初二数学《等腰三角形证明》专题练习
初二等腰三角形判定练习题
初二等腰三角形判定练习题等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形，它是初中数学中重要的概念之一。
在本文中，我们将通过一些判定练习题来加深对初二等腰三角形的理解。
让我们开始吧！题目一：判断下列三角形是否为等腰三角形，并给出理由。
1. △ABC，AB = AC = 5cm，BC = 4cm。
2. △XYZ，XY = YZ = XZ = 9cm。
3. △PQR，PQ = PR = 7cm，QR = 6cm。
4. △LMN，LM = MN = LN = 10cm。
解析：1. 是等腰三角形。
根据题目给出的条件，AB = AC，即两边长度相等，符合等腰三角形的定义。
2. 是等边三角形。
根据题目给出的条件，XY = YZ = XZ，即三边长度相等，符合等边三角形的定义。
3. 不是等腰三角形。
根据题目给出的条件，PQ = PR，但QR ≠ PQ，所以它不是等腰三角形。
4. 是等边三角形。
根据题目给出的条件，LM = MN = LN，即三边长度相等，符合等边三角形的定义。
题目二：判断下列三角形是否为等腰三角形，并给出理由。
1. △DEF，DE = 8cm，DF = 6cm，EF = 8cm。
2. △UVW，UV = UW = 7cm，VW = 5cm。
3. △GHI，GH = GI = 11cm，HI = 9cm。
4. △JKL，JK = KL = LJ = 12cm。
解析：1. 是等腰三角形。
根据题目给出的条件，DE = EF，即两边长度相等，符合等腰三角形的定义。
2. 不是等腰三角形。
根据题目给出的条件，UV = UW，但VW ≠ UV，所以它不是等腰三角形。
3. 是等腰三角形。
根据题目给出的条件，GH = GI，即两边长度相等，符合等腰三角形的定义。
4. 是等腰三角形。
根据题目给出的条件，JK = KJ，即两边长度相等，符合等腰三角形的定义。
根据以上练习题的判定，我们可以总结出等腰三角形的特点：等腰三角形具有两边长度相等的特点，即两条边是等长边，而第三条边则可以不相等。
等腰三角形证明题精选(初中数学)
等腰三角形证明题精选(初中数学)等腰三角形证明题精选1. 等腰三角形内角求和为180°对于任意一个等腰三角形，我们可以通过以下步骤来证明其内角之和为180°：步骤一：作等腰三角形的高在等腰三角形ABC中，连接点A和底边BC的垂线AD，AD 即为三角形ABC的高。
步骤二：利用平行线性质由于三角形ABC是等腰三角形，所以AD垂直于BC，并且AD与BC平行。
步骤三：利用三角形内角和定理根据三角形内角和定理，三角形ABC的内角之和等于180°。
又因为∠BAD和∠DAC都是直角，所以∠BAC + ∠BAD + ∠DAC = 180°。
综上所述，等腰三角形的内角之和为180°。
2. 等腰三角形的底角相等对于任意一个等腰三角形，我们可以通过以下步骤来证明其底角相等：步骤一：作等腰三角形的高在等腰三角形ABC中，连接点A和底边BC的垂线AD，AD 即为三角形ABC的高。
步骤二：利用平行线性质由于三角形ABC是等腰三角形，所以AD垂直于BC，并且AD与BC平行。
步骤三：利用三角形内角和定理根据三角形内角和定理，三角形ABC的内角之和等于180°。
又因为∠BAD和∠DAC都是直角，所以∠BAD + ∠DAC = 180° - ∠BAC。
步骤四：证明∠BAD = ∠DAC由于AD与BC平行，且∠BAD是直角，所以∠BAD +∠BDA = 180°。
根据角对应定理，∠DAC = ∠BDA。
又因为∠BAD + ∠BDA = 180°，所以∠DAC = ∠BAD。
综上所述，等腰三角形的底角相等。
3. 等腰三角形的腰长相等对于任意一个等腰三角形，我们可以通过以下步骤来证明其腰长相等：步骤一：作等腰三角形的高在等腰三角形ABC中，连接点A和底边BC的垂线AD，AD 即为三角形ABC的高。
步骤二：利用平行线性质由于三角形ABC是等腰三角形，所以AD垂直于BC，并且AD与BC平行。
初二数学《等腰三角形证明》专题练习
初二数学《等腰三角形》练习题1、如图，AB=AC，BD=CD，AD=AE，∠BAD=26°，则∠AED=_______________2、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=___________3、如图，点D是△ABC的边BC上一点，且AB=AC，AD=AE，∠BAD=30°，则∠EDC=__________4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DC=BC，求∠A的度数。
5、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB于点F．请找出一组相等的线段（AB=AC除外）并加以证明。
6、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数．7、如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，且BD=BE，∠A=100°，试求∠DEC的度数。
8、已知，如图△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC。
9、如图，D是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线交点，过D作与BC平行的直线，分别交AB、AC于E、F，求证：EB+FC=EF。
10、如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE。
《等边三角形》练习题1、已知，等边三角形ABC，D是AB上一点，DE⊥BC，垂足为E，EF⊥AC，垂足为F，FD⊥AB．求证：△DEF 为等边三角形的理由。
2、已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形。
3、如图，A、B、C三点在同一直线上，△ABM和△BCN是正三角形，P是AN中点，Q是CM中点．求证：△BPQ是正三角形。
等腰三角形的判定定理(2个知识点+12大题型+18道强化训练)(学生) 24-25学年八年级数学上册
第04讲等腰三角形的判定定理（2个知识点+12大题型+18道强化训练）知识点01：等腰三角形的判定等腰三角形的判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（简称“等角对等边”）总结：【即学即练1】已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为11cm ，则它的周长为（ ）A ．16cmB ．27cmC ．21cmD ．21cm 或27cm【即学即练2】如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BD =，DE AB ^于点E ，若4BC =，BDC D 的周长为10，则AE 的长为（ ）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4知识点02：等边三角形的判定1、判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
2、等腰三角形和等边三角形的判定【即学即练3】下列四个说法中，正确的有（ ）①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练4】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（ ）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．正三角形题型01 格点中画等腰三角形1．如图，在33´的网格中，以AB 为一边，点P 在格点处，使ABP V 为等腰三角形的点P 有（ ）个A ．2个B ．5个C．3个D ．1个2．在正方形网格中，网格线的交点成为格点，如图，A 、B 分别在格点处，若C 也是图中的格点，且使得ABC V 是以AB 为腰的等腰三角形，则符合条件的点C 有（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是网格中的两个格点，如果C 也是网格中的格点，且使ABC V 为等腰三角形，那么符合条件的点C 有 个．4．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A ，B ，请在此点阵中找一个阵点C ，使得以点A ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C 有 个．5．如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上．(1)在图1中画一个以AB 为直角边且面积为3的直角三角形．(2)在图2中画一个以AC 为腰的等腰三角形．题型02 找出图中的等腰三角形1．如图，在ABC V 中，AB AC =，72B Ð=°，CD 平分ACB Ð交AB 于点D ，DE AC ∥交BC 于点E ，则图中共有等腰三角形（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．如图，已知线段AB 的端点B 在直线l 上（AB 与l 不垂直）请在直线l 上另找一点C ，使ABC V 是等腰三角形，这样的点能找（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．如图，在ABC V 中，已知边AB 的垂直平分线与边BC 的垂直平分线交于点P ，连接PA PB PC 、、，则图中有 个等腰三角形．4．如图，已知ABC V 中，37AB BC ==，，在ABC V 所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠1=∠2，DB=DC ．（1）求证：AB+BE=CD ．（2）若AD=BC ，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．题型03 根据等角对等边证明等腰三角形1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ）A ．40°，70°B ．30°，90°C ．60°，50°D ．40°，20°2．在ABC V 中，36A Ð=°，72B Ð=°，则ABC V 是（ ）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．在ABC V 中，若50B Ð=°，65C =°∠，则ABC V 等腰三角形．（填“是”或“不是”）4．在ABC V 中，90A Ð=°，当B Ð= 度时，ABC V 是等腰三角形．5．如图，在ABC V 中，60,40,BAC C ABC Ð=°Ð=°Ð的平分线BD 交AC 于点D ．判断BCD △是否为等腰三角形?请说明理由．题型04 根据等角对等边证明边相等1．如图，在ABC V 中，6BC =，边AB 的垂直平分线交BC 于M ，点N 在MC 上，连接AM ，AN ，C NAC Ð=Ð，则MAN △的周长为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．122．在ABC V 中，AD 平分235BAC B ADB AB CD ÐÐ=Ð==，，，，则AC 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93．如图，在ABC V 中，ABC Ð和ACB Ð的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥交AB 于M ，交AC 于N ，若8BM CN +=，则线段MN 的长为 ．4．如图，在ABC V 中，4AB =，6AC =，ABC Ð和ACB Ð的平分线交于O 点，过点O 作BC 的平行线交AB 于M 点，交AC 于N 点，则AMN V 的周长为 ．5．如图，ABC V 中，CA CB =，点D 在BC 的延长线上，连接AD AE ，平分CAD Ð交CD 于点E ，过点E 作EF AB ^，垂足为点F ，与AC 相交于点G ．．(1)求证：CG CE =；(2)若30B Ð=°，40CAD Ð=°，求AEF Ð和D Ð的度数；(3)求证：2D AEF Ð=Ð．题型05 根据等角对等边求边长1．如图，在ABC V 中，B C Ð=Ð，4AB =，则AC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，在ABC V 中，ABC Ð的平分线交AC 于点D ，6AD =，过点D 作DE BC ∥交AB 于点E ，若AED △的周长为16，则边AB 的长为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．163．如图，在ABC V 中，12AB =，9AC =，沿过点A 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，若12ADE C Ð=Ð，则BD 的长是 ．4．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，10AC =，12BC =，点D 是AC 边的中点，点E 是BC 边上一动点，将CDE V 沿DE 折叠得到C DE ¢V ，连接BC ¢，当BEC ¢△是直角三角形时，BE 的长为 ．5．如图，100,40203BAC B D AB Ð=°Ð=°Ð=°=，，，求CD 的长．题型06 直线上与已知两点组成等腰三角形的点1．点A ，B 在直线l 同侧，若点C 是直线l 上的点，且ABC V 是等腰三角形，则这样的点C 最多有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(3,4)，点P 是坐标轴上的一点，使OAP V 为等腰三角形的点P 的个数有（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个3．如图，点O 在直线l 上，点A 在直线l 外.若直线l 上有一点P 使得APO △为等腰三角形，则满足条件的点P 位置有 个.4．如图，已知Rt ABC △中，90,30Ð=°Ð=°C A .在直线BC 或AC 上取一点P ，使得PAB V 是等腰三角形，则符合条件的P 点有 个.5．如图，在直线EF 上有一点A ，直线外有一点B ，点C 在直线EF 上，ΔABC 是以AB 、AC 为腰的等腰三角形．（1）在图中画出ΔABC（2）已知40BAF Ð=°，求BCAÐ题型07 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点1．已知ABC V 中，AB AC =．108A Ð=°，在平面内找一点P ，使得PAB V ，PAC V ，PBC V 都是等腰三角形，则这样的P 点有（ ）个A ．4B ．6C ．8D ．102．已知：如图ABC V 中，=60B а，80C Ð=°，在直线BA 上找一点D ，使ACD V 或BCD △为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个3．如图，在ABC V 中，25,100B A Ð=°Ð=°，点P 在ABC V 的三边上运动，当PAC V 成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ．4．