d A B a B a a =-=-≤-=，与10d >矛盾；因而2k ≥，此时考虑11110k k k k k d A B a a ----=-=-<，矛盾，因此n a 是数列{}n a 中最小项．综上，()2,3,,1k k k k n d A B a a k n =-=-=-L ，k k n a d a ∴=+，也即1a ，2a ，L L ，1n a -是等差数列． 解法二：设d 为121n d d d -⋯，，，公差．对12i n ≤≤-，1i i B B +≤Q ，0d >，111i i i i i i i i A B d B d d B d A +++=+≥++>+=．又因为11{}i i i A max A a ++=，，所以11i i i i a A A a ++=>≥．从而121n a a a -⋯，，，是递增数列． 因此1,2()1i i A a i n ==⋯-，，．又因为111111B A d a d a =-=-<，所以1121n B a a a -<<<⋯<．因此1n a B =．所以121n n B B B a -==⋯==．所以i i i i n i a A B d a d ==+=+．因此对1,22i n =⋯-，，都有11i i i i a a d d d ++-=-=，即121n a a a -⋯，，，是等差数列．。
2013年北京高考数学试题及答案(文科)
2013年北京高考数学试题及答案(文科)一、选择题1．已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝() A．{0} B．{－1，0}C．{0，1} D．{－1，0，1}1．B[解析] ∵－1∈B，0∈B，1∉B，∴A∩B＝{－1，0}，故选B. 2．设a，b，c∈，且a>b，则()A．ac>bc B.1a<1b C．a2>b2D．a3>b32．D[解析] ∵函数y＝x3在上是增函数，a>b，∴a3>b3.3．，下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝1x B．y＝e－xC．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x|3．C[解析] 对于A，y＝1x是奇函数，排除．对于B，y＝e－x既不是奇函数，也不是偶函数，排除．对于D，y＝lg |x|是偶函数，但在(0，＋∞)上有y＝lg x，此时单调递增，排除．只有C符合题意．4．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．A[解析] ∵i(2－i)＝2i＋1，∴i(2－i)对应的点为(1，2)，因此在第一象限．5．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝()A.15 B.59C.53D．15．B[解析] 由正弦定理得asin A＝bsin B，即313＝5sin B，解得sin B＝59.6．执行如图1－1所示的程序框图，输出的S值为()图1－1A．1 B.2 3C.1321 D.6109876．C[解析] 执行第一次循环时S＝12＋12×1＋1＝23，i＝1；执行第二次循环时S＝⎝⎛⎭⎪⎫232＋12×23＋1＝1321，i＝2，此时退出循环，故选C.7．，双曲线x2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是()A．m>12B．m≥1C．m>1 D．m>27．C[解析] 双曲线的离心率e＝ca＝1＋m>2，解得m>1.故选C.8．，如图1－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有()图1－2A．3个B．4个C．5个D．6个8．B[解析] 设棱长为1，∵BD1＝3，∴BP＝33，D1P＝2 33.联结AD1，B1D1，CD1，得△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1，∴∠ABD 1＝∠CBD 1＝∠B 1BD 1，且cos ∠ABD 1＝33， 联结AP ，PC ，PB 1，则有△ABP ≌△CBP ≌△B 1BP ，∴AP ＝CP ＝B 1P ＝63，同理DP ＝A 1P ＝C 1P ＝1， ∴P 到各顶点的距离的不同取值有4个．9． 若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，则p ＝________；准线方程为________.9．2 x ＝－1 [解析] ∵抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，∴p2＝1，解得p ＝2，∴准线方程为x ＝－1.10．， 某四棱锥的三视图如图1－3所示，该四棱锥的体积为________．图1－310．3 [解析] 正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此V ＝13×(3×3)×1＝3.11． 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________．11．2 2n ＋1－2 [解析] ∵a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，∴40＝20q ，∴q ＝2，∴a 1(q ＋q 3)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.12． 设D 为不等式组⎩⎨⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D 上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．12.2 55 [解析] 在平面直角坐标系中画出可行域，如图所示．根据可行域可知，区域D 内的点到点(1，0)的距离最小值为点(1，0)到直线2x －y ＝0的距离，即d ＝|2－0|5＝2 55. 13． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．13．(－∞，2) [解析] 函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，当x ≥1时，函数y ＝log 12x 的值域为(－∞，0]；函数y ＝2x 在上是增函数，当x <1时，函数y ＝2x 的值域为(0，2)，所以原函数的值域为(－∞，2)．14． 已知点A (1，－1)，B (3，0)，C (2，1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB→＋μAC →(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________． 14．3 [解析] 设P (x ，y )，∴AP →＝(x －1，y ＋1)，AB →＝(2，1)，AC →＝(1，2)．∵AP →＝λAB→＋μAC →， ∴⎩⎨⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，解得⎩⎨⎧3λ＝2x －y －3，－3μ＝x －2y －3.又1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴⎩⎨⎧6≤2x －y ≤9，0≤x －2y ≤3，此不等式组表示的可行域为平行四边形，如图所示，由于A (3，0)，B (5，1)，所以|AB |＝（5－3）2＋（1－0）2＝5，点B (5，1)到直线x －2y ＝0的距离d ＝35，∴其面积S ＝5×35＝3. 15．