最短路径算法--Floyd算法
Floyd算法(各对顶点之间的最短距离)
Floyd算法（各对顶点之间的最短距离）Floyd算法（各对顶点之间的最短距离）在上篇文章中议论到了如何求算单源最短路径，因此要想求各对顶点之间的距离，只需循环求算n次即可。
还有另外一种办法来求算各对顶点之间的最短距离，就是Floyd算法，因为其算法过程比Dijksa更简单理解，并且代码更简洁，因此当求算各对顶点之间的最短距离常采纳Floyd算法。
一.Floyd算法假设从i到j的最短路径上要经过若干个顶点，这些中间顶点中最大的顶点编号为k，最小的顶点为t，因此要求算dist[i][j]的最小值，那么只需要求算dist[i][s]+dist[s][j](t =s =k)的全部值，并取其中最小者即可。
因此可以设置一个中间顶点k(0 =k n)分离插入到每队顶点(i,j)之中，并更新dist[i][j]的值。
当n个顶点插入到每队顶点之中，求解便结束了。
其实Floyd算法实质上是一个动态规划算法。
代码实现: /*每对顶点之间最短路径Floyd 2011.8.27*/ iludeiostream include stack define M 100define N 100using namespace std;typef struct node{ int matrix[N][M]; //邻接矩阵 int n; //顶点数 int e; //边数 }MGraph; vo FloydPath(MGraph g,intdist[N][M],int path[N][M]){ int i,j,k; for(i=0;i g.n;i++)for(j=0;j g.n;j++) { if(g.matrix[i][j] 0){ dist[i][j]=g.matrix[i][j]; path[i][j]=i; } ee { if(i!=j) { dist[i][j]=INT_MAX; path[i][j]=-1; } else { dist[i][j]=0; path[i][j]=i; } } } for(k=0;k g.n;k++) //中间插入点(注重理解k为什么只能在最外层) for(i=0;i g.n;i++) for(j=0;jg.n;j++) { if((dist[i][k] 0 dist[i][k] INT_MAX) //防止加法溢出 (dist[k][j] 0 dist[k][j] INT_MAX) dist[i][k]+dist[k][j] dist[i][j]) { dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];path[i][j]=path[k][j]; //path[i][j]记录从i到j的最短路径上j 的前一个顶点 } } }void showPath(int path[N][M],int s,int t) //打印出最短路径 { stack int st; int v=t; while(t!=s) { st.push(t);第1页共2页。
最短路径——floyd算法代码（c语言）
最短路径——floyd算法代码（c语⾔）最短路径问题昨天⾃⼰试了试写⼀下dijkstra的算法博客今天来更floyd算法，感觉⾮常简单果然暴⼒才是解决⼀切的王道⼀、总体思想floyd算法就是每⼀次从邻接矩阵选取⼀个顶点k，然后再去矩阵中遍历两个顶点i，j，看看是i→j的路径短，还是i→k→j的路径短，就是完全的暴⼒，算法和代码⾮常简单⼆、代码实现1void Floyd(Graph G)2 {3int arr[G.vexnum][G.vexnum];4for(int i = 0; i < G.vexnum; i++)5for(int j = 0; j < G.vexnum; i++)6 arr[i][j] = G.edge[i][j];78for(int k; k < G.vexnum; k++)9for(int i = 0; i < G.vexnum; i++)10for(int j = 0; j < G.vexnum; j++)11if(arr[i][j] > arr[i][k] + arr[k][j])12 arr[i][j] = arr[i][k] + arr[k][j];13 }三、代码解释其实看上⾯的代码量和代码就知道这个算法很简单 =_=传⼊Floyd算法的参数是Graph G⾸先开辟⼀个⼆维数组arr[][]，并且把图的邻接矩阵G.edge[][]赋值给arr[][]，算法的主要思想就是来修改arr[][]值暴⼒出最短路径1int arr[G.vexnum][G.vexnum];//开辟数组arr[][]接收图G.edge[][]的值2for(int i = 0; i < G.vexnum; i++)3for(int j = 0; j < G.vexnum; i++)4 arr[i][j] = G.edge[i][j];//遍历赋值然后就是每次选择⼀个顶点k，再去找两个顶点i，j，对⽐看看是i→j的路径短，还是i→k→j的路径短也就是arr[i][j] 和 arr[i][k] + arr[k][j]两个的值谁的⽐较⼩，然后修改arr[][]⼀直到遍历完毕1for(int k; k < G.vexnum; k++)//选取k顶点2for(int i = 0; i < G.vexnum; i++)3for(int j = 0; j < G.vexnum; j++)//再选取i，j两个顶点4if(arr[i][j] > arr[i][k] + arr[k][j])//判断i→j的路径和i→k→j的路径谁⽐较短5 arr[i][j] = arr[i][k] + arr[k][j];//如果i→k→j的路径更短，则修改数组arr[][]写完感觉好短。
最短路径算法--Floyd算法
Floyd’s Algorithm 4
The subproblems
• Let D(k)[i,j]=weight of a shortest path from vi to vj using only vertices from {v1,v2,…,vk} as intermediate vertices in the path
Floyd's Algorithm: Using 2 D matrices
Floyd 1. D W // initialize D array to W [ ] 2. P 0 // initialize P array to [0] 3. for k 1 to n // Computing D’ from D 4. do for i 1 to n 5. do for j 1 to n 6. if (D[ i, j ] > D[ i, k ] + D[ k, j ] ) 7. then D’[ i, j ] D[ i, k ] + D[ k, j ] 8. P[ i, j ] k; 9. else D’[ i, j ] D[ i, j ] 10. Move D’ to D.
