Floyd算法
Floyd算法(各对顶点之间的最短距离)
Floyd算法（各对顶点之间的最短距离）Floyd算法（各对顶点之间的最短距离）在上篇文章中议论到了如何求算单源最短路径，因此要想求各对顶点之间的距离，只需循环求算n次即可。
还有另外一种办法来求算各对顶点之间的最短距离，就是Floyd算法，因为其算法过程比Dijksa更简单理解，并且代码更简洁，因此当求算各对顶点之间的最短距离常采纳Floyd算法。
一.Floyd算法假设从i到j的最短路径上要经过若干个顶点，这些中间顶点中最大的顶点编号为k，最小的顶点为t，因此要求算dist[i][j]的最小值，那么只需要求算dist[i][s]+dist[s][j](t =s =k)的全部值，并取其中最小者即可。
因此可以设置一个中间顶点k(0 =k n)分离插入到每队顶点(i,j)之中，并更新dist[i][j]的值。
当n个顶点插入到每队顶点之中，求解便结束了。
其实Floyd算法实质上是一个动态规划算法。
代码实现: /*每对顶点之间最短路径Floyd 2011.8.27*/ iludeiostream include stack define M 100define N 100using namespace std;typef struct node{ int matrix[N][M]; //邻接矩阵 int n; //顶点数 int e; //边数 }MGraph; vo FloydPath(MGraph g,intdist[N][M],int path[N][M]){ int i,j,k; for(i=0;i g.n;i++)for(j=0;j g.n;j++) { if(g.matrix[i][j] 0){ dist[i][j]=g.matrix[i][j]; path[i][j]=i; } ee { if(i!=j) { dist[i][j]=INT_MAX; path[i][j]=-1; } else { dist[i][j]=0; path[i][j]=i; } } } for(k=0;k g.n;k++) //中间插入点(注重理解k为什么只能在最外层) for(i=0;i g.n;i++) for(j=0;jg.n;j++) { if((dist[i][k] 0 dist[i][k] INT_MAX) //防止加法溢出 (dist[k][j] 0 dist[k][j] INT_MAX) dist[i][k]+dist[k][j] dist[i][j]) { dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];path[i][j]=path[k][j]; //path[i][j]记录从i到j的最短路径上j 的前一个顶点 } } }void showPath(int path[N][M],int s,int t) //打印出最短路径 { stack int st; int v=t; while(t!=s) { st.push(t);第1页共2页。
Floyd算法
Floyd算法Floyd算法是一种经典的图论算法，用于求解带权有向图中任意两个顶点之间的最短路径问题。
该算法由美国数学家罗伯特·弗洛伊德（Robert Floyd）于1962年提出，因此得名为Floyd算法。
Floyd算法是一种动态规划算法，它采用了“分治”的思想，将问题分解为更小的子问题，然后逐步解决子问题，最终得到解决整个问题的结果。
本文将从算法的背景、基本思想、实现方法及优缺点等方面对Floyd 算法进行详细阐述和分析。
一、算法的背景在讲Floyd算法之前，我们先来了解一下最短路径问题。
顾名思义，最短路径问题就是在给定图中找到两个给定节点之间的一条最短路径，也就是路径上各边权值之和最小的路径。
这个问题在现实生活中有很多应用，比如网络路由、地图路径规划、航线安排等等。
在数学和计算机科学领域中，我们可以通过图论的方法来描述和解决这个问题。
一般来说，给定一张带权有向图G=(V, E)，其中V表示节点的集合，E表示边的集合。
每条边E(i,j)的权重为w(i,j)，表示从节点i到节点j的距离或成本。
那么最短路径问题就是在图中找到从节点s到节点t的一条最短路径P，并且P上的边权之和最小。
最初求解的思路是按照类似深度优先搜索的方式，逐个遍历所有路径，然后依次比较它们的距离，找到最短路径。
但这种方式显然是不可行的，因为它的时间复杂度非常高。
所以，我们需要设计一种更高效的算法，以求得最短路径问题的最优解。
二、算法的基本思想Floyd算法就是一种高效地解决最短路径问题的方法。
它采用了“动态规划”的思想，通过逐步求解子问题，最终得到完整的最短路径。
而解决子问题的方式则是采用了“分治”的思想，将问题分解为更小的子问题，然后逐步解决。
具体地说，Floyd算法采用了“中转节点”的概念，我们可以将问题转化为这样一个子问题：对于每个节点i和节点j，假设我们已经知道了它们之间的最短路径长度为d[i][j]，那么考虑一下节点k作为中转节点，它可以为i和j之间的路径P提供一个“中转服务”，将P拆分为两条路径：i-->k和k-->j。
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法一、佛洛伊德算法简介佛洛伊德算法（Floyd Algorithm），又称弗洛伊德算法，是一种用于寻找加权图中所有顶点之间最短路径的算法。
该算法由英国计算机科学家David Floyd于1967年提出，主要用于解决带权有向图和带权无向图中的最短路径问题。
二、佛洛伊德算法与最短路径算法的关系佛洛伊德算法与最短路径算法密切相关，但它不同于Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
后两种算法主要用于求解单源最短路径，而佛洛伊德算法可以同时求解图中所有顶点之间的最短路径。
三、佛洛伊德算法的基本原理1.假设图中所有顶点已按照某种顺序编号，边的权值均为非负数。
2.初始化一个距离矩阵，将矩阵中所有元素设为无穷大（表示尚未确定最短路径）。
3.对于每个顶点k，遍历图中的所有顶点i和j，尝试将顶点k作为其他两点之间的中间点，更新距离矩阵中的距离值。