如图，60AOB Ð=°，C 是OB 延长线上一点，若18cm OC =，动点P 从点C 出发沿CB 以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 沿OA 以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间，当t = s时，POQ △是等腰三角形？5．如图，在ABC V 中，AB AC BC ==，ABC V 所在的平面上有一点P （如图中所画的点1P ），使PAB V ，PBC △， PAC V 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P 有几个（包括点1P ）？在图中画出来．题型08 作等腰三角形（尺规作图）1．如图，已知直线m n P ，线段AC 分别与直线m ，n 相交于点B 、点C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交直线m 于点B 、点D ．若70A Ð=°，则a 的度数为（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°2．如图，已知直线l 及直线l 外一点P ，过点P 作直线l 的平行线，下面四种作法中错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ，则∠ACD 的度数是 ．4．如图，直线a b ，相交于点O ，150а＝，点A 是直线上的一个定点，点B 在直线b 上运动，若以点O ，A ，B 为顶点的三角形是等腰三角形，则OAB Ð的度数是 ．5．已知：线段a ，h ，求作等腰ABC V ，使底边BC a =，高AD h =，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．题型09 等腰三角形的性质和判定1．如图，ABC V 中，AB AE =，且AD BC EF ^，垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，若ABC V 周长为166AC =，，则DC 为（ ）A ．5B ．8C ．9D ．102．如图，在ABC V 中，16AB AC ==，点E 是BC 边上任意一点，过点E 分别作AB AC ，的平行线，交AC 于点F ，交AB 于点D ，则四边形ADEF 的周长是（ ）A ．32B ．24C ．16D ．83．如图，在ABC V 中，BD 和CD 分别是ABC Ð和ACB Ð的平分线，EF 过点D ，且EF BC ∥，若，BE CF ==34，则EF 的长为 ．4．如图，在Rt ABC △中，90A Ð=°，30C Ð=°，作边BC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．若3AD =，则DE 的长为 ．5．如图，在ABC V 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD BE =，BAD BCE Ð=Ð，AD 与CE 相交于点F ．(1)证明：BA BC =；(2)求证：AFC V 为等腰三角形．题型10 三角形边角的不等关系1．若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（ ）．A ．7B ．8C ．9D ．7或82．如图，ABC V 中，5,9,10,AB AC BC EF ===垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任一点，则ABP V 周长的最小值是（ ）A ．10B ．14C ．15D ．193．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为 ．4．等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于 .5．已知a 、b 、c 为ABC V 的三边长，a 、b 满足2(2)|3|0a b -+-=，且c 为方程|6|3x -=的解，求ABC V 的周长并判断ABC V 的形状.题型11 等边三角形的判定1．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．在ABC V 中，60A Ð=°，添加下列一个条件后，仍不能判定ABC V 为等边三角形的是（ ）A ．AB AC =B ．AD BC ^C ．B C Ð=ÐD ．A CÐ=Ð3．在ABC V 中，B C Ð=Ð，若添加一个条件使ABC V 是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可）4．已知a ，b ，c 为ABC V 三边的长，当222222ab a b c bc +=++时，则ABC V 的形状是 ．5．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，B D Ð=Ð，点E 在BA 的延长线上，连接CE ．(1)求证：E ECD Ð=Ð；(2)若60E Ð=°，CE 平分BCD Ð，请判断BCE V 的形状并说明理由．题型12 等边三角形的判定和性质1．如图，30AOB Ð=°，点P 在AOB Ð的内部，点C ，D 分别是点P 关于OA OB 、的对称点，连接CD 交OA OB 、分别于点E ，F ；若PEF !的周长的为9，则线段OP =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．112．若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ）A ．75°B ．15°C ．30°或150°D ．15°或75°3．如图，已知30AOB Ð=°，P 是AOB Ð内部的一个定点，且1OP =，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，则PEF !周长的最小值等于 ．4．如图，等边ABC V 的边长为4cm ，点Q 是AC 的中点，若动点P 以2cm /秒的速度从点A 出发沿A B A ®®方向运动设运动时间为t 秒，连接PQ ，当APQ △是等腰三角形时，则t 的值为 秒．5．如图，D 是等边ABC V 外的一点，3BC =，DB DC =，120BDC Ð=°，点E 、F 分别在AB 和AC 上．(1)求证：AD 是BC 的垂直平分线(2)若ED 平分BEF Ð，①证明：FD 平分EFC Ð；②求AEF △的周长．1．如图，ABC V 中，AB AE =，且AD BC ^，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，若ABC V 周长为16，6AC =，则DC 为（ ）A ．5B ．8C ．9D ．102．如图，在ABC V 中，AB AC =，45BAC Ð=°，AD BC ^于点D ，BE AC ^于点E ，交AD 于点F ，若10AF =，则BD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．103．如图，在ABC V 中，AB AC =，120A Ð=°，6cm BC =，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（ ）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm4．如图，D 为ABC V 内一点，CD 平分ACB Ð，BD CD ^，A ABD Ð=Ð，若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.55．如图，在AOB V 和COD △中，OA OB =，OC OD =，OA OC <，36AOB COD Ð=Ð=°．连接AC BD 、交于点M ，连接OM ．下列结论：①BOM COM Ð=Ð；②AC BD =；③OM 平分AMD ∠；④144AOD Ð=°，⑤MOC MOD V V ≌其中正确的结论个数有（ ）个．A ．5B ．4C ．3D ．26．如图，在四边形OAPB 中，120AOB Ð=°，OP 平分AOB Ð，且2OP =，若点M 、N 分别在直线OA OB 、上，且PMN V 为等边三角形，则满足上述条件的PMN V 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．3个以上7．如图，ABC V 中，BO 、CO 分别平分ABC Ð和ACB Ð，过点O 平行于BC 的直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，已知9cm AB =，8cm AC =，ADE V 的周长为 ．8．如图，60AOB Ð=°，C 是BO 延长线上一点，12cm OC =，动点M 从点C 出发沿射线CB 以2cm /s 的速度移动，动点N 从点O 出发沿射线OA 以1cm /s 的速度移动，如果点M 、N 同时出发，设运动的时间为s t ，那么当t = s 时，MON △是等腰三角形．9．已知，在ABC V 中，AB AC =，BD AC ^于点D ，AE BC ^于点E ，若50BAC Ð=°，则DCO Ð= °．10．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 是ABC V 的中线，点E 在AC 上，且AE AD =，连接DE ，若20CDE Ð=°，则B Ð的度数为 °．11．定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，ABC V 中，36,A B Ð=°Ð为钝角，则使得ABC V 是特异三角形所有可能的B Ð的度数为 ．12．已知在ABC V 中，40A Ð=°，D 为边AC 上一点，ABD △和BCD △都是等腰三角形，则C Ð的度数可能是 ．13．如图，在ABC V 中，AB AC D =，是BC 边上一点，以AD 为边在AD 右侧作ADE V ，使AE AD =，连接108CE BAC DAE Ð=Ð=°，(1)求证：BAD CAE V V ≌；(2)若DE DC =，求CDE Ð的度数．14．如图，点D 、E 在ABC V 的边BC 上，AD AE =，BD CE =．(1)求证：AB AC =．(2)若108,2180BAC DAE BAC Ð=°Ð+Ð=°，直接写出图中除ABC V 与ADE V 外所有等腰三角形．15．如图，在等边ABC V 中，点D 在边BC 上，过点D 作DE AB ∥交AC 于点E ，过点E 作EF DE ^，交BC 的延长线于点F ．(1)求F Ð的度数；(2)求证：DC CF =．16．如图，已知ABC V 中，D 为BC 上一点，AB AD =，E 为ABC V 外部一点，满足AC AE =，连结DE ，与AC 交于点O ，且CAE BAD Ð=Ð．(1)求证：ABC ADE △≌△；(2)若25BAD Ð=°，求EDC Ð的度数．17．如图，已知在ABC V 中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以3厘米/秒如果点P 在线段BC 上以3厘米每秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．(1)若点Q 的运动速度与点p 的运动速度相等，经一秒后，三角形BPD 与三角形CQP 是否全等，请说明理由；(2)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等？18．（1）【问题提出】如图1，在Rt ABC △和Rt CDE △，已知90ACE B D Ð=Ð=Ð=°，AC CE =，B 、C 、D 三点在一条直线上，5AB =， 6.5DE =，则BD 的长度为______．（2）【问题提出】如图2，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，4BC =，过点C 作CD AC ^，且CD AC =，求BCD △的面积．（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流BD 的周边规划一个四边形ABCD 巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD 中，45ABC CAB ADC Ð=Ð=Ð=°，AC BC =，ACD V 面积为212km ，且CD 的长为6km ，则河流另一边森林公园BCD △的面积为______2km ．。
八年级三角形的证明题
八年级三角形的证明题一、等腰三角形性质相关证明题（8题）1. 已知：在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线。
求证：AD⊥BC。
- 证明：- 因为AB = AC，AD是BC边上的中线，所以BD = DC（中线的定义）。
- 在△ABD和△ACD中，AB = AC（已知），BD = CD（已证），AD = AD（公共边）。
- 所以△ABD≌△ACD（SSS）。
- 则∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。
- 又因为∠ADB + ∠ADC = 180°（平角的定义），所以∠ADB = ∠ADC = 90°，即AD⊥BC。
2. 已知：在等腰△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，求证：∠B = 72°。
- 证明：- 因为AB = AC，所以∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。
- 又因为∠A+∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠A = 36°。
- 设∠B = x，则∠C = x，可得方程36°+x + x = 180°。
- 2x=180° - 36°，2x = 144°，解得x = 72°，即∠B = 72°。
3. 已知：在△ABC中，AB = AC，D是AC上一点，且AD = BD = BC。
求∠A的度数。
- 证明：- 设∠A=x，因为AD = BD，所以∠ABD = ∠A=x（等边对等角）。
- 则∠BDC=∠A + ∠ABD = 2x（三角形外角性质）。
- 因为BD = BC，所以∠C = ∠BDC = 2x。
- 又因为AB = AC，所以∠ABC = ∠C = 2x。
- 根据三角形内角和定理，∠A+∠ABC+∠C = 180°，即x + 2x+2x = 180°。
- 5x = 180°，解得x = 36°，所以∠A = 36°。
完整版)等腰三角形专项练习题
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1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，已知∠A=36°，求∠1的度数。
解：由BD平分∠XXX可知∠ABD=∠CBD，又因为AB=AC，所以∠BAC=2∠ABD=2∠CBD，即∠1=180°-∠BAC=108°。
2.已知等腰三角形的两边长分别为5和6，求该等腰三角形的周长。
解：设等腰三角形的底边为x，则根据勾股定理可得x²=6²-(5/2)²=31.25，即x=√31.25，所以周长为2x+5+6=2√31.25+11≈17.5.3.在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，求剪下的等腰三角形的面积。
