人教版初一数学余角和补角

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人教版七年级上册数学余角和补角

人教版七年级上册数学余角和补角

一、概述二、余角和补角的概念和性质1. 余角的定义2. 余角的性质3. 补角的定义4. 补角的性质三、余角和补角在解题中的应用1. 实例分析四、余角和补角的相关习题与解析五、总结概述数学作为一门基础学科,具有广泛的应用价值和重要的理论基础。

在初中数学的学习过程中,余角和补角作为常见的概念,对于学生来说可能有一定的难度。

本文将就人教版七年级上册数学中的余角和补角进行深入的解析,帮助学生更好地掌握这一知识点。

余角和补角的概念和性质1. 余角的定义在平面直角坐标系中,两个角的和为90°,则称这两个角为余角。

余角可以用符号表示,假设角A和角B为余角,则可以表示为A+B=90°。

2. 余角的性质余角的性质包括以下几点:① 两个互余角的和为90°;② 余角的关系是对称的,即如果角A是角B的余角,那么角B也是角A的余角;③ 一个角与其余角之差为90°。

3. 补角的定义在平面直角坐标系中,两个角的和为180°,则称这两个角为补角。

补角也可以用符号表示,假设角A和角C为补角,则可以表示为A+C=180°。

4. 补角的性质补角的性质包括以下几点:① 两个互补角的和为180°;② 补角的关系是对称的,即如果角A是角C的补角,那么角C也是角A的补角;③ 一个角与其补角之差为90°。

余角和补角在解题中的应用在数学解题中,余角和补角的概念经常被用到。

在解方程和证明等过程中,都可能涉及到余角和补角的相关知识。

下面通过实例分析来展示余角和补角在解题中的应用。

实例分析例1:已知角A的余角是30°,求角A的度数。

解:根据余角的定义和性质,可以得出A+30=90,解方程得到A=60。

角A的度数为60°。

例2:已知角B的补角是120°,求角B的度数。

解:根据补角的定义和性质,可以得出B+120=180,解方程得到B=60。

角B的度数为60°。

6.3.3 余角和补角 课件 人教版七年级数学上册

6.3.3 余角和补角  课件  人教版七年级数学上册

所以∠DOE= ∠BOD=75°.

所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+75°=165°.
②如图②所示,因为∠AOB=90°,∠COD=90°,
∠AOC=30°,
所以∠BOD=30°.
因为OE平分∠BOD,
所以∠DOE=15°.
所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+15°=105°.
故答案为165°或105°.
解:(1)因为∠BOC=40°,所以∠AOC=140°.
因为 OE 是∠AOC 的平分线,

所以∠AOE= ∠AOC=70°.

(2)题图中与∠COE互余的角有∠COD,∠BOD.
(3)∠COE有补角吗?若有,请把它找出来,并说明理由.
解:(3)∠COE有补角.理由如下:
因为∠AOE=∠COE,∠AOE+∠BOE=180°,
A.互余
B.互补
C.相等D.∠α=90°+∠γ
5.一副三角板按如图所示的方式摆放,则∠1补角的度数为( D )
A.45° B.135°
C.75° D.165°
6.如图所示,已知点O是直线AB上的一点,∠BOC=40°,OD,OE分别是
∠BOC,∠AOC的平分线.
(1)求∠AOE的度数.
(2)写出图中与∠COE互余的角.
B.59°50′
C.149°10′
D.60°10′
2.如果一个角的补角是120°,则这个角的余角是( D )
A.150°
B.90° C.60° D.30°
3.若一个角比它的余角大30°,则这个角等于( B)
A.30° B.60° C.105°
D.120°

6.3.3余角和补角-(课件)人教版(2024)数学七年级上册

6.3.3余角和补角-(课件)人教版(2024)数学七年级上册

感悟新知
知2-练
解: OE 平分∠BOC. 理由如下:
因为∠DOE=9 0°,
所以∠DOC+ ∠COE=9 0°.
又因为∠AOB=180°,所以∠AOD+ ∠BOE=90°.
因为OD平分∠AOC,所以∠AOD= ∠DOC.
所以∠COE= ∠BOE,即OE 平分∠BOC.
感悟新知
4-1.[期末·厦门思明区]如图,∠AOB=90 °, ∠COD=90°,OA 平分∠DOE, 若 ∠BOC=20°,求∠AOE 的度数. 解:因为∠AOB=∠COD=90°, ∠BOC+∠AOC=∠AOB,∠AOD+ ∠COA=∠COD,所以∠AOD=∠BOC =20°.因为OA平分∠DOE, 所以∠AOE=∠AOD=20°.
感悟新知
知1-练
又因为∠AOC+ ∠BOC=180 °,∠AOC+ ∠DOE=180 °, ∠DOE+∠BOC=1 8 0°, 所以图中互补的角有7 对,分别是∠1 和∠BOD,∠4 和 ∠AOE,∠3 和∠BOD,∠2 和∠AOE, ∠AOC 和∠BOC,∠AOC 和∠DOE,∠DOE 和∠BOC.
感悟新知
解题秘方:从图中找互余或互补的角,可从两个方 面进行:一个方面是从角的度数入手,和为9 0 °的 两个角互余,和为180 °的两个角互补;另一个方面 是从整体入手,将直角分成两个角,则这两个角互 余,将平角分成两个角,则这两个角互补.
感悟新知
知1-练
(1)图中互余的角有几对?分别是哪些?
感悟新知
(3)写出∠COD 的补角. 解:∠COD的补角为∠AOE.
知2-练
感悟新知
知2-练
例 4 如图6.3-25,已知O 是直线AB 上的一点,OC是一 条射线,OD平分∠AOC,∠DOE=90 °,OE 平分 ∠BOC 吗?为什么?