4.重复步骤3，直到所有顶点之间的最短路径都被求解出来。
四、佛洛伊德算法的应用场景1.带权有向图和带权无向图的最短路径问题。
2.网络路由规划：在计算机网络中，用于寻找最优路径，提高数据传输效率。
3.物流配送：在物流领域，用于优化配送路线，降低运输成本。
五、佛洛伊德算法的优缺点优点：1.可以同时求解图中所有顶点之间的最短路径。
2.算法稳定性较好，适用于大规模图计算。
缺点：1.计算复杂度高，时间复杂度为O(nm)，其中n为顶点数，m为边数。
2.空间复杂度较高，需要存储整个距离矩阵。
六、佛洛伊德算法在现实生活中的应用案例1.地图导航：利用佛洛伊德算法计算出行路线，为用户提供最优路径。
2.物流配送：通过佛洛伊德算法优化配送路线，提高物流效率。
简介Floyd算法
简介Floyd 算法⽬录1. 定义Floyd 算法是⼀种⽤于寻找给定的加权图中顶点间最短路径，是经典的多源最短路径算法，可以有效地处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被⽤于计算有向图的传递闭包。
Floyd 算法的时间复杂度为 O (N 3)，空间复杂度为 O (N 2)。
2. 优缺点优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。
缺点：时间复杂度⽐较⾼，不是和计算⼤量数据。
3. 基本思想Floyd 算法属于动态规划算法，即寻找节点 i 到节点 j 的最短路径。
Step 1: 初始距离定义 n 节点⽹络的邻接矩阵 A n ×n ，矩阵中的元素为 a i ,j 为节点 i 到节点 j 的⼀步的直线距离。
令 A (0)=A ，其初始元素为 a (0)i ,j 则该距离有如下三种情况：a (0)i ,j =c i ,j , i ,j 相连0, i =j∞, i ,j 不相连其中，节点 i , j 之间有直线连接时，则 a (0)i ,j 为其距离值 c i ,j ；节点 i 到⾃⾝的距离为 0；节点 i , j 之间没有直线连接时，则 a (0)i ,j 则为 ∞，如下图：则该初始邻接矩阵 A 为：即节点0与节点0⾃⾝距离值为0，即 A [0][0]=0；节点0与节点1之间有直线连接，距离值为5，即 A [0][1]=5；节点0与节点2之间没有直线连接，则距离值为 ∞，即 A [0][2]=∞；节点0与节点3之间有直线连接，距离值为7，即 A [0][3]=7 ……其他节点间的初始距离可依次写出，即为该邻接矩阵 A 。
Step 2: 借中转节点迭代找最短路径节点 i , j 间⼀步达不到时，则需要在两节点之间通过其他节点（如节点 k ）作连接：在 A 矩阵上做 n 次迭代，k =1,⋯,n ，第 k 次迭代a k i ,j =min (a k −1i ,j ,a k −1i ,k +a k −1k ,j )即在节点 i 和节点 j 之间找到⼀条最短距离的路径，如下图：图中的节点 i 到节点 j 之间的直线距离 (i →j ) 为 6，但经过节点 k 作中转后，节点 i 到节点 j 之间的直线距离 (i →k →j ) 为 2+3=5，因此 a k i ,j =min (6,5)=5。
Floyd算法简介
Floyd算法简介⼀.Floyd算法的介绍1.算法的特点：弗洛伊德算法是解决任意两点间的最短路径的⼀种算法，可以正确处理⽆向图或有向图或负权（仅适合权值⾮负的图)的最短路径问题，同时也被⽤于计算有向图的传递闭包。
2.算法的思路： 通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引⼊两个矩阵，矩阵S中的元素a[i][j]表⽰顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。
矩阵P（记录最短路的路径需要，若题⽬不需要求路径则不需要P数组）中的元素b[i][j]，表⽰顶点i到顶点j经过了顶点b[i][j]。
假设图G中顶点个数为N，则需要对矩阵D和矩阵P进⾏N次更新。
初始时，矩阵D中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞，矩阵P的值为顶点b[i][j]的j的值。
接下来开始，对矩阵D进⾏N次更新。
第1次更新时，如果”a[i][j]的距离” > “a[i][0]+a[0] [j]”(a[i][0]+a[0][j]表⽰”i与j之间经过第1个顶点的距离”)，则更新a[i][j]为”a[i][0]+a[0][j]”,更新b[i][j]=b[i][0]。
同理，第k次更新时，如果”a[i][j]的距离” > “a[i][k-1]+a[k-1][j]”，则更新a[i][j]为”a[i][k-1]+a[k-1][j]”,b[i][j]=b[i][k-1]。
实质上是背包DP问题，最外层循环是k，表⽰利⽤前k个作为中间计算a[i][j]的最⼩值，本来需要三位数组a[k][i][j]，因为第k次循环只会⽤到a[k-1][i][j]，所以利⽤滚动数组，使⽤⼆维数组即可。
更新N次之后，操作完成！时间复杂度为O(N^3)，空间复杂度为O(N^2)。
核⼼代码：1for(k=0;k<n;k++)2for(i=0;i<n;i++)3for(j=0;j<n;j++)4if(a[i][j]>a[i][k]+a[k][j])5 a[i][j]=a[i][k]+a[k][j],b[i][j]=b[i][k]; 只有5⾏！现在你会发现这个看起来很⾼⼤上的算法很简单了，算是最短路的4个算法⾥最暴⼒的了！ 3.实例： 题意：有n种动物，m种直接转换的咒语，且转换具有传递性，求从哪⼀种动物到另⼀种的动物的最长咒语的最⼩值，若不能转换到所有动物，则输出0. 思路：Floyd算法的裸应⽤，将动物抽象为点，咒语长度抽象为边的权值，代码如下：#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int inf=0x3f3f3f3f;int n,m,a,b,c;int mp[105][105];int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)if(i!