第6讲 matlab数学建模最短路问题
数学建模最短路问题
设链W=v0e1v1e2…eivi已选定，则从E\{e1,e2,…,ei}中选取一条与ei相邻的边ei+1，除非已无选择余地，否则不要选G\{e1,e2,…,ei}的桥。
直到(2)不能进行为止，算法终止时得到的是Euler回路。
欧拉图与Fleury算法
01
02
如果G不是连通的Euler图，则G中含有奇度顶点（但奇度顶点的个数为偶数），此时图G的一条邮递路线必定在某些街着上重复走了一次或多次，它等价于在这些边上加一条或多条重复边，使新图G' 不含奇度顶点，并且所加边的总权为最小。
01
Dijkstra Algorithm
02
Dijkstra算法所需时间与n2成正比。
最短路问题求解算法
用Dijkstra求解最短路问题
例 求从顶点u0到其余顶点的最短路。
解：先写出距离矩阵（实际应为对称矩阵）
Dijkstra算法的迭代步骤如下
u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7
1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 2 1 8 ∞ ∞ ∞ ∞ 3 2 8 ∞ ∞ 10 ∞ 4 8 3 ∞ 10 ∞ 5 8 6 10 12 6 7 10 12 7 9 12 8 12
第11章 最短路问题
添加副标题
1 问题的提出
STEP2
STEP1
图论是离散数学的重要分支，在物理学、化学、系统控制、电力通讯、编码理论、可靠性理论、科学管理、电子计算机等各个领域都具有极其广泛的应用。
1
图论的历史可以追溯到1736年，这一年发表了图论的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡（Königsberg）七桥问题。
02
1 匹配与覆盖
基本概念
定义1设若M的边互不相邻，则称M是G的一个匹配。M的边称为匹配边，E\M的边称为自由边，若(u, v)∈M，则称u（或v）是v（或u）的配偶。若顶点v与M的一条边关联，则称v是M-饱和的；否则称为M-非饱和的。若M使G中每个顶点都是M-饱和的，称M是G的完美（理想）匹配。设M是G的一个匹配，若不存在M' 使|M'|>|M|，则称M为G的最大匹配。
Dijkstra求最短路的MATLAB程序(含注释)
Dijkstra求解最短路（含注释）function [P,D]=dijkstra_pt(A,sv)%Dijkstra法求解最短路%A为邻接矩阵；%sv为寻求最短路的起始点%P为所有点的P标号，即路权值%D为sv到所有结点的最短路径矩阵%2010年8月28日凌晨1:41[n,n]=size(A);s=sv;T=inf.*ones(1,n);%T标号初始化P=inf.*ones(1,n);%P标号初始化Tv=1:1:n;%具有T标号的点，初始时，所有点均为T标号v=zeros(1,n);%结点的前驱，初始时，均为0Tm=zeros(n,n);%所有点从P标号变为T标号的过程矩阵P(s)=0;for i=1:n%将所有结点从P标号变为T标号的过程Pv(i)=s;%Pv具有P标号的结点Tv=Tmark(Tv,s);%删去具有P标号的结点Tm(s,:)=A(s,:);for k=Pv%将具有P标号的点赋值无穷大，从而不影响后面的程序取最小值Tm(s,k)=inf;T(k)=inf;endfor k=Tv%一次修改P标号点所对应的T标号点的T标号Tm(s,k)=Tm(s,k)+P(s);endfor k=Tv[x,val]=min([T(k),Tm(s,k)]);T(k)=x;%二次修改P标号点所对应的T标号点的T标号if val==2v(k)=s;%修改P标号点所对应的T标号点的前驱endend[x,val]=min(T);%寻找P标号点if x==infbreak;ends=val;P(s)=x;%修改P标号end%下面求解从sv到各点的最短路矩阵aad=zeros(1,n);%最短路临时存储向量for i=n:-1:1w=i;for k=1:n%将sv到i点的最短路倒序存储在aad中if w==0break;endaad(k)=w;w=v(w);if w==svaad(k+1)=w;break;endendfor l=1:n%将sv到i点的最短路顺序存储在D中if aad(l)==svk=1;for j=l:-1:1D(i,k)=aad(j);k=k+1;endendendaad=zeros(1,n);end[g,h]=size(D);for i=1:g%将与最短路径无关的点赋值NaNfor j=1:h%con由上面计算得到if D(i,j)==0D(i,j)=NaN;endendend%下面为在T标号结点集合中删除P标号的子函数function Tvad=Tmark(Tv,vm)tg=length(Tv);for i=1:tgif Tv(i)==vm;wd=i;break;endendTvad=[Tv(1,1:wd-1),Tv(1,wd+1:tg)];。
最短路问题(讲稿),截断切割题目与参考答案,最优截断切割问题参考案例
截断切割B题截断切割题目某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。
这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。
从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长主体的对应表面是平行的）通常要经过6次截断切割。
设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。
（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下：1、需考虑的不同切割方式的总数2、给出上述问题的数学模型和求解方法。
1、试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。
2、对于e=0的情形有无简明的优化准则。
3、用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。
垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组：a.r=1 e=0 ;b.r=1.5 e=0 ;c.r=8 ,e=0 ;d.r=1.5;2≤e≤15对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。