Floyd’s Algorithm 14
Can we use only one D matrix?
• D[i,j] depends only on elements in the kth column and row of the distance matrix. • We will show that the kth row and the kth column of the distance matrix are unchanged when Dk is computed • This means D can be calculated in-place
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法（Floyd算法）是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法，以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。
该算法的基本思想是通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引入一个矩阵S，矩阵S中的元素a[i][j]表示顶点i（第i个顶点）到顶点j（第j个顶点）的距离。
具体步骤如下：
1.初始化S。
矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞。
实际上，就是将图的原始矩阵复制到S中。
2.以顶点A（第1个顶点）为中介点，若a[i][j]>a[i][0]+a[0][j]，则设置a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。
请注意，在具体使用中，可能需要根据问题的具体情况对该算法进行适当的调整。
Floyd算法
Floyd算法Floyd算法是一种经典的图论算法，用于求解带权有向图中任意两个顶点之间的最短路径问题。
该算法由美国数学家罗伯特·弗洛伊德（Robert Floyd）于1962年提出，因此得名为Floyd算法。
Floyd算法是一种动态规划算法，它采用了“分治”的思想，将问题分解为更小的子问题，然后逐步解决子问题，最终得到解决整个问题的结果。
本文将从算法的背景、基本思想、实现方法及优缺点等方面对Floyd 算法进行详细阐述和分析。
一、算法的背景在讲Floyd算法之前，我们先来了解一下最短路径问题。
顾名思义，最短路径问题就是在给定图中找到两个给定节点之间的一条最短路径，也就是路径上各边权值之和最小的路径。
这个问题在现实生活中有很多应用，比如网络路由、地图路径规划、航线安排等等。
在数学和计算机科学领域中，我们可以通过图论的方法来描述和解决这个问题。
一般来说，给定一张带权有向图G=(V, E)，其中V表示节点的集合，E表示边的集合。
每条边E(i,j)的权重为w(i,j)，表示从节点i到节点j的距离或成本。
那么最短路径问题就是在图中找到从节点s到节点t的一条最短路径P，并且P上的边权之和最小。
最初求解的思路是按照类似深度优先搜索的方式，逐个遍历所有路径，然后依次比较它们的距离，找到最短路径。
但这种方式显然是不可行的，因为它的时间复杂度非常高。
所以，我们需要设计一种更高效的算法，以求得最短路径问题的最优解。
二、算法的基本思想Floyd算法就是一种高效地解决最短路径问题的方法。
它采用了“动态规划”的思想，通过逐步求解子问题，最终得到完整的最短路径。
而解决子问题的方式则是采用了“分治”的思想，将问题分解为更小的子问题，然后逐步解决。
具体地说，Floyd算法采用了“中转节点”的概念，我们可以将问题转化为这样一个子问题：对于每个节点i和节点j，假设我们已经知道了它们之间的最短路径长度为d[i][j]，那么考虑一下节点k作为中转节点，它可以为i和j之间的路径P提供一个“中转服务”，将P拆分为两条路径：i-->k和k-->j。
简介Floyd算法
简介Floyd 算法⽬录1. 定义Floyd 算法是⼀种⽤于寻找给定的加权图中顶点间最短路径，是经典的多源最短路径算法，可以有效地处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被⽤于计算有向图的传递闭包。
Floyd 算法的时间复杂度为 O (N 3)，空间复杂度为 O (N 2)。
2. 优缺点优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。
缺点：时间复杂度⽐较⾼，不是和计算⼤量数据。
3. 基本思想Floyd 算法属于动态规划算法，即寻找节点 i 到节点 j 的最短路径。
Step 1: 初始距离定义 n 节点⽹络的邻接矩阵 A n ×n ，矩阵中的元素为 a i ,j 为节点 i 到节点 j 的⼀步的直线距离。
令 A (0)=A ，其初始元素为 a (0)i ,j 则该距离有如下三种情况：a (0)i ,j =c i ,j , i ,j 相连0, i =j∞, i ,j 不相连其中，节点 i , j 之间有直线连接时，则 a (0)i ,j 为其距离值 c i ,j ；节点 i 到⾃⾝的距离为 0；节点 i , j 之间没有直线连接时，则 a (0)i ,j 则为 ∞，如下图：则该初始邻接矩阵 A 为：即节点0与节点0⾃⾝距离值为0，即 A [0][0]=0；节点0与节点1之间有直线连接，距离值为5，即 A [0][1]=5；节点0与节点2之间没有直线连接，则距离值为 ∞，即 A [0][2]=∞；节点0与节点3之间有直线连接，距离值为7，即 A [0][3]=7 ……其他节点间的初始距离可依次写出，即为该邻接矩阵 A 。
Step 2: 借中转节点迭代找最短路径节点 i , j 间⼀步达不到时，则需要在两节点之间通过其他节点（如节点 k ）作连接：在 A 矩阵上做 n 次迭代，k =1,⋯,n ，第 k 次迭代a k i ,j =min (a k −1i ,j ,a k −1i ,k +a k −1k ,j )即在节点 i 和节点 j 之间找到⼀条最短距离的路径，如下图：图中的节点 i 到节点 j 之间的直线距离 (i →j ) 为 6，但经过节点 k 作中转后，节点 i 到节点 j 之间的直线距离 (i →k →j ) 为 2+3=5，因此 a k i ,j =min (6,5)=5。
点到点的最短路径算法
点到点的最短路径算法
点到点的最短路径算法在计算机科学中是一个非常常见的问题，其主要用于在图中找到从一个点到另一个点的最短路径。
以下是一些常见的最短路径算法：
1. Dijkstra算法：这是一种用于在图中查找单源最短路径的算法。
其主要思想是从源点开始，每次从未访问过的节点中选择距离最短的节点，然后更新其邻居节点的距离。
这种算法不能处理负权重的边。
2. Bellman-Ford算法：这种算法可以处理带有负权重的边，并且可以找到从源点到所有其他节点的最短路径。