人教版七年级数学上册《余角和补角》课件

人教版七年级数学上册《余角和补角》课件
那么∠2=∠4吗?
因为∠1+∠2= 90° ,
°
∠3+∠4= 90 ,
且∠1=∠3,
所以∠2=∠4.
等角的余角相等.
探索新知
如果∠1与∠2互补,∠3与∠4互补,且∠1=∠3,那
么∠2=∠4吗?
∠2=∠4.
如何证明?
探索新知
已知:∠1与∠2互补,∠3与∠4互补,且∠1=∠3,
求证:∠2=∠4.
证明:因为∠1与∠2互补,
如果两个角的和等于180º(平角),就说这
两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角.
性质:同角(等角)的余角相等.
同角(等角)的补角相等.
作业:
1. 完成习题4.3中第8,
9题;
2.完成练习册本课时的
习题。
谢谢
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方向上,同时,在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西
45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔
方位的方法,画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
D
西
北40° B
45°
O


60°
10°

A
巩固练习
练习1. 已知∠α=53°27′, ∠α与∠β互为余角,求∠β​​的度数
.
解: 因为∠与∠互为余角(已知),
所以∠ + ∠ = 90°(余角定义),
所以∠ = 90°-∠.
因为∠=53°27′,

所以∠​​ = 90°-​∠​=90°-53°27

人教版数学七年级上册4.余角和补角课件

人教版数学七年级上册4.余角和补角课件

16 . (8 分 ) 如 图 , 已 知 直 线 AB 和 CD 相 交 于 点 O , OM 平 分 ∠ BOD , ON⊥OM,∠AOC=50°. (1)求∠AON的度数; (2)写出∠DON的余角.
解:(1)65° (2)∠DOM,∠MOB
17.(10分)如图,AB是一条直线,OC是一条射线,∠AOC=2∠AOF, ∠BOC=2∠BOE. (1)∠1与∠2互余吗?
解:如图:
19.(12分)如图甲所示,∠AOB,∠COD都是直角. (1)试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等、互余、还是互补的关 系,你能用推理的方法说明你的猜想是否成立吗? (2)当∠COD绕点O旋转到图乙的位置时,你本来的猜想还成立吗?
方位的表示方法
在表示方向时,要先在观测点画出方位图,然后测量出角度并在图 上表示出来,注意表示时要先写北还是南,再写偏东或偏西,偏多
少度,如图4-3-28,OA是表示北偏东30°的 一条射线,OB是表示南偏西50°的一条射线; 特别地,射线OC表示北偏西45°可写成西北 方向,OD表示东南方向.
例题
小结
1. 余角和补角的定义:
如果两个角的和等于
,就说这两个角互为余角;如果两个
角的和为
,就说这两个角互为补角.
2. 余角和补角的性质: 同角(等角)的补角________,同角(等角)的余角_________.
3. 如图,O是直线AB上的点,OC是∠AOB的平分线. (1)∠AOD的补角是__∠__B_O__D___,余角是__∠__C_O__D__; (2)∠DOB的补角是__∠__A__O_D_____. 4. 已 知 ∠ α = 20° , 则 ∠ α 的 余 角 为 _______70,° ∠ α 的 补 角 为 ______1_6_0.° 5. ∠A的补角为130°,则∠A的余角为________4.0°

