利率期货与期权

V (t ) [1 e( RK R'K )(T *T ) ]er '(T t )
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欧洲美元期货合约
• 欧洲美元
– 处于美国境外的美元存款都可以称为欧洲美元。 – 由于不受美联储的监管，其借贷利率比美国本土稍高。 – London Inter-Bank Offer Rate
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示例：长期国债期货
• 假设某长期国债期货合约的最佳交割债券为年率12%，转 换率1.4000的长期国债。这种债券上一次利息支付为60 天以前，目前离下一次利息支付还有122天，离下下一次 利息支付还有305天，离期货合约交割日还有270天。假 设无风险连续利率在各个期限上都是10%。目前最佳交割 债券的净价为120.00美元。问期货合约的报价应该是多少？
签订协议 0 借贷 1 还本付息 2
签订协议
0
现金结算
1 2
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协议远期利率
r* r 0 T RK T*
这份协议对借入方来说，0期的价值为:
V (0) e rT e RK (T *T ) e r*T *
利率期货与期权
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利率期货与期权
• 利率期货/远期
– 短期国债期货/欧洲美元期货 – 中长期国债期货 – 远期利率协议
• 利率期权
– 场内期权：以国债期货为交割品的期权 – 场外期权：Caps/Floors/Collars
• 解决方案
– 作为折现因子，利率是确定的； – 作为债券定价因子，利率是随机的。
• 定价公式
– F＝(S－I) er(T-t) – 其中I为交割品在(t, T)间收入的现值。
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1.1 中长期国债期货
• 中期国债期货
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远期利率的推导
• 条件
– T*年即期连续利率为r* – T年即期连续利率为r，T < T* – 求从第T年开始的T*-T年远期利率f
• 无套利定价
– 策略A：直接以r*的年利率投资T*年 – 策略B：以r的年利率投资T年，然后以f 的远期利率投资T*-T年。 – 两者的收益率应该是一致的。
rT f (T *T )
• 结算指标
– 报价：100 - LIBOR – 现金价格＝10,000×[100-0.25×LIBOR]
• 欧洲美元期货与短期国债期货
– 前者必须以现金结算，后者可以用现货交割。 – 前者是利率期货，而后者则是贴现率期货
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• 到期之前交割品的现金流入折现值
– 利息发放＝12%/2×100×e-10%×122/365＝5.803
• 期货价格（全价）
– F＝(121.978－5.803）×e10%×(122+148)/365＝125.095
• 期货价格（净价）
– 到期时债券应计利息＝12%/2×100×148/183＝4.852 – 到期时最佳交割品远期净价＝125.095－4.852＝120.242 – 期货报价＝120.242÷1.4000＝85.887
付息日
当前时点 60天 122天
付息日 148天
期货合约 到日日 35天
付息日
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答案
• 即期最佳交割品的全价
– 应计利息＝12%/2×100×60/182＝1.978 – 全价＝120＋1.978＝121.978
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远期利率协议的价值
r” r’ 0 t T R’K T*
• 条件
– 0≤t≤T，r’和r”为在t期时期限为T-t和T*-t的即期 利率。 – 求远期利率协议的价值。
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远期利率协议的价值
r” r’ 0 t T +1 ? T*
• 交割价格
– 交割价格＝结算价×转换因子＋应计利息
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示例
• 计算以下两种长期国债的转换因子。
– 离到期日还有20年1个月，票面利率12%的长期国债A。 – 离到期日还有20年4个月，票面利率10%的长期国债B。
eபைடு நூலகம்
e
e
r*T *
r * T * rT f T * T
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远期利率协议
• 远期利率协议（Forward Rate Agreements）
– 指的是协议双方约定在将来某个确定时间按照确定的 数额、利率和期限进行借贷的合约。 – 远期利率协议一般不进行实际的借贷，而是以约定利 率与市场利率的差额现金结算。
参考书目：Option, Futures and Other Derivatives Chapter 4/16
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利率期货的定价理念
• 利率衍生品定价的难点
– 需要完整描述整个利率期限结构； – 利率期限结构不同点的利率波动性不同； – 利率同时作为支付函数和折现因子的参数。
– 离到期日还有6.5-10年的国债均可以作为交割品。
• 5年期国债期货
– 最新发行的4种5年期国债均可作为交割品。
• 长期国债期货
– 离到期日还有15年以上的不可赎回国债或者离赎回日还有15年以 上的国债均可作为交割品。 – 标准品为15年期，息票率6%的国债。 – 其他国债均需计算转换因子，确定交割的实际价格。
• Wild Card Play
– – – – 债券期货的交易在下午2点结束 债券现货的交易直到下午4点结束 如果2点以后债券现货价格下降，空方发出交割通知 如果2点以后债券现货价格没有下降，继续持有头寸至下一交易日
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示例：30年期国债期货
• Contract Size
– One U.S. Treasury bond having a face value at maturity of $100,000 or multiple thereof.