B题截断切割参考答案（1）需考虑的不同切割方式的总数V中共有6!=720个不同的元素，因此有720种不同的切割方式，注意到相继二次切割一对平行的平面时，交换这二次切割的先后次序不影响对应切割方式的费用，将费用相同的切割方式归成一类，每类取一种切割方式作不代表，此时仅需考虑加工费用可能不同的切割方式426种。
（2）问题归结为求一个定义在6个切割面排列次序的全体或它的一个子集上的函数的最小值。
目标函数应尽量用显式写出。
求解可用枚举法，分支定界法或其它方法，从尽可能简便有效作为评价标准：（3）一种作法如下：在直角坐标系中，表面平行于坐标平面的长方体可表示为{（x,y,z）,(a,b,c)},其中（x,y,z）为长方体某指定角点的坐标，a,b,c分别为它的长、宽、高。
第6讲最短路问题
v 1 v 2 v 3 v 4 0 2 7 v 1 A = 2 0 8 3 v 2 7 8 3 5 0 0 5 v v 4 3
返回
最短路问题及其算法
一、 基 本 概 念 二、固 定 起 点 的 最 短 路 三、每 对 顶 点 之 间 的 最 短 路
返回
基本概念
定义１ 在无向图 G=(V,E, )中：
定义３ （１）设P(u,v)是赋权图G中从u到v的路径，
则称w(P) w(e)为路径P的权． eE(P)
(2) 在赋权图G中，从顶点u到顶点v的具有最小权的路
P*(u,v)，称为u到v的最短路．
返回
固定起点的最短路
最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路． 假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从u0到其 余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树．
00 2 1 8 6 1
0 79
先 写 出 带 权 邻 接 矩 阵 ： W
0 5 1 2 0 3 9
0 4 6
0 0 3
因 G是 无 向 图 ， 故 W 是 对 称 阵 ．
迭代 次数
１ 2 3 4 5 6 7 8
最后标记:
l (v) z (v)
l(ui )
u1
u2
u3 u4
a i j 1 0 若 若 v v i i ， ， v v j j ） ） E E （ （
对 有 向 赋 权 图 Ｇ ， 其 邻 接 矩 阵 A ( a i) j ， 其 中 ：
w i j a i j 0
若 ( v i,v j) E ,且 w i为 j 其权 若 i j
若 ( v i,v j) E
a i j 1 0 若 若 v i v 与 i 与 v v j 不 j 相注相 邻 ：假设图为简单邻 图
利用Matlab编程计算最短路径及中位点选址
139§19. 利用Matlab 编程计算最短路径及中位点选址1、最短路问题两个指定顶点之间的最短路径。
例如，给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线。
以各城镇为图G 的顶点，两城镇间的直通铁路为图G 相应两顶点间的边，得图G 。
对G 的每一边e ，赋以一个实数)(e w —直通铁路的长度，称为e 的权，得到赋权图G 。
G 的子图的权是指子图的各边的权和。
问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点00,v u 间的具最小权的轨。
这条轨叫做00,v u 间的最短路，它的权叫做00,v u 间的距离，亦记作),(00v u d 。
求最短路已有成熟的算法：迪克斯特拉（Dijkstra ）算法，其基本思想是按距0u 从近到远为顺序，依次求得0u 到G 的各顶点的最短路和距离，直至0v （或直至G 的所有顶点），算法结束。
为避免重复并保留每一步的计算信息，采用了标号算法。
下面是该算法。
(i) 令0)(0=u l ，对0u v ≠，令∞=)(v l ，}{00u S =，0=i 。
(ii) 对每个i S v ∈（i i S V S \=），用)}()(),({min uv w u l v l iS u +∈代替)(v l 。
计算)}({min v l iS v ∈，把达到这个最小值的一个顶点记为1+i u ，令140}{11++=i i i u S S 。
(iii). 若1||-=V i ，停止；若1||-<V i ，用1+i 代替i ，转(ii)。
算法结束时，从0u 到各顶点v 的距离由v 的最后一次的标号)(v l 给出。
在v 进入i S 之前的标号)(v l 叫T 标号，v 进入i S 时的标号)(v l 叫P 标号。
算法就是不断修改各项点的T 标号，直至获得P 标号。
若在算法运行过程中，将每一顶点获得P 标号所由来的边在图上标明，则算法结束时，0u 至各项点的最短路也在图上标示出来了。
最短路径问题matlab求解详尽版
最短路径问题m a t l a b求解详尽版Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】MATLAB 求最短路径利用graphshortestpath 可以求最短路径，具体用法参考MATLAB帮助Examples：S=[1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 5 6 6 7 8]; %起始节点向量E=[2 3 5 4 4 6 5 7 8 6 7 8 9 9 9]; %终止节点向量W=[1 2 12 6 3 4 4 15 7 2 7 7 15 3 10]; %边权值向量，有向图，G(9,9)=0; 9个节点G=sparse(S,E,W); %关联矩阵的稀疏矩阵表示G(9,9)=0;P=biograph(G,[],'ShowWeights','on');%建立有向图对象PH=view(P);%显示各个路径权值[Dist,Path]=graphshortestpath(G,1,9,'Method','Dijkstra') %求节点1到节点9的最短路径set(Path),'Color',[1 ]);%以下三条语句用红色修饰最短路径edges=getedgesbynodeid(H,get(Path),'ID'));set(edges,'LineColor',[1 0 0]);set(edges,'LineWidth',;%以下是运行结果，节点1到节点9的最短路径为19Dist =19Path =1 3 4 5 7 9利用graphallshortestpaths可以求出所有最短路径Dists=graphallshortestpaths(G) %求所有最短路径Dists =0 1 2 5 9 6 16 12 19Inf 0 Inf 6 10 8 17 13 20Inf Inf 0 3 7 4 14 10 17Inf Inf Inf 0 4 2 11 7 14Inf Inf Inf Inf 0 Inf 7 Inf 10Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf 7 15Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf 3Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 10Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0。