人教版七年级数学上册4.余角和补角课件

人教版七年级数学上册4.余角和补角课件
∠的补角是(180 °—∠ )
5、如图,O是直线AB上一点,OC是∠AOB的平分线 ①∠AOD的补角是_____∠__B_O_D___ ②∠AOD的余角是____∠__C__O_D___ ③∠DOB的补角是_____∠__A_O__D__
2
13
3
3
3
4
∠1与∠2互余,∠3与∠4互余,如果∠1=∠3,那么∠2 与∠4相等吗?为什么?
x
∠α的余角
85°
58° 45° 13°
27°37′ 90° x
∠α的补角
175°
148°
135°
103°
117°37′ 180° x
从上面这张表格中,你还能得到什么信息?
若一个角的补角等于它的余角的3倍,求这 个角的度数。
1.
对应图形 数量关系 性质
互为余角
互为补角
1 2
21
∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
14
4
4
4
2
3
∠1与∠2互补,∠3与∠4互补,如果∠1=∠3,那么∠2与 ∠4相等吗?为什么?
分析:由∠1与∠2互余,可得∠2=90°-_____ ∠1
由∠3与∠4互余,可得∠4=90°-_____ ∠3
答:因为∠1=∠3, 这就是∠2=∠4
所以90°-∠1= 90°-∠3,
等角的余角相等
分析:由∠1与∠2互补,可得∠2=180°-_____∠1

B
D

40°

西O 60°
A

西O 60°
A
南 C南
一艘渔船从O 点沿北偏东30°的方向以8千米/时的速度 行驶3小时到达A 处后,接到风浪警报,欲立即调头以16 千米/时的速度向正西方向行驶,争取1.5小时到达小岛B 处.A、B两处的距离是多少?B处在O点北偏西多少度? O、B两点的距离是多少?

6.3.3 余角和补角 课件 人教版数学七年级上册

6.3.3 余角和补角   课件  人教版数学七年级上册
∴∠BOC+∠AOE=90°.
∵∠BOC∶∠AOE=3∶1,

∴∠BOC= ×90°=67.5°.

又∵∠BOD=90°,
∴∠COD=90°-67.5°=22.5°.
(2)图中有哪几对角互为余角?
(2)∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,
∠DOE与∠COD,∠DOE与∠AOE.
(3)图中有哪几对角互为补角?

3.若一个角的余角是它的补角的 ,则这个角的补角是

( D )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.(1)已知∠α=24°30',则它的余角等于
65°30' ;

(2)一个角的余角比这个角的补角的 还小10°,求这个

Байду номын сангаас
角的余角及这个角的补角.
解:设这个角为x°,则这个角的余角为(90-x)°,这


∴∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.
因为∠1+∠2=90°,
∠3+∠2=90°,
所以∠1=∠3.
等角的补角相等:
因为∠1+∠2=180°,
∠3+∠4=180°,
∠1=∠3,
所以∠2=∠4.
注意:①互余、互补指的是两个角的数量关系,互余、
互补的两个角只与它们的和有关,而与它们的位置无
关.
②一般地,锐角α的余角可以表示为(90°-α),一个
(3)∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE,
∠AOE与∠BOE,∠DOC与∠BOE,
∠AOD与∠BOD,∠AOD与∠EOC,
∠BOD与∠EOC.

人教版七年级上册数学4. 余角和补角课件

人教版七年级上册数学4. 余角和补角课件

4.3.3 余角和补角
课堂导案
8.如下图,点A、O、E在同 一条直线上,OB、OC、 OD都是射线,∠1=∠2, ∠1与∠4互为余角. (2)∠3与∠4的大小有何关系?请说明理由.
∠3=∠4 理由:由(1)知∠1+∠4=90°,
∠2+∠3=90°, 又∠1=∠2,∴∠3=∠4.
4.3.3 余角和补角
=180°,∠2+∠3=180°,所以∠1=∠2.其推理
根据是( C )
A.同角的余角相等 B.等角的余角相等 C.同角的补角相等 D.等角的补角相等
4.3.3 余角和补角
课堂导案
7.如上图,∠AOB=∠COD=90°,则下列结论中,
正确的是( B )
A.∠1=∠2
B.∠1=∠3
C.∠2=∠3
D.∠1与∠3互余
∠BOE,OD⊥OC于点O,则与∠DOE互补的角
是( D )
A.∠EOC
B.∠AOC
C.∠AOE
D.∠BOD
4.3.3 余角和补角
课后练案
16.如上图,点O是直线AB上一点,∠DOB=90°,
∠COE=90°,图中与∠AOC互补的角有( B )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.3.3 余角和补角
4.3.3 余角和补角
课堂导案
8.如下图,点A、O、E在同 一条直线上,OB、OC、 OD都是射线,∠1=∠2, ∠1与∠4互为余角. (1)∠2与∠3的大小有何关系?请说明理由.
∠2与∠3互余. 理由:∵∠1与∠4互余,∴∠1+∠4=90°,
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°. ∴∠2+∠3=90°,∴∠2与∠3互余.
课后练案
17.一个角的补角比这个角的余角的3倍少18°,求 这个角.

