22.2 二次函数与一元二次方程解析
22.2 二次函数与一元二次方程
集是
.
-1<x<3
关闭
答案
6.利用二次函数的图象求方程-
1 2
x2+x+2=0的近似解(精确到0.1).
解: 函数 y=-12x2+x+2 的图象如图.
设-12x2+x+2=0 的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知
-2<x1<-1,3<x2<4.
因为当 x=-1 时,y=-12×(-1)2-1+2=0.5>0,
解得 k=196.
(2)由题意,得 b2-4ac=b2-8=0,解得 b=±2 2.
∵x=-������>0,∴b<0,
关闭
(1)1∴96 b=(2-2)2-22.2
解析 答案
5.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,
若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c<0的解
-1.4 -0.38 3.2 0.08
-1.3 -0.145 3.3 -0.145
-1.2 0.08 3.4 -0.38
-1.1 0.295 3.5 -0.625
所以方程-12x2+x+2=0 的根 x1 的近似值为-1.2,x2 的近似值为 3.2.
当 x=-1.5 时,y=-12×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0,
所以-1.5<x1<-1.
因为当 x=3 时,y=-12×32+3+2=0.5>0,当 x=3.5
时,y=-12×3.52+3.5+2=-0.625<0,
人教版九年级上册数学第22章 二次函数 二次函数与一元二次方程之间的关系
22.2二次函数与一元二次方程
第1课时二次函数与一元二 次方程之间的关系
1 课堂讲解 二次函数
一元二次方程 实数根的个数
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
以前我们从一次函数的角度看一元一次方程， 认识了一次函数与一元一次方程的联系．本节 我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识 二次函数与一元二次方程的联系．先来看下面 的问题．
3 A．x1＜－1＜2＜x2B．－1＜x1＜2＜x2 4 C．－1＜x1＜x2＜2D．x1＜－1＜x2＜2
知2－导
知识点 2 二次函数与其图象与x轴的交点个数之间的关系
二次函数y=x2+x-2,y=x2-6x+9,y=x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程x2+x-2=0,x2-6x+9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一 元 二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
由“数” 到“形”
由“形” 到“数”
图象
与x轴交点情况
完成教材中习题
解：无实根
知2－导
二次函数
与x轴交点坐 标
相应方程的根
y=x2+x-2 (-2,0),(3,0)
x1=x2=3
y=x2-x+1 无交点 无实根
归纳
知2－讲
通过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知, (1)如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有公 共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时, 函数的值为0,因此x=x0就是方程ax2+bx+ c=0的一个根.
人教版数学九年级上册教学设计22.2《二次函数与一元二次方程》
人教版数学九年级上册教学设计22.2《二次函数与一元二次方程》一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.2节《二次函数与一元二次方程》是本册教材的重要内容，主要介绍了二次函数与一元二次方程之间的关系。
通过本节课的学习，学生能够理解二次函数的图像与一元二次方程的解法，从而更好地解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数和方程的基础知识，对于函数的概念、图像和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数与一元二次方程之间的联系，以及如何运用二次函数的性质解决实际问题，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系，并通过实例演示如何运用二次函数解决实际问题。
三. 教学目标1.理解二次函数的图像与一元二次方程的解法之间的关系。
2.学会运用二次函数的性质解决实际问题。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的图像与一元二次方程的解法之间的关系。
2.如何运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索、发现、总结二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.运用多媒体课件辅助教学，直观展示二次函数的图像和一元二次方程的解法，帮助学生更好地理解知识点。
3.结合实际例子，让学生亲自动手操作，运用二次函数解决实际问题。
4.采用小组讨论、合作交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体课件和教学素材。