matlab floyd最短路算法例题
感谢您为我指定了这个主题，让我有机会与您共享关于matlab floyd 最短路算法例题的深度和广度的文章。
在本文中，我将从浅入深地介绍这个主题，并给出相关的例题和解析，以便您能更好地理解这一算法。
1. matlab floyd最短路算法简介matlab floyd最短路算法是一种用于计算图中各顶点之间最短路径的算法。
它采用动态规划的思想，通过不断更新两点之间的最短距离来求解整个图中所有点之间的最短路径。
这个算法的时间复杂度为O(n^3)，适用于有向图或者无向图。
2. 例题分析假设我们有一个有向图，包含5个点和7条边，我们需要使用matlab floyd算法来求解任意两点之间的最短路径。
- 我们首先需要构建图的邻接矩阵，表示各点之间的距离或者权值。
我们可以根据邻接矩阵使用matlab floyd算法来求解最短路径。
- 以图中任意两点之间的最短路径为例，假设我们需要求解点1到点4之间的最短路径。
我们可以在求解过程中使用动态规划的方法，通过不断更新点1到点4的最短距离来求解最终的最短路径。
3. 个人观点和理解对于matlab floyd最短路算法，我个人认为它是一种非常实用且高效的算法。
尤其是对于大规模的图，使用matlab floyd算法可以快速地求解各点之间的最短路径，为很多实际问题的求解提供了便利。
总结与回顾通过本文的介绍和例题分析，相信您对matlab floyd最短路算法已有了更深入的理解。
希望本文能够对您有所帮助，也欢迎您共享更多关于这个主题的想法和见解。
以上是本文对matlab floyd最短路算法的介绍和分析，希望能够带给您一些启发和帮助。
如果还有其他疑问或者需要进一步讨论，欢迎随时与我交流。
matlab floyd最短路算法是一种非常重要的图论算法，它能够在有向图或者无向图中高效地求解任意两点之间的最短路径。
在本文中，我们将更加深入地了解matlab floyd最短路算法的原理和实际应用，并通过详细的例题分析来加深对该算法的理解。
matlab floyd最短路算法例题
matlab floyd最短路算法例题摘要：一、简介二、Floyd 算法的原理三、MATLAB 实现Floyd 最短路算法的例题四、Floyd 算法的适用范围和局限性五、总结正文：一、简介Floyd 算法是一种经典的动态规划算法，用于求解加权连通图中所有顶点之间的最短路径。
它可以处理有向图和无向图，同时也可以处理带有负权边的图。
Floyd 算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n 为图的顶点数。
二、Floyd 算法的原理Floyd 算法的核心思想是：对于任意两个顶点i 和j，我们可以通过若干个中间顶点k 来进行路径传递。
也就是说，从顶点i 到顶点j 的最短路径可能经过顶点k，也可能直接从顶点i 到顶点j。
因此，我们需要遍历所有可能的中间顶点k，检查从顶点i 到顶点k 再到顶点j 的路径是否比直接从顶点i 到顶点j 的路径更短。
如果成立，我们就更新从顶点i 到顶点j 的路径长度。
三、MATLAB 实现Floyd 最短路算法的例题以下是一个简单的MATLAB 实现Floyd 算法的例题：```matlab% 创建一个邻接矩阵表示的图A = [0, 1, 0, 0, 0;1, 0, 1, 0, 0;0, 1, 0, 1, 0;0, 0, 1, 0, 1;0, 0, 0, 1, 0];% 使用Floyd 算法计算最短路径dist = floyd(A);% 输出最短路径距离矩阵disp(dist);```在这个例题中，我们创建了一个5x5 的邻接矩阵A 来表示一个简单的图。
然后我们使用MATLAB 内置的floyd 函数来计算该图的所有顶点之间的最短路径。
最后，我们输出最短路径距离矩阵。
四、Floyd 算法的适用范围和局限性Floyd 算法适用于求解加权连通图中所有顶点之间的最短路径问题。
它尤其适用于处理有向图和无向图，同时也可以处理带有负权边的图。
然而，Floyd 算法不能用于构造最短路径，也不能用于计算带有负权回路的最短路径。
matlab最短路
matlab最短路算法描述:输入图G，源点v0，输出源点到各点的最短距离D 中间变量v0保存当前已经处理到的顶点集合，v1保存剩余的集合 1.初始化v1,D2.计算v0到v1各点的最短距离，保存到Dfor each i in v0;D(j)=min[D(j),G(v0(1),i)+G(i,j)] ,where j in v13.将D中最小的那一项加入到v0，并且从v1删除这一项。
4.转到2，直到v0包含所有顶点。
%dijsk最短路径算法clear,clcG=[inf inf 10 inf 30 100;inf inf 5 inf inf inf;inf 5 inf 50 inf inf;inf inf inf inf inf 10;inf inf inf 20 inf 60;inf inf inf inf inf inf; ]; %邻接矩阵N=size(G,1); %顶点数v0=1; %源点v1=ones(1,N); %除去原点后的集合v1(v0)=0;%计算和源点最近的点D=G(v0,:);while 1D2=D;for i=1:Nif v1(i)==0D2(i)=inf;endendD2[Dmin id]=min(D2);if isinf(Dmin),error,endv0=[v0 id] %将最近的点加入v0集合，并从v1集合中删除v1(id)=0;if size(v0,2)==N,break;end%计算v0(1)到v1各点的最近距离fprintf('计算v0(1)到v1各点的最近距离\n');v0,v1id=0;for j=1:N %计算到j的最近距离if v1(j)for i=1:Nif ~v1(i) %i在vo中D(j)=min(D(j),D(i)+G(i,j));endD(j)=min(D(j),G(v0(1),i)+G(i,j));endendendfprintf('最近距离\n');Dif