人教版数学七年级上册4.3.3余角、补角的概念和性质教案

人教版数学七年级上册4.3.3余角、补角的概念和性质教案
人教版数学七年级上册4.3.3余角、补角的概念和性质教案
一、教学内容
人教版数学七年级上册4.3.3余角、补角的概念和性质。本节课我们将学习以下内容:
1.余角的定义:两个角的和等于90°时,这两个角互为余角。
2.补角的定义:两个角的和等于180°时,这两个角互为补角。
3.余角、补角的性质:
a.互为Байду номын сангаас角的两个角中,一个角的度数等于90°减去另一个角的度数。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了余角与补角的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论,我们加深了对余角与补角的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在解决实际问题时灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
-难点三:理解余角和补角在几何图形中的应用。学生需要能够将余角和补角的概念应用到更复杂的几何图形中,如多边形或图形的相交部分。
举例:
-对于难点一,可以通过制作角度转盘或使用动态几何软件,让学生动态观察角度变化,加深对互为余角、补角数量关系的理解。
-对于难点二,可以设计不同类型的实际问题,如角度计算、图形分割等,引导学生发现问题的解决关键在于应用余角和补角的知识。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“余角与补角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

6.3.3 余角和补角 课件 2024—-2025学年人教版数学七年级上册

6.3.3 余角和补角 课件 2024—-2025学年人教版数学七年级上册

A
B
C
D
3.若∠1是∠2的补角,∠1=35°,则∠2= ( B ) A.135° B.145° C.155° D.165°
余角和补角的概念 阅读课本本课时“思考”之前的内容,思考下列问题. 1.如果两个角的和等于 90° ,就说这两个角互为余角,即 其中一个角是另一个角的 90°.
2.如果两个角的和等于 180° ,就说这两个角互为补角, 即其中一个角是另一个角的 180° .
七年级·数学·上册·人教版
6.3.3 余角和补角
1.知道互为余角、互为补角的概念,能求一个角的余角和补 角.
2.明确余角、补角的性质定理,并能够运用其解决相关数学 问题.
3.知道方向角的定义,会画方向角,能用方向角描述物体相对 于某点的方向.
余角、补角的概念和性质.
方向角问题.
如图,将梯子斜立于墙上,由于梯子脚端没有放稳,向右滑行 一部分(梯子的顶端没有着地),∠1与∠2的关系是什么?∠1+∠3 的值是否发生变化?
1.若∠1与∠2互余,∠1与∠3互余,则∠2与∠3的大小有什么 关系?
因为∠1与∠2互余,∠1与∠3互余, 所以∠2=∠3.
2.与同一个角互补的两个角的大小有什么关系? 相等.
1.若∠A=40°,则∠A的余角的大小是 ( A )
AБайду номын сангаас50° B.60° C.140° D.160°
2.下列图形中,∠1和∠2互为余角的是 ( D )
(2)因为∠AOC与∠BOC互为补角, 所以∠AOC+∠BOC=180°, 所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-72°=108°. 因为OE平分∠AOC,
所以∠COE=12∠AOC=12×108°=54°, 所以∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.

6.3.3 余角和补角 课件 人教版七年级数学上册

6.3.3 余角和补角 课件 人教版七年级数学上册

角描述一个物体的方位。
方位角是表示方向的角.
E
以正北、正南方向为基准
来描述物体所处的方向.
正东:射线 OA
八大 方位
正南:射线 OB 正西:射线 OC
正北:射线 OD
西 西北方向:射线 OE C
西南方向:射线 OF
东北方向:射线 OH 东南方向:射线 OG
F
北 D
45° 45°
O
45°45°
B 南
H A东 G
100o
120o
150o
170o
课堂练习
练习4 填空
(1)若∠1与∠2互补,则∠1+∠2=__1_8_0_°_. (2)∠1=90º-∠2,则∠1与∠2的关系为_互__为__余__角____.
二 余角、补角的性质
思考1:∠1与∠2,∠3都互为补角,∠2与∠3有什 么大小关系
解:∵∠1与∠2, ∠3都互为补角,
30o
50o
60o
40o
80o
一 余角、补角的定义
思考:∠3 与∠4 有什么数量关系?
2
∠3+∠4 = 180°
1
补角
4 3
如果两个角的和是180°(平角),就说这
两个角互为补角(简称两角互补),即其中一个
角是另一个角的补角。
课堂练习
练习3 图中给出的各角,哪些互为补角?
10o
30o
60o
80o
等角的补角相等
二 余角、补角的性质
补角的性质:同角(等角)的补角相等
符号语言: ∵∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180° ∴∠B=∠C(同角的补角相等) 符号语言: ∵∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D ∴∠B=∠C(等角的补角相等)