2.准备一些实际问题，用于让学生运用二次函数解决。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何运用数学知识解决实际问题。
例如，假设一个物体从静止开始做匀加速直线运动，已知初速度为0，加速度为2m/s²，求物体运动5秒后的位移。
2.呈现（10分钟）呈现二次函数y=ax²+bx+c的图像，同时呈现相应的一元二次方程ax²+bx+c=0的解法。
22.2二次函数与一元二次方程
22.2二次函数与一元二次方程问题：二次函数的223y x x =--的图象如图所示。
根据图象回答：⑴ x 为何值时, 0y =？⑵ 你能根据图象，求方程2230x x --=的根吗？⑶ 你认为二次函数223y x x =--与方程2230x x --=之间有何关系呢？请你谈一谈你的看法。
探究（一）二次函数与一元二次方程之间的关系如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系：2205h t t =-。
考虑以下问题：⑴ 球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞行时间？ ⑵ 球的飞行高度能否达到20m ？如能，需要多少飞行时间？ ⑶ 球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？ ⑷ 球从飞出到落地需要多少时间？知识总结：一般地，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为m,求自变量x 的值,可以看作解一元二次方程__________________.反之,解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝m 又可以看作已知二次函数_______________的值为______时自变量x 的值。
所以：⑴ 如果抛物线2y ax bx c =++与x 轴有公共点（x 0，0），那么 就是方程20ax bx c ++=的一个根。
⑵ 抛物线与x 轴的三种位置关系：相交，即有_____公共点；相切，即有______公共点；相离，即______公共点。
这对应着一元二次方程根的三种情况：有 实数根；有________ 的实数根； ______的实数根。
（3）二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）基础练习：1. 二次函数232+-=x x y ，当x ＝1时，y ＝______；当y ＝0时，x ＝______． 2．抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 3、二次函数642+-=x x y ，当x ＝________时，y ＝3．4、抛物线 y=2x 2－3x －5 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点5、一元二次方程 3 x 2+x －10=0的两个根是x 1=－2 ，x 2=5/3，那么二次函数 y= 3 x 2+x －10与x 轴的交点坐标是4.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 (1)方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________; (2)方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________; (3)方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________;变式训练：1.不与x 轴相交的抛物线是（ ）A. y = 2x 2 – 3B. y=－2 x 2 + 3C. y= －x 2 – 3xD. y=－2(x+1)2 －3 2.若抛物线 y = ax 2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x 轴交点情况是（ ） A. 无交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 不能确定3.已知抛物线y = ax 2+bx+c 的图象如图,则关于x 的方程ax 2 + bx + c －3 = 0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根4、已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根判断方程 ax 2+bx+c =0 (a ≠0,a,b,c 为常数)一个解x 的范围是（ ）A. 3< x < 3.23B. 3.23 < x < 3.24C. 3.24 <x< 3.25D. 3.25 <x< 3.26 6、关于x 的一元二次方程 x 2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x 2－2x+m 与x 轴有＿＿个交点.7.已知抛物线 y=x 2 – 8x + c 的顶点在 x 轴上，则 c =＿＿.8.若抛物线 y=x 2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x 2 + bx+ c =0 的根的情况是 。
22.2二次函数与一元二次方程
是否有公共点，并说明理由．
(1) y=x2-4x+3
(2) y=x2-6x+9
(3) y=x2-x+1
• 例2．已知抛物线 y=x2-2x+k
• （1）当k取什么值时，抛物线与x轴有两个交点？ • （2）当k取什么值时，抛物线与x轴有一个公共点？并求
出这个公共点的坐标． • （3）当k取什么值时，抛物线与x轴没有公共点?