其主要思想是通过反复松弛所有边来找到最短路径。
如果图中存在负权重的循环，则该算法可能无法找到最短路径。
3. Floyd-Warshall算法：这是一种用于查找所有节点对之间的最短路径的算法。
其主要思想是通过逐步添加中间节点来找到最短路径。
这种算法的时间复杂度较高，为O(n^3)，其中n是图中的节点数。
4. A（A-Star）算法：这是一种启发式搜索算法，用于在图中找到最短路径。
它使用启发式函数来指导搜索方向，通常可以更快地找到最短路径。
A算法的关键在于启发式函数的选择，该函数应该能够准确地估计从当前节点到目标节点的距离。
这些算法都有其各自的优点和缺点，具体选择哪种算法取决于具体的问题和场景。
弗洛伊德（Floyd）算法
弗洛伊德（Floyd）算法最短路径问题：从某个顶点出发到达另外⼀个顶点的所经过的边的权重和最⼩的⼀条路径弗洛伊德算法解决最短路径问题1.基本思想（1）计算图中各个顶点之间的最短路径，每⼀个顶点都是出发访问点，所以需要将每⼀个顶点看做被访问顶点，求出从每⼀个顶点到其他顶点的最短路径（2）所有顶点都作为中间节点遍历⼀次，每次遍历将各个顶点经过中间节点到另⼀个节点的距离，与不经过该节点的距离相⽐较，若经过中间节点的距离更⼩，就更新距离表与前驱关系（3）时间复杂度O(n3)，所有顶点作为出发点、中间节点、终点，每个顶点都要遍历3次2.步骤（1）设置顶点 a 到顶点 b 的最短路径已知为 L ab，顶点 b 到 c 的最短路径已知为 L bc，顶点 a 到 c 的路径为 L ac，则 a 到 c 的最短路径为：min ( ( L ab + L bc ), L ac )，b 的取值为图中所有顶点，则可获得 a 到 b 的最短路径（2）⾄于 a 到 b 的最短路径 L ab或者 b 到 c 的最短路径 L bc，是以同样的⽅式获得（3）三个点为同⼀顶点时：中间顶点为⾃⾝；三个点是不同顶点时：中间顶点是终点的前驱节点；两个顶点直接连通时：中间节点为出发点代码实现import java.util.Arrays;public class Floyd {//弗洛伊德算法解决最短路径问题public static final int BLOCK = 65535;//表⽰顶点之间不直接连通public static void main(String[] args) {char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//顶点到⾃⾝距离为0int[][] matrix = {{0, 5, 7, BLOCK, BLOCK, BLOCK, 2},{5, 0, BLOCK, 9, BLOCK, BLOCK, 3},{7, BLOCK, 0, BLOCK, 8, BLOCK, BLOCK},{BLOCK, 9, BLOCK, 0, BLOCK, 4, BLOCK},{BLOCK, BLOCK, 8, BLOCK, 0, 5, 4},{BLOCK, BLOCK, BLOCK, 4, 5, 0, 6},{2, 3, BLOCK, BLOCK, 4, 6, 0}};Graph graph = new Graph(matrix, vertex);graph.floyd();graph.result();}}//带权⽆向图class Graph {public char[] vertex;//存放顶点public int[][] matrix;//保存各个顶点到其它顶点的距离，初始为直接连接的距离，算法计算后为最短距离public int[][] relay;//保存中间结点//构造器public Graph(int[][] matrix, char[] vertex) {this.vertex = vertex;this.matrix = matrix;this.relay = new int[vertex.length][vertex.length];//三个点为同⼀顶点时：中间顶点为⾃⾝；三个点是不同顶点时：中间顶点是终点的前驱节点；两个顶点直接连通时：中间节点为出发点for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {Arrays.fill(relay[i], i);//初始中间顶点为⾃⾝}}//显⽰算法结果public void result() {for (int k = 0; k < vertex.length; k++) {for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {System.out.println(vertex[k] + " 到 " + vertex[i] +" 最短路径 " + matrix[k][i] +" 中间结点 " + vertex[relay[k][i]]);}System.out.println();}}//弗洛伊德算法public void floyd() {int temp;//保存i到j的距离for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {//出发点ifor (int j = 0; j < matrix.length; j++) {//中间顶点jfor (int k = 0; k < matrix.length; k++) {//终点ktemp = matrix[i][j] + matrix[j][k];//求从i出发，经过k，到达j的距离 if (temp < matrix[i][k]) {matrix[i][k] = temp;//更新距离relay[i][k] = relay[j][k];//更新中间顶点}}}}}}。
图的最短路径——dijkstra算法和Floyd算法
图的最短路径——dijkstra算法和Floyd算法dijkstra算法 求某⼀顶点到其它各个顶点的最短路径；已知某⼀顶点v0，求它顶点到其它顶点的最短路径，该算法按照最短路径递增的顺序产⽣⼀点到其余各顶点的所有最短路径。
对于图G={V,{E}};将图中的顶点分为两组: 第⼀组S：求出已知顶点的最短路径的集合 第⼆组V-S：尚未求出最短路径的顶点集合（开始为V-{v0}的全部顶点）该算法将最短路径以递增顺序逐个将第⼆组顶点加⼊到第⼀组顶点中，直到所有的顶点都被加⼊到第⼀组顶点集S为⽌。