isinf(Dmin),error,endendv0%>> v0%v0 =% 1 3 5 4 6******************************************************% Dijkstra's Shortest Path%% final = dijkstra( A, x, y )%% Description: returns the shortest path from x to y given adjacency % matrix A. Utilizes Dijkstra's shortest path algorithm. %% A = adjacency matrix of the graph (includes point x and y)% x = intial node% y = terminal node% IN = set of nodes whose shortest path from x is known % z,p = temporary nodes% d = vector of lengths from initial point. i.e. d(p) = x to p% s = vector of the previous node on a shortest path for any node %% Author: Josh Eads% Date: 1/23/2006function final = dijkstra( A, x, y )%modify A so that lengths of 0 are invalid (-1) A(find(A == 0)) = NaN;%initialize IN to include only xIN = x;%initialize ss = zeros(1,length(A));%initialize d & d(x) (distance to self) d = zeros(1,length(A));d(x) = 0;%loop through all the nodes in A for z = 1:length(A)%don't calculate values already in IN%if ~(find(IN == z))if ~isWithin(IN, z)%grab the distance from x to z from A (-1 denotes unreachable) d(z) = A(x,z);%set the previous node to xs(z) = x;endend%process nodes into IN%while y isn't in set IN%while ~(find(IN == y))while ~isWithin(IN, y)tempMin = [];%add the node not in IN with the minimum distance into INfor z = 1:length(A)%if z isn't in IN%if ~(find(IN == z))if ~isWithin(IN, z)tempMin = [tempMin, d(z)];endend%find the minimum value from tempMinp = min(tempMin);%find the minimum distance nodessearch = find(d == p);%cycle through all the minimum distance nodes until one not in IN is %foundfor i = 1:length(search)search = find(d == p);%store in p if the node isn't in INif( ~isWithin(IN, search(i)) )p = search(i);break;endend%add node p into ININ = [IN, p];%recompute d for all non-IN nodes, and adjust sfor z = 1:length(A)%if z isn't in IN%if ~(find(IN == z))if ~isWithin(IN, z)oldDistance = d(z);%if the new path is shorter for z, update d(z)d(z) = min(d(z), d(p) + A(p,z));%if the new and old distances don't match, update s(z) if ~(d(z) == oldDistance)s(z) = p;endendendend%write the shortest path to final final = y;z = y;while (z == x) == 0final = [final, s(z)];z = s(z);endfinal=fliplr(final);% isWithin Function% source = matrix to search through % search = item to search for % % returns - true if search is within source function truth =isWithin(source, search)truth = 0;for i = 1:length(source)if(source(i) == search)truth = 1;endend。
matlab最短路径问题标号法
一、介绍MATLAB是一种非常流行的数学建模和仿真软件，被广泛应用于工程、科学和金融领域。
在MATLAB中，最短路径问题是一个常见的优化问题，通常会涉及到图论、线性代数和优化算法等知识。
在解决最短路径问题时，我们常常需要使用标号法来求解，本文将对MATLAB中最短路径问题的标号法进行介绍。
二、什么是最短路径问题最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中寻找两个顶点之间的最短路径。
在实际应用中，最短路径问题通常涉及到网络规划、路线规划、物流配送等方面。
我们需要求解城市之间的最短路径来设计公交线路，或者求解货物在仓库之间的最短路径来优化物流方案。
三、最短路径问题的标号法在MATLAB中，我们可以使用标号法（Label Correcting Algorithm）来求解最短路径问题。