解：如图，设剪下的等腰三角形为△ABC，其中AB=AC=10，BC=x，则根据勾股定理可得x²=16²-10²=196，即x=14.所以△ABC的面积为(1/2)×10×14=70平方厘米。
4.如图，在等腰三角形ABC中，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，判断下列结论的正确性：①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE。
解：①正确，因为∠XXX∠XXX∠XXX∠XXX∠BAC/2，所以△BDF、△CEF都是等腰三角形；②正确，因为根据相似三角形可得BD/BC=AD/AC，CE/BC=AE/AC，又因为AD=AE，所以BD=CE，即DE=2BD；③错误，因为AB+AC=2AB≠AD+DE+EA=AD+2BD；④正确，因为根据相似三角形可得BD/BC=AD/AC，CE/BC=AE/AC，又因为AD=AE，所以BD=CE。
八年级数学上册专题13.6 等腰三角形的证明及计算大题专项训练(50道)(举一反三)(人教版)(原卷
专题13.6 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对等腰三角形工具的应用及构造等腰三角形！一．解答题（共50小题）1．（2022秋•勃利县期末）如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC 于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．2．（2022秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求∠DBC的度数．3．（2022秋•林州市期末）已知△ABC的两边长a和b满足√a−9+（b﹣4）2＝0．（1）若第三边长为c，求c的取值范围．（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．4．（2022秋•河东区校级期中）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB 与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．（1）求证：AC＝BC；（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长．5．（2022秋•武冈市期中）已知如图，△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，∠B的平分线交EF于O 点．（1）求证：EO＝BE；（2）若EF＝BE+CF，求证：OC平分∠ACB．6．（2022秋•盘龙区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE ＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．BC，若D是AC的7．（2022秋•大石桥市期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=12中点，连接ED并延长交AB于点F．（1）若AF＝3，求AD的长；（2）证明：DE＝2DF．8．（2022春•大埔县期末）如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F为BC中点，连接AF．（1）直接写出∠BAE的度数为；（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．9．（2022秋•宁明县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．10．（2022春•二七区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是；②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是；（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；②线段BC、DC、CE之间的数量是．11．（2022秋•台江区期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．（1）求证：∠ACB＝∠ACD；（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．12．（2022春•市南区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB 的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．13．（2022秋•平房区期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．14．（2022秋•河西区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．15．（2022秋•巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B 出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A 同时出发，运动的时间为ts．（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，PQ∥BC？16．（2022秋•清江浦区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）BP＝（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？17．（2022春•渠县校级期末）已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．18．（2022秋•北仑区期中）（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O 作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．①求证：OE＝BE；②若△ABC的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC与∠P AC的数量关系式．19．（2022秋•余干县期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．求证：BC＝DC．20．（2022春•焦作期末）如图，在等边三角形ABC中∠B，∠C的平分线相交于点O，作BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F．小明说：“E，F是BC的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明理由．21．（2022秋•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．（1）求证：△BED是等腰三角形：（2）当∠BCD＝°时，△BED是等边三角形．22．（2022春•梅州校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．（1）△BDF是什么三角形？请说明理由；（2）设AD＝x，CF＝y，试求y与x之间的函数关系式；（不用写出自变量x的取值范围）（3）当移动点D使EF∥AB时，求AD的长．23．（2022秋•阳新县校级期末）如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°AC＝1点D为AC 上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD＝n，（1）当n＝1时，则AF＝；（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH＝AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．24．（2022•宁德一模）如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED．（1）写出图中所有的等腰三角形；（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度数．25．（2022秋•平舆县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠P AB＝15°，点C关于直线P A的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH（1）求∠BPD的大小；（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；（3）证明：∠BAP＝∠CAH．26．（2022春•本溪县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求DC长．27．（2022秋•澧县期末）如图，一只船从A处出发，以18海里/时的速度向正北航行，经过10小时到达B 处．分别从A、B处望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84度．求B处与灯塔C距离．28．（2022春•西安期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周长．29．（2022春•嵩县期末）如图所示．点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F．（1）若MN＝20cm，求△PEF的周长．（2）若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．30．（2022秋•沂南县期末）如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF 交AD于点O．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明．31．（2022秋•张家港市校级期末）如图：AD为△ABC的高，∠B＝2∠C，用轴对称图形说明：CD＝AB+BD．32．（2022春•锦江区校级期末）操作实验：如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以△ABD≌△ACD，所以∠B＝∠C．归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．根据上述内容，回答下列问题：思考验证：如图（4），在△ABC中，AB＝AC．试说明∠B＝∠C的理由；探究应用：如图（5），CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A．E为AB的中点，AB＝BC，CE⊥BD．（1）BE与AD是否相等，为什么？（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；（3）∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．33．（2022•海丰县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：BE＝CE（要求：不用三角形全等的方法）34．（2022春•余杭区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，BC．E为BC延长线上一点，且CE=12（1）求ME的长；（2）求证：△DMC是等腰三角形．35．（2022•白城校级模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D是线段BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝；（2）如图2，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．当点D在线段BC上移动时，请写出α，β之间的数量关系，请说明理由．36．（2022秋•乐亭县期末）若a、b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣4）2＝0（1）试求a、b的值，并求第三边c的取值范围．（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．（3）若另一等腰△DEF，其中一内角为x°，另一个内角为（2x﹣20）°试求此三角形各内角度数．37．（2022秋•盂县期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形．38．（2022秋•龙门县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE ＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B＝∠DEF；（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．39．（2022春•静安区校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB＝2BE．40．（2022秋•秦淮区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE．41．（2022秋•滑县校级期末）已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF＝120°，DE交线段AB于E，DF交直线BC于F．（1）如图（1），求证：DE＝DF；BC．（2）如图（2），若BE＝3AE，求证：CF=14AE，则CF＝BC；在图（1）中，若BE＝4AE，则CF＝BC．（3）如图（3），若BE=1342．（2022春•峄城区期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：△CEF是等腰三角形；（2）若CD＝2，求DF的长．43．（2022秋•红山区期末）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．44．（2022•南京模拟）数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几对全等三角形？丁图中有几对等边三角形？45．（2022秋•五河县期末）如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）求证：PD＝DQ；（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．46．（2022•南京模拟）如图，∠BAC＝30°，点P是∠BAC的平分线上的一点，PD⊥AC于D，PE∥AC 交AB于E，已知AE＝10cm，求PD的长度．47．（2022春•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的两侧，D在A，E之间，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE+CE．48．（2022秋•龙华区期末）如图，已知直线l1∥l2∥l3，点E、F分别在l3、l1上，Rt△ABC的直角顶点C 在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且∠BAC＝25°，∠BAE＝25°．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BCF的度数．49．（2022春•电白区期末）如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则（1）BP＝cm，BQ＝cm．（用含t的代数式表示）（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？50．（2022•南京模拟）如图，在等边△ABC的三边上分别取点D、E、F，使AD＝BE＝CF．（1）试说明△DEF是等边三角形；（2）连接AE、BF、CD，两两相交于点P、Q、R，则△PQR为何种三角形？试说明理由．。