dijkstra算法和最⼩⽣树中的prim算法类似，都是把顶点看做集合，向所求集合中加点#include <iostream>#include <vector>#include <algorithm>using namespace std;const int INF=0x3f3f;class Graph{private:int num;int e;vector<vector<int> > arr;//存储图的邻接矩阵vector<bool> visit;//标记该结点是否⽤过vector<int> path;//从v0到其他结点的最短路径public:Graph();void dijkstra(const int &i);};Graph::Graph(){cout<<" num"<<endl;cin>>num;cout<<" e"<<endl;cin>>e;visit.resize(num,false);path.resize(num);arr.resize(num);for(int i=0;i<num;++i)arr.at(i).resize(num,INF);cout<<" 边的起始点和终点&&权值"<<endl;pair<int,int> p;for(int i=0;i<e;++i){cin>>p.first>>p.second;cin>>arr.at(p.first-1).at(p.second-1);}}void Graph::dijkstra(const int &index){//⾸先存储的是index结点到其他节点的最短路径的值for(int i=0;i<num;++i)path.at(i)=arr.at(index-1).at(i);//初始化visitvisit.at(index-1)=true;for(int check=0;check<num-1;++check){int Min=INF,flag=0;for(int i=0;i<num;++i){if(!visit.at(i)&&path.at(i)<Min){flag=i;Min=path.at(i);}}visit.at(flag)=true;for(int i=0;i<num;++i)//如果由于v0结点的加⼊导致index结点到其它接点的值变⼩更新path{if(path.at(i)>path.at(flag)+arr.at(flag).at(i))path.at(i)=path.at(flag)+arr.at(flag).at(i);}}for(int i=0;i<num;++i)cout<<path.at(i)<<"\t";cout<<endl;}int main(){Graph g;g.dijkstra(1);return0;}floyd算法 如果要让任意两点（例如从顶点a点到顶点b）之间的路程变短，只能引⼊第三个点（顶点k），并通过这个顶点k中转即a->k->b，才可能缩短原来从顶点a点到顶点b的路程。
算法12--最短路径--弗洛伊德(Floyd)算法
D(2) [i][j] = min{D(1) [i][j], D(1) [i][2]+D(1) [2][j]}
6
0123
V2 8 V3
8
0 1 1920 43 0
3
4 52
ADA(((-32101)))==
8
11021 0 98 2 3 45 0 687
1 2
9
V0
V1
8
8
90 110 6 0 3
12
5.算法实现
• 图用邻接矩阵存储 • edge[ ][ ]存放最短路径长度 • path[i][j]是从Vi到Vj的最短路径上Vj前一顶点序号
void floyd ( ){
for ( int i = 0; i < n; i++ ) //矩阵dist与path初始化
for ( int j = 0; j < n; j++ ) { //置A(-1)
例题：
6 A4 3 11
C
初始：
0 6
4 0
11 2
3 0 B
路径： BA CA
AB AC BC
2 0 4 11
加入A： 6 0 2 37 0
AB AC
路径： BA
BC
CA CAB
04 6 加入B： 6 0 2
37 0
AB ABC
路径： BA
BC
CA CAB
04 6 加入C： 5 0 2
37 0
AB ABC
8
0092 3 45 0 687
1 2
9
V0
V1
8
8
0160 3
1
以D(0)为基础，以V1为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短
最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法转载⾃：Dijkstra算法1.定义概览Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，⽤于计算⼀个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中⼼向外层层扩展，直到扩展到终点为⽌。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在⽆向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。
（单源最短路径）2.算法描述1)算法思想：设G=(V,E)是⼀个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第⼀组为已求出最短路径的顶点集合（⽤S表⽰，初始时S中只有⼀个源点，以后每求得⼀条最短路径 , 就将加⼊到集合S中，直到全部顶点都加⼊到S中，算法就结束了），第⼆组为其余未确定最短路径的顶点集合（⽤U 表⽰），按最短路径长度的递增次序依次把第⼆组的顶点加⼊S中。
在加⼊的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不⼤于从源点v到U 中任何顶点的最短路径长度。
此外，每个顶点对应⼀个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤：a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。
U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v 的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取⼀个距离v最⼩的顶点k，把k，加⼊S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）⽐原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
最短路径(弗洛伊德算法)
最短路径问题是图论中的经典问题，目的是在图中找到从起点到终点的最短路径。
弗洛伊德算法（Floyd-Warshall algorithm）是一种解决此问题的动态规划算法。
基本思想是，通过逐步考虑中间点来比较从起点到终点的所有可能路径，从而找到最短路径。
算法步骤如下：
1. 初始化距离矩阵。
如果存在从i到j的边，则将距离矩阵的第i行第j列的元素设置为边的权值，否则设置为无穷大。
2. 对于每个中间点k，通过比较包含k和不包含k的路径来更新距离矩阵。
如果通过k从i到j的路径比直接从i到j的路径更短，则更新距离矩阵的第i行第j列的元素。