标号法是一种基于节点标号的启发式算法，它通过不断更新节点的标号信息来逐步搜索最短路径。
下面是标号法的基本思路：1. 初始化：我们需要对图中的节点进行初始化，设置起点的标号为0，其他节点的标号为无穷大。
2. 标号更新：我们开始不断更新节点的标号。
对于每个节点，我们计算通过它能够到达的节点的距离，并将这些距离与当前节点的标号进行比较。
如果通过当前节点到达某个邻居节点的路径距离更短，则更新该邻居节点的标号为当前节点的标号加上当前节点到邻居节点的距离。
3. 节点选择：在标号更新的过程中，我们需要选择一个未加入最短路径的节点，并将其标记为已加入最短路径。
这个过程通常会涉及到优先级队列等数据结构的使用，以便快速找到最短路径的下一个节点。
4. 终止条件：当所有节点都已加入最短路径，或者找到目标节点时，算法终止，最短路径即为标号信息所指示的路径。
四、MATLAB实现最短路径问题的标号法在MATLAB中，我们可以利用图论工具箱和优化工具箱来实现最短路径问题的标号法。
下面是一个简单的MATLAB示例：```matlab创建图N = 5; 节点数E = [1, 2; 1, 3; 2, 3; 2, 4; 3, 4; 3, 5; 4, 5]; 边集L = [1, 2, 3, 4, 5]; 标号W = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]; 权重G = digraph(E(:, 1), E(:, 2), W);最短路径求解[s, t] = deal(1, N); 起点和终点[P, D] = graphshortestpath(G, s, t, 'Method', 'positive');```在这个例子中，我们首先创建了一个有向图G，并指定了节点数N、边集E、节点标号L和边权重W。
最长路算法 和 最短路算法 matlab
*最长路function [l,t]=dijkstra_long(A,v)n=length(A);V=1:n;s=v;l=A(v,:);t=v.*ones(1,n);ss=setdiff(V,s);nn=length(ss);for j=1:n-1k=ss(1);for i=1:nnif l(k)<l(ss(i))&&l(ss(i))~=infk=ss(i);l(k)=l(ss(i));endendif l(k)==infbreak;elses=union(s,k);ss=setdiff(V,s);nn=length(ss);endif length(s)==nbreak;elsefor i=1:nnif l(ss(i))==infl(ss(i))=0;endfor m=1:nnif l(ss(i))<l(ss(m))+A(ss(m),ss(i))&&A(ss(m),ss(i))~=infl(ss(i))=l(ss(m))+A(ss(m),ss(i));t(ss(i))=ss(m);endendif l(ss(i))<l(k)+A(k,ss(i))&&A(k,ss(i))~=infl(ss(i))=l(k)+A(k,ss(i));t(ss(i))=k;endendendend最短路function [l,t]=dijkstra1(A,v)%dijkstra最短路算法,某个顶点v到其余顶点的最短路% 例：A=[0 2 8 1 inf inf inf inf%2 0 6 inf 1 inf inf inf% 8 6 0 7 5 1 2 inf% 1 inf 7 0 inf inf 9 inf% inf 1 5 inf 0 3 inf 8% inf inf 1 inf 3 0 4 6% inf inf 2 9 inf 4 0 3% inf inf inf inf 8 6 3 0];n=length(A);%顶点个数V=1:n;%顶点集合s=v;%已经找到最短路的点集，初始为vl=A(v,:);%当前v点到各个点的距离，初始为直接距离t=v.*ones(1,n);%当前距离时点的父顶点，初始都为vss=setdiff(V,s);nn=length(ss);%还没有找到最短路的点集for j=1:n-1%一共进行n-1次迭代k=ss(1);for i=1:nn%对还没有找到最短路的点if l(k)>l(ss(i))k=ss(i);l(k)=l(ss(i));%在当前一行距离中取最小值endendif l(k)==inf%如果当前行最小值是无穷大，则结束break;else%否则k点的最短路找到s=union(s,k);ss=setdiff(V,s);nn=length(ss);endif length(s)==n%全部点的最短路都找到break;elsefor i=1:nn%以k为生长点，如果通过k点会更短，则更改当前最短距离if l(ss(i))>l(k)+A(k,ss(i))l(ss(i))=l(k)+A(k,ss(i));t(ss(i))=k;endendendend。
用matlab实现寻找最短路
用matlab寻找赋权图中的最短路中的应用1引言图论是应用数学的一个分支，它的概念和结果来源都非常广泛，最早起源于一些数学游戏的难题研究，如欧拉所解决的格尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏的难题，如迷宫问题，博弈问题等。
这些古老的难题，吸引了很多学者的注意。
1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学等各个领域的问题时，发挥出很大的作用。
在实践中，图论已成为解决自然科学，工程技术，社会科学，军事等领域中许多问题的有力工具之一。
最短路问题是图论理论中的经典问题，寻找最短路径就是在指定网络中两节点间找一条距离最小的路。
2 最短路2.1 最短路的定义（short-path problem）对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了，其中对赋权图()0w≥的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra在1959年首次提出的,该算法能ij够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G中一特定点到其它各顶点的最短路。
后来海斯在Dijkstra算法的基础之上提出了海斯算法。
但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。
因此由Ford提出了Ford算法,它能有效地解决含有负权的最短路问题。
但在现实生w≥的情况下选择Dijkstra算法。