6.3.3 余角和补角课件2024-2025学年人教版数学七年级上册

 6.3.3 余角和补角课件2024-2025学年人教版数学七年级上册

和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC,图中哪些角互
为余角? 分析:互为余角的两个角的和是90°, D 而已知条件中隐含互为补角的条件,Fra bibliotekC E
再利用角平分线的条件,便可以发现 A O B
互为余角的角.
解:因为点 A,O,B 在同一条直线上
, 所以∠AOC 和∠BOC 互为补角.
补角的定义
新知探究
余角的定义
新知探究
针对训练 1.如图,O为直线AB上一点,OD平分∠AOC,∠DOE=90°.
(1)∠AOD的余角是_∠__C_O__E_、__∠__B_O__E_,∠COD的余角是 _∠__C_O__E_、__∠__B_O__E___. (2 )OE是∠BOC的平分线吗?请说明理由.
解:OE是∠BOC的平分线,理由如下:
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系?
∠1+∠2 = 90°.
2. ∠3与∠4有什么数量关系? ∠3+∠4 = 180°.
新知探究 知识点 1 余角和补角的概念
余角 如果两个角的和等于90°( 直角 ),就说这 两个角互为余角 , 简称这两个角互余,其中 一个角是另一个角的余角.
2 1
如图,可以说 ∠1 是 ∠2 的余角,或 ∠2 是 ∠1的余角,或 ∠1和 ∠2互余.
解得x=50°.所以180°-x=130°. 所以∠AOC=130°,∠AOB=50°.
新知探究 知识点 2 余角和补角的性质
探究1:∠1 与∠2,∠3 都互为余角,∠2 与 ∠3 的大小有什么关系? 因为∠1 与∠2,∠3 都互为余角, 所以∠2 = 90° - ∠1,∠3 = 90° - ∠1.
的余角,∠3 是∠4 的补角;√ ④如图,∠A 不是∠B 的余角; × 32° A

6.3.3 余角和补角 课件-人教版(2024)数学七年级上册

6.3.3 余角和补角 课件-人教版(2024)数学七年级上册

如图,点A,O,E在同一条直线上,OB,OC,OD都是射线, ∠1=∠2,∠1与∠4互为余角.
(2)∠3与∠4的大小有何关系?请说明理由; (3)试说明∠3是∠AOD的补角.
(2)∠3=∠4.理由:因为∠1=∠2,∠1+∠4=90°,∠2+∠3= 90°,所以∠3=∠4.
(3)因为∠AOE=180°,所以∠4是∠AOD的补角,因为∠3=∠4, 所以∠3是∠AOD的补角.
1.请同学们阅读课本176页思考前内容,并回答问题: (1)余角的定义是什么?120°的角有余角吗?
如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个 角互为余角,简称这两个角互余,其中一个角 是另一个角的余角.120°的角没有余角 (2)补角的定义是什么?若∠1+∠2+∠3=180°,能说∠1, ∠2,∠3互为补角吗?
如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角, 简称这两个角互补,其中一个角是另一个角的补角.不能, 只能是两个角互为补角
(3)如图,∠1+∠2=90°,如果将∠1和∠2变换位置,它们 还互为余角吗?你能得出什么结论?
互为余角.是否互为余角与角的位置无关,只与 角的和有关 2.完成课本177页练习1题.
活动导入
请同学们准备一张长方形纸片,沿一个角折叠后,找出折痕 与长方形的边形成的角。 例:如图长方形纸片的折痕与长方形的边形成了4个角, 思考: (1)∠1与∠2有什么数量关系? (2)∠3与∠4有什么数量关系?
视频导入 同学们,你们打过台球吗?请同学们观看一段视频:
如图所示,打台球时,选择适当的方向用白球击打红球, 反弹后的红球会直接入袋,此时∠1=∠2. 这个问题可以简单地表示为右图,其中∠EDC=90°,那 么图中各个角与∠1有什么数量关系呢?

人教版七年级上册数学4.余角和补角的概念与性质课件

人教版七年级上册数学4.余角和补角的概念与性质课件

41 5 ∠4= ∠ 5
理由:∵∠1与∠4互补 ∴∠4=180o-∠1 ∵∠1与∠5互补 ∴∠5=90o-∠1 ∴∠4=∠5
延伸 1与2互余,3与4互余,如果2=4, 那么1与3相等吗?为什么?
1 2
理由:∵∠1与∠2互余 ∴∠1=90o-∠2 ∵∠3与∠4互余 ∴∠3=90o-∠4
又∵∠2=∠4 ∴∠1=∠3
∠1 、∠2、 ∠3 互余(互补)吗?
不能,互余或互补是两个角之间的数量关系。
练习:
1、帮 找朋友: 的余角 的补角
80
10
100
45
70 39'
45
19 21'
90
135
109 21'
180
练习:
2、一个角的补角是它的余角的4倍,求这个 角的余角是多少度?
解:设这个角的余角的度数为 x ,
一定互余.
(×)
(5)如果∠1=30°,∠2=25°,∠3=35°,那么 ∠1、∠2、∠3这三个角互为余角. ( ×)
巩固练习
2、如图,已知∠AOB=90°, ∠AOC= ∠BOD,
则与∠AOC互余的角为__B_O__C_和____A_O__D.
AC
解: AOC+BOC AOB=90
AOC与BOC互余
∠A=∠1 (同角的余角相等)
性质的应用
例3 如图,A,O,B在同一直线上,射线OD和射线
OE分别平分∠AOC和 ∠BOC,图中哪些角互为余角?
解:因为A,O,B在同一直线上, 所以∠AOC和∠BOC互Байду номын сангаас补角.
又因为射线OD和射线OE
分别平分∠AOC∠BOC,
1