3. 重复步骤2，直到考虑了所有的中间点。
4. 最终的距离矩阵就包含了从每个点i到每个点j的最短距离。
这个算法的时间复杂度是O(n^3)，其中n是图中顶点的数量。
如果图中存在负权环，那么该算法将无法找到最短路径。
Floyd算法
Floyd算法Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。
核心思路：通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。
从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。
矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path 来记录两点间的最短路径。
算法过程：把图用邻接距阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=无穷大。
定义一个距阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。
把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。
在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。
比如，要寻找从V5到V1的路径。
根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。
优缺点分析：Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，稠密图效果最佳，边权可正可负。
此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。
优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单；缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。
Floyd算法的基本思想：（1）利用二维数组A[1..n-1][1..n-1], A[i][j]记录当前vi到vj的最短路径长度，数组A的初值等于图的代权临街矩阵;（2）集合S记录当前允许的中间顶点，初值S=Φ;（3）依次向S中加入v0 ,v1… vn-1，每加入一个顶点，对A[i][j]进行一次修正：设S={v0 ,v1… vk-1}，加入vk，则A(k)[i][j] = min{ A(k-1)[i][j]，A(k-1)[i][k]+A(k-1)[k][j]}。
解最短路径问题的两种方法及其应用
解最短路径问题的两种方法及其应用
最短路径问题是指在一张带权图中找到两个节点之间最短的路径。
最短路径问题是许多计算机科学和应用领域中的一个基本问题。
以下是解决这个问题的两种方法：
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是解决最短路径问题的一种
基本算法，它是基于贪心思想的。
该算法首先确定起始点到其他节
点的距离（记为d），然后不断扩大已确定最短距离的节点集，直
到覆盖所有节点。
Dijkstra算法适用于单源最短路径，即从一个节
点到所有其他节点的最短路径。
2. Floyd算法：Floyd算法也是一种经典的解决最短路径问题
的算法，它是一个动态规划算法。
该算法利用动态规划的思想，通
过比较任意两个节点之间经过第三点（中转点）的路径长度，更新
路径长度。
Floyd算法适用于多源最短路径，即从任意两个节点之
间的最短路径。
这两种算法可广泛应用于各种计算机科学和应用领域，如网页
排名算法、图像处理、计算机网络等。
在实际应用中，我们需要根
据实际问题的特点，选择最适合的算法。
C语言求所有顶点对之间的最短路径：FLOYD算法
C语⾔求所有顶点对之间的最短路径：FLOYD算法所有顶点对之间的最短路径问题是：对于给定的有向⽹络G=(V,E)，要对G中任意两个顶点v,w(v不等于w),找出v到w的最短路径。
当然我们可以n次执⾏DIJKSTRA算法，⽤FLOYD则更为直接，两种⽅法的时间复杂度都是⼀样的。
有向⽹络⽤邻接矩阵存储，以下⾯的有向⽹络为例：源程序清单：#include<stdio.h>#define n 5 //结点数⽬#define maxsize 160 //表⽰两点间不可达int path[n][n];//路径矩阵void floyd(int A[][n],int C[][n]); //A是路径长度矩阵，C是有向⽹络G的带权邻接矩阵void main(){printf(" ——所有顶点对之间的最短路径：Floyd算法——\n");printf("（160为⽆穷远，不可达）\n");int A[n][n],C[n][n]={{0,10,maxsize,30,100},{maxsize,0,50,maxsize,maxsize},{maxsize,maxsize,0,maxsize,10},{maxsize,maxsize,20,0,60},{maxsize,maxsize,maxsize,maxsize,0}};floyd(A,C);}void floyd(int A[][n],int C[][n]) //A是路径长度矩阵，C是有向⽹络G的带权邻接矩阵{int i,j,k,next;int max=160;for(i=0;i<n;i++)//设置A和path的初值{for(j=0;j<n;j++){if(C[i][j]!=max)path[i][j]=j; //j是i的后继elsepath[i][j]=0;A[i][j]=C[i][j];}}for(k=0;k<n;k++)//做n次迭代，每次均试图将顶点k扩充到当前求得的从i到j的最短路径Pij上{for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j])){A[i][j]=A[i][k]+A[k][j]; //修改长度path[i][j]=path[i][k]; //修改路径}}}}for(i=0;i<n;i++)//输出所有顶点对i,j之间的最短路径Pij的长度及路径 {for(j=0;j<n;j++){if(i!=j){printf("%d到%d的最短距离为",i+1,j+1);printf("%d\n",A[i][j]); //输出Pij的长度next=path[i][j]; //next为起点i的后继顶点printf("输出路径：\n");if(next==0)printf("%d到%d不可达\n",i+1,j+1);else//Pij存在{printf("%d",i+1);while(next!