决函数问题，同样运用函数知识又可以解决
方程根的问题.(数形结合)
下列情形时，如果a＞0，抛物线y=ax2+bx+c的顶点在什么 位置？
（1）方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；
（2）方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；
（3）方程ax2+bx+c=0无实数根。
如果a＜0呢？
今 天 就休 到息 这一 吧会
O
x
归纳整理、理清关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二 次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
一元二次方程 ax2+bx+c=0根 的判别式Δ=b2-4ac
Δ=b2-4ac > 0
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴的交点
有两个相异的实数根
ax²+ bx + c = 0
二次函数与一元二次 方程有什么关系？
y ax2 bx c
一、复习回顾
1. 一次函数y=2x-4与x轴交点坐标是？
2x-4=0 x =2
22.2第二讲 二次函数与方程和不等式及最值
二次函数与方程、不等式关系及二次函数最值【要点梳理】要点一：二次函数与一元二次方程的关系要点二：二次函数与一元二次不等式的关系的图象的解方程有两个相等实数解要点三：二次函数求最值1.对于二次函数的最值问题我们一般转化为其顶点式来解决。
2.对于自变量x 取值范围没有要求的情况，函数的最值在抛物线的顶点处取得；3.对于自变量x 取值范围有特殊要求的，函数的最值需要根据函数此区间的单调性情况来判断；4.抛物线的对称性也是解决函数最值问题的关键。
要点四：二次函数线段、面积最值1. 二次函数与一次函数相结合2. 有线段最值，求面积最值【金题精讲】例1.二次函数的图像与x 轴有2个交点，则k 的取值范围为【变式1】若函数的图像与x 轴有且只有一个交点，在a 的值为_____。
【变式2】二次函数的图像与坐标轴只有两个交点，则c 的值为________。
【变式3】关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数 与轴必然相交于_______点，此时________。
【变式4】直线1+=x y 与抛物线232++=x x y 的交点的个数为__________ 【变式5】如图，抛物线与直线y=bx+c 的两个交点分别为A(-2,4),B(1,1)，则关于x 的方程的解为___________.)0()a(2≠+-=a k h x y 362+-=x kx y a x x a y 24)1(2+--=32+++=c cx x y x 25mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =2ax y =02=--c bx ax【变式6】已知函数 ，若使y=k 成立的x 的值恰好有3个,则k 的值为_____。
例2.二次函数，当x 满足什么条件时，函数值y 大于0？小于0？【变式1】如图二次函数的图像经过点（-1，0）、（3,0），当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A.x ≤-1或x ≥3B.x ＜-1或x ＞3C.-1＜x ＜3D.-1≤x ≤3【变式2】如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式 ＜0的解集是（ ）A.-1＜x ＜5B.x ＞5C.x ＜-1且x ＞5D.x ＜-1或x ＞5【变式3】二次函数的函数值大于一次函数y=x -1的数值时，求x 的取值范围。
九年级数学人教版第二十二章二次函数22.2用函数观点看一元二次方程(同步课本知识图文结合例题详解)
多少飞行时间？
20.5 h
（3）解方程 20.5=20t+5t2
O
t
t24t+4.1=0 因为(4)244.1<0,所以方程无解。 球的飞行高度达不到20.5米
你能结合图形指 出为什么球不能 达到20.5m的高 度?
九年级数学第22章二次函数
（4）球从飞出到落地要用多少时间？ h
O
t
九年级数学第22章二次函数
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二 次方程ax2+bx+c=0的解是 x1=0，x2=5 .金华中考）若二次函数y=-x2+2x+k
y
的部分图象如图所示，且关于x的一元二
次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一 O 1 3 x 个解x2= -1 ；
九年级数学第22章二次函数
4．（绥化中考）抛物线
y x2 4x m 2
与x轴的一个交点的坐标为（l,0), 则此抛物线与x轴
的另一个交点的坐标是 （3，0） .
九年级数学第22章二次函数
5. （济宁中考）已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自 变量x之间的部分对应值如下表所示： 点A(x1,y1)、B(x2,y2)在函数的图象上， 则当1<x1<2,3<x2<4时，y1 与y2的大小关系正确的是（ ） A.y1 >y2 B. y1 < y2 C. y1 ≥y2 D.y1 ≤ y2
没有交点
有两个不相 等的实数根
有两个相等 的实数根
没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
专题22.2 二次函数与一元二次方程(讲练)(解析版)