• Deliverable Grades
– U.S. Treasury bonds that, if callable, are not callable for at least 15 years from the first day of the delivery month or, if not callable, have a maturity of at least 15 years from the first day of the delivery month. The invoice price equals the futures settlement price times a conversion factor plus accrued interest. The conversion factor is the price of the delivered bond ($1 par value) to yield 6 percent.
即期/远期利率
• 即期利率（spot rate）
– 指从当前时点开始至未来某一时点止的利率，有时也 称零息债券收益率（Zero-coupon yield）。
• 远期利率（forward rate）
– 指从未来某时点开始至未来另一时点止的利率。
即期1年利率 0 1 远期1年利率 2
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e RK (T T *)
• 将远期利率的隐含现金流贴现：
V (t ) er '(T t ) er"( T *t )e RK (T T *)
• 在t时点新订立一份远期利率协议的公平利率是：
r" (T * t ) r ' (T t ) R'K T * T
• 因此远期利率协议的价值也可以表示为：
答案：首先对到期期限取整，国债A的应计期限为20年，国债B为20年零3 个月。 对于A来说，现值相当于按照3%利率贴现的40年期年付6%的债券，应用现 值工具可以方便算出其现值为169.34，所以转换因子为1.6934。 对于B来说，第一次计息点为三个月后，所以其在三个月后的价值相当于按 照3%利率贴现的40年期年付5%的债券加上第一期的利息，再折现到现在 的价值约为149.01，所以转换因子为1.4901。 Excel公式：=-pv(折现率，期数，每期利息，面额)
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逼仓（Corner The Market）
• 含义
– 逼仓指某投资者群体故意持有大量多头头寸，从而对交割品供应 实现控制。 – 当交割日临近时，多头大户故意不平仓，从而使得市场的总持仓 量大大超过现货市场存量。空头交易者此时面临交割压力，不得 不以高价平仓，从而遭受亏损。 – 为了避免控制市场现象出现，交易所可能在出现异常现象时提高 保证金比例，严格限制持仓总量，禁止投机者增加头寸，甚至强 制平仓。
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实际交割
• 最佳交割债券(Cheapest-to-Deliver Bond)
– – – – 交割收益最高的债券为最佳交割债券。 交割成本＝债券市价＋应计利息 交割收入＝结算价×转换因子＋应计利息 交割收益＝结算价×转换因子－债券市价
• 定价
– – – – – T和T*分别为国债期货交割和国债到期的时点。 r和r*分别为T和T*期的即期利率。 国债到期时的价值是100, 所以现值V*=100e-r*T* F = SerT = 100e-r*T*ert =100eRk(T*-T) Rk=(r*T*-rT)/(T*-T)
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考虑到远期合约在订立时价值为0，所以：
rT RK (T * T ) r *T *
也即：
r * T * rT RK T * T
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结算
• 在T时点，双方或者履行协议或者现金结算。 • 结算金额
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2. 利率期权
• 国债期权
– 美国：交割品为国债期货或欧洲美元期货 – 德国：以期货方式缴纳期权保证金
• 利率上下限
– 理论交割品为一笔贷款
• 其它期权
– 互换期权：以利率互换合约为交割品的期权； – 利差期权：以利差指数为交割品的期权； – 联邦基金期权：以联邦基金利率为交割品的期权。
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转换因子
• 转换因子
– 期限在15年以上的国债基本上都可以用于长期国债期货的交割。 – 不同期限与息票率的长期国债价值用转换因子进行换算。
• 计算
– 首先将到期期限进行以3个月为单位的取整。 – 对于取整到期期限为半年倍数的国债，计算时假设其第一笔利息 支付将在6个月后，按6%的年率，每年两次计息折现。 – 对于取整到期期限不为半年倍数的国债，计算时假设其第一笔利 息支付将在3个月后，按6%的年率，每年两次计息折现。
• 经典的逼仓案例
– 1995年327国债期货 – 1998年恒生指数争夺战
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1.2 短期国债期货
• 短期国债期货
– – – – 指以90天期的国债为交割品的期货合约。 交割日为交割月份第一笔13周短期国债的发行日。 结算价：10,000×[100-0.25×贴现率] 报价：100 – 贴现率
– 假设T 时点时的T*-T期即期利率为R – 资金的借入方在T时点的净盈利/亏损为：
1 e
1 1 e
RK (T *T ) R (T *T )
( RK R )(T *T )
e
– 如果RK < R，则借入方有盈利，反之则亏损。
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