，，， 已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x . (1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．15．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2 x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x ·sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f (α)＝22，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4. 所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16. 16．，， 图1－4是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．图1－4(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)16．解：(1)在3 月1日至3 月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气 重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413. (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． 17．，， 如图1－5，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF⊥平面PCD.图1－517．证明：(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.又因为AD∩P A＝A，所以CD⊥平面P AD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，所以CD⊥平面BEF，所以平面BEF⊥平面PCD.18．，，，已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．18．解：由f(x)＝x2＋x sin x＋cos x，得f′(x)＝x(2＋cos x)．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的情况如下：x (－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)1所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b >1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1>4b －2b －1>b ，f (0)＝1<b ， 所以存在x 1∈(－2b ，0)，x 2∈(0，2b )，使得f (x 1)＝f (x 2)＝b .由于函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b >1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．19．，， 直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0，1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．19．解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝±3.所以|AC |＝2 3.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k . 因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形． 20．，，， 给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1，2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3，4，7，1，写出d 1，d 2，d 3的值； (2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6.(2)证明：因为a1>0，公比q>1，所以a1，a2，…，a n是递增数列．因此，对i＝1，2，…，n－1，A i＝a i，B i＝a i＋1. 于是对i＝1，2，…，n－1，d i＝A i－B i＝a i－a i＋1＝a1(1－q)q i－1.因此d i≠0且d i＋1d i＝q(i＝1，2，…，n－2)，即d1，d2，…，d n－1是等比数列．(3)证明：设d为d1，d2，…，d n－1的公差．对1≤i≤n－2，因为B i≤B i＋1，d>0，所以A i＋1＝B i＋1＋d i＋1≥B i＋d i＋d>B i＋d i＝A i.又因为A i＋1＝max{A i，a i＋1}，所以a i＋1＝A i＋1>A i≥a i.从而a1，a2，…，a n－1是递增数列，因此A i＝a i(i＝1，2，…，n－1)．又因为B1＝A1－d1＝a1－d1<a1，所以B1<a1<a2<…<a n－1.因此a n＝B1.所以B1＝B2＝…＝B n－1＝a n.所以a i＝A i＝B i＋d i＝a n＋d i.因此对i＝1，2，…，n－2都有a i＋1－a i＝d i＋1－d i＝d，即a1，a2，…，a n－1是等差数列．。
【数学】2013年高考真题北京卷(文)解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1- 2．设a ，b ，c R ∈，且a b >，则（ ）A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b > 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．1y x=B ．x y e -=C ．21y x =-+ D ．lg y x = 4．在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sin B =（ ）A ．15 B ．59C D ．16．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．23C ．1321D ．6109877．双曲线221y x m-=的充分必要条件是A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个第二部分（选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ，准线方程为 。
10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 。
11．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = 。
2013年北京高考文科数学试卷及解析
1 cos 4 x 2
（1）求 f ( x ) 的最小正周期及最大值。 （2）若 (
2
, ) ，且 f ( )
2 ，求 的值。 2
【考点】本题考查三角函数的诱导公式、二倍角公式、三角函数的周期、最小值等相关公式。
1 x
B． y e
x
C． y x 1
2
D． y lg x