专题22.2二次函数与一元二次方程（讲练）一、知识点二、标准例题：例1：如图，已知二次函数2y ax bx c=++的部分图象，由图象可估计关于x的一元二次方程20ax bx c++=的两个根分别是1 1.6x=，2x=A．-1.6 B．3.2C．4.4 D．5.2【答案】C【解析】由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4．故选C．总结：此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与x 轴交点坐标，是一道较为简单的试题．例2：如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）和一次函数1y x =-的图象交于(2,3)A --，(1,0)B 两点，则方程2(1)10ax b x c +-++=（0a ≠）的根为（ ）A ．122,3x x =-=-B ．121,0x x ==C ．122,1x x =-=D ．123,0x x =-=【答案】C【解析】解：∵2(1)10ax b x c +-++=，∴21ax bx c x ++=-. ∴方程2(1)10ax b x c +-++=的根即为二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）与一次函数1y x =-的图象交点的横坐标，∵二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）和一次函数1y x =-的图象交于(2,3)A --，(1,0)B 两点，∴方程2(1)10ax b x c +-++=（0a ≠）的根为122,1x x =-=.故选C.总结：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解此题的关键是将方程2(1)10ax b x c +-++=变形为21ax bx c x ++=-，进一步将所求转化为求二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）与一次函数1y x =-的图象交点的横坐标，这类题目的求解，重在理解与领悟.最后结合抛物线的增减性进行判断.例3：二次函数y ＝x 2+bx ﹣t 的对称轴为x ＝2．若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解，则t 的取值范围是（ ）A ．﹣4≤t ＜5B ．﹣4≤t ＜﹣3C ．t≥﹣4D ．﹣3＜t ＜5【答案】A【解析】解：∵抛物线的对称轴x ＝2b -＝2， ∴b ＝﹣4，则方程x 2+bx ﹣t ＝0，即x 2﹣4x ﹣t ＝0的解相当于y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点的横坐标，∵方程x 2+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解， ∴当x ＝﹣1时，y ＝1+4＝5，当x ＝3时，y ＝9﹣12＝﹣3，又∵y ＝x 2﹣4x ＝（x ﹣2）2﹣4，∴当﹣4≤t ＜5时，在﹣1＜x ＜3的范围内有解．∴t 的取值范围是﹣4≤t ＜5，故选：A ．总结：本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，一元二次方程2ax bx c k ++=的解相当于2y ax bx c =++ 与直线y=k 的交点的横坐标，解的数量就是交点的个数,熟练将二者关系进行转化是解题的关键.例4：．某班“数学兴趣小组”对函数22||y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下：（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下表：其中，m =__________．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象剩下的部分．（3）观察函数图象，写出一条性质__________．（4）进一步探究函数图象发现：①方程22||0x x -=有__________个实数根．②关于x 的方程22||x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围是__________．【答案】（1）0 （2）（3）当1x >时，y 随x 的增大而增大（4）①3 ②10a -<<．【解析】（1）x=-2时，m=x 2-2l-2l=0；．（2）如图所示（3）由函数图象知：1x >时y 随x 的增大而增大；函数图像关于y 轴对称;（4）如图：①22||=0x x -时即0y =，∴令x 轴有3个交点，分别是2-、0、2；即答案为3;②由函数图象知：关于x 的方程22||x x a -=有4个交点，∴a 的取值范围是10a -<<．总结：本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程.其中观察函数图像的能力是解答本题的关键.三、练习1．已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是( )A ．2a <B ．1a >-C ．12a -<≤D ．12a -≤<【答案】D【解析】(1)(1)37y x a x a a =---+-+22236x ax a a =-+-+，抛物线与x 轴没有公共点， 22(2)4(36)0a a a ∴∆=---+<，解得2a <，抛物线的对称轴为直线 22a x a -=-=，抛物线开口向上， 而当1x <-时，y 随x 的增大而减小，1a ∴≥-，∴实数a 的取值范围是12a -≤<，故选D ．2．如图所示，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，OA OC =，对称轴为直线1x =，则下列结论：①0abc <；②11024a b c ++=；③10ac b -+=；④2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】∵抛物线开口向下，∴0a <， ∵抛物线的对称轴为直线12bx a =-=，∴20b a =->，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >，∴0abc <，所以①正确；∵2b a =-， ∴102a b a a +=-=，∵0c >， ∴11024a b c ++>，所以②错误；∵(0,)C c ，OA OC =，∴(,0)A c -，把(,0)A c -代入2y ax bx c =++得20ac bc c -+=，∴10ac b -+=，所以③错误；∵(,0)A c -，对称轴为直线1x =，∴(2,0)B c +，∴2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，所以④正确；综上正确的有2个，故选B.3．已知0m >，关于x 的一元二次方程()()120x x m +--=的解为1212,()x x x x <，则下列结论正确的是（ ）A ．1212x x <-<<B ．1212x x -<<<C ．1212x x -<<<D ．