活中,我们所遇到的问题大都不含负权,所以我们在()0ij若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等，而且经常被作为一个基本的工具，用于解决其他的做优化问题。
定义1：若图G=G（V，E）中个边[v i,v j]都赋有一个实数w ij ，则称这样的图G为赋权图，w ij 称为边[v i,v j]上的权。
MATLAB算法求解最短路问题
组合优化实验报告
实验序号：
日期：
班级
姓名
学号
实验名称
最短路问题
条距离最小的路。最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如
时间、费用、线路容量等。 最短路问题也是眼下比较热门的问题，在日常生活中应用广泛，掌握最短路问题的
matlab 算法使得我们在以后的工作及生活中能够更方便的求解实际问题有较大的帮助。 5、教师评语及评分
if w==0 break;
end aad(k)=w;
w=v(w); if w==sv
aad(k+1)=w; break; end end for l=1:n%将sv到i点的最短路顺序存储在D中 if aad(l)==sv k=1; for j=l:-1:1
D(i,k)=aad( j); k=k+1; end end end aad=zeros(1,n);
(2).运行结果：
4、实验总结 通过本次的实验，使我们掌握最短路 Dijkustra 算法求解树形图有一个节点出发，到达
其它所有点的最短路问题，并且认识到计算机编程其实很不容易，想要写出一个程序并运行
需要经历许多步骤，认识到自己的不足与短处。
最短路问题是图论理论的一个经典问题。寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一
w=i; for k=1:n%将sv到i点的最短路倒序存储在aad中
if w==0 break;
图论最短路MATLAB程序
最短路法MATLAB 程序例1： 某公司在六个城市621,,,c c c 中有分公司，从i c 到j c的直接航程票价记在下述矩阵的),(j i 位置上。
（∞表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市1c 到其它城市间的票价最便宜的路线图。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞∞055252510550102025251001020402010015252015050102540500 用矩阵n n a ⨯（n 为顶点个数）存放各边权的邻接矩阵，行向量pb 、1index 、2index 、d 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、最短通路的值。
其中分量⎩⎨⎧=顶点未标号当第顶点已标号当第i i i pb 01)(； )(2i index 存放始点到第i 点最短通路中第i 顶点前一顶点的序号；)(i d 存放由始点到第i 点最短通路的值。
求第一个城市到其它城市的最短路径的Matlab 程序如下：程序一：clc,cleara=zeros(6); %邻接矩阵初始化a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;a(3,4)=10;a(3,5)=20;a(4,5)=10;a(4,6)=25;a(5,6)=55;a=a+a'; %将矩阵数据对称赋予矩阵a(find(a==0))=inf; %找到0值并赋值为infpb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a)); d(1:length(a))=inf;d(1)=0;temp=1; %最新的P标号的顶点while sum(pb)<length(a)tb=find(pb==0);d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb)); %d指标号顶点索引、tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));temp=tb(tmpb(1)); %可能有多个点同时达到最小值，只取其中的一个pb(temp)=1;index1=[index1,temp]; %intex1指标号顶点顺序temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));index2(temp)=index1(temp2(1)); %intex2指标号顶点索引endd, index1, index2程序二clear;clc;M=10000;a(1,:)=[0,50,M,40,25,10];a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25];a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M];a(4,:)=[zeros(1,4),10,25];a(5,:)=[zeros(1,5),55];a(6,:)=zeros(1,6);a=a+a';pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;d(1:length(a))=M;d(1)=0;temp=1; while sum(pb)<length(a)tb=find(pb==0);d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));temp=tb(tmpb(1)); pb(temp)=1;endd。
MATLAB编程：最短路问题
z 则 令 l(v ) = l(u ) W (u , v ) , (v ) = u
（ 3） 设 v 是 使 l(v ) 取 最 小 值 的 S
定 义 ３ （ １ ） 设 P (u ,v)是 赋 权 图 G 中 从 u 到 v 的 路 径 ， 则 称 w(P)
e E ( P )
w (e) 为 路 径
P 的权．
(2 )
在赋权图 G 中，从顶点 u 到顶点 v 的具有最小权的路
P (u , v ) ， 称 为 u 到 v 的 最 短 路 ．
u2
u 6
6
u5
图 G 的 边 为 边 集 的 图 G 的 子 图 ， 称 为 G 的 由 V 1 导 出 的 子 图 ， 记 为 G[V 1 ]. (3)设 E 1 E ,且 E 1 ,以 E 1 为 边 集 ,E 1 的 端 点 集 为 顶 点 集 的 图 G 的 子 图 , 称 为 G 的 由 E 1 导 出 的 子 图 ,记 为 G[E 1 ].