专题13.5等腰三角形的判定(原卷版)
专题13.5等腰三角形的判定姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019江苏省滨海中学八年级期中）在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC是（）A．钝角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形2．（2019秋•河西区期中）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，则下列判断错误的是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是锐角三角形C．△ABC是等腰三角形D．∠A和∠B互余3．2021·江苏无锡市·八年级期中）如图，在所给网格中，以格点（网格线的交叉点）A，B的连线为一边构 ，则符合条件的点C的个数是（）造格点等腰ABCA．6B．7C．8D．94．（2020春•松江区期末）如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组5．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组6．（2020·涿州市实验中学八年级期中）如图，∠AOP＝∠BOP，CP//OB，CP＝4，则OC＝（）A．2B．3C．4D．57．（2020•衡水模拟）在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即“如图，已知：∠B＝∠C，求证：AB＝AC”时，小明作了如下的辅助线，下列对辅助线的描述正确的有（）①作∠BAC的平分线AD交BC于点D②取BC边的中点D，连接AD③过点A作AD⊥BC，垂足为点D④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点DA．1个B．2个C．3个D．4个8．（2019秋•新泰市期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB 于点D，交AC于点E，那么下列结论，其中正确的有（）①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2019秋•西青区期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝2，ED＝6，则EB+DC的值为（）A．6B．7C．8D．910.（2019·浙江台州市·）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+12∠C；②AE+BF＝EF；③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点；④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①②④D．①③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•田家庵区期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有个．12．．（2019·江苏盐城市·八年级期中）如图，在△ABC，∠A＝36°，D为AC边上的一点，AD＝BD＝BC，则图中的等腰三角形共有_____个．13．（2019秋•樊城区期末）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为．14．（2019秋•来凤县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有个．15．（2019秋•江油市期末）如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有个．16．（2018秋•恩施市期末）如图，∠AOB是一钢架，∠AOB＝15°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH，添的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根．17．（2021·全国八年级专题练习）有下列三个等式①AB ＝DC ；②BE ＝CE ；②∠B ＝∠C ．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt △AED 是等腰三角形，你认为这两个条件可以是_____（写出一种即可）18．（2021·湖北荆门市·八年级期末）如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，下列结论：①1902BOC A ∠=+∠︒：②点O 到ABC 各边的距离相等；③EF BE CF =+：④1()2AD AB AC BC =+-；⑤设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn =△；其中正确的结论是______．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．．（2020·江苏常州市·）如图，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ．（1）求ABD ∠的度数．（2）求证：AD BC =．20．（2020•沙坪坝区自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度数．21．（2019秋•嘉祥县期末）（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，请直接写出EF、BE、CF之间的关系EF＝BE﹣CF．22．（2019秋•确山县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE ＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．23．（2019秋•永城市期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G．（1）求证：CG平分∠BCD．（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．24．（2020·浙江绍兴市·八年级期中）[方法呈现]（1）如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB＝3，AC＝5，求中线AD长的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE，则易证△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，则可得AC﹣CE＜AE ＜AC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是．[探究应用]（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程．（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．。
八年级三角形证明练习题学生版
八年级三角形证明练习题一．选择题（共15小题）1．若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（）A．2B．3C．4D．2或42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（）A．4B．3C．2D．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°4．把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若∠B＝25°，∠D＝58°，则∠BCE的度数是（）A．83°B．57°C．54°D．33°5．下列命题是假命题的是（）A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°D．旋转不改变图形的形状和大小6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（）A．2+B．+C．2+D．37．如图，在△ABC中AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A的直线GH与DE 平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（）A．40°B．45°C．55°D．70°8．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（）A．12B．13C．14D．159．用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．310．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，）C．（，1）D．（，）11．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24B．30C．36D．4212．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8B．11C．16D．1713．如图，△ABC中，AC＝BC＜AB．若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确（）A．∠1＜∠2B．∠1＝∠2C．∠A+∠2＜180°D．∠A+∠1＞180°14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB与点E，已知△BCE的周长为10，且BC ＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．615．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA＝5，AB＝6，则点B到AC 的距离为（）A．5B．C．4D．二．填空题（共15小题）16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是．17．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝．18．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝2，则AD的长为．19．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝°．20．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为度．21．下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为．22．直线上依次有A，B，C，D四个点，AD＝7，AB＝2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC 的长为．23．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是．24．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝．25．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为．26．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是．27．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的顶角为度．28．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝cm．29．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠F AE＝19°，则∠C＝度．30．如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3＝D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4＝D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△A n∁n C n+1的周长和为．（n≥2，且n为整数）三．解答题（共10小题）31．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：（1）点D在BE的垂直平分线上；（2）∠BEC＝3∠ABE．32．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．33．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．34．如图，点P是∠MON中一点，P A⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠P AB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．35．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，点M、N在边OB上．（1）若∠PNO＝60°，证明△PON是等边三角形；（2）若PM＝PN，OP＝12，MN＝2，求OM的长度．36．如图，△ABC中，AB＝AC．O是△ABC内一点，OD是AB的垂直平分线，OF⊥AC，且OD＝OF．（1）当∠OAC＝27°时，求：∠OBC的度数．（2）求证：AF＝CF．37．如图，点D是△ABC边BC上一点，AD＝BD，且AD平分∠BAC，AE是△ABC的高．（1）若∠B＝50°，求∠DAE的度数；（2）若∠C＝30°，求∠ADC的度数．38．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．39．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC 于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．40．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．（1）求证：AC＝BC；（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长．。