6.3.3 余角和补角 课件人教版(2024)数学七年级上册

6.3.3 余角和补角 课件人教版(2024)数学七年级上册

证明:因为 OC ⊥ AB ,所以∠ COA =∠ COB =90°.
因为 OC 平分∠ DOE ,所以∠ COD =∠ COE .
因为∠ AOC +∠ COD =90°,∠ BOE +∠ COE =90°,
所以∠ AOD =∠ BOE .
4. 如图,∠ AOC =∠ COB =90°,∠ DOE =90°, A , O , B 三
∠ BOC ,则图中互余的角共有(
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
D
)
7. 几何直观【人教七上P188复习题T11改编】按如图所示的方法折
纸,然后回答问题:
(1)∠1与∠ AEC ,∠3和∠ BEF 分别有何关系?
解:(1)因为∠1+∠ AEC =180°,所以∠1与∠ AEC 互补.
因为∠3+∠ BEF =180°,所以∠3与∠ BEF 互补.
因为 OD 平分∠ BOC ,所以∠ COD =∠ DOB .
因为∠ COE +∠ COD =∠ DOE =90°,
所以∠ AOE =∠ COE .
所以 OE 平分∠ AOC .
2. 如图,点 O 在直线 AB 上,∠ AOC 与∠ COD 互补, OE 平分
∠ AOC ,∠ DOE =48°,求∠ BOD 的度数.
(2)∠1与∠3有何关系?

(2)由翻折的性质,得∠1+∠3= ×180°
6. (2023·北京)如图,∠ AOC =∠ BOD =90°,∠ AOD =126°,
则∠ BOC 的大小为(
A. 36°
B. 44°
C. 54°
D. 63°
C
)
7. 如图,若将一副三角尺折叠放在一起,使直角的顶点重合于点

6.3.3 余角和补角 课件2024-2025学年人教版数学七年级上册

6.3.3 余角和补角 课件2024-2025学年人教版数学七年级上册
人教版(2024)数学七年级上册
6.3.3 余角和补角
教学目标: 理解并掌握两个角互为余角和互为补角 的概念
通过探索掌握余角和补角的性质能用性 质进行简单的推理和计算,学习有条理 的表达
自学(教材第137页)。
余角的概念 补角的概念 关键词及注意点
余角的定义:如果两个角的和等于90°,就说这两个 角互为余角,或称这两个角互余,其中一个角是另一 个角的余角。
学以致用 1.一个角的补角比这个角的余角的2倍还多300,
求这个角 的度数。
解:设这个角的度数为 x°,依题意得 B 180-x=2(90-x)+30
解得 x=30
D C
1 2
答:这个角的度数为30º.
O
A
C
E
D
3
2 1
4
A
O
B
这节课你收获了什么?
学以致用
D
B
C
1
2
O
A
学以致用
C
E
D
3
2 1
关键品析 活动一:相互探讨,理解探究补角的性质: 1.∠1与∠2,∠3都互为补角,∠2与∠3的大小有什么关系?
2. ∠1与∠2互补,∠3与∠4都互补,∠1= ∠3 ,那么 ∠2与 ∠4相等吗?为什么?
1.同角的补角你相从等中;得到了什么结2.论等?角的补角相等;
几 何 语 言
关键品析 活动二:学会说理,阐明新知: 3. ∠1与∠2,∠3都互为余角,∠2与∠3的大小有什么关系?
4
A
O
B
C E
D
3
2 1
4
A
O
B
D
B
C
1
2

数学人教版(2024)七年级上册6.3.3 余角和补角 课件(共18张PPT)

数学人教版(2024)七年级上册6.3.3  余角和补角 课件(共18张PPT)

问题4:如何用几何语言描述这两条性质? (1)因为∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
所以∠2=∠3. (2)因为∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,且∠1=∠3,
所以∠2=∠4.
获取新知
探究点4 互补的性质 问题1:∠1与∠2,∠3都互为补角,∠2与∠3的大小有什么关系? ∠2=∠3. 问题2:∠1与∠2,∠3与∠4都互为补角,且∠1=∠3,∠2与∠4的大小 有什么关系? ∠2=∠4. 问题3:由此可以得到补角的什么性质? 同角(等角)的补角相等.
可得∠AOB=180°-∠BOD.
拓展探究
角的推理计算
例2.如图,已知O为AD上一点,∠AOC与∠AOB互补,OM,ON分别为
∠AOC,∠AOB的平分线,若∠MON=40°,试求∠AOC与∠AOB的度数.
解:设∠AOB=x, 因为∠AOC与∠AOB互补,
B
M
C
N
则∠AOC=180°-x.
因为OM,ON分别为∠AOC,
2 ∴∠COP=∠MOP-∠CO你的收获是什么?
两角间的 数量关系
互余
1 2 90
(1 90 2)
互补
1 2 180 (1 180 2)
对应图形
性质 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等
获取新知
探究点1 互余的概念
1.互余:如图所示,一般地,如果两个角的和等于90°(直
角),就说这两个角互为余角,简称这两个角互余,其中一
个角是另一个角的余角.
2.几何语言: 因为∠1+∠2=90°, 所以∠1与∠2互为余角, 或∠1是∠2的余角, 或∠2是∠1的余角.
反之也成立: 因为∠1与∠2互为余角, 或∠1是∠2的余角, 或∠2是∠1的余角, 所以∠1+∠2=90°.

