八年级数学三角形中位线培优专题训练

八年级数学三角形中位线培优专题训练

一、内容提要

1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，

确定线段的和、差、倍关系。

3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理

及推论，

①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半

②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。 二、例题

例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中

点。求证：PM ＝PN

证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F

∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形

∴AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ，

根据三角形中位线性质 PE ＝

21AC ＝NF ，PF ＝2

1

AB ＝ME P

PE ∥AC ，PF ∥AB ∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN

∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN

例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。求MN 的长。

分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点， 则可运用中位线的性质求MN 的长，

根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。

辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略

例3.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点 求证：MN ∥AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN MP ∥AB ，MP ＝

21AB ，NP ∥AC ，NP ＝2

1

AC ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP

∴∠3=∠4=2

MPN

-180∠

∠MPN ＋∠BAC ＝180

（两边分平行的两个角相等或互补）

∴∠1=∠2=2

MPN

-180∠ ， ∠2=∠3

∴NP ∥AC ∴MN ∥AD

证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG

则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE

∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG ∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180

N C

∠CAD ＝

21

（180 －∠FCG ） ∠CFG ＝2

1

（180 －∠FCG ）=∠CAD

∴ MN ∥AD 例4. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC 于F ，GE ⊥CE 交CB 的

延长线于G

求证：FD ＝

4

1

CG

证明要点是：延长GE 交AC 于H ， 可证E 是GH 的中点

过点E 作EM ∥GC 交HC 于M ，

则M 是HC 的中点，EM ∥GC ，EM ＝21

GC 由矩形EFDO 可得FD ＝EO ＝21EM ＝4

1

GC

三、练习

1. 如图11，M 、P 分别为△ABC 的AB 、AC 上 的点，且AM=BM ，AP=2CP ，BP 与CM 相交于N ，已知PN=1，则PB 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 5

2. 如图12，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB=10，则MD 的长为 ( ) A. 10 B. 8 C .6 D. 5

3. 如图13，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，P 为不同于B 、E 、

C 的BC 上的任意一点，△DPH 为等边三角形.连接FH ，则EP 与FH 的大小关系是 ( )

A. E P>FH

B. EP=FH

C. EP

D.不确定

4. 如图14，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，DE ∥AC ，交AB 于E ,若AB=5，则DE 的长为 .

5. 如图15，△ABC 中，AB=4，AC=7，M 为BC 的中点，AD 平分∠BAC ，过M 作MF ∥AD ，交AC 于F ，则FC 的长等于 .

6. 如图25，P 为△ABC 内一点，∠PAC=∠PBC ，PM ⊥AC 于M ，PN ⊥BC 于是AB 的中点. 求证：DM=DN

7. 如图16，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.

求证：AP=AQ

8. 如图17，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M.

求证：MN∥BC.

9. 如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M.

求证：AB+AC=2AM

10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=、CD的延长线交HG的延长

线于E、F.

求证：∠BEH=∠CFH.

顶级超强练

1. 如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的