1212x x <-<<【答案】A【解析】解：关于x 的一元二次方程()()120x x m +--=的解为12,x x ，可以看作二次函数()()12m x x =+-与x 轴交点的横坐标，∵二次函数()()12m x x =+-与x 轴交点坐标为()()1,0,2,0-，如图：当0m >时，就是抛物线位于x 轴上方的部分，此时1x <-，或2x >；又∵12x x <∴121,2x x =-=；∴1212x x <-<<，故选：A ．4．对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点.如果二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是( )A ．c ＜﹣3B ．c ＜﹣2C ．c ＜14D ．c ＜1【答案】B【解析】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，所以x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等的实数根，整理，得：x2+x+c＝0，所以△=1-4c>0，又x2+x+c＝0的两个不相等实数根为x1、x2，x1＜1＜x2，所以函数y= x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则140 110cc-⎧⎨++⎩＞＜，解得c＜﹣2，故选B.5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝0或x＝4，③a﹣b+c＜0；④当0＜x＜4时，ax2﹣bx+c＜0；⑤当x＜2时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；②∵抛物线与x轴的交点坐标为：（0，0），（4，0），∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝0或x＝4，正确；③∵当x＝﹣1和x＝5时，y值相同，且均为正，∴a﹣b+c＞0，结论③错误；④当0＜x＜4时，ax2﹣bx+c＜0，结论④正确；⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上所述，正确的结论有：①②④．故选：C ．6．抛物线23y x bx =++的对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程230x bx t ++-=（t 为实数）在14x -<<的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）A ．211t ≤<B ．2t ≥C ．611t <<D ．26t ≤<【答案】D【解析】∵23y x bx =++的对称轴为直线1x =，∴2b =-，∴223y x x =-+，∴一元二次方程230x bx t ++-=的实数根可以看做223y x x =-+与函数y t =的有交点，∵方程在14x -<<的范围内有实数根，当1x =-时，6y =，当4x =时，11y =，函数223y x x =-+在1x =时有最小值2，∴26t ≤<，故选D ．7．若函数y ＝（m ﹣1）x 2﹣6x + m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为（ ）A ．﹣2或3B ．﹣2或﹣3C ．1或﹣2或3D ．1或﹣2或﹣3【答案】C【解析】解：当m ＝1时，函数解析式为：y ＝﹣6x + 是一次函数，图象与x 轴有且只有一个交点，当m ≠1时，函数为二次函数，∵函数y ＝（m ﹣1）x 2﹣6x + m 的图象与x 轴有且只有一个交点，∴62﹣4×（m ﹣1）× m ＝0，解得，m ＝﹣2或3，故选：C ．8．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）和正比例函数y ＝﹣13x 的图象如图所示，则方程ax 2+（b + 13）x +c ＝0（a ≠0）的两根之和（ ）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定【答案】C 【解析】解：设20(0)ax bx c a ++=≠的两根为x 1，x 2，∵由二次函数的图象可知12x x 0+＜，a 0＞， 0b a∴-<． 设方程210(0)3ax b x c a ⎛⎫+++=≠ ⎪⎝⎭的两根为m ，n ，则1133b b m n a a a++=-=-- 010300a a b am m >∴-<-<∴+< . 故选：C ．9．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的对称轴是直线x ＝1，与x 轴一个交点A （3，0），则与x 轴的另一个交点坐标是（ ）A ．（0，12-）B ．（12-，0）C ．（0，﹣1） D ．（﹣1，0）【答案】D【解析】解：∵点A 的坐标为（3，0）， ∴点A 关于x ＝1的对称点的坐标为（﹣1，0）． 故选：D ．10．已知二次函数226y x x m =-+的图象与x 轴没有交点，则m 的取值范围是_____. 【答案】92m >【解析】∵二次函数y=2x 2-6x+m 的图象与x 轴没有交点，∴△＜0，∴（-6）2-4×2×m ＜0， 解得：92m >； 故答案为：92m >．11．抛物线2243y x x =--，当14x -≤≤时，y 的取值范围是__________． 【答案】513y -≤≤【解析】解：根据二次函数的解析式2243y x x =--可得 由a=2>0，可得抛物线的开口向上 对称轴为：41222b x a -=-=-=⨯ 所以可得在14x -≤≤范围内，二次函数在11x -≤≤ ，y 随x 的增大而减小，在14x <≤ 上y 随x 的增大而增大.所以当1x = 取得最小值，最小值为：2435y =--=- 当4x =取得最大值，最大值为：22444313y =⨯-⨯-= 所以513y -≤≤ 故答案为：513y -≤≤12．抛物线223y x x =--与x 轴的交点坐标是_____【答案】(10)-，，(3,0) 【解析】令y=0，则x 2-2x-3=0，解得x=3或x=-1．则抛物线y=x 2-2x-3与x 轴的交点坐标是（3，0），（-1，0）．故答案为（3，0），（-1，0）．13．已知函数 的图象如图所示，若直线 与该图象恰有两个不同的交点，则的取值范围为_____．