6.3.3 余角和补角(1) 课件 人教版(2024)数学七年级上册

6.3.3 余角和补角(1)       课件 人教版(2024)数学七年级上册

余角和补角(1)
分层检测
17. 如图,两块直角三角尺的直角顶点 C 叠放在一起,其中∠ ACD =
∠ BCE =90°.
(1)若∠ DCE =25°,则∠ ACB =
155°
(2)若∠ ACB =150°,则∠ DCE =
30°




(3)试说明:∠ ACB 与∠ DCE 互补.
解:∵∠ ACD =∠ BCE =90°,
知识点2:余角与补角的应用
5. 【例】如图,已知∠ ABP 与∠ CBP 互余,∠ CBD =32°, BP 平分
∠ ABD . 求∠ ABP 的度数.
解:∵∠ ABP 与∠ CBP 互余,
∴∠ ABC =∠ ABP +∠ CBP =90°,
∵∠ CBD =32°,
∴∠ ABD =∠ ABC +∠ CBD =122°,
6.3.3 余角和补角(1)
1
课前预习
2
3
分层检测
课堂学练
6.3.3
余角和补角(1)
课前预习
1. 若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互为 余角

,∠2是∠1的
余角
.

2. 若∠α+∠β=180°,则∠α与∠β互为
3. 同角(等角)的余角 相等
,其中∠1是∠2的
补角
,同角(等角)的补角
.

相等
.


∠ BON =64°
(1)求∠ COM 的大小;
解:∵ ON 平分∠ BOC ,∠ BON =64°,
∴∠ BOC =2∠ BON =128°,
∴∠ AOC =180°-∠ BOC =52°,
∵ OM 平分∠ AOC ,
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(2) ∠1= 180°- ∠2,则∠1与∠2的关系为 互为补角 ___________. 150° 若 (3) 30°的余角是_____, 60° 补角是______; 一个角的度数是x,则它的余角的度数和补 90°- x 180°- x 角的度数分别是__________,_________.
3、看图回答:
∠BOD 1) ∠AOD的补角是_______ 2) ∠AOD的余角是 ∠COD
D A
O C
B
5.填空:我来试一试,我能行

5° 45°
∠α的余角
90° - 5 ° 85 °
∠α的补角
180 ° - 5° 175 ° 135° 117°37′ ( 180 x)°
45° 27°37′ (90 x)°
等 角 的 补 角 相 等
2 1 4 3
3
同 角 的 补 角 相 等
等(同)角的余角相等; 等(同)角的补角相等。
如图,直线CD经过点O,且OC平分∠AOB。 试判断∠AOD与∠BOD的大小关系,并说明理由。
A C D O B 答:∠AOD=∠BOD ∵∠AOD与∠AOC互补, ∠BOD与∠BOC互补 又∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC ∴∠AOD=∠BOD (等(同)角的补角相等)
62°23′