专题 等腰三角形的性质与判定的综合运用(6大题型提分练)(原卷版)_1
八年级数学上册《第2章特殊三角形》专题等腰三角形的性质与判定的综合运用◆有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．◆等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”).◆等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.◆有两边相等的三角形是等腰三角形.◆有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)．◆题型一等腰三角形的性质1．（2024春•新城区校级期末）已知一等腰三角形的周长为20，若其中一边长为6，则这个等腰三角形的腰长为（）A．6或8B．6或7C．6D．82．（2024春•永寿县校级月考）如图，△ABC的周长是20cm，AB＝AC＝7cm，AD⊥BC于点D，则BD的长为（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm3．（2023秋•昌黎县期末）如图，在△ABD中，∠D＝20°，CE垂直平分AD，交BD于点C，交AD于点E，连接AC，若AB＝AC，则∠BAD的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．150°4．（2024春•永寿县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，BD⊥AC于点D，则∠DBC的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．48°5．（2024春•章丘区期末）如图，△ABC的面积为36，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DE长为（）A．2B．3C．4D．66．（2024春•平陆县期末）如图所示，FB为∠CFD的角平分线，且DF＝CF，∠ACB＝60°，∠CBF＝50°，则∠A的大小是（）A．40°B．50°C．60°D．100°7．（2024春•秦都区校级月考）△ABC中，AB＝AC，AB边的中垂线与直线AC所成的角为50°，则∠B等于（）A．70°B．40°C．40°或70°D．70°或20°8．（2024春•宝丰县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是通过如图的作图痕迹作图而得，DE//BC，交AC于点E．（1）求证：DE＝CE；（2）若∠CDE＝34°，求∠A的度数．9．（2024春•龙华区期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上（不与端点重合），连接BE，CD．（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：，使得CD＝BE，并说明理由；（2）如图2，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，若∠BAC＝40°，BE平分∠ABC，求∠F的度数．题型二等腰三角形的判定1．（2023秋•冠县期中）下列能判定三角形是等腰三角形的是（）A．有两个角为30°、60°B．有两个角为40°、80°C．有两个角为50°、80°D．有两个角为100°、120°2．（2023春•文登区期中）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得∠BOC 是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（）A．OA＝OD B．AB＝CD C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB3．（2023秋•黄石港区校级月考）下列条件：∠已知两腰；∠已知底边和顶角；∠已知顶角与底角；∠已知底边和底边上的高，能确定一个等腰三角形的是（）A．∠和∠B．∠和∠C．∠和∠D．∠和∠4．（2023秋•阳东区期中）如图，在∠ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O且平行于BC的直线交AB于点M，交AC于N，连接AO，则图中等腰三角形的个数为（）A．5B．6C．7D．85．（2023春•南海区校级月考）已知：如图，在∠ABC中，AB＝AC，BP，CQ是∠ABC两腰上的高．求证：∠BCO是等腰三角形．6．（2023春•郓城县期中）如图，DE∠BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求证：∠DGE是等腰三角形．7．如图，在∠ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，G是AC边上一点，过G作EF∠BC，交BC于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：AD∠EF；（2）求证：∠AFG是等腰三角形．题型三等腰三角形的性质与判定的综合1．（2024春•海口期末）如图，O是△ABC内一点，OA＝OB＝OC．若∠BOC＝126°，则∠BAC＝度．2．（2024•寻乌县一模）如图，在△ABC中，∠A＝76°，D为AC边上一点．若BD将△ABC分成了两个等腰三角形，则∠C的度数为．3．（2024•喀什地区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D为BC边上一点，∠DAB＝45°．（1）求∠DAC的度数；（2）请说明：AB＝CD．4．（2024春•大方县校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA、OB．（1）求证：△OBC为等腰三角形；（2）若∠ACF＝25°，求∠BOE的度数．5．（2024春•三水区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若∠F＝30°，EC＝3，BD＝4，求AC的长．6．（2023秋•绵阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，∠ADC的平分线交AC于点E，DE∥BC．（1）证明：△DBC是等腰三角形；（2）若BC＝2CE，求∠ADE的度数．7．（2023秋•拱墅区校级期末）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．（1）求证：EA＝EG；（2）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点，求AG的长．题型四利用等腰三角形的性质解决实际问题1．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（）A．15海里B．20海里C．30海里D．求不出来2．（2023秋•泗阳县期中）如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转当A端落地时，∠OAC＝25°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A'OA）是（）A．25°B．50°C．60°D．80°3．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°4．（2023春•青岛期末）如图，∠AOB是一钢架，∠AOB＝18°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE的长度相等，则最多能添加的钢管根数为（）A．4B．5C．6D．无数5．如图，把量角器摆放在△AOC上，点A与点C恰在同一个半圆上，OC与130°的刻度线重合，射线OB与70°的刻度线重合，OB交AC于点D，则∠CDO的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．120°6．在如图①所示的钢架∠MAN中，需要焊上等长的钢条来加固钢架．若自左至右摆放，只能摆放7根，且AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P7P8．为了进一步加固该钢架，自点P8开始自右向左再焊上等长的钢条，如图②，且P8P9＝P9P10＝…＝P13P14＝AP14，则∠A的度数是（）A．不存在的B．10°C．12°D．15°7．（2023春•富平县期末）如图，大海中有两个岛屿A与B，∠BEQ＝30°，在海岸线PQ上的点F处测得∠AFP ＝60°，∠BFQ＝60°．（1）求证：AE＝AB；（2）若在海岸线PQ上的点E处测得∠AEP＝74°，求∠BAE的度数．题型五等腰三角形与动点运动问题1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．2．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝18厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，设运动时间为x．①PC＝（用含x的代数式表示）；②若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当x为何值时，以B，P，D为顶点的三角形与△CQP全等；③若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？（2）如果点Q以（1）③中的运动速度从点C出发，点P以3厘米/秒的速度从点B出发，都逆时针沿△ABC三边运动，点P，Q同时出发，运动时间为y．当y取何值时，点P与点Q第二次相遇？3．（2023秋•泰州月考）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．（1）当t＝2时，BP＝cm；（2）当t为何值时，连接CP，DP，∠CDP是等腰三角形？题型六与等腰三角形相关的探究题1．（2023春•锦江区期末）如图，在∠ABC中，点D，E分别在BC，AB边上，AE＝AC，AD∠CE，连接DE．（1）求证：∠DEC＝∠DCE；（2）若AC＝BC，BE＝CE．∠求∠B的度数；∠试探究AB﹣AC与BC﹣DE的数量关系，并说明理由．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA 逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．3．（2023春•峡江县期末）如图，在∠ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M．（1）若∠A＝40°，求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB之间有什么关系？4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC．（1）如图1，填空∠A＝°，∠C＝°．（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E．①求证：△BNE是等腰三角形；②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．5．（2023春•宝安区校级期中）如图①，∠AFH和∠AHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AF、AH交于点E、G．（1）若∠AFH＝80°，∠AHF＝70°，则∠EOF＝度，∠GOH＝度，∠FOH＝度．（2）若∠AFH+∠AHF＝130°，则∠FOH＝度．（3）如图②，∠AFH和∠AHI的平分线交于点O，EG经过点O，分别与AF、AH交于点E、G．若∠AFH+∠AHF＝140°，∠OHI＝50°，∠EOF＝30°，求证：EG∥FH．。
等腰三角形的有关计算和证明专练(含解析)浙教版数学八年级上册专题复习
等腰三角形的有关计算和证明专练1．已知等腰三角形一个内角的度数为54°，求其余各个内角的度数．2．如图所示为5×5的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C的个数为___________.3．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为_____________.4．数学课上，张老师举了下面的例题：例1：在等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数(答案：35°)．例2：在等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数(答案：40°或70°或100°)．张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式：在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．(1)请你解答以上的变式题．(2)小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．5．(1)如图1，P为等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA 的延长线于点R.请观察AR与AQ，它们有何数量关系？请证明你的猜想．(2)如图2，当点P沿着底边BC所在的直线运动到CB的延长线上时，其余条件不变，(1)中所得的结论还成立吗？请你在图2中补全图形，并给予证明．6．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D 与点E.(1)在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由．(2)若△PDE为等边三角形，求BD＋CE的值．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的一点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，交过点A平行于BC的直线于点F，求证：(1)∠C＝∠BAD.(2)AC＝EF.8．如图，在△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ，在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到点A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到点A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ；在边A 3E 上任取一点F ，延长A 2A 3到点A 4，使A 3A 4＝A 3F ，得到第4个△A 3A 4F ……按此作法继续下去，第2023个三角形中以A 2023为顶点的内角度数为()A.202121⎪⎭⎫ ⎝⎛×75°B ．