=j) mp[i][j]=inf;while(m--){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);mp[a][b]=c;mp[b][a]=c;}for(int k=1;k<=n;++k)for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)if(mp[i][j]>mp[i][k]+mp[k][j])mp[i][j]=mp[i][k]+mp[k][j];int maxi,minv=0,res=inf;for(int i=1;i<=n;++i){maxi=0;for(int j=1;j<=n;++j)if(mp[i][j]>maxi)maxi=mp[i][j];if(maxi<res)res=maxi,minv=i;}if(minv)printf("%d %d\n",minv,res);elseprintf("0\n");return0;}。
floyd算法
Floyd算法正如我们所知道的，Floyd算法用于求最短路径。
Floyd算法可以说是Warshall算法的扩展，三个for循环就可以解决问题，所以它的时间复杂度为O(n^3)。
Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A 经过若干个节点X到B。
所以，我们假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点X，我们检查Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)是否成立，如果成立，证明从A到X再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置Dis(AB) = Dis(AX) + Dis(XB)，这样一来，当我们遍历完所有节点X，Dis(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。
很简单吧，代码看起来可能像下面这样：?但是这里我们要注意循环的嵌套顺序，如果把检查所有节点X放在最内层，那么结果将是不正确的，为什么呢？因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了，而当后面存在更短的路径时，已经不再会更新了。
让我们来看一个例子，看下图：图中红色的数字代表边的权重。
如果我们在最内层检查所有节点X，那么对于A->B，我们只能发现一条路径，就是A->B，路径距离为9。
而这显然是不正确的，真实的最短路径是A->D->C->B，路径距离为6。
造成错误的原因就是我们把检查所有节点X放在最内层，造成过早的把A到B的最短路径确定下来了，当确定A->B的最短路径时Dis(AC)尚未被计算。
所以，我们需要改写循环顺序，如下：?这样一来，对于每一个节点X，我们都会把所有的i到j处理完毕后才继续检查下一个节点。
那么接下来的问题就是，我们如何找出最短路径呢？这里需要借助一个辅助数组Path，它是这样使用的：Path(AB)的值如果为P，则表示A节点到B节点的最短路径是A->...->P->B。
弗洛伊德（Floyd）算法
弗洛伊德（Floyd）算法最短路径问题：从某个顶点出发到达另外⼀个顶点的所经过的边的权重和最⼩的⼀条路径弗洛伊德算法解决最短路径问题1.基本思想（1）计算图中各个顶点之间的最短路径，每⼀个顶点都是出发访问点，所以需要将每⼀个顶点看做被访问顶点，求出从每⼀个顶点到其他顶点的最短路径（2）所有顶点都作为中间节点遍历⼀次，每次遍历将各个顶点经过中间节点到另⼀个节点的距离，与不经过该节点的距离相⽐较，若经过中间节点的距离更⼩，就更新距离表与前驱关系（3）时间复杂度O(n3)，所有顶点作为出发点、中间节点、终点，每个顶点都要遍历3次2.步骤（1）设置顶点 a 到顶点 b 的最短路径已知为 L ab，顶点 b 到 c 的最短路径已知为 L bc，顶点 a 到 c 的路径为 L ac，则 a 到 c 的最短路径为：min ( ( L ab + L bc ), L ac )，b 的取值为图中所有顶点，则可获得 a 到 b 的最短路径（2）⾄于 a 到 b 的最短路径 L ab或者 b 到 c 的最短路径 L bc，是以同样的⽅式获得（3）三个点为同⼀顶点时：中间顶点为⾃⾝；三个点是不同顶点时：中间顶点是终点的前驱节点；两个顶点直接连通时：中间节点为出发点代码实现import java.util.Arrays;public class Floyd {//弗洛伊德算法解决最短路径问题public static final int BLOCK = 65535;//表⽰顶点之间不直接连通public static void main(String[] args) {char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//顶点到⾃⾝距离为0int[][] matrix = {{0, 5, 7, BLOCK, BLOCK, BLOCK, 2},{5, 0, BLOCK, 9, BLOCK, BLOCK, 3},{7, BLOCK, 0, BLOCK, 8, BLOCK, BLOCK},{BLOCK, 9, BLOCK, 0, BLOCK, 4, BLOCK},{BLOCK, BLOCK, 8, BLOCK, 0, 5, 4},{BLOCK, BLOCK, BLOCK, 4, 5, 0, 6},{2, 3, BLOCK, BLOCK, 4, 6, 0}};Graph graph = new Graph(matrix, vertex);graph.floyd();graph.result();}}//带权⽆向图class Graph {public char[] vertex;//存放顶点public int[][] matrix;//保存各个顶点到其它顶点的距离，初始为直接连接的距离，算法计算后为最短距离public int[][] relay;//保存中间结点//构造器public