2018年江苏省南京市高考数学一模试卷

2018年江苏省南京市高考数学一模试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B= ．

2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）•z为纯虚数，则a的值为．

3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为．

4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的

值为．

5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．6．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值为．

7．（5分）设函数y=e x﹣a的值域为A，若A⊆[0，+∞），则实数a的取值范围是．

8．（5分）已知锐角α，β满足（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，则α+β的值为．

9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是．

10．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为．11．（5分）设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）

=，若函数y=f（x）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是．

12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（x﹣3）上存在一点P，圆x2+（y﹣1）2=1上存在一点Q，满足=3，则实数k的最小值为．

13．（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则的最大值为．

14．（5分）若不等式ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为．

二、解答题（共6小题，满分90分）

15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．

（1）求证：BN∥平面A1MC；

（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．

16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=．

（1）若C=2B，求cosB的值；

（2）若=，求cos（B）的值．

17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N．（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最

大？

18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q的坐标为（）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程．

19．（16分）设数列{a n}满足a=a n+1a n﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．

（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；

（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m•a n ≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；

（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n+T=a n对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．

20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+（a，b，c∈R）．

（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b的值；

（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g （x2）=f（x0），求c的最小值；

（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．

[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选

修4-1：几何证明选讲]图

21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E 到直径AB的距离EF．

[选修4-2：矩阵与变换]

22．（10分）已知矩阵M=，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+）=1与曲线ρ=r（r ＞0）相切，求r的值．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x 的值．

25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱

形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC 中点，AC=4，BD=2，OP=4．

（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；

（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．

26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=C n0C n1+2C n1C n2+…+nC n n ﹣1C n n．

（1）求f（1），f（2），f（3）的值；

（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．