【答案】【解析】解：直线 与该图象恰有三个不同的交点， 则直线与 有一个交点， ∴ ，∵与 有两个交点， ∴ ， ， ∴， ∴； 故答案为．14．抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(4,0)B 两点，则关于x 的一元二次方程2(1)a x c b bx-+=-的解是___________ 【答案】12x =-，25x =.【解析】依题意，得：9301640a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：12b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以，关于x 的一元二次方程a(x －1)2＋c ＝b －bx 为：2(1)12a x a a ax --=-+，即：2(1)121x x --=-+， 化为：23100x x --=， 解得：12x =-，25x =， 故答案为：12x =-，25x =.15．已知m ，n 是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣1＝0（其中a ＜b ）的两根，且m ＜n ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是_____． 【答案】m ＜a ＜b ＜n【解析】∵函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）与x 轴的交点坐标的横坐标为a 与b ， 二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣1相当于y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）向下平移一个单位， 又∵二次项系数为1，开口向上，如图所示：∴由图可得：m ＜a ＜b ＜n ． 故答案为：m ＜a ＜b ＜n ．16．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是_____．【答案】3x <-或1x >．【解析】解：∵抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -，()3,B q 两点，∴m n p -+=，3m n q +=，∴抛物线2y ax c =+与直线y mx n =-+交于()1,P p ，()3,Q q -两点，观察函数图象可知：当3x <-或1x >时，直线y mx n =-+在抛物线2y ax bx c =++的下方，∴不等式2ax mx c n ++>的解集为3x <-或1x >． 故答案为：3x <-或1x >．17．如图，直线y ＝mx +n 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 交于A （﹣1，p ），B （4，q ）两点，则关于x 的不等式mx +n ＜ax 2+bx +c 的解集是____．【答案】﹣1＜x ＜4．【解析】观察函数图象可知：当﹣1＜x ＜4时，直线y ＝mx+n 在抛物线y ＝ax 2+bx+c 的下方， ∴不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 的解集为﹣1＜x ＜4．故答案为：﹣1＜x ＜4．18．已知k 是常数，抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 的对称轴是y 轴，并且与x 轴有两个交点. (1)求k 的值：(2)若点P 在抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 上，且P 到y 轴的距离是2，求点P 的坐标. 【答案】(1)k =-3；(2)点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).【解析】(1)∵抛物线y=x 2+(k 2+k －6)x+3k 的对称轴是y 轴，∴26022b k k x a +-=-=-=，即k 2+k －6=0，解得k=－3或k=2，当k=2时，二次函数解析式为y=x 2+6，它的图象与x 轴无交点，不满足题意，舍去，当k=－3时，二次函数解析式为y=x 2－9，它的图象与x 轴有两个交点，满足题意， ∴k=－3；(2)∵P 到y 轴的距离为2， ∴点P 的横坐标为－2或2， 当x=2时，y=－5； 当x=－2时，y=－5，∴点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).19．在画二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下乙写错了常数项，列表如下：通过上述信息，解决以下问题：(1)求原二次函数()20y ax bx c a =++≠的表达式；(2)对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，当x _____时，y 的值随x 的值增大而增大；(3)若关于x 的方程()20ax bx c k a ++=≠有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【答案】(1)2323y x x =-++；(2)13≤；(3)103k <. 【解析】解：（1）由甲同学的错误可知c=3， 由甲同学提供的数据选x=-1，y=6；x=1，y=2，有6323a b a b =-+⎧⎨=++⎩，∴12a b =⎧⎨=-⎩，∴a=1,由甲同学给的数据a=1，c=3是正确的；由乙同学提供的数据，可知c=-1，选x=-1，y=-2；x=1，y=2，有2121a b a b -=--⎧⎨=+-⎩， ∴12a b =⎧⎨=⎩， ∴a=1，b=2，∴y=x 2+2x+3；（2）y=x 2+2x+3的对称轴为直线x=-1，抛物线开口向上，∴当-1x ≥时，y 的值随x 的值增大而增大； 故答案为-1≥；(3)方程()20ax bx c k a ++=≠有两个不相等的实数根，即x 2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根，∴()4-430k ∆=->， ∴2k >；20．已知抛物线232y ax bx c =++.（1）若1a b ==，1c =-，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（2）若1a b ==，且当11x -<<时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围. 