Graph(int[][] matrix, char[] vertex) {this.vertex = vertex;this.matrix = matrix;this.relay = new int[vertex.length][vertex.length];//三个点为同⼀顶点时：中间顶点为⾃⾝；三个点是不同顶点时：中间顶点是终点的前驱节点；两个顶点直接连通时：中间节点为出发点for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {Arrays.fill(relay[i], i);//初始中间顶点为⾃⾝}}//显⽰算法结果public void result() {for (int k = 0; k < vertex.length; k++) {for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {System.out.println(vertex[k] + " 到 " + vertex[i] +" 最短路径 " + matrix[k][i] +" 中间结点 " + vertex[relay[k][i]]);}System.out.println();}}//弗洛伊德算法public void floyd() {int temp;//保存i到j的距离for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {//出发点ifor (int j = 0; j < matrix.length; j++) {//中间顶点jfor (int k = 0; k < matrix.length; k++) {//终点ktemp = matrix[i][j] + matrix[j][k];//求从i出发，经过k，到达j的距离 if (temp < matrix[i][k]) {matrix[i][k] = temp;//更新距离relay[i][k] = relay[j][k];//更新中间顶点}}}}}}。
Floyd算法详解
Floyd算法详解Floyd-WarshallFloyd算法，是⼀种著名的多源最短路算法。
核⼼思想：⽤邻接矩阵存储图，核⼼代码为三重循环，第⼀层枚举中间点k，⼆三层分别枚举起始点i与⽬标点j。
然后判断经过中间点k后，i与j间的路程是否会减⼩。
如果是，就更新i，j之间的最短路。
for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];需要注意的是，为了保证更新成功，需要将e数组初始化为⽆穷⼤。
同时为了防⽌程序做⽆意义的到⾃⼰的最短路，将每个节点到本⾝的距离初始化为0。
算法复杂度：该算法的空间复杂度为n^2(不算优秀，但勉强接受),时间复杂度O(n^3)（呵呵）。
完整代码：#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>using namespace std;const int inf=99999999;int n,m,x,y,z,s;int dis[1001][1001];int main(){scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=j) dis[i][j]=inf;else dis[i][j]=0;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);dis[x][y]=dis[y][x]=z;}for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j])dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",dis[s][i]);return0;}算法优化：for(int k = 1; k <= n; k++)for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= i; j++)dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k]+dis[k][j]),dis[j][i] = dis[i][j];这⾥利⽤了矩阵的对称性，只更新⼀半矩阵即可。
floyd算法原理
floyd算法原理Floyd算法原理。
Floyd算法，又称为插点法，是一种用于寻找图中所有点对之间最短路径的算法。
它的提出者是罗伯特·弗洛伊德（Robert W. Floyd），于1962年发表在《计算机杂志》上。
Floyd算法的时间复杂度为O(n^3)，适用于有向图或无向图，可以处理有负权边但不能处理有负权回路的情况。
Floyd算法的原理非常简单，其核心思想是动态规划。
它通过遍历所有顶点，以每个顶点作为中间节点，更新任意两点之间的最短路径。
具体来说，Floyd算法通过一个二维数组来记录任意两点之间的最短路径长度，然后通过不断更新这个数组来求解最短路径。
假设有一个图G，其中顶点集合为V，边集合为E，顶点个数为n。
我们可以用一个n×n的矩阵D来表示任意两点之间的最短路径长度，其中D[i][j]表示顶点i到顶点j的最短路径长度。
初始时，我们可以将D的值初始化为图G中各条边的权值，若i到j有边，则D[i][j]为边的权值，否则为无穷大。
接下来，我们开始进行动态规划的更新过程。
对于任意的顶点k，我们遍历所有的顶点对i和j，如果D[i][k] + D[k][j] <D[i][j]，则更新D[i][j]为D[i][k] + D[k][j]。
这样，经过n次遍历之后，我们就可以得到任意两点之间的最短路径长度了。
Floyd算法的伪代码如下：```python。
for k in range(n):for i in range(n):for j in range(n):if D[i][k] + D[k][j] < D[i][j]:D[i][j] = D[i][k] + D[k][j]```。
在实际应用中，Floyd算法可以用于解决许多实际问题，比如路由算法、网络传输等。