202221⎪⎭⎫ ⎝⎛×75°C.202321⎪⎭⎫ ⎝⎛×75°D ．202421⎪⎭⎫ ⎝⎛×75°9．如图，已知△ABC 为等边三角形，D 为BC 上一动点，E 为△ABC 外一点，AD ＝AE ，∠DAE ＝60°，连结CE .若AB ＝4，当四边形ADCE 的周长取最小值时，BD 的长为____________.10．如图1，等边三角形ABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边三角形EDC ，连结AE .(1)△DBC 与△EAC 全等吗？请说说你的理由．(2)求证：AE ∥BC .(3)如图2，若动点D 运动到边BA 的延长线上，所作△EDC 仍为等边三角形，请问AE ∥BC 是否仍然成立？证明你的猜想．11．已知C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB ＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD相交于点F.(1)如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝__________°.如图2，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝__________°.如图3，若∠ACD＝α，则∠AFB＝__________(用含α的代数式表示)．(2)设∠ACD＝α，以点C为旋转中心，将图3中的△ACD按顺时针方向旋转任意角度(交点F至少在BD，AE 中的一条线段上)，如图4，试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明．12．如图，O为等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.以OC为一边作等边三角形OCD，连结AD.(1)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．(2)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？13．如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在边AC 上，BE 交AD 于点,F 且AE EF =，求证：AC BF =；14．（1）如图1，△ABC 与△ADE 均是顶角为50︒的等腰三角形，AB AC =，AD AE =，则BD 与CE 的数量关系为____________，并证明.（2）如图2，ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为DCE △中DE 边上的高，连接BE ．①求AEB ∠的度数；②证明：2AE BE CM=+答案解析1．【解析】解：①若这个角为顶角，则底角为180°－54°2＝63°，∴等腰三角形三个角的度数分别为54°，63°，63°.②若这个角为底角，则另一个底角也为54°，则顶角为180°－54°－54°＝72°，∴等腰三角形三个角的度数分别为54°，54°，72°.2．【解析】若△ABC 是以AB 为腰的等腰三角形，则满足条件的点C 有6个，如答图所示．3．【解析】∵∠B ＝50°，∠C ＝90°，∴∠BAC ＝40°.如答图，分三种情况讨论：①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝12(180°－∠BAC )＝70°；②当CD ′＝AD ′时，∠ACD ′＝∠BAC ＝40°；③当AC ＝AD ″时，∠ACD ″＝12∠BAC ＝20°.综上所述，∠ACD 的度数为70°或40°或20°.4．【解析】解：(1)若∠A 为顶角，则∠B ＝(180°－∠A )÷2＝50°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B ＝180°－2×80°＝20°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B ＝80°.故∠B ＝50°或20°或80°.(2)分两种情况：①当90≤x ＜180时，∠A 只能为顶角，∴∠B 的度数只有一个；②当0＜x ＜90时，若∠A 为顶角，则∠B ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-2180x ；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B ＝(180－2x )°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B ＝x °.当180－x 2≠180－2x 且180－2x ≠x 且180－x 2≠x ，即x ≠60时，∠B 有三个不同的度数．综上所述，当0＜x ＜90且x ≠60时，∠B 有三个不同的度数．5．【解析】解：(1)AR ＝AQ .证明如下：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵RP ⊥BC ，∴∠BPQ ＝∠CPR ＝90°，∴∠B ＋∠BQP ＝∠C ＋∠R ＝180°－90°＝90°，∴∠BQP ＝∠R .又∵∠BQP ＝∠AQR ，∴∠R ＝∠AQR ，∴AR ＝AQ .(2)猜想仍然成立，补全图形如答图所示．证明如下：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C .又∵∠ABC ＝∠PBQ ，∴∠PBQ ＝∠C .∵RP ⊥BC ，∠BPQ ＝∠CPR ＝90°，∴∠PBQ ＋∠Q ＝∠C ＋∠R ＝180°－90°＝90°，∴∠Q ＝∠R ，∴AR ＝AQ .6．【解析】解：(1)∠BDP ＝∠EPC .理由如下：∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°.又∵∠DPE ＝60°，∴∠DPE ＝∠B .∵∠DPC 是△BDP 的外角，∴∠DPE ＋∠EPC ＝∠B ＋∠BDP ，∴∠EPC ＝∠BDP .(2)∵△PDE 为等边三角形，∴PD ＝PE .在△BDP 和△CPE 中，B＝∠C，BDP＝∠CPE，＝EP，∴△BDP≌△CPE(AAS)，∴BD＝CP，BP＝CE，∴BD＋CE＝CP＋BP＝BC＝8.7．【解析】证明：(1)∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠C＋∠DAC＝180°－∠ADC＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∴∠C＝∠BAD.(2)∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠AEB.∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠FAE.∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°＝∠BAC.又∵AB＝EA，∴△ABC≌△EAF(ASA)，∴AC＝EF.8．【解析】解：∵在△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝180°－∠B2＝75°.∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝12∠BA1C＝12×75°.同理可得∠EA3A2＝221⎪⎭⎫⎝⎛×75°，∠FA4A3＝321⎪⎭⎫⎝⎛×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数为121-⎪⎭⎫⎝⎛n×75°，∴第2023个三角形中以A2023为顶点的内角度数为202221⎪⎭⎫⎝⎛×75°. 9．【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.又∵∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，＝AC，BAD＝∠CAE，＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE＝BD.∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝AB＝4，∴四边形ADCE的周长＝CE＋DC＋AD＋AE＝BD＋DC＋2AD＝4＋2AD.当AD⊥BC时，AD的值最小，此时四边形ADCE的周长取最小值．又∵AB＝AC，∴BD＝12BC＝2.10．【解析】解：(1)△DBC与△EAC全等．理由如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，＝AC，BCD＝∠ACE，＝EC，∴△DBC≌△EAC(SAS)．(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.(3)AE∥BC仍然成立．证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，＝AC，BCD＝∠ACE，＝EC，∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.11．【解析】解：(1)如图1，∵CA＝CD，∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴ADC＝∠DAC＝∠ACD＝60°.∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE，∠DCB＝∠BCE＋∠DCE，∠ACD＝∠BCE，∴∠ACE＝∠DCB.又∵CA＝CD，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴∠EAC＝∠BDC，∴∠AFB＝∠ADF＋∠FAD＝∠ADC＋∠CDB＋∠FAD＝∠ADC＋∠CAE＋∠FAD＝∠ADC＋∠DAC＝120°.如图2，∵AC＝CD，∠ACE＝∠DCB＝90°，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴∠AEC＝∠DBC.又∵∠FDE＝∠CDB，∠DCB＝90°，∴∠EFD＝90°，∴∠AFB＝90°.如图3，∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB.又∵CA＝CD，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，∴∠DFA＝∠ACD，∴∠AFB＝180°－∠DFA＝180°－∠ACD＝180°－α.(2)∠AFB＝180°－α.证明如下：∵∠ACD＝∠BCE＝α，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB.在△ACE和△DCB中，＝DC，ACE＝∠DCB，＝CB，∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴∠CBD＝∠CEA，∴∠EFB＝∠ECB＝α，∴∠AFB＝180°－∠EFB＝180°－α.12．【解析】解：(1)△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴OC＝DC，∠ODC＝∠OCD＝60°.∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°，∴∠BCO＝∠ACD＝60°－∠ACO.在△BOC和△ADC中，＝DC，BCO＝∠ACD，＝AC，∴△BOC≌△ADC(SAS)，∴∠BOC＝∠ADC.∵∠BOC＝α＝150°，∴∠ADC＝150°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°，∴△AOD是直角三角形．(2)在△AOD中，易知∠AOD＝360°－110°－α－60°＝190°－α，∠ADO＝α－60°，∴∠OAD＝180°－(190°－α)－(α－60°)＝50°.分三种情况讨论：①当AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO，即190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②当OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO，即50°＝α－60°，∴α＝110°；③当OD ＝AD 时，∠AOD ＝∠OAD ，即190°－α＝50°，∴α＝140°.综上所述，当α为125°或110°或140°时，△AOD 是等腰三角形．13．【解析】证明：延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，∵AD 是ABC ∆的中线，∴DC DB =，在ADC ∆和∆MDB 中，AD MD =，ADC MDB =∠∠，DC DB =，∴ADC MDB ∆≅∆，∴M CAD BM AC ∠=∠=，，AE EF = ，CAD AFE ∴∠=∠，MFB AFE ∠=∠ ，MFB CAD ∴∠=∠，BMF BFM ∴∠=∠，BM BF ∴=，AC BF ∴=.14．【解析】解：（1）BD CE =，∵∠BAC ＝∠DAE ＝50°，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE ，∴BD ＝CE ；（2）①解：∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD BCE∠=∠。
解等腰三角形的性质的练习题
解等腰三角形的性质的练习题1. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以点D为底边BC的中点，连接AD。
证明：△ABD≌△ACD。
解析：首先，根据等腰三角形的定义，AB=AC。
其次，由于D为BC的中点，所以BD=DC。
再根据SSS（边边边）对应的性质，我们可以得出△ABD≌△ACD。
也就是说，两个三角形的三边分别对应相等，从而可以得出两个三角形全等。
2. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的高为AH。
证明：∠HAB=∠HAC。
解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出∠A=∠B=∠C。
又因为AD为高，所以∠HAD=90°，而角HAB是等腰三角形ABC的顶角，所以角HAB也等于∠C。
综上所述，可以得出∠HAB=∠HAC。
3. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的中线DE。
证明：DE=BC/2。
解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出DE=BC/2。
这是因为DE是底边BC的中线，所以根据中线分割定理，DE等于底边BC的一半，即DE=BC/2。
4. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。
证明：△ADE≌△ABC。
解析：首先，我们需要说明如何将△ABC旋转180°得到△ADE。