【答案】C 【考点】本题主要考查一些常见函数的图像和性质，意在考查考生对幂函数、二次函数、指数函数、对数函数以及函数图 像之间的变换关系的掌握情况。 【解析】y = ������是奇函数，选项 A 错；y=e 指数函数，非奇非偶，选项 B 错；y = lg |������ |是偶函数，但在（0，∞）上单调 递增，选项 D 错，只有选项 C 是偶函数且在（0，∞）上单调递增。 4．在复平面内，复数 i (2 i ) 对应的点位于（） A．第一象限 C．第三象限 【答案】A 【考点】本题主要考查复数的运算法则和几何意义。 【解析】因为 i（2—i）=1+2i，所以对应的点的坐标为（1.2）在第一象限，故选 A. 5．在 ABC 中， a 3 ， b 5 ， sin A B．第二象限 D．第四象限
6 13
（2）此人停留的两天共有 13 种选择，分别是：(1, 2) ，(2,3) ，(3, 4) ，(4,5) ，(5, 6) ，(6, 7) ，(7,8) ，(8,9) ， (9,10) ，
(10,11) ， (11,12) ， (12,13) ， (13,14)
其中只有一天重度污染的为 (4,5) ， (5, 6) ， (7,8) ， (8,9) ，共 4 种， 所以概率为 P2
2013年高考文科数学北京卷-答案
∴ S＝ A1B1 d＝3 ．
三、解答题
15．【答案】（1） f x 的最小正周期为 π ，最大值为 2
2
2
（2） 9π 16
【解析】（1）因为 f x＝(2cos2 x－1)sin 2 x＋1 cos 4x
2 ＝ cos 2xsin 2x＋1 cos 4x
2 ＝ 1 (sin 4x＋cos 4x)
2
, 1
m 4k2
。
因为 M 为 AC 和 OB 的交点，且 m 0，k 0 ，所以直线 OB 的斜率为－ 1 。 4k
因为
k
－
1 4k
－1，所以ACຫໍສະໝຸດ 与OB不垂直。
所以四边形 OABC 不是菱形，与假设矛盾。 所以当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能是菱形。 20．【答案】（1） d1＝2，d2＝3，d3＝6
由
x2
4y2
4,
消
y
并整理得 (1＋4k2 )x2＋8kmx＋4m2－4＝0
y kx m
设 A(x1，y1)，C(x2，y2 ) ，
则
x1 x2 2
－ 1
4km 4k
2
，
y1 2
y2
k
x1 x2 2
m
1
m 4k
2
。
所以
AC
的中点为
M
－1
4km 4k
4．【答案】A 【解析】 i(2－i)＝1＋2i ，其在复平面上的对应点为 (1，2) ，该点位于第一象限，故选 A．
5．【答案】B
【解析】根据正弦定理， a b ，则 sin B＝b sin A＝5 1 5 ，故选 B．
2013年高考文科数学北京卷及答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x ≤＜=-，则A B = ( )A .{0}B .{1,0}-C .{0,1}D .{1,0,1}- 2.设a ，b ，c R ∈，且a b >，则( )A .ac bc >B .11a b< C .22a b >D .33a b >3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是( )A .1y x=B .x y e -=C .21y x =-+D .lg||y x = 4.在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.在ABC △中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sin B =( )A .15B .59 CD .16.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( )A .1B .23C .1321D .6109877.双曲线221y x m-=的充分必要条件是( )A .12m ＞ B .1m ≥ C .1m ＞D .2m ＞8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )A .3个B .4个C .5个D .6个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.9.若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ；准线方程为 . 10.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 .11.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = .12.设D 为不等式组02030x x y x y ≥，≤，≤，⎧⎪-⎨⎪+-⎩表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 .13.函数12log ,1()2,1x x x f x x ≥＜ ⎧⎪=⎨⎪ ⎩的值域为 .14.已知点(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C .若平面区域D 由所有满足AP AB ACλμ=+（12≤≤λ，01≤≤μ）的点P 组成，则D 的面积为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及最大值； （Ⅱ）若π(,π)2α∈，且()2f α=，求α的值.16.（本小题满分13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥.E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：（Ⅰ）PA ⊥底面ABCD ； （Ⅱ）BE ∥平面PAD ； （Ⅲ）平面BEF ⊥平面PCD .18.（本小题满分13分）已知函数2()sin cos f x x x x x =++.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值；（Ⅱ）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围.19.（本小题满分14分）直线y kx m =+（0m ≠）与椭圆W ：2214x y +=相交于A ，C 两点，O 是坐标原点.（Ⅰ）当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； （Ⅱ）当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形.20.（本小题满分13分）给定数列1a ，2a ，，n a .对1,2,,1i n =-，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i-项1i a +，2i a +，，n a 的最小值记为i B ，i i i d A B =-.（Ⅰ）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值； （Ⅱ）设1a ，2a ，，n a （4n ≥）是公比大于1的等比数列，且10a ＞.证明：1d ，2d ，，1n d -是等比数列； （Ⅲ）设1d ，2d ，，1n d -是公差大于0的等差数列，且10d ＞.证明：1a ，2a ，，1n a -是等差数列.2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）答案解析【解析】设正方体的棱长为则()000D，，，1()(0)B a a B a a a，，，，，，则222111999PB a a a=++=2224419PD a a a=++=1499PD=14PC PA====PC PA49a2119PB a=+故共有4个不同取值，故选【解析】区域D表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知(1)0，到D的距离最小值为13．【答案】(2)∞－，【解析】当1x≥时，12log logx≤【答案】3【解析】AP AB ACμλ=+，2()1AB=，，1()2AC=，，则(xAP=－,μ得2--3,x yλ⎧=⎪⎪⎨。