=j){printf("——>%d",next+1); //打印后继点next=path[next][j]; //继续找下⼀个后继点}printf("——>%d\n",j+1); //打印终点}printf("****************************************************\n");}}}}运⾏结果：——所有顶点对之间的最短路径：Floyd算法——（160为⽆穷远，不可达）1到2的最短距离为10输出路径：1——>2****************************************************1到3的最短距离为50输出路径：1——>4——>3****************************************************1到4的最短距离为30输出路径：1——>4****************************************************1到5的最短距离为60输出路径：1——>4——>3——>5****************************************************2到1的最短距离为160输出路径：2到1不可达****************************************************2到3的最短距离为50输出路径：2——>3****************************************************2到4的最短距离为160输出路径：2到4不可达**************************************************** 2到5的最短距离为60输出路径：2——>3——>5**************************************************** 3到1的最短距离为160输出路径：3到1不可达**************************************************** 3到2的最短距离为160输出路径：3到2不可达**************************************************** 3到4的最短距离为160输出路径：3到4不可达**************************************************** 3到5的最短距离为10输出路径：3——>5**************************************************** 4到1的最短距离为160输出路径：4到1不可达**************************************************** 4到2的最短距离为160输出路径：4到2不可达**************************************************** 4到3的最短距离为20输出路径：4——>3**************************************************** 4到5的最短距离为30输出路径：4——>3——>5**************************************************** 5到1的最短距离为160输出路径：5到1不可达**************************************************** 5到2的最短距离为160输出路径：5到2不可达**************************************************** 5到3的最短距离为160输出路径：5到3不可达**************************************************** 5到4的最短距离为160输出路径：5到4不可达****************************************************请按任意键继续. . .。
图的最短路径——详谈 Floyd算法 和 Dijkstra算法
if(Chara[i][k] == MAX || Chara[k][j] == MAX) continue;//暂时不通
if(Chara[i][j] > Chara[i][k] + Chara[k][j])
{
//如果经过下标k顶点路径比原两点间路径更短
//将当前两点权值设为更小的那一个
Chara[i][j] = Chara[i][k] + Chara[k][j];
void Dijkstra(int src) //src传入的起点
{
for(int i=0; i<m; i++) //初始化起点到所有点的距离
{
dis[i] = Chara[src][i]; //起始位置到i点的距离
vis[i] = 0;//初始化visit
p[i]=0;
}
dis[src] = 0; //到自身距离为0
我们用一个带权图表示这个铁路系统，权值表示城市之间的铁路里程，于是最短路问题就归结为在带权图中找出顶点x0到其他顶点y且具有最小权的路径。
更一般的最短路问题的提法是：设（D，w）是有正值加权的简单有向图，x0是D中的一个固定顶点，寻找从x0到其他顶点y且具有最小权的有向图。
（2）求图的最短路径算法
求图中两点的最短路径问题，可归结为①源点（起点）固定，终点不确定的两点间最短路径②求图中任意两点间的最短路径。
算法思想
在具体讲Dijkstra之前，我们先来做个对比，Floyd算法是穷举了整张图，得到一张二维表，n个点一共n行，第i行的一系列值就表示表示以i为起点到其他各点的最短路径。单源最短路Dijkstra是源点确定时该源点到其他各点的最短路径。聪明的同学一定发现了，哎，这么说来，假如Dijkstra中的源点为i0，那么我在Floyd的二维表找到第i0行不就解决问题了吗？恭喜你，答对了，就是这样。事实上Floyd中的第i0行就是我们所要求的结果。但是在最开始的两种算法的比较中也提到了Floyd的时间复杂度是n的三次方，他把每一行全都求出来了，而许多实际问题中我们只需要特定的那一行，并且在数据较大的时候，在算法竞赛中非常容易超时，此时就需要用到Dijkstra算法了。（由此可见Dijkstra其实就是Floyd的一种特殊情况，所以笔者想采用从一般到特殊的叙述方式）
如何用FLOYD算法搜出最短路径
如何用FLOYD算法搜出最短路径。
在上一篇论文中我们介绍了比较了FLOYD算法和DIJISTRA算法在该项目中的优劣点，在这篇小论文中我们将讨论如何有FLOYD算法把最短路径搜索出来。
一：FLOYD 算法是如何实现搜索最短路径的：FLOYD 算法又称插点法，它的基本过程如下：首先，把图用邻接距阵G表示出来；如果从V i到Vj有路可达，则G（i,j）=d,d表示该路长度，否则G（i,j）=inf, 最后图可以用如下图来表示。
G =0 2 3 Inf Inf 91 0 4 Inf 4 Inf1 1 0 Inf 10 Inf10 Inf 9 0 Inf Inf7 Inf 2 10 0 41 9 8 4 Inf 0为了搜出最短路径我们还需要一个距阵用来记录所插入点的信息。