【答案】（1）()1,0-和1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）13c =或51c -<≤- 【解析】（1）当1a b ==，1c =-时，抛物线为2321y x x =+-，方程23210x x +-=的两个根为11x =-，213x =.所以该抛物线与x 轴公共点的坐标是()1,0-和1,03⎛⎫⎪⎝⎭.（2）当1a b ==时，抛物线为232y x x c =++，且与x 轴有公共点.对于方程2320x x c ++=，判别式4120c ∆=-≥，有13c ≤.①当13c =时，由方程213203x x ++=，解得1213x x ==-，此时抛物线为21323y x x =++与x 轴只有一个公共点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②当13c <时，11x =-时，1321y c c =-+=+，21x =时，2325y c c =++=+.由已知11x -<<时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为13x =-，应有1200y y ≤⎧⎨>⎩，即1050c c +≤⎧⎨+>⎩，解得51c -<≤-.综上，13c =或51c -<≤-. 21．已知函数()21y x m x m =-+-+（m 为常数）. （1）该函数的图象与x 轴公共点的个数是（ ）. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2（2）求证：不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数()21y x =+的图象上. （3）当23m -≤≤时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.【答案】（1）D （2）详见解析；（3）当23m -≤≤时，该函数的图象的顶点纵坐标z 的取值范围是04z ≤≤. 【解析】（1）因为()()()2214110m m m ∆=--⋅-⋅=+≥，故选D.（2）配方得()2221(1)124m m y x m x m x -+⎛⎫=-+-+=--+⎪⎝⎭， 所以该函数的图象的顶点坐标为()211,24m m ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭. 把12m x -=代入()21y x =+，得221(1)124m m y -+⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 因此，不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数()21y x =+的图象上.（3）设函数的图象的顶点纵坐标()214m z +=.当1m =-时，z 有最小值0.当1m <-时，z 随m 的增大而减小；当1m >-时，z 随m 的增大而增大.又当2m =-时，()221144z -+==；当3m =时，()23144z +==.因此，当23m -≤≤时，该函数的图象的顶点纵坐标z 的取值范围是04z ≤≤.。
人教版九年级上册 22.2 二次函数和一元二次方程知识点及经典例题
二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的关系1、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的根是二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标，反之y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的根；2、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）根情况的判别即二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点个数情况：①判别式∆②直接看方程③平移 例1：抛物线y=ax 2＋bx ＋c 图像如下， 则 ① ax 2＋bx ＋c =0的根有 （ ）个 ②ax 2＋bx ＋c+3＝0的根有（ ）个 ③ax 2＋bx ＋c －4＝0的根有（ ）个x 3-≥a例2：若关于x 的不等式组 无解，则二次函数y=（a-2）x 2-x ＋41与X x a 515-≤ 轴交点有（ ）个； 例3：一元二次方程22717)83(2-=-x y 与X 轴的交点个数为（ ）个；例4：二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：（1） 写出方程ax 2＋bx ＋c =0的两个根； （2） 写出不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集；（3） 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值；（4） 若方程ax 2＋bx ＋c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取什范围。
3、 韦达定理在二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）中的应用（a ca b x x x x =-=+2121，）① 已知其中一个交点，求另一个交点： 例5：若抛物线m x y x+-=22与X 轴的一个交点是（－2，0）则另一个交点是（ ）； ② 求两交点A,B 线段的长度x x x x AB 212421)(-=+例6：若抛物线32-+=ax y x与X 轴的交点为A ，B ，且AB 的长度为10，求a③ 利用韦达定理求面积： 例7：抛物线m x y x++=-22与X 轴的一个交点是A(3，0），另一个交点是B ，且与y 轴交于点C ， （1）求m 的值；（2）求点B 的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x>0，y>0），使s sABC ABD∆∆=，求点D 的坐标。
22.2二次函数与一元二次方程
2
2
不论m取何值, 抛物线与x轴总有公共点 .