2013年北京市高考数学文科试卷(有答案)
2013年北京市高考数学文科试卷（有答案）绝密★启用并使用完毕2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（文）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛-1，0，1｝，B=｛x|-1≤x（A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1}（D）｛-1，,0，1}（2）设a,b,c∈R,且a（A）ac>bc（B）b2（D）a3>b3（3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（A）y=(B)y=e-3（C）y=x2+1(D)y=lg∣x∣（4）在复平面内，复数i（2-i）对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（5）在△ABC中，a=3,b=5,sinA=,则sinB（A）（B）（C）（D）1（6）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（A）1（B）（C）（D）（7）双曲线x²-=1的离心率大于的充分必要条件是（A）m＞（B）m≥1（C）m大于1（D）m＞2(8)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分。
（9）若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1,0）则p=____;准线方程为_____(10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________.(11)若等比数列｛an｝满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=__________;前n项sn=_____.(12)设D为不等式组，表示的平面区域，区域D上的点与点（L，0）之间的距离的最小值为___________.(13)函数f（x）=的值域为_________.（14）已知点A（1，-1），B（3，0），C（2，1）.若平面区域D由所有满足AP=λAB+μAC（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为__________.三、解答题共6小题，共80分。
2013年高考真题解析——北京卷(数学文)纯word版
2013·北京卷(文科数学)1． 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{－1，0} C ．{0，1} D ．{－1，0，1}1．B [解析] ∵－1∈B ，0∈B ，1∉B ，∴A ∩B ＝{－1，0}，故选B. 2． 设a ，b ，c ∈，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 32．D [解析] ∵函数y ＝x 3在上是增函数，a >b ， ∴a 3>b 3. 3．， 下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x |3．C [解析] 对于A ，y ＝1x 是奇函数，排除．对于B ，y ＝e －x 既不是奇函数，也不是偶函数，排除．对于D ，y ＝lg |x |是偶函数，但在(0，＋∞)上有y ＝lg x ，此时单调递增，排除．只有C 符合题意．4． 在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．A [解析] ∵i(2－i)＝2i ＋1，∴i(2－i)对应的点为(1，2)，因此在第一象限．5． 在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1 5．B [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即313＝5sin B ，解得sin B ＝59. 6． 执行如图1－1所示的程序框图，输出的S 值为( )图1－1A ．1 B.23C.1321D.6109876．C [解析] 执行第一次循环时S ＝12＋12×1＋1＝23，i ＝1；执行第二次循环时S ＝⎝⎛⎭⎫232＋12×23＋1＝1321，i ＝2，此时退出循环，故选C. 7．， 双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12 B ．m ≥1C ．m >1D ．m >27．C [解析] 双曲线的离心率e ＝ca＝1＋m >2，解得m >1.故选C.8．， 如图1－2，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )图1－2A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．B [解析] 设棱长为1，∵BD 1＝3，∴BP ＝33，D 1P ＝2 33.联结AD 1，B 1D 1，CD 1，得△ABD 1≌△CBD 1≌△B 1BD 1，∴∠ABD 1＝∠CBD 1＝∠B 1BD 1，且cos ∠ABD 1＝33，联结AP ，PC ，PB 1，则有△ABP ≌△CBP ≌△B 1BP ， ∴AP ＝CP ＝B 1P ＝63，同理DP ＝A 1P ＝C 1P ＝1， ∴P 到各顶点的距离的不同取值有4个．9． 若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，则p ＝________；准线方程为________. 9．2 x ＝－1 [解析] ∵抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，∴p2＝1，解得p ＝2，∴准线方程为x ＝－1.10．， 某四棱锥的三视图如图1－3所示，该四棱锥的体积为________．图1－310．3 [解析] 正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此V ＝13×(3×3)×1＝3.11． 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n＝________．11．2 2n ＋1－2 [解析] ∵a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，∴40＝20q ，∴q ＝2，∴a 1(q ＋q 3)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.12． 设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D 上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．12.2 55[解析] 在平面直角坐标系中画出可行域，如图所示．根据可行域可知，区域D 内的点到点(1，0)的距离最小值为点(1，0)到直线2x －y ＝0的距离，即d ＝|2－0|5＝2 55.13． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．13．