这个距阵的D，D（i,j）表示从V（i）到V（j）需要经过的点，初始化D（i,j）=jD =1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6然后把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G(i,j)=min(G(i,j)+G(i,k)+G(k,j)},如果是G(i,j)的值变小，则D(i,j)=k;如在上个图中把V1插入后所得到的结果为G =0 2 3 Inf Inf 91 0 4 Inf 01 1 0 Inf 1010 9 0 Inf7 2 10 0 41 4 Inf 0D =1 2 3 4 5 61 2 3 4 51 2 3 4 51 3 4 51 3 4 5 61 4 5 6这样当我们把各个都加入后我们得到的G为G =0 2 3 10 2 61 02 8 0 41 1 0 9 1 53 3 2 8 0 41 3 4 4 3 0D =1 2 3 6 2 51 2 5 6 5 51 2 3 6 2 51 3 3 4 3 53 3 3 6 5 61 1 1 42 6二：如何搜索出最短路径：在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。
最短路径floyd算法
最短路径floyd算法
最短路径floyd算法，是用来求解图中任意两个顶点之间的最短路径的一种算法。
它的思想就是从图中任意一个顶点i到任意一个顶点j的路径都是经过若干个顶点中其中一个顶点k，因此我们可以把任意两个顶点i和j之间的最短路径考虑成是从i到k再到j的一条路径，那么问题就转化成了求所有顶点之间的最短路径。
那么具体的步骤是什么呢？
1. 初始化。
我们需要把图的邻接矩阵A复制一份到另外一个邻接矩阵D中，然后将D矩阵上的对角线元素赋值为0，其他的非连通的元素赋值为“∞”，表示无穷大。
2. 比较。
在接下来的循环中，我们需要比较下一步所经过的点k 对于当前的距离而言是否会缩短路径，如果是则更新矩阵D中的值。
3. 循环。
循环的次数为图中的点数，也就是需要比较n次。
在每一次循环中，我们需要比较D[i][j]和D[i][k]+D[k][j]的大小，如果前者比后者大，说明从i到k然后再到j的路径距离更短，那么我们就将D[i][j]的值更新为D[i][k]+D[k][j]。
4. 输出结果。
最后输出矩阵D中的元素，即为图的任意两点之间的最短路径距离。
需要注意的是，如果图中存在负权回路的话，那么这种算法就失效了。
因为这种算法的前提条件是所有边权均为正数，如果存在负权回路，那么就会导致无限缩小路径距离的情况，算法会一直循环下去而得不到结果。
总之，最短路径floyd算法是一种非常实用的算法，它可以帮助我们在各种情况下求解图中任意两点之间的最短路径。
只需要通过简单的代码实现，就能大大提高我们的工作效率。
最短路径算法floyd代码
最短路径算法floyd代码1.引言1.1 概述最短路径算法是图论中一个重要的问题，它的目标是找到两个节点之间最短的路径。
在实际生活中，最短路径算法被广泛应用于交通规划、物流配送、通信网络等领域。
针对不同类型的图，有不同的最短路径算法可供选择，其中Floyd算法是一种被广泛使用的算法之一。
Floyd算法是一种动态规划算法，它通过逐步优化图中各个节点之间的最短路径长度来求解最短路径。
其基本思想是通过计算任意两个节点之间的中间节点，以确定最短路径的中间节点集合。
通过反复迭代更新中间节点集合，最终可以得到节点之间的最短路径长度。
本文将介绍Floyd算法的原理和实现代码。
首先，我们将详细解释Floyd算法的原理，包括其计算最短路径的思路和步骤。
接着，我们将给出Floyd算法的代码实现，通过具体的编程示例来展示算法的具体实现过程和运行结果。
本文的目的是帮助读者了解Floyd算法，并通过实例代码帮助读者理解算法的具体实现步骤。
读者可以通过学习和实践运用Floyd算法，为实际问题寻找最短路径提供一种有效的解决方案。
此外，本文还将总结Floyd 算法的优缺点，以及对该算法在实际应用中的一些考虑和限制。
通过阅读本文并实践代码，读者将能够更好地理解Floyd算法的原理和实现方法，并在实际问题中灵活运用该算法来解决最短路径问题。
无论是对于图论的研究者还是对于应用场景中的实际需求，本文都将提供一些有价值的参考和启示。
在接下来的章节中，我们将逐步介绍Floyd算法的详细原理和代码实现。
让我们一起开始这段有趣的学习之旅吧！文章结构（Article Structure）本篇文章主要围绕最短路径算法Floyd展开讨论，按照以下结构进行阐述。
1. 引言1.1 概述：对最短路径算法的背景和应用进行简要介绍，强调其在网络通信、路线规划和图论等领域的重要性。
1.2 文章结构：本节内容。
1.3 目的：明确本文旨在通过介绍Floyd算法的原理和代码实现，帮助读者理解和应用该算法。
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• To print the intermediate nodes on the shortest path a recursive procedure that print the shortest paths from i and k, and from k to j can be used
Floyd’s Algorithm 4
The subproblems
• Let D(k)[i,j]=weight of a shortest path from vi to vj using only vertices from {v1,v2,…,vk} as intermediate vertices in the path
1 0 0 0
D1[3,2] = min( D0[3,2], D0[3,1]+D0[1,2] ) = min (-3,) = -3
Floyd’s Algorithm 11
1
4
5
2 -3
D1 = 1
3 2 3 2 4 0 -3 2 0 0 0
1 0 2
2
2 4 0 -3
3 5 7 0
1 2 D = 2 3
ห้องสมุดไป่ตู้
D3[1,2] = min(D2[1,2], D2[1,3]+D2[3,2] ) = min (4, 5+(-3)) =2
P=
1 2 3
D3[2,1] = min(D2[2,1], D2[2,3]+D2[3,1] ) = min (2, 7+ (-1)) =2
Floyd’s Algorithm 13
1 0 2 -1 1 0 0 2
3 5 7 0 3 0 1 0
k=2 Vertices 1, 2 can be intermediate