它的时间复杂度虽然较高，但对于小规模的图来说，其性能表现仍然是可接受的。
另外，Floyd算法还可以用于检测图中是否存在负权回路，如果经过Floyd算法的更新过程后，仍然存在D[i][i] < 0的情况，则说明图中存在负权回路。
floyd判圈法
floyd判圈法【原创实用版】目录1.Floyd 判圈法的概念和背景2.Floyd 判圈法的基本原理3.Floyd 判圈法的应用实例4.Floyd 判圈法的优缺点正文【1.Floyd 判圈法的概念和背景】Floyd 判圈法是一种用于检测一个整数是否在一个给定的循环图中的算法，也被称为 Floyd 算法。
该算法由美国计算机科学家 Robert C.Floyd 于 1977 年提出，是一种基于图论的算法，用于解决在计算机网络和数据结构中的许多问题。
【2.Floyd 判圈法的基本原理】Floyd 判圈法的基本原理是，如果一个整数 n 在一个循环图中，则存在一条路径，使得该路径上的所有整数都是 n 的倍数。
因此，Floyd 判圈法通过寻找这样的路径来检测整数是否在循环图中。
具体而言，Floyd 判圈法从一个起点开始，沿着循环图的路径不断向前移动，直到回到起点。
在这个过程中，如果遇到一个节点 n，则将 n 的倍数加入到路径中，直到无法再加入为止。
如果最终回到了起点，则说明整数 n 在循环图中;否则，说明整数 n 不在循环图中。
【3.Floyd 判圈法的应用实例】Floyd 判圈法在计算机科学和数据结构中有广泛的应用，其中最常见的应用是用于检测一个整数是否在一个循环图中。
例如，在计算机网络中，Floyd 判圈法可以用于检测一个数据包是否在一个循环路由中，从而避免出现死循环。
Floyd 判圈法还可以用于检测一个整数是否是一个循环序列的一部分。
例如，在计算机科学中，循环序列是指一个序列，其中的元素按照一定的规律重复出现。
Floyd 判圈法可以用于检测一个给定的整数是否是循环序列的一部分，从而判断该整数是否满足一定的条件。
【4.Floyd 判圈法的优缺点】Floyd 判圈法的优点是简单易懂，实现起来比较容易，并且可以在较短的时间内检测出一个整数是否在一个循环图中。
然而，Floyd 判圈法也存在一些缺点。
例如，如果循环图中存在多个节点，则 Floyd 判圈法需要遍历整个循环图，因此时间复杂度较高。
弗洛伊德算法实用技巧
弗洛伊德算法实用技巧弗洛伊德算法（Floyd's Algorithm），又称为最短路径算法，是一种用于求解图中各顶点之间最短路径的算法。
它以其简洁高效的特点而被广泛应用于图论和网络优化领域。
本文将介绍弗洛伊德算法的原理及其在实际问题中的应用技巧。
一、弗洛伊德算法原理弗洛伊德算法的核心思想是采用动态规划的方法，通过逐步更新每一对顶点之间的最短路径长度，直到得到所有顶点之间的最短路径。
具体步骤如下：1. 初始化最短路径矩阵：以邻接矩阵的形式表示图的边权重，初始化一个大小为n×n的矩阵D，其中n为顶点个数。
若顶点i和顶点j之间存在边，则D[i][j]的值为边的权重；若不存在边，则D[i][j]的值为一个较大的数（如∞）。
2. 进行顶点中转：对于每一对顶点i和j，以顶点k作为中转点，更新D[i][j]的值，使其等于D[i][k] + D[k][j]和D[i][j]中的较小值。
即，若通过顶点k的路径更短，则更新D[i][j]的值。
3. 重复进行中转：依次选择每一个顶点作为中转点，进行步骤2的操作。
当所有顶点均作为中转点完成一次中转后，得到的矩阵D即为最终的最短路径矩阵。
二、弗洛伊德算法应用技巧1. 求解最短路径：弗洛伊德算法可以用于求解有向图或无向图中任意两点之间的最短路径。
通过获取最短路径矩阵D，即可得到任意一对顶点之间的最短路径长度。
2. 检测负权回路：在求解最短路径的过程中，若在最终的最短路径矩阵D中存在D[i][i]为负数的情况，则说明图中存在负权回路，即图中存在一个环路，其权重之和为负数。
该特性可用于识别图中是否存在负权回路。
3. 网络拓扑排序：弗洛伊德算法可以用于进行网络拓扑排序。
在求解最短路径的过程中，通过检测矩阵中的负权回路，可以得到顶点的拓扑排序结果。
拓扑排序用于评估任务执行的顺序，从而实现任务的优化调度。
4. 交通网络优化：弗洛伊德算法可以用于优化交通网络的设计。
通过将道路或路径作为图中的边，顶点表示城市或路口，权重表示通行距离或时间，利用最短路径矩阵D，可以评估不同路径的通行效率，从而优化道路规划和交通流量调度。
弗洛伊德算法实现
弗洛伊德算法实现
弗洛伊德算法（Floyd Algorithm）是一种用于解决最短路径问题的算法，它是以计算机科学家沃尔夫冈·弗洛伊德（Walter Floyd）的名字命名的。
该算法基于Dijkstra算法的思想，但是在处理多个起点的情况时更加高效。
弗洛伊德算法的基本思路是，对于每个节点，维护一个从该节点出发到其他所有节点的最短距离，以及这些节点的当前位置。
然后，从任意一个起点开始，依次计算到其他所有节点的最短路径，直到计算完整个图。
具体实现步骤如下：
1、初始化起点，并计算从该起点出发到其他所有节点的最短距离，以及这些节点的当前位置。
2、从任意一个起点开始，依次计算到其他所有节点的最短路径，直到计算完整个图。
3、对于每个节点，如果当前位置已经遍历过，则更新从当前位置出发到其他所有节点的最短距离。
4、如果当前位置未遍历过，则将其加入待处理列表中。
5、重复步骤2-4，直到计算完整个图。
弗洛伊德算法的时间复杂度为O(E(logV))，其中E表示边数，V表示节点数。
这是因为在每次迭代中，只需要计算当前位置到其他所有节点的最短距离，而不需要重新计算整
个图的最短路径。
因此，弗洛伊德算法比Dijkstra算法更加高效，尤其是当图中存在多个起点时。
floyd法
floyd法
Floyd法，全称为Floyd-Warshall算法，是一种用于解决所有节点对之间最短路径问题的动态规划算法。
它可以在有向图或无向图中找出任意两个节点之间的最短路径。
Floyd法的基本思想是利用动态规划的思想，通过不断优化节点之间的距离来求解最短路径。
算法的核心是一个二维矩阵，该矩阵记录了每对节点之间的最短路径距离。
Floyd法的具体步骤如下：