返回
邻接矩阵
对 无 向 图 Ｇ ， 其 邻 接 矩 阵 A ( a ij ) ， 其 中 ：
a ij
1 0
若 v i 与 v j 相邻 若 v i 与 v j 不相邻
v1 A= 0 1 0 1 v2 1 0 1 1 0 1 0 1
注：假设图为简单图
返回
顶点的次数
定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的 数目（环 算两次） 称 为 v 的 次 数 ， 记 为 d (v)． （２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度， 记 为 d + ( v)， 从 顶 点 v 引 入 的 边 的 数 目 称 为 的 入 度 ， 记 为 d - (v)， d ( v)= d + ( v)+ d - ( v) 称 为 v 的 次 数 ．
用matlab实现寻找最短路
用matlab寻找赋权图中的最短路中的应用1引言图论是应用数学的一个分支，它的概念和结果来源都非常广泛，最早起源于一些数学游戏的难题研究，如欧拉所解决的格尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏的难题，如迷宫问题，博弈问题等。
这些古老的难题，吸引了很多学者的注意。
1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学等各个领域的问题时，发挥出很大的作用。
在实践中，图论已成为解决自然科学，工程技术，社会科学，军事等领域中许多问题的有力工具之一。
最短路问题是图论理论中的经典问题，寻找最短路径就是在指定网络中两节点间找一条距离最小的路。
2 最短路2.1 最短路的定义（short-path problem）对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了，其中对赋权图()0w≥的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra在1959年首次提出的,该算法能ij够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G中一特定点到其它各顶点的最短路。
后来海斯在Dijkstra算法的基础之上提出了海斯算法。
但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。
因此由Ford提出了Ford算法,它能有效地解决含有负权的最短路问题。
但在现实生w≥的情况下选择Dijkstra算法。
活中,我们所遇到的问题大都不含负权,所以我们在()0ij若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等，而且经常被作为一个基本的工具，用于解决其他的做优化问题。
定义1：若图G=G（V，E）中个边[v i,v j]都赋有一个实数w ij ，则称这样的图G为赋权图，w ij 称为边[v i,v j]上的权。
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基本概念
定义１ 在无向图 G=(V,E, )中： （１）顶点与边相互交错且(ei ) vi1vi (i=1,2,…k)的有限非空序列 w (v0e1v1e2 vk1ek vk ) 称为一条从v0 到vk 的通路，记为Wv0vk （２）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为Tv0vk （３）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为Pv0 vk
7 10 12
9 12
12
最l(v后) 标记: z (v)
02
u1 u1
1
u1
u
7
6
u2 3 u5 6 u49 u152
l(ui )
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8
最后标记:
l(v)
02
17
3
6 9 12
z (v)
u1 u1
u1 u6
u2
u5
p2
r,
( ) ip 2
p3 ,…,rip(k )
pk
（２） 向点
j
追朔得：
r ( ) p1 j
q1
r,
( ) q1 j
q2
,…,
r ( qm
) j
j
则由点i到j的最短路的路径为： i, pk , , p2 , p1,q1, q2 , , qm , j
i
pk
p3 p2 p1
q1
q2
qm
j
返回
算法步骤
因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点 的最短路．
Dijkstra 算法：求 G 中从顶点 u0 到其余顶点的最短路 设 G 为赋权有向图或无向图，G 边上的权均非负．
对每个顶点，定义两个标记（l(v) ，z(v) ），其中: l(v) ：表从顶点 u0 到 v 的一条路的权． z(v) ：v 的父亲点，用以确定最短路的路线
0 4 6
0
3 0
因 G 是无向图，故 W 是对称阵．
迭代 次数
１ 2 3 4 5 6 7 8
l(ui )
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8
０
0 ２ １ ８
2
8
8
3
10
10
8
6 10 12
通路Wv1v4 v1e4v4e5v2e1v1e4v4 道路 Tv1v4 v1e1v2e5v4e6v2e2v3e3v4 路径 Pv1v4 v1e1v2e5v4
定义２ （１）任意两点均有路径的图称为连通图． （２）起点与终点重合的路径称为圈． （３）连通而无圈的图称为树．
定义３ （１）设 P(u,v)是赋权图 G 中从 u 到 v 的路径，
特别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图．
(e),则称 G1 是 G 的子图．
(2) 设 V1 V，且 V1 ，以 V1 为顶点集、两个端点都在 V1 中的
图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1 导出的子图，记为 G[V1].