(－∞，2) [解析] 函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，当x ≥1时，函数y ＝log12x 的值域为(－∞，0]；函数y ＝2x 在上是增函数，当x <1时，函数y ＝2x 的值域为(0，2)，所以原函数的值域为(－∞，2)．14． 已知点A (1，－1)，B (3，0)，C (2，1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．14．3 [解析] 设P (x ，y )，∴AP →＝(x －1，y ＋1)，AB →＝(2，1)，AC →＝(1，2)．∵AP →＝λAB →＋μAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧3λ＝2x －y －3，－3μ＝x －2y －3. 又1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧6≤2x －y ≤9，0≤x －2y ≤3，此不等式组表示的可行域为平行四边形，如图所示，由于A (3，0)，B (5，1)，所以|AB |＝（5－3）2＋（1－0）2＝5，点B (5，1)到直线x－2y ＝0的距离d ＝35，∴其面积S ＝5×35＝3.15．，，， 已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值． 15．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2 x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x ·sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f (α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4. 所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.16．，， 图1－4是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．图1－4(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)16．解：(1)在3 月1日至3 月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气 重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． 17．，， 如图1－5，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .图1－517．证明：(1)因为平面P AD ⊥底面ABCD ，且P A 垂直于这两个平面的交线AD ，所以P A ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE ， 所以ABED 为平行四边形， 所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以BE ∥平面P AD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形， 所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD . 由(1)知P A ⊥底面ABCD ， 所以P A ⊥CD .又因为AD ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ， 所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 所以PD ∥EF ， 所以CD ⊥EF ，所以CD ⊥平面BEF ， 所以平面BEF ⊥平面PCD . 18．，，， 已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围． 18．解：由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得 f ′(x )＝x (2＋cos x )．(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )． 解得a ＝0，b ＝f (0)＝1. (2)令f ′(x )＝0，得x ＝0. f (x )与f ′(x )的情况如下：x (－∞，0)0 (0，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )1所以函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f (0)＝1是f (x )的最小值．当b ≤1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b >1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1>4b －2b －1>b ，f (0)＝1<b ， 所以存在x 1∈(－2b ，0)，x 2∈(0，2b )，使得f (x 1)＝f (x 2)＝b .由于函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b >1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．19．，， 直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0，1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．19．解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A ⎝⎛⎭⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝±3. 所以|AC |＝2 3.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝⎛⎭⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形． 20．，，， 给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1，2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3，4，7，1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q >1， 所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1，2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1，2，…，n －1，d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i＝q (i ＝1，2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d >0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d >B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列，因此A i ＝a i (i ＝1，2，…，n －1)． 又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n .所以a i＝A i＝B i＋d i＝a n＋d i.因此对i＝1，2，…，n－2都有a i＋1－a i＝d i＋1－d i＝d，即a1，a2，…，a n－1是等差数列．。