根据题意，我们以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°。
旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。
根据旋转的定义，可以得出△ADE≌△ABC。
5. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。
证明：BD=DC，BE=EC。
解析：如前一题所述，旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。
由等腰三角形的定义可知，BD=DC，BE=EC。
等腰三角形的证明习题及答案
等腰三角形一、选择题 1.如图，边长为4的等边△ ABC 中，DE 为中位线，则四边形 BCED 的面积为( (A ) 2 3 ( B ) 3.、3 (C ) 4.3 ( D ) 6 3 (B) 3.、3 2.如图，"ABC 和"CDE 均为等腰直角三角形， 点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点, BC F 列结论：①tan /AEC= ②S 」ABC +S 」CDE 仝S ^ACE ;③BM 丄DM;④BM=DM.正确结论的个 CD 数是() (A ) 1 个 (B ) 2 个 (C ) 3 个 (D ) 4 个 3.如果一个等腰三角形的两边长分别是 5cm 形的周长是 A . 15cm B . 16cm C . 17cm 二、填空题 1. 边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为 ____________ . 2. 等腰三角形的周长为 14，其一边长为4,那么，它的底边为 ___________________ .3. 在等腰Rt A ABC 中，/ C=90 ° AC = 1，过点C 作直线I // AB , F 是I 上的一点，且 AB = AF , 则点F 到直线BC 的距离为 ___________.4. 已知等边厶ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△ BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B x 处，DB X,EB /分别交边 AC 于点F , 5. 如图6,在厶ABC 中，AB=AC , 贝卩AD= _____ . 和6cm ，那么此三角 D . 16cm 或 17cm G,若/ ADF=80o ，则/ EGC 的度数为 ______________ / BAC 的角平分线交BC 边于点D , AB=5 , BC=6, 6.如图(四)所示，在△ ABC 中, AB=AC , / B=50。
，则 / A=7.如图，已知△ ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG = CD , DF = DE, 则/ E= __________________ 度.三、解答题1. 如图(1), △ ABC 与厶EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE重合，AB=AC=EF=9 , / BAC= / DEF=90o，固定△ ABC，将△ DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE , DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G , H点，如图(2)(1) ____________________________________ 问：始终与△ AGC相似的三角形有及;(2)设CG=x, BH=y，求y关于x 的函数关系式(只要求根据图(2)的情形说明理由)题1图(1)(3)问：当x为何值时，△ AGH是等腰三角形.E 题1图(2)2、如图AB=AC, CD丄AB于D, BE丄AC于E, BE与CD相交于点O.(1)求证AD=AE;⑵连接OA, BC,试判断直线OA, BC的关系并说明理由.点，且CE= CA.(1) 求证：DE平分/ BDC ;(2) 若点M在DE上，且DC=DM ,求证：ME=BD .3.如图，已知点D为等腰直角△ ABC内一点，/ CAD = Z CBD = 15 °E为AD延长线上的一4.如图，在等腰三角形ABC中，/ ABC=90 ° , D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB 于E,交BC 于F，若AE=4 , FC=3，求EF 长.5.数学课上，李老师出示了如下框中的题目.在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D 在CB的延长线上，且ED=EC ,如图.试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答:（1 ）特殊情况？探索结论当点E为AB的中点时，如图1 ,确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论：AE_DB （填、”，或“=”.（2 ）特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE _______ DB （填、”，Z ”或“=）.理由如下：如图2,过点E作EF // BC,交AC于点F,（请你完成以下解答过程）（3 ）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC .若△ ABC的边长为1, AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）.等腰三角形答案一、 选择题 BDD二、 填空题 1、3v3 ------------ 2、4 或 6 3、 4、80 5、4 6、807、15三、 解答题(3) ①当/ GAH= 45°是等腰三角形•的底角时，如图BC 9 -可知x CG2。
《等腰三角形》证明题题型归类训练(十二种题型)
《等腰三角形》证明题题型归类训练(十二种题型)等腰三角形证明题题型归类训练（十二种题型）1. 等腰三角形的定义题型题目：定义等腰三角形并给出一个例子。
解析：等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
例如，三角形ABC中AB=AC，那么三角形ABC就是一个等腰三角形。
2. 根据等腰三角形的性质题型题目：已知三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，角A=40°，求角B和角C的度数。
解析：由于三角形ABC是等腰三角形，所以AB=AC。
又因为角A=40°，所以角B=角C=(180°-40°)/2=70°。
3. 等腰三角形的边长关系题型题目：在等腰三角形ABC中，AB=5cm，AC=5cm，BC=8cm，求角B和角C的度数。
解析：由于三角形ABC是等腰三角形，所以AB=AC。
又因为BC=8cm，所以角B和角C是等角，可以使用余弦定理来求解。
根据余弦定理，设角B和角C的度数为x°，则BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(x°)8² = 5² + 5² - 2 * 5 * 5 * cos(x°)64 = 50 - 50 * cos(x°)50 * cos(x°) = -14cos(x°) = -14/50x ≈ 120°所以角B和角C的度数约为120°。
4. 等腰三角形的高题型题目：在等腰三角形ABC中，AB=5cm，AC=5cm，BC=8cm，求高的长度。
解析：由于三角形ABC是等腰三角形，所以AB=AC。
又因为BC=8cm，所以角B和角C是等角，可以使用正弦定理来求解。
根据正弦定理，设等腰三角形ABC的高为h，角B和角C的度数为x°，则h/sin(x°) = BC/sin(90°)h/sin(x°) = 8/sin(90°)h/sin(x°) = 8/1h/sin(x°) = 8所以等腰三角形ABC的高的长度为8cm。
专题01 等腰三角形的性质与判定(十六大题型+跟踪训练)(原卷版)
专题01等腰三角形的性质与判定（十六大题型+跟踪训练）．．．．．在ABC 中，若AB =，则ABC 是（．不等边三角形B ．等边三角形C ．直角三角形．等腰三角形．以下列线段为边不能组成等腰三角形的是（），4，51，1，1，则周长是（）7cm 或8cm ．条件不足，无法求出A ．5cm B中，AB 15．如图，ABCA．80︒B 16．如图，在△ABC中，A．50︒B60中，17．如图，在ABCA．30︒B．18．如图，70∠=︒，AOBA．20°B．25°题型4：等边对等角的综合应用20．如图所示，在ABC 中，30A ∠=︒，80ACB ∠=︒，DE 垂直平分AC 交AB 于E ，垂足为D ，则BCE ∠=______．21．如图，直线a ∥b ，AB AC =，140 ∠=，则∠BAC 的度数是（）A ．100B ．110C ．120D ．13022．如图，在∠ECF 的边CE 上有两点A 、B ，边CF 上有一点D ，其中BC =BD =DA 且∠ECF =27°，则∠ADF 的度数为（）A ．54°B ．91°C ．81°D ．101°23．如图，在ABC 中，DE 垂直平分BC ，若6428CDE A ∠=︒∠=︒，，则ABD ∠的度数为（）A ．100︒B ．128︒C ．108︒D ．98︒70B ∠=︒，则BDF ∠等于（A ．65︒B ．26．如图，在ABC 中，AB =27．如图，,∥DE AB AE 平分∠28．如图，在ABC 中，AB （1）求证：ABD △≌△（2）若3BD =，5CD =题型6：等腰三角形的“三线合一”30．等腰三角形的“三线合一”指的是（）A ．中线，高线，角平分线互相重合B ．顶角的平分线，中线，高线三线互相重合C ．腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合D ．顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合31．如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 边上的中点，54B ∠=︒，则DAC ∠等于（）A ．36°B ．45°C ．54°D ．72°32．在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，若6BC =，则BD =（）A ．2B ．3C ．4D ．533．下列说法错误的是（）A ．等腰三角形两腰上的高相等B ．等腰三角形两腰上的中线相等C ．等腰三角形两底角的平分线相等D ．等腰三角形高、中线和角平分线重合34．已知点P 到ABC 的两边AB ，AC 所在直线的距离相等，且PB PC =，则下列命题为假命题的是（）A ．若点P 在边BC 上，则AB AC=B ．若点P 在ABC 内部，则AB AC=C ．若点P 在ABC 外部，则AB AC=D ．若AB AC =，则点P 可能在边BC 上，可能在ABC 内部，也可能在ABC 外部题型7：等腰三角形的“三线合一”有关的最值问题35．如图，在ABC 中，AB AC =，=4BC ，面积是10；AB 的垂直平分线ED 分别交AC ，AB 边于E 、D 两点，若点F 为BC 边的中点，点P 为线段ED 上一动点，则PBF △周长的最小值为（）A ．7B ．9C ．10D ．1436．如图，等腰ABC 中AB AC =，AD BC ⊥，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，点G 是线段EF 上的一动点，若ABC 的面积是26cm ，6cm BC =，则ADG △的周长最小值是（）A ．4.5cmB ．5cmC ．5.5cmD ．6cm37．如图ABC 中，5AC BC ==，6AB =，CD 为ABC 的中线，点E 、点F 分别为线段CD 、CA 上的动点，连接AE 、EF ，则AE EF +的最小值为（）A ．2.4B ．4.8C ．5D ．6题型8：等腰三角形“三线合一”的综合问题38．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边的中线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，下列结论：①DE DF =；②BE CF =；③BDE CDF ∠=∠；④BDE DAF ∠=∠．其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④39．如图，在 ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，DE AB ⊥于点E ，BF AC ⊥于点F ，5DE =cm ，则BF =（）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm40．如图，ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，且90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一条线上，CM 平分DCE ∠，连接BE ，下列结论：①AD CE =；②CM BE ∥；③2AE BE CM =+；④COE BOE S S = ，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型9：等腰三角形“三线合一”的解答证明41．如图，点D ，E 分别在BA ，AC 的延长线上，且AB AC =，AD AE =．求证：DE BC ⊥．42．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠︒=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD ∠的度数．43．如图，在ABC 中，2AC AB =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，E 是AD 上一点，且EA EC =．求证：EB AB ⊥．题型10：等角对等边证明等腰三角形44．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，=5AB ，=6BC ，则=BD （）A ．3B ．4C ．5D ．645．已知一个三角形中两个内角分别是50︒和80︒，则这个三角形一定是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．不能确定46．ABC 的三边分别是a ，b ，c ，不能判定是等腰三角形的是（）A ．::2:2:3ABC ∠∠∠=B ．::2:2:3a b c =C ．50B ∠=︒，80C ∠=︒D ．2A B C∠=∠+∠47．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，2C CDB ∠=∠，12AB ＝，3CD =，则ABC 的周长为（）A ．2B ．24C ．27D ．3题型11：等角对等边证明等腰三角形的解答证明48．已知：如图，在ABC 中，点D 在CA 边的延长线上，AE 平分DAB ∠，AE BC ∥．求证：ABC 为等腰三角形．49．如图，在ABD △和ACD 中，AB AC =，BD CD =．