圆的面积和周长

14、 圆 的 周 长 和 面 积 （一）

知识纵横： 同学们量力而做 做不完可以 不要求全部做完

同学们已经学了圆的面积和周长计算公式，知道S 圆=πr²，L=2πr=πd 。我们知道扇形面积的计算公式为：S 扇形=2

360r π×n 。 有关圆的周长和面积计算往往同长方形、平行四边形、三角形、梯形等平面几何图形组合在一起，再计算这些组合图形的面积和周长时除需要灵活运用公式以外，还要用到一些特殊的方法求解，如：割补法、转化法、平移法、重叠法、代换法等等。 例题求解：

【例１】 图14-1中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为10厘米的正五边

形，求五边形内阴影部分的面积。

【例２】 图14-2中，阴影部分的周长是____厘米（π取3.14）。

【例３】 如图14-3，OA ，OB 分别是小半圆的半径，且OA=OB=6厘米，∠BOA=90°

阴影部分的面积为多少平方厘米？

【例４】 如图14-4，两个14

圆扇形AOB 与A`O`B`叠放在一起，POQO`是面积为5平方厘米的正方形，那么叠合后的图形中阴影部分的面积为多少平

方厘米？（π取3.14）

【例５】如图14-5，一头羊被7米长的绳子栓在正五边形建筑物的一个顶点上，建筑物边长3米，周围都是早地，这头羊能迟到草的草地面积可达多

少平方米？（π≈3）

【例６】图14-6中的两块阴影部分的面积相等，三角形ABC是直角三角形，BC 是直径，长是40厘米，计算AB的长度

【例７】如图14-7所示，等边三角形ABC的每边长是2厘米，再将三角形ABC 沿水平方向沿一条直线翻滚2003次，求A点所经过的总路程是多少厘

米？（π取3计算）

能力训练

基础夯实：

1.如图14-9所示，大圆半径为6，则其阴影部分的面积为____。

2.已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中

点作一个小圆，再将对边中点用直线连接起来，得到图14-10。那么，图中阴影部

分的面积为____平方厘米（π取3计算）。

3.如图14-11所示，正方形DEOF的四分之一圆中，如果圆形的半径为1厘米，那么，

阴影部分的面积是____平方厘米（π取3计算）。

4. 如图11-12。小圆的35 是阴影部分，大圆的78

是阴影部分，小圆阴影面积与大圆阴影面积的比是____。

5. 如图14-13是三个同心圆，圆心为P ，且PQ=QR=RS ，S 1中间圆与外圆之间的圆环

面积，S 2是中间圆与小圆之间的圆环面积，那么21

S S =____。 6. 如图14-14所示，∠AOB=90°，C 为AB 弧的重点，已知阴影甲的面积为16平方

厘米，阴影乙的面积为____平方厘米。

7. 如图14-15所示，正方形ABCD 的面积为200平方厘米，求内接圆的面积（π取

3.14）。

图 14-15

8. 如图14-16所示，已知圆的面积为3140平方厘米，求内接正方形ABCD 的面积（π

取3计算）。、

能力拓展：

9. 如图14-17所示，已知大圆的半径为20厘米，求a 、b 、c 、d 四个小圆的周长之

和。

10. 如图14-18所示，将直角三角形ABC 向下旋转90°。已知BC=5厘米，AB=4厘米，

AC=3厘米。求三角形ABC 扫过的面积。

11.如图14-19所示，大圆的半径为100厘米，小圆的半径为1厘米，将小圆沿大圆

周长滚动一周。求（1）小圆的圆心经过的长度；（2）求小圆扫过的面积。

12.如图14-20所示，已知六个圆的面积相等，而且阴影部分的面积为60平方厘米，

求六个圆的面积为多少平方厘米？

13.如图14-21所示，已知大正方形的面积为100平方厘米，小正方形面积为50平方

厘米，求阴影部分的面积。

15、圆的周长和面积（二）

知识纵横：

解较复杂的圆的周长和面积这类问题时，要学会研究言与其他各种原形的组合在一起的组合图形的构成呢感规律，只要认真、细心的分解，就不难求解初看难与解决的问题。

本讲主要学习将较复杂的组合图形通过平移、分割、重叠、旋转、置换等方式分解成为基本图形的方法。计算组合图形的面积有时还需各种方法综合运用这样做往往可以用多种不同的方法解决同一问题。

学习掌握这些基本知识，可为将来进一步学习圆的知识打下良好的基础。

例题求解：

【例１】如图15-1，已知直角等腰三角形ABC的底边AC长为20厘米，求阴影部分的面积。

【例２】如图15-2所示，已知扇形的半径OA=OB=6厘米，∠AOB等于45°，AC垂

直OB于C点，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

【例３】如图15-3所示，已知大圆的半径为R，小圆的半径为r，两个同心圆构成一个环形，以圆的O点为顶点，半径R为边长作一个正方形，再以r为边

长，以O点为顶点作一个小正方形，已知图中阴影部分的面积为40平方厘

米，求环形的面积。

【例４】如图15-4所示，已知直角三角形ABC的面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。

【例５】如图15-5，AB为半圆的直径，AB=3厘米，现在A点不动，把整个半圆逆时针转60°角，此时B点移动到B`点（如图15-6），求阴影部分的面积是

多少平方厘米？

【例６】如图15-7所示，O为圆心，CO垂直于AB，C为另一个圆的圆心，AC=BC，三角形ABC的面积为45平方厘米，求阴影部分的面积。

【例７】如图15-8。∠1=15°，圆的周长为62.8厘米，平行四边形ABCD的面积为100平方厘米，求阴影部分的面积。

【例８】如图15-9甲所示，ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米，现在以C为圆心，把三角形ABC顺时针旋转90度。那么AB边在旋转时所扫

过的面积是____平方米？

能力训练

基础夯实：

1.如图15-10是示，已知三角形OAB为等腰直角三角形，面积为20平方厘米，求阴

影部分的面积。、

2.已知长方形ABCD中，长CD=10厘米，宽BC=6厘米。DCE为扇形，求两块阴影部分

的面积之差是多少？