(角X为锐角)
5.判断
1.钝角没有余角,但一定有补角.( 正确 )
2.一个锐角的余角一定比这个角大.( 错误) 3.若两个角互补,则一个为锐角,一个为钝角. ( ) 错误 4.若一个角的余角是45°12′,则这个角的补角 是135°12′( ) 正确
三、反馈练习
1、抢答
(1)若∠1与∠2互补,则∠1+ ∠2=________. 180°
1.已知一个角的补角是它的3倍,这个角是多少 度? 解:设这个角为x°, 则这个角的补角是(180-x)° 由题意得180-x=3x 解得 x = 45 则这个角的度数为45° 2.变式训练: • 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍,求 这个角的度数
自我检测二:
自我检测三:拓展延伸 如图,已知∠ AOC是直角,∠BOD是
动动手,画一画。
• 画出一个平角∠AOB,画一个直角∠CDE,并标出这 两个角的度数,然后过这个角的顶点任意画一条射线 OM和ON,并记为∠AOM=∠1,∠BOM=∠2, ∠CDN=∠3,∠EDN=∠4。观察这两个图形有什么 发现。
M C N
· A
· · 180 ° B O
2
4
1
D
3
90° E
探 究
性质
等(同)角的余角相等
等(同)角的补角相等
①互余、互补都是指两个角;
已知一个角的补角是这个角的余角的4 倍,求这个角的度数。
练习1 已知两个角互为补角,它们的差为30 °,
求这两个角的度数。
练习2 (1)如果∠α的余角是∠α的2倍,求∠α的度数;
(2)如果∠1的补角是∠1的3倍,求∠1的度数。
练习3 已知一个角的补角是它的余角的2.5倍,
直角,且已知∠ BOC=60°
(1)求∠COD和 ∠AOD的度数 (2)图中哪些角互余?哪些角相等? (3)求∠AOB的度数 (4)若反向延长射线 D C OB,得射线OE, A 你能求出 2 3 ∠AOE的度数吗?
1
O
B
要测量两堵墙所成的 AOB的度数, 但人不能进入围墙,如何测量
B C A
O
1 1 8 0 x x 3 0 解 得 : x 1 3 5
互为余角(互余)
互为补角(互补)
定义
如果两个锐角的和 如果两个角的和是一 是一个直角,我们就说 个平角,我们就说这两个 这两个角互为余角,简 角互为补角,简称互补。 称互余。
1+ 2=90° 1+ 2=180°
数量关 系
对应图 形
2
1
∵∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90° ∴∠2=90°-∠1, ∠4=90°-∠3 而∠1=∠3 ∴∠2=∠4 等角的余角相等
4
3
已知:如图吗,∠2与∠3 都是∠1的补角。 问: ∠2与∠3的大小关 系。
1
2
已知:∠1与∠2互为补角, ∠3与∠4互为补角, 且∠1=∠3。 问: ∠2与∠4的大小关系
一、余角和补角的概念
• 互为余角:如果两个角的和等于90°(直角),就说 这两个角互为余角,其中一个角是另一个角的余角。 • 互为补角:如果两个角的和等于180°(平角),就说 这两个角互为补角,其中一个角是另一个角的补角。
二、提问答疑,理解定义
(1)定义中的“互为”一词如何理解? (2)互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边? (3)∠1和∠2互补,除用符号语言表示为∠1+∠2=
求这个角的度数。
判断题: (1)互余的两个角必定都是锐角。 (2) =90°,那么它是余角。 (3)一个角的补角必定是钝角。
) ( ) ( )
(
(4)两个角互补,那么这两个角中,必定一个是锐角, 另一个是钝角。 ( )
(5)一个角的余角一定比这个角的补角小。
(6)若 AOB与 BOC互补,则A、O、C同在一直线 上。 ( ) (7)若∠1+∠2+∠3=90°,那么∠1、∠2、∠3互为余 角 ( )
180°外,用符号语言还可以表示为 ∠1= 180°- ∠2 或∠2= 180°- ∠1
自我检测一:找朋友
1.图中给出的各角,那些互为余角 ? 10o
30o
50
o
60o
40
o
80
oห้องสมุดไป่ตู้
2.图中给出的各角,那些互为补角?
10o
30o
60
o
80o
100o 120o 150o
170o
3.识图填空:
如图,O是直线AB上一点, OC是∠AOB的平分线。
• 画出一个平角∠AOB,画一个直角∠CDE,并标出这 两个角的度数,然后过这个角的顶点任意画一条射线 OM和ON,并记为∠AOM=∠1,∠BOM=∠2, ∠CEN=∠3,∠EDN=∠4。观察这两个图形有什么 发现。 M
C N
·
A
2
O
180°
4 1
·
B
3
D 90°
E
发现:∠1+∠2= ∠AOB= 180° , ∠3+∠4 =∠CDE= 90°
( )


D
C
A
O
B
∠AOD ∠DOC (1)图中互余的角是__________ 与___________. ∠AOD 与_______;_______ ∠BOD ∠AOC 与______. ∠BOC (2)图中互补的角是_______ ∠AOC 与_________. ∠BOC (3)图中相等的角是________
等(同)角的余角相等; 等(同)角的补角相等。
• 如图 , AOC BOD 90 • 请问∠1与∠3相等吗?并说明理由。
D 2 1 A
C
B 3
O
归纳
等角 (同角) 的余角相等。 等角 (同角) 的补角相等。 练习
一个角的补角是它的3倍,这个角是多少度?
解:设这个角为x度,根据题意,得:
已知:∠2与∠3都是∠1的余角。 利用三角尺画出∠1的余角 问: ∠2与∠3的大小关系。
解:∠2=∠3
2
1
3
理由如下: ∵∠1+∠2=90°, ∠1+∠3=90° ∴∠2=90°-∠1, ∠3=90°-∠1 ∴∠2=∠3
同角的余角相等
已知∠1与∠2互为余角,∠3 与∠4互为余角,若∠1=∠3则∠2 与∠4是什么关系?
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