2013年北京高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学（文） 第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-<…，则A B = （ ）A.{}0B. {}1,0-C. {}0,1D. {}1,0,1-【测量目标】集合的含义与表示、集合的基本运算，数形结合思想.【考查方式】给出A ，B 的集合，求A ，B 的交集.【参考答案】B【试题解析】}{}{π1,0,1,11A B x x =-=-< …且1B ∉{}1,0A B ∴=-2．设,,a b c ∈R ,且a b >,则( ) A. ac bc > B. 11a b< C. 22a b > D. 33a b > 【测量目标】不等式比较大小.【考查方式】给出两实数的的大小，求出其他实数的大小.【参考答案】D【试题解析】A 项，c 0…时，由a b >不能得到ac bc >，故不正确；B 项0,0a b ><（如1,2a b ==-）时，由a b >不能得到11a b<，故不正确； C 项，由22()()a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时（如2,3a b =-=-或2,3a b ==-）均不能得到22a b >，故不正确；D 项，3322()()a b a b a ab b -=-++=223()24b a b a b ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，因为223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭,所以可由a b >知330a b ->，即 33a b >.3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+)∞上单调递减的是（ ）A. 1y x= B. e x y -= C. 21y x =-+ D. lg y x = 【测量目标】偶函数、函数单调性的判断.【考查方式】给出各类函数，判断是否为偶函数及在(0,)∞上单调递减.【参考答案】C【试题解析】A 项，1y x=时奇函数，故不正确；B 项，e x y -=为非奇非偶函数，故不正确；C,D 两项中的两个函数都是偶函数，且21y x =-+在（0，+∞）上是减函数，lg y x =在（0，+∞）上是增函数，故选C .4．在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（ ）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【测量目标】复数的运算法则及复数的几何意义.【考查方式】给出复数，求出复数所对应的点在哪个象限.【参考答案】A【试题解析】2i(2i)2i i 12i z =-=-=+ ，∴复数z 在复平面内的对应点位（1,2），在第一象限.5．在△ABC 中，3,5a b ==,1sin 3A = ,则sinB =（ ）. A. 15 B. 59 C.3D. 1 【测量目标】正弦定理.【考查方式】给出三角形的两边长及其中一边所对应的角的正弦值，求出另一边的正弦值.【参考答案】B【试题解析】在ABC △中，由正弦定理sin sin a b A B =，得15sin 53sin 39b A B a ⨯===.6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( ).A. 1B. 23C.1321D. 610987 【测量目标】循环结构的程序图框.【考查方式】给出程序图，由,S i 的循环关系求出最后输出S 的值.【参考答案】C【试题解析】当0,1i S ==时，执行2121S S S +=+后得23S =，11i i =+=；（步骤1） 当21,3i S ==时，执行2121S S S +=+后得13,1221S i i ==+=，（步骤2） 第6题图由于此时2i …是成立的，因此输出13.21S =（步骤3）7．双曲线221y x m -=的充分必要条件是( ). A. 12m > B. 1m … C. 1m > D. 2m > 【测量目标】双曲线离心率及充分必要条件的定义与理解..【参考答案】C【试题解析】用m m 的不等式求解.双曲线221y x m -=的离心率e = 1.e m > 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）.A.3个B. 4个C. 5个D. 6个【测量目标】空间几何定理及点到线段距离的计算.【考查方式】给出正方体图及点与直线的位置，求出点与各点的距离取值.【参考答案】B【试题解析】如图，取底面ABCD 的中心O ，连接,,.PA PC PO AC ⊥ 平面1D D B ，又PO ⊂平面1,.DD B AC PO ∴⊥又O 是BD 的中点，.PA PC ∴=（步骤1）同理，取1B C 与1BC 的交点H ，易证1B C ⊥平面111,.DC B B C PH ∴⊥又H 是1B C 的中点，1.PB PC ∴=11PA PB PC ∴==（步骤2） 第8题图同理可证11.PA PC PD ==又P 是1BD 的三等分点，11,PB PD PB PD ∴≠≠≠故点到正方体的顶点的不同距离有4个.（步骤3）第二部分（非选择题 共110分）二．填空题共6题，每小题5分，共30分.9．若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)则p =____;准线方程为_____.【测量目标】抛物线标准方程的定义及其应用.【考查方式】给出抛物线的标准方程及焦点坐标，求p 与准线方程.【参考答案】2；1x =-.【试题解析】 抛物线的焦点坐标为（2p ，0），准线方程为.2p x =-又抛物线焦点坐标为（1,0），故2p =，准线方程为1x =-.10．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________.【测量目标】空间几何体的三视图的理解和计算.【考查方式】给出四棱锥的三视图，求其体积.【参考答案】3.【试题解析】 将三视图还原为直观图，然后根据三视图特征数据，利用体积公式求解，由几何体的三视图可知该几何体时一个底面是正方形的四棱锥，其底面边长为3，且该四棱锥的高是1，故其体积为19133V =⨯⨯=.11．若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=，则公比q =__________;前n 项和n S =_____. 第10题图【测量目标】等比数列的公式及前n 项和.【考查方式】给出等比数列中两组等比项关系，求等比数列的公比与前n 项和.【参考答案】2；122n +-【试题解析】设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则：由2420a a +=得()21(1)20.1a q q += 由3540a a +=得()221(1)40.2a q q += 由()()12解得12, 2.q a ==故11(1)2(12)2 2.112n n n a q S q +--===---12．设D 为不等式组0,2030x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩………, 第12题图表示的平面区域，区域D 上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为___________.