(3)设 E1 E,且 E1 ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图,
)
min{
d
( ij
1)
,
d
( i
1)
d(j 1) }
d
( ij
)
是从
vi
到
vj
的只允许以
v1、v2、…、v
作为中间点的路径中最短路
的长度．即是从 vi 到 vj 中间可插入任何顶点的路径中最短路的长，因此
D( )即是距离矩阵．
返回
算法原理—— 求路径矩阵的方法
在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵R．
为顶点的数目．
( 7)若 V=X Y，X Y= ，X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶
点不相邻，称 G 为二元图；若 X 中每一顶点皆与 Y 中一切顶点 相邻，称为完备二元图，记为 Km,n，其中 m,n 分别为 X 与 Y 的顶 点数目．
返回
顶点的次数
定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数目（环算两次） 称为 v 的次数，记为 d(v)． （２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度， 记为 d+(v)，从顶点 v 引入的边的数目称为的入度，记为 d-(v)， d(v)=d+(v)+d-(v)称为 v 的次数．
数学建模与数学实验 最短路问题
后勤工程学院数学教研室
实验目的 1、了解最短路的算法及其应用
2、会用Matlab软件求最短路
实验内容
1、图 论 的 基 本 概 念 2、最 短 路 问 题 及 其 算 法 3、最小生成树问题及其算法
4、最 短 路 的 应 用
5、建模案例：最优截断切割问题
6、实验作业
图论的基本概念
算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最 终l (v )
u0 到 v 的最短路的权．
S：具有永久标号的顶点集
为从顶点
输入: G 的带权邻接矩阵w(u, v)
算法步骤：
（１）赋初值：令 S＝{u0 }, l(u0 ) =0 v S V \ S ,令l(v) =W (u0 , v) , z(v)u=0 u u0
即当vk被插入任何两点间的最短 路径时，被记录在R(k)中，依次 求 D时() 求得 ，R() 可由 来R() 查找 任何点对之间最短路的路径．
返回
算法原理—— 查找最短路路径的方法
若rij( ) p1 ，则点 p1 是点 i 到点 j 的最短路的中间点.
然后用同样的方法再分头查找．若：
（１）向点 i 追朔得：rip(1 )
u4
u5
u2
u5
u1
u4
u3
u6 u7
u8
返回
每对顶点之间的最短路
（一）算法的基本思想 (二)算法原理
1、求距离矩阵的方法 2、求路径矩阵的方法 3、查找最短路路径的方法 （三）算法步骤
返回
算法的基本思想
直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法
依次构造出 个矩阵 最后得到的矩阵 D(
D(1)、 D(2)、… 、D( )，使
d (v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
定理１ d(v) 2(G) vV (G)
推论１ 任何图中奇次顶点的总数必为偶数．
例 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数。
返回
子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 ) (1) 若 V1 V，E1 E,且当 e E1 时，1 (e)=
（2）更新l(v) 、 z(v) ： v S V \ S ,若l(v) 则令l(v) = l(u) W (u, v) ,z(v) = u
>l(u) W(u,v)
（3） 设v* 是使l(v) 取最小值的S 中的顶点，则令 S=S∪v{* }， u v*
（4） 若S φ，转 2，否则，停止.
则称w(P) w(e) 为路径 P 的权． eE ( P)
(2) 在赋权图 G 中，从顶点 u 到顶点 v 的具有最小权的路
P* (u, v) ，称为 u 到 v 的最短路．
返回
固定起点的最短路
最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路． 假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从u0到其 余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树．
用上述算法求出的l(v) 就是u0 到v 的最短路的权，从v 的父亲标 记 z(v) 追溯到u0 , 就得到u0 到v 的最短路的路线.
例 求下图从顶点 u1 到其余顶点的最短路． TO MATLAB(road1)
先写出带权邻接矩阵：
0
2 0
1
0
8 6
7
1
9
W
0 5 1 2 0 3 9
[3] 是从边集 E 到顶点集 V 中的有序或无序的元素
偶对的集合的映射，称为关联函数. 例1 设 G=(V,E, )，其中 V={v1 ,v2 , v3 , v4}， E={e1, e2 , e3, e4, e5},
(e1) v1v2 , (e2 ) v1v3, (e3 ) v1v4 , (e4 ) v1v4 , (e5 ) v3v3 .
一、 图 的 概 念 1、图的定义 2、顶点的次数 3、子图
二、 图 的 矩 阵 表 示 1、 关联矩阵
2、 邻接矩阵
返回
图的定义
定义 有序三元组G=(V,E, )称为一个图.
[1] V={v1, v2 , , vn } 是有穷非空集，称为顶点集，
其中的元素叫图 G 的顶点. [2] E 称为边集，其中的元素叫图 G 的边.
wij aij 0
若(vi , v j ) E,且wij为其权 若i j
若(vi , v j ) E
无向赋权图的邻接矩阵可类似定义．
v1
0
A= 2
7
v2 v3 v4
2 7 v1 0 8 3 v2
8 3
0 5
5 0
v3 v4
返回
最短路问题及其算法
一、 基 本 概 念 二、固 定 起 点 的 最 短 路 三、每 对 顶 点 之 间 的 最 短 路
称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
G
G[{v1,v4,v5}]
G[{e1,e2,e3}] 返回
关联矩阵
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
mij 10
若vi与e j相关联 若vi与e j不关联
注：假设图为简单图
e1 e2 e3 e4 e5
1 0 0 0 1 v1
(3) 若 k= ，停止．否则 k k+1，转（２）．
例 求下图中加权图的任意两点间的距离与路径．