1. 初始化一个二维矩阵，矩阵的大小为节点的个数。
将矩阵的对角线元素设为0，表示节点到自身的距离，将其他元素初始化为无穷大（表示两节点之间没有直接连接）。
2. 通过遍历每一个节点，将该节点作为中转节点，更新其他节点之间的最短路径距离。
具体更新方式是比较经过中转节点的路径和不经过中转节点的路径，选择较短的路径作为最终的最短路径。
3. 重复以上步骤，直到所有节点之间的最短路径都被计算出来为止。
4. 最终得到的二维矩阵即为每对节点之间的最短路径距离。
Floyd法的时间复杂度为O(n^3)，其中n表示节点的个数。
它适用于求解稠密图（边数接近节点数平方）的最短路径问题，但对于稀疏图来说，Dijkstra算法或Bellman-Ford算法可能更加高效。
Floyd算法
Floyd算法Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。
核心思路：通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。
从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。
矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path 来记录两点间的最短路径。
算法过程：把图用邻接距阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=无穷大。
定义一个距阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。
把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。
在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。
比如，要寻找从V5到V1的路径。
根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。
优缺点分析：Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，稠密图效果最佳，边权可正可负。
此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。
优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单；缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。
Floyd算法的基本思想：（1）利用二维数组A[1..n-1][1..n-1], A[i][j]记录当前vi到vj的最短路径长度，数组A的初值等于图的代权临街矩阵;（2）集合S记录当前允许的中间顶点，初值S=Φ;（3）依次向S中加入v0 ,v1… vn-1，每加入一个顶点，对A[i][j]进行一次修正：设S={v0 ,v1… vk-1}，加入vk，则A(k)[i][j] = min{ A(k-1)[i][j]，A(k-1)[i][k]+A(k-1)[k][j]}。
floyd判圈法
Floyd判圈法一、引言在计算机科学中，Floyd判圈法（Floyd’s cycle-finding algorithm）是一种用于判断有向图中是否存在环的算法。
该算法由罗伯特·弗洛伊德（Robert W. Floyd）于1967年提出，因此得名。
Floyd判圈法通过使用两个指针在图中移动来判断是否存在环，并且可以找到环的起点。
二、算法原理Floyd判圈法的原理非常简单，主要分为以下几个步骤：1.定义两个指针，一个快指针（每次移动两步）、一个慢指针（每次移动一步）。
2.快指针从起点开始移动，慢指针从起点的下一个节点开始移动。
3.如果存在环，快指针最终会追上慢指针，两个指针会相遇。
4.如果不存在环，快指针会提前到达终点。
三、算法步骤下面详细介绍Floyd判圈法的具体步骤：1. 初始化指针设定两个指针，一个指向图中的起点，另一个指向起点的下一个节点。
slow_pointer = head.nextfast_pointer = head.next.next2. 移动指针通过不断移动指针来判断是否存在环。
while slow_pointer != fast_pointer:slow_pointer = slow_pointer.nextfast_pointer = fast_pointer.next.next3. 判断是否存在环当两个指针相遇时，即存在环，否则不存在环。
if slow_pointer == fast_pointer:return Trueelse:return False4. 寻找环的起点如果存在环，需要找到环的起点。
此时，将慢指针重新指向起点，快指针保持在相遇点，然后两个指针同时每次移动一步，直到相遇。
slow_pointer = headwhile slow_pointer != fast_pointer:slow_pointer = slow_pointer.nextfast_pointer = fast_pointer.nextreturn slow_pointer四、算法分析Floyd判圈法的时间复杂度为O(n)，其中n表示链表的节点数。
floyd算法精讲
(step 0) D l ; //将有向网的邻接矩阵输入到D中 (step 1) for k = 1 to n 算法复杂度为 O(n^3) (step 3) for i = 1 to n (step 4) for j = 1 to n (step 5) D[i, j] = min{D[i, j], D[i, k] + D[k, j]} (step 6) end for (step 7) end for (step 8) end for
D (0) [i ][j ] Min {D ( 1)[i ][j ], D ( 1)[i ][0] D ( 1)[0][ j ]}
D (0) [1][3] Min {, D ( 1)[1][0] D ( 1)[0][3]} Min {, 2 7} Min {, 9} 9