(1)求证：ABD ACD △≌△；(2)过点D 作∥DE AC 交AB 于点E ，求证：AED △是等腰三角形．50．已知ABC 中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，且2B C ∠=∠．(1)如图1，求证：AB BD AC +=；(2)如图2，延长CB 至点E ，使BE AB =，连接AE ，若36C ∠=︒，直接写出图中所有的等腰三角形（ABC 和ADE V 除外）．题型12：等角对等边证明边长相等、求边长51．如图，已知12∠=∠，B C ∠=∠，不正确的等式是（）A ．AB AC =B ．BAE CAD ∠=∠C ．BE DC =D ．BD DE=52．如图，ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，过点D 作DE BC ∥交AB 于点E ，若12AB =，7DE =，则AE 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．853．如图，点P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，点Q 是OA 上一点，且PQ OB ∥，若2PQ =，则线段OQ 的长是（）A ．1.8B ．2.5C ．3D ．254．如图，在ABC 中，BE 平分ABC ∠，DE BC ∥．若8DE =，5AD =，则AB 的长为（）A ．13B ．12C ．10D ．955．如图，在ABC 中，45AB AC ==，，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥分别交AB AC ，于M ，N ，则AMN 的周长为（）A ．8B ．9C ．10D ．不确定56．如图，ABC DEF ≌△△，点E 在AC 上，B ，F ，C ，D 四点在同一条直线上．若40,35A CED ∠=︒∠=︒，则下列结论正确的是（）A ．,EF EC AB FC ==B ．,EF EC AE FC≠=C ．,EF EC AE FC =≠D ．,EF EC AE FC≠≠57．如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．(1)若37B ∠=︒，求CAD ∠的度数；(2)若点E 在边AC 上，EF AB ∥交AD 的延长线于点F ．求证：AE FE =．58．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ，点G 在边BC 上，且GDF ADF ∠=∠．连接EG ，判断EG 与DF 的位置关系，并说明理由．题型13：直线上与已知两点组成等腰三角形的点59．如图，ABC ，点P 为直线AC 上的一个动点，若使得ABP 是等腰三角形．则符合条件的点P 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个60．如图，线段AB 的一个端点B 在直线m 上，直线m 上存在点C ，使ABC 为等腰三角形，这样的点C 有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个61．如图，直线a b ，相交于点O ，150∠=︒，点A 在直线a 上，直线b 上存在点B ，使以点O A B 、、为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B 点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型14：等腰三角形有关的尺规作图62．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法，认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（）①已知等腰三角形的底边和底边上的高；②已知等腰三角形的底边和腰；③已知等腰三角形的底边和一底角．A ．①②③B ．②①③C ．③①②D ．②③①63．如图（1），锐角ABC 中，AB BC AC >>，要用尺规作图的方法在AB 边上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（）A ．甲、乙、丙都正确B ．甲、丙正确，乙错误C ．甲、乙正确，丙错误D ．只有甲正确64．已知锐角40AOB ∠=︒，如图，按下列步骤作图：①在OA 边取一点D ，以O 为圆心，OD 长为半径画 MN ，交OB 于点C ．②以D 为圆心，DO 长为半径画 GH， GH 与OB 交于点E ，连接DC 并延长，使DC 的延长线交 GH于点P ，连接DE ，则POC ∠的度数为__________．题型15：格点中画等腰三角形（网格问题）65．由24个边长为1的小正方形组成的64⨯的网格中，线段AB 的两个端点都在格点（小正方形的顶点）上．请在所给的网格中各画一个△ABC ，使得△ABC 是轴对称图形，并画出其对称轴．（画出两种情况即可，全等图形视为一种情况）66．图1，图2均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A ，B ，C 均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M ，按下列要求作图：(1)在图1中，连接MA ，MB ，使MA MB =；(2)在图2中，连接MA ，MB ，MC ，使MA MB MC ==．67．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB 和线段DE ，点A 、B 、D 、E 均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画出以AB 为底的等腰ABC (2)在方格纸中画出以DE 为一边的等腰DEF 直接写出DC 的长度．题型16：等腰三角形的性质和判定综合题68．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB 90EDF ∠=︒，下列结论：①BED AFD △≌△积，则1211142S S S ≤≤；④EF AD =；所有正确的结论是（A ．①③B ．①③④69．如图，在Rt ABC 中，90CAB ∠=︒，AB 于点F ，且AE AF ⊥，AH BF ⊥，下列说法：A FCB S BF AH =⋅四边形⑤．正确的有（）个A ．2B ．370．在Rt ABC △中，AC BC =，点D 为AB 中点，BC 交于E ，F 两点．下列结论：①AE BF +=④2222AE CE DF +=．其中正确的是（A ．①②③④B ．①②③C ．①④D ．②③71．在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在射线BC 上（不与B ，C 重合），连接AD ，过点B 作BF AD ⊥，垂足为F ．(1)如图1，点D 在线段BC 上，若AF 恰好平分CAB ∠，求证：AB AC CD =+．(2)如图2，点D 在线段BC 上，点M 是直线BF 上的一点，且AF 平分MAC ∠，探究AC 、CD 、AM 之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，若点D 在线段BC 的延长线上()CD BC <，点M 是直线BF 上的一点，且AF 平分MAC ∠，4AM =，8BD =，求CD 的长度．一、单选题1．等腰三角形的三边均为整数，且周长为13，则底边是()A ．1或3B ．3或5C ．1或5D ．1或3或52．如图，ABC 中，AC AD BD ==，80CAD ︒∠=，则B ∠等于（）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒3．在等腰△ABC 中，AB=AC ，其周长为16cm ，则AB 边的取值范围是（）A ．1cm ＜AB ＜4cm B ．3cm ＜AB ＜6cmC ．4cm ＜AB ＜8cmD ．5cm ＜AB ＜10cm4．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，点,D E 都在边BC 上，且BD CE =，若3AD =，则AE 的长为（）A ．90αβ+=︒B 6．如图，在ABC 中，心，大于12AD 长为半径作弧，两弧交于点（）A ．10︒B 7．如图，ABC 中，CAB ∠（）A ．75︒B 8．如图，在ABC 中，定ADE V 是等腰三角形的是（A ．122∠=∠B ．1∠+A ．7B ．810．如图，在等腰ABC 中，BE ，若8BC =，则BCE 的面积为（A ．16B ．2411．如图，AOB ∠是一角度为且OE EF FG GH ===…，在A ．4根B ．5根12．在ABC 中，45ACB ∠=︒，过C 交于点F ，过点E 作EH CD ⊥分别交的中点，连接EQ ．下面结论：①ABE 2GQPAHP S CQ S PH =△△．其中正确的是（A ．①②③④B ．①②③⑤二、填空题13．用一条长为20cm 的细绳围成一个边长为20．如图，在ABC 中，点F 是高21．如图，在ABC 中，BAC ∠22．已知()0,2A 、()4,0B ，点C 在x 轴上，若23．如图，在ABC 中，B ∠与C ∠的平分线交于点若5AB =，4AC =，则ADE V 的周长是24．如图，AD 和CD 分别为ABC 的两个外角的平分线，E 和F 给出以下结论：①ED DF =；②确的是．三、解答题25．如图，已知A B ∠=∠，AD BC =，AC 和BD 相交于点E ．求证：BDC ACD ∠=∠．26．如图，在ABC 中，AB AC =，CE 平分ACB ∠，EC EA =．(1)求A ∠的度数；(2)若BD AC ⊥，垂足为D ，BD 交EC 于点F ，求1∠的度数．27．在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，(1)如图1，A ，B ，C 是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB 与BC 的关系，并说明理由；(2)如图2，连接三格和两格的对角线，求αβ∠+∠的度数．28．如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△．若点B 的对应点B '恰好落在BC 上，84,BAB AB B C '''∠=︒=，(1)求C ∠的度数；(2)求BAC ∠的度数．29．如图，已知在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ．过点C 作CE AB ∥，连接ED 并延长交AB 于点F ，65BCE ∠=︒．(1)求CAD ∠的大小；(2)求证：CDE BDF △△≌；(3)直接写出线段AC ，AF ，CE 之间的数量关系______．30．如图，在AOB 中，90AOB ∠=︒，OA OB =，C 是AB 边上一点(点C 与A ，B 不重合)，连结OC ，将线段OC 绕点O 按逆时针方向旋转90︒得到线段OD ，连结CD 交OB 于点E ，连结BD ．(1)求证：AOC BOD ≌ ．(2)当BE AC =时，求BDE ∠的度数．31．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，4cm AC BC ==，点D 是斜边AB 的中点．点E 从点B 出发以1cm /s 的速度向点C 运动，点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动，规定当点E 到终点C 停止运动，设运动的时间为x 秒，连接DE 、DF ．(1)求ABC 的面积；(2)当1x =且点F 运动的速度也是1cm /s 时，求证：DE DF =；(3)若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动，在点E 、点F 运动过程中，如果存在某个时间x ，使得ADF 的面积是BDE 面积的两倍，请你求出时间x 的值．32．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D E ，是平面内两点，135ADC ∠=︒(1)如图1，若AD BE =，20∠=∠=︒ABE BCD ，求BAE ∠的大小；(2)如图2，若BD CE =，180AEC ADB ∠+∠=︒，BF CD ∥交AD 延长线于F ，求证：+=AD AE DF ；(3)如图3，若BD CE =，180AEC ADB ∠+∠=︒，3CD =，直接写出CED △的面积．。
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初二数学《等腰三角形》练习题
1、如图，AB=AC，BD=CD，AD=AE，∠BAD=26°，则∠AED=_______________
2、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=___________
3、如图，点D是△ABC的边BC上一点，且AB=AC，AD=AE，∠BAD=30°，则∠EDC=__________
4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DC=BC，求∠A的度数。
5、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB于点F．请找出一组相等的线段（AB=AC除外）并加以证明。
6、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数．
7、如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，且BD=BE，∠A=100°，试求∠DEC的度数。
8、已知，如图△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC。
9、如图，D是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线交点，过D作与BC平行的直线，分别交AB、AC于E、F，求证：EB+FC=EF。
10、如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE。
《等边三角形》练习题
1、已知，等边三角形ABC，D是AB上一点，DE⊥BC，垂足为E，EF⊥AC，垂足为F，FD⊥AB．求证：△DEF 为等边三角形的理由。
2、已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形。
3、如图，A、B、C三点在同一直线上，△ABM和△BCN是正三角形，P是AN中点，Q是CM中点．求证：△BPQ是正三角形。
4、如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE．求证：EC=ED。
1．先化简，再求值：（﹣）•，其中x=﹣3．
2、（1）解方程：=；（2）解不等式组：．
3．解方程．
4．列方程或方程组解应用题：
近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？
5．宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵
（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
6．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？。