【测量目标】二元一次不等式的几何意义，，用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.【考查方式】给出不等式组，求不等式组表示的区域到给定点的距离的最新小值.【试题解析】不等式组表示的区域D 如图阴影部分所示，由图知点P （1,0）与平面区域D 上的点的最短距离为点P （1,0）到直线2y x =的距离d ==13．函数()f x =12log ,12,1x x x x ⎧⎪⎨⎪<⎩…的值域为_________.【测量目标】对数与指数的概念及其运算性质，分段函数的值域.【考查方式】给出()f x 的分段函数，求值域.【参考答案】(,2)-∞【试题解析】当1x …时，1122log log 10,x =∴…1x …时，()0.f x …当1x <时，1022,x <<即0() 2.f x <<因此函数()f x 的值域为(,2)-∞.14．已知点(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C .若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+ 10λμ（2，1）剟剟的点P 组成，则D 的面积为__________.【测量目标】向量的几何表示、向量线性运算的性质及其几何意义.【考查方式】给出平面区域上的三点，求满足关于点的向量关系的平面区域的面积.【参考答案】3【试题解析】设(),P x y <则(1,1).AP x y =-+由题意知(2,1),(1,2).AB AC ==由AP AB AC λμ=+ 知(1,1)(2,1),(1,2),x y λμ-+=+即 21,2 1.x y λμλμ+=-⎧⎨+=+⎩ 23,323,3x y y x λμ--⎧=⎪⎪∴⎨-+⎪=⎪⎩第14题图12,01,λυ⎧⎨⎩剟剟（步骤1） 3236,023 3.x y y x --⎧⎨-+⎩ 剟剟 作出不等式组表示的平面区域（如图阴影部分），由图可知平面区域D 为平行四边形，可求出(4,2),(6,3)M N ，故MN = 又20x y -=与230x y --=之间的距离为d =故平面区域D的面积为3.S ==（步骤2）三．解答题共6小题，共80分。
2013北京高考数学试题(文科)完整word精校解析版电子教案
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设a ，b ，c R ∈，且a b >，则（ ）A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b > 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．1y x= B ．x y e -= C ．21y x =-+ D ．lg y x = 4．在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sinB =（ ）A ．15B ．59C D ．1 6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．23C ．1321D ．6109877．双曲线221y x m -=的充分必要条件是A ．12m > B ．1m ≥ C ．1m > D ．2m >8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个第二部分（选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ，准线方程为 。
10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 。
11．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = 。
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B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1
D．y＝lg |x|
4．(2013 北京，文 4)在复平面内，复数 i(2－i)对应的点位于( )．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．(2013 北京，文 5)在△ABC 中，a＝3，b＝5，sin A＝ 1 ，则 sin B＝( )． 3
1
5
5
A． 5
1 a2 1 a2 4 a2 999
6a， 3
故共有 4 个不同取值，故选 B.
第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．答案：2 x＝－1
解析：根据抛物线定义 p 1，∴p＝2，又准线方程为 x＝ p ＝－1，故填 2，x＝－1.
4．
答案：A
解析：i(2－i)＝1＋2i，其在复平面上的对应点为(1,2)，该点位于第一象限，故选 A.
5．
答案：B
解析：根据正弦定理， a b ，则 sin B＝ b sin A＝ 5 1 5 ，故选 B.
sin A sin B
a
33 9
6．
答案：C
解析：i＝0 时，向下运行，将 S 2 1 2 赋值给 S，i 增加 1 变成 1，经判断执行否，然后将 S 2 1 13
解析： AP ＝λ AB ＋μ AC ， AB ＝(2,1)， AC ＝(1,2)．
设 P(x，y)，则 AP ＝(x－1，y＋1)．
∴
x
y
1 1
2 , 2,
得
2x y 3
2y x 3
3 3
, ,
∵1≤λ ≤2,0≤μ ≤1，
(1)求 f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若
α
∈
π 2
,π
，且
f(α
)＝
2 ，求 α 2
的值．
16．(2013 北京，文 16)(本小题共 13 分)下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量 指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染．某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天．
2013 北京文科数学 第 3 页
19．(2013 北京，文 19)(本小题共 14 分)直线 y＝kx＋m(m≠0)与椭圆 W： x2 ＋y2＝1 相交于 A，C 两点，O 4
是坐标原点． (1)当点 B 的坐标为(0,1)，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长； (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，证明：四边形 OABC 不可能为菱形．
20．(2013 北京，文 20)(本小题共 13 分)给定数列 a1，a2，…，an，对 i＝1,2，…，n－1，该数列的前 i 项的最大值记为 Ai，后 n－i 项 ai＋1，ai＋2，…，an 的最小值记为 Bi，di＝Ai－Bi. (1)设数列{an}为 3,4,7,1，写出 d1，d2，d3 的值； (2)设 a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于 1 的等比数列，且 a1＞0.证明：d1，d2，…，dn－1 是等比数列； (3)设 d1，d2，…，dn－1 是公差大于 0 的等差数列，且 d1＞0.证明：a1，a2，…，an－1 是等差数列．
所以 AB∥DE，且 AB＝DE. 所以 ABED 为平行四边形． 所以 BE∥AD.