D (1)[0][2] Min {D (0)[0][2], D (0)[0][1] D (0)[1][2]} Min {,1 2} 3 D (1)[3][2] Min {D (0)[3][2], D (0)[3][1] D (0)[1][2]} Min {,2 2} 4
(k ) 用公式表示就是，对于K=1,2,3…n,第k个矩阵 D( k ) dij
(k ) ( k 1) ( k 1) ( k 1) dij min{ dij , dik dkj }
Floyd算法
Floyd 算法4.1 Floyd 算法简介Floyd 算法又称为弗洛伊德算法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法[8]。
算法思想旨在通过对 Floyd 算法进行改进，从而更加简便有效地计算不含负回路网络中任意两节点之间的最短路。
初始权矩阵可由网络图直接得到，由计算时，中的元素是经过多次经转后得到的最短路长，即经过该次迭代计算出的最短路径可以经过多个中间节点。
在此基础上计算(2)(3)(),,...,k D D D ， 当算出第k +1 个矩阵时， 如果 ，那么()D k 中的元素就是对应的节点对之间的最短路长值。
在计算权矩阵时，有时插入的中间节点与源点、汇点均不直接相连，因此计算出来的最短路长值不会改变，故这些点可以不参与计算。
另外，在计算最短路长前，先将待插入节点进行路长比较，若()()k k lj ij d d ≥或()()k k il ij d d ≥，则表明插入该节点后，不会使原来的路长变短，无需再计算 (1)k ij d + (因为 (1)()k k ij ijd d +=)， 接着对下一个节点进行搜索。
文中采用下标直接标注的方法来标注最短路径， 当插入某个节点l v 后， 如果计算出来的最短路长值不会比原来的短， 那么就将该节点的下标l 直接标注在权矩阵中对应的元素的右下角， 表明最短路径经过该节点。
在不含负回路的网络中[9]， 有节点12,,...,n v v v ，用ij w 表示节点 v i 和节点v j 之间的连线长，用ij d 表示从节点v i 出发到节点v j 时的路长。
Floyd 算法通常情况下也被人们称之为插点法，Floyd 算法是一种利用加权图进而进一步找到多源点之间最短路径问题的一种方法。
由于发明这种算法的最重要的人就是著名科学家罗伯特·弗洛伊德，因此这种算法就是用弗洛伊德的名字来命名的。
他在1978年的时候，依然在斯坦福大学计算机科学系担任教授的时候发明的这么一种最短路径算法。
floyd用法
floyd用法摘要：1.Floyd 算法简介2.Floyd 算法的基本思想3.Floyd 算法的适用场景4.Floyd 算法的计算步骤5.Floyd 算法的示例正文：1.Floyd 算法简介Floyd 算法是一种用于寻找加权图中所有顶点之间最短路径的算法，也被称为Floyd-Warshall 算法。
该算法由Robert C.Floyd 于1968 年提出，是图论领域中一种非常重要的算法。
2.Floyd 算法的基本思想Floyd 算法的基本思想是动态规划。
算法通过计算每个顶点之间的路径长度，然后利用这些信息来更新其他顶点之间的路径长度，最终得到所有顶点之间的最短路径。
3.Floyd 算法的适用场景Floyd 算法适用于存在负权边的图，并且可以处理边权值为负数的情况。
同时，Floyd 算法可以处理所有顶点之间的最短路径问题，无论是单源最短路径还是多源最短路径。
4.Floyd 算法的计算步骤Floyd 算法的计算步骤如下：(1) 初始化邻接矩阵dist，dist[i][j] 表示顶点i 到顶点j 的边的权值。
如果两个顶点之间没有边，可以将dist[i][j] 设为一个较大的值，如正无穷。
(2) 对于所有顶点k，计算dist[i][j] += dist[i][k] * dist[k][j]，其中i、j、k 为顶点标号。
这一步的目的是通过累积每个顶点之间的路径长度来更新其他顶点之间的路径长度。
(3) 遍历所有顶点对(i, j)，如果dist[i][j] 的值小于0，则说明在顶点i 到顶点j 的路径中存在一个环。
此时，可以将dist[i][j] 设为一个较大的值，如正无穷，以表示不存在从顶点i 到顶点j 的路径。
5.Floyd 算法的示例假设有一个图，顶点有A、B、C、D、E 五个，边的权值分别为1、2、3、1、4。
现在需要求解所有顶点之间的最短路径。
floyd法 -回复
floyd法-回复floyd法（Floyd-Warshall algorithm）是一种用于解决带权有向图中所有顶点间最短路径问题的算法。
在现实生活中，我们经常面对着需要找到最短路径问题，比如在导航系统中确定最快的驾驶路线，或者在电信网络中寻找两个路由器之间的最短路径。
本文将详细介绍floyd法的原理和实施步骤。
floyd法的原理基于动态规划的思想。
它通过不断更新包含指定顶点集的子图中的最短路径，最终得到整个图中任意两个顶点之间的最短路径。
以下是floyd法的具体步骤：1. 初始化：- 创建一个二维数组`dist`，用于存储任意两个顶点之间的最短路径长度。
初始时，将`dist[i][j]`初始化为顶点i和j之间的直接距离，如果不存在直接距离，则设为无穷大。
- 创建一个二维数组`path`，用于存储任意两个顶点之间的最短路径中经过的中间顶点。
初始时，将`path[i][j]`初始化为顶点i的直接邻居节点j。
2. 迭代更新最短路径：- 对于每一个顶点k，在`dist`和`path`中进行更新。
- 遍历所有的i和j，如果从顶点i经过顶点k到达顶点j的路径长度小于当前记录的最短路径，则更新`dist[i][j]`和`path[i][j]`为新的最短路径长度和经过的顶点。
3. 返回最短路径：- 根据`path`数组，利用回溯算法获取任意两个顶点之间的最短路径。
下面我们通过一个例子来演示floyd法的实施步骤。
假设我们有以下带权有向图：1 3>(B)->/ 21// V(0) <2V V(A)>C3我们首先需要将图转化为邻接矩阵表示。