D2[1,3] = min( D1[1,3], D1[1,2]+D1[2,3] ) = min (5, 4+7) =5
P=
1 2 3
D2[3,1] = min( D1[3,1], D1[3,2]+D1[2,1] ) = min (, -3+2) = -1
Floyd’s Algorithm 9
Example
W=
1 4 2 2 -3 P= 5
D0 =
1 2 3
1 0 2
2 4 0 -3 2 0 0 0
3 5
0 3 0 0 0
3
1 2 3
1 0 0 0
Floyd’s Algorithm 10
1
4
5
2 -3
D0 =
3
2
1 2 3 3 5 7 0 3 0 1 0
• Since D(k)[i,j]= D(k-1)[i,j] or D(k)[i,j]= D(k-1)[i,k]+ D(k-1)[k,j]. We conclude: D(k)[i,j]= min{ D(k-1)[i,j], D(k-1)[i,k]+ D(k-1)[k,j] }.
Shortest path using intermediate vertices {V1, . . . Vk } Vk
Floyd’s Algorithm 12
1
4
2
D2 = 1 1 0 3 2 2 2 -3 3 -1
5
2 4 0 -3 3 5 7 0 3 0 1 0
3 5 7 0
D3 =
1 2 3
1 0 2 -1 1 0 0 2
2 2 0 -3 2 3 0 0
k=3 Vertices 1, 2, 3 can be intermediate
The subproblems
• How can we define the shortest distance di,j in terms of “smaller” problems?
• One way is to restrict the paths to only include vertices from a restricted subset. • Initially, the subset is empty. • Then, it is incrementally increased until it includes all the vertices.
– D(0)=W – D(n)=D which is the goal matrix • How do we compute D(k) from D(k-1) ?
Floyd’s Algorithm 5
The Recursive Definition:
Case 1: A shortest path from vi to vj restricted to using only vertices from {v1,v2,…,vk} as intermediate vertices does not use vk. Then D(k)[i,j]= D(k-1)[i,j]. Case 2: A shortest path from vi to vj restricted to using only vertices from {v1,v2,…,vk} as intermediate vertices does use vk. Then D(k)[i,j]= D(k-1)[i,k]+ D(k-1)[k,j].
1 0 2
2 4 0 -3
3 5
0
1 1 D = 2 3
1 0 2
2 4 0 -3 2 0 0 0
k=1 Vertex 1 can be intermediate node
D1[2,3] = min( D0[2,3], D0[2,1]+D0[1,3] ) = min (, 7) =7
P=
1 2 3
Vi
Vj
Shortest Path using intermediate vertices { V1, . . . Vk -1 }
Floyd’s Algorithm 7
The pointer array P
• Used to enable finding a shortest path • Initially the array contains 0
Floyd’s Algorithm 8
Floyd's Algorithm Using n+1 D matrices
Floyd//Computes shortest distance between all pairs of //nodes, and saves P to enable finding shortest paths 1. D0 W // initialize D array to W [ ] 2. P 0 // initialize P array to [0] 3. for k 1 to n 4. do for i 1 to n 5. do for j 1 to n 6. if (Dk-1[ i, j ] > Dk-1 [ i, k ] + Dk-1 [ k, j ] ) 7. then Dk[ i, j ] Dk-1 [ i, k ] + Dk-1 [ k, j ] 8. P[ i, j ] k; 9. else Dk[ i, j ] Dk-1 [ i, j ]
Shortest path using intermediate vertices {V1, . . . Vk } Vk
Vi
Vj
Shortest Path using intermediate vertices { V1, . . . Vk -1 }
Floyd’s Algorithm 6
The recursive definition
Floyd’s Algorithm 2
The weight matrix and the graph
1
1 2 3 4 5
1 0 9 3
2 1 0
3 3 0 2
4 1 2 4 0
5 5 3 0
v5
3 5 3
v1 1 v4
9 2 2 4
v2 3 v3
Floyd’s Algorithm 3
Floyd’s Algorithm
All pairs shortest path
Floyd’s Algorithm 1
All pairs shortest path
• The problem: find the shortest path between every pair of vertices of a graph • The graph: may contain negative edges but no negative cycles • A representation: a weight matrix where W(i,j)=0 if i=j. W(i,j)= if there is no edge between i and j. W(i,j)=“weight of edge” • Note: we have shown principle of optimality applies to shortest path problems