又因为 BE 平面 PAD，AD 平面 PAD，
所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD，而且 ABED 为平行四边形， 所以 BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥CD. 所以 CD⊥平面 PAD.所以 CD⊥PD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， 所以 PD∥EF.所以 CD⊥EF. 所以 CD⊥平面 BEF. 所以平面 BEF⊥平面 PCD.
分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )．
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．(2013 北京，文 9)若抛物线 y2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，
则 p＝__________；准线方程为__________． 10．(2013 北京，文 10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱
公共元素为－1,0，故选 B.
2．
答案：D 解析：A 选项中若 c 小于等于 0 则不成立，B 选项中若 a 为正数 b 为负数则不成立，C 选项中若 a，b 均为
负数则不成立，故选 D.
3．
答案：C
解析：A 选项为奇函数，B 选项为非奇非偶函数，D 选项虽为偶函数但在(0，＋∞)上是增函数，故选 C.
∴Sn＝ 21 2n ＝2n＋1－2. 1 2
12．答案： 2 5 5
解析：区域 D 表示的平面部分如图阴影所示：
根据数形结合知(1,0)到 D 的距离最小值为(1,0)到直线 2x－y＝0 的距离
| 21 0 | 2 5 .
5
5
13．答案：(－∞，2)
解析：当 x≥1 时， log 1 x log 11，即 log 1 x 0 ，当 x＜1 时，0＜2x＜
，所以
sin
4
π 4
1.
因为
α
∈
π 2
,π
，所以
4α
＋
π 4
∈
பைடு நூலகம்
9π 4
,
17π 4
.
所以 4 π 5π .故 9π .
42
16
16．
解：(1)在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中，1 日、2 日、3 日、7 日、12 日、13 日共 6 天的空气质量优良，
A．{0}
B．{－1,0}
C．{0,1}
D．{－1,0,1}
2．(2013 北京，文 2)设 a，b，c∈R，且 a＞b，则( )．
A．ac＞bc
1<1 B． a b
C．a2＞b2
D．a3＞b3
3．(2013 北京，文 3)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )．
y 1 A． x
2S 1 3
2S 1 21
赋值给 S，i 增加 1 变成 2，经判断执行是，然后输出 S 13 ，故选 C. 21
7．
答案：C
解析：该双曲线离心率 e 1 m ，由已知 1 m > 2 ，故 m＞1，故 1
选 C. 8． 答案：B 解析：设正方体的棱长为 a.建立空间直角坐标系，如图所示．
2
2
10．
答案：3
解析：由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为 3，四棱锥的高为 1，根据体积公式 V＝ 1 ×3×3×1 3
＝3，故该棱锥的体积为 3. 11．答案：2 2n＋1－2
解析：根据等比数列的性质知 a3＋a5＝q(a2＋a4)， ∴q＝2，又 a2＋a4＝a1q＋a1q3，故求得 a1＝2，
解：(1)因为 f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋ 1 cos 4x 2
＝cos 2xsin 2x＋ 1 cos 4x 2
＝ 1 (sin 4x＋cos 4x) 2
＝
2 2
sin
4x
π 4
，
所以 f(x)的最小正周期为 π ，最大值为 2 .
2
2
(2)因为 f(α )＝
2 2
| PD1 |＝
4 a2 4 a2 4 a2 2 3 a ，
999
3
| PC1 |＝| PA1 |＝
4 a2 1 a2 4 a2 a ， 999
2013 北京文科数学 第 5 页
| PC |＝| PA |＝ 4 a2 1 a2 1 a2 6 a ，
999
3
| PB1 |＝
可得
6 0
2x x2
y y
9, 3,
如图．
可得 A1(3,0)，B1(4,2)，C1(6,3)， |A1B1|＝ 4 32 22 5 ，
2013 北京文科数学 第 6 页
两直线距离 d | 9 6 | 3 ， 22 1 5
∴S＝|A1B1|·d＝3. 三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．
x y 3 0
2013 北京文科数学 第 1 页
的平面区域，区域 D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为__________．
13．(2013
北京，文
13)函数
f(x)＝
log
1 2
x,
x
1,
的值域为__________．
2x , x 1,
14．(2013 北京，文 14)已知点 A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域 D 由所有满足 AP ＝λ AB
2
2
2
21，即 0＜2x＜2；故 f(x)的值域为(－∞，2)．
14．(2013 北京，文 14)已知点 A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区
域 D 由所有满足 AP ＝λ AB ＋μ AC (1≤λ ≤2,0≤μ ≤1)的点 P 组成， 则 D 的面积为__________．
答案：3
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(北京卷)