根据图中的边权重，我们得到以下邻接矩阵：A B CA 0 1 ∞B ∞0 3C 2 ∞0接下来，我们开始执行floyd法的步骤。
1. 初始化：- `dist`数组：A B CA 0 1 ∞B ∞0 3C 2 ∞0- `path`数组：A B CA -B -B - - CC A - -2. 迭代更新最短路径：- 首先，我们选取顶点A作为中间顶点，即`k=A`。
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Voidfind(int P[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM],MGraph G,int a,int b){
int k;
for(k = 0; k < G.vexnum; k++)
if(P[a][b][k]==TRUE && k!=a && k!=b){
printf("%c到%c最短路径为",65+a,65+b);
printf("%c\t",65+a);
find(P,G,a,b);
printf("%c\t",65+b);
printf("长度为%d",D[a][b]);
printf("\n");
}
}
void find(int P[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM],MGraphG,int a,int b){
// D[v][w]从v到w的最短路径的长度
for (v = 0; v < G.vexnum; v++)
for (w = 0; w < G.vexnum; w++){
D[v][w] = G.arcs[v][w];
for (k = 0; k < G.vexnum; k++)
P[v][w][k] = FALSE;
intvexnum,arcnum;//图的当前顶点数和弧数
GraphKindkind;//图的种类标志
}MGraph;
void find(int P[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM],MGraph G,int a,int b);
void main(){
int arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
int vexnum,arcnum;
GraphKind kind;
}MGraph;
源程序
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#define INFINITY 1000 //最大值
#define MAX_VERTEX_NUM 20 //最大顶点个数
D[v][w] = D[v][k] + D[k][w];
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
P[v][w][i] = P[v][k][i] || P[k][w][i];
}
for(a=0; a<G.vexnum; a++)
for(b=0; b<G.vexnum; b++)
if(D[a][b] < INFINITY && a!=b){
问题描述
实现Floyd算法，并求所示有向图中各顶点之间的最短路径及其长度。
算法思想
采用图的邻接矩阵存储，实现Floyd算法~，数组P[][][]存储是否存在中间点使长度缩短。
设计描述
数据存储结构类型的定义：
typedef struct MGraph{
char vexs[MAX_VERTEX_NUM];
find(P,G,a,k);
printf("\t%c",65+k);
f寻找是否存在中间点然后打印出来。
问题出在红色部分，判定是否采用递归，未考虑k是否与a b相同，结果导致无限递归。从而发现stack overflow的错误提示有可能出于递归无法跳出，导致栈的溢出问题。
MGraph G;
intD[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM],P[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
int v,w,k,a,b,i;
printf("请输入顶点数和弧数");
scanf("%d %d",&G.vexnum,&G.arcnum);
G.kind=DG;
printf("请输入邻接矩阵\n");
for (v = 0; v < G.vexnum; v++)
for (w = 0; w < G.vexnum; w++)
scanf("%d",&G.arcs[v][w]); //读入邻接矩阵
// P[v][w][k]为TRUE，则从v到w的最短路径中含有k节点
if (D[v][w] < INFINITY)
P[v][w][v] = P[v][w][w] = TRUE;
}
for (k = 0; k < G.vexnum; k++)
for (v = 0; v < G.vexnum; v++)
for (w = 0; w < G.vexnum; w++)
if (D[v][k] + D[k][w] < D[v][w]){
#define TRUE 1
#define FALSE 0
typedef enum{DG, DN, UDG, UDN}
GraphKind; //四种图类型
typedef struct MGraph{
charvexs[MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量
intarcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];//邻接矩阵
int k;
for(k = 0; k < G.vexnum; k++)
if(P[a][b][k]==TRUE && k!=a && k!=b){
find(P,G,a,k);
printf("%c\t",65+k);
find(P,G,k,b);
}
}
测试结果
输入
（1000为无穷！~
输出
心得体会~。！！
懂得了floyd算法的思想，用邻接矩阵存储带权值的图。