(2) A(1,0)在抛物线y 2 x m x m 上 0 2 1 m 1 m
2 2 2 2 2
即 m m 2 0, (m 2)(m 1) 0 m1 2, m2 1 B点坐标为(2,0)
(1) 没有公共点 (2)有一个公共点
(3)有两个公共点
没有实数根 有两个相等的实数根
有两个不等的实数根
2 2 2
解:
(1)抛物线y x x 2与x轴有两个公共点 , 它的横坐标 2, 1 , 当x取公共点的横坐标时 , 函数的值是0.由此得出方程x x 2 0 根是 x1 2, x2 1. (2)抛物线y x 6 x 9与x轴有一个公共点 , 这点的横坐标是 3.当 x 3时, 函数的值是0.由此得出方程x 6 x 9 0有两个相等的 实数根 x1 x2 3. (3)抛物线y x x 1与x轴没有公共点 ,由此可知, 方程
即：y=0 。
-1 A 0
y B
解：根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0，
D x
解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去)
答：水流的落地点D到A的距离是5m。
观察
下列二次函数的图象与 x轴有公共点吗? 如果有, 公共点的横坐标是多少 ?当x取公共 点的横坐标时 , 函数的值是多少?由此, 你能 得出相应的一元二次方 程的根吗? (1) y x x 2 ( 2) y x 6 x 9 (3) y x x 1
2 2
2Hale Waihona Puke (2)二次函数的图象与 x轴的位置关系有三种 :
22.2用二次函数的图像解一元二次方程
由此可知,方程3x2-x-1=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈0.8.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近 似根.
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象； (2). 作直线y=3； (2).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3 的交点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一 个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约 为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计 算器确定其近似值). (3).确定方程x2+2x-10=3的解; 由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
D 3.25 <x< 3.26
综合提高
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图 象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=＿＿＿ -3.3
8.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方 程ax2+bx+c-3=0根的情况是( B ) y
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程3x2-x-1=0的近 似根.
(1).用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象； (2).观察估计二次函数y=3x2-x-1的图象与x 轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-1与0之间,另一个在0与1之间,分 别约为-0.4和0.8(可将单位长再十等分,借 助计算器确定其近似值). (3).确定方程3x2-x-1=0的解;
zs22.2.二次函数与一元二次方程
y=a(x-h)2。
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则 a= ；若抛物线与x轴有两个交点， 则a的范围是 ； 2、已知抛物线y=x2-2x+a+1与x轴最多只有一 个交点，则a的范围是 。 3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 （-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
(5)a+b+c的符号： ∵x= 1时，y=a+b+c.∴a+b+c的值等于 抛物线上 横坐标为1点 的 纵坐标，它的符号 可以根据这个点与x轴的位置确定。
(6)a-b+c的符号：
∵x= -1时， y=a-b+c.∴a-b+c的符号可以 根据抛物线上 横坐标为 -1的点的纵坐标确定.
例 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判 断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2-4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
抛物线y=ax2+bx+c 和x轴公共点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别 式Δ=b2-4ac
有两个公共点 有一个公共点 即：顶点在x轴上 没有公共点
有两个不相等 的实数根 有两个相等 的实数根 没有实数根
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(1)a决定抛物线形状及开口方向，若 a 相 等，则形状相同。
①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。
a还影响对称轴和顶点的位置。
22.2 二次函数与一元二次方程
有交点，则 k的取值范围（ B ）
A
:
k
4 7
B
:
k
4 7
且k
0
C
:
k
4 7
D：k
4 7
且k
0
K≠0 b2-4ac≥0
请你把这节课你学到了东西告诉你的同桌，然
后告诉老师？
这节课应有以下内容：
二次函数与一 元二次方程的 关系
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 确定，求x的值时，二次函数就变 为一元二次方程。即当y取定值时， 二次函数就为一元二次方程。
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 2x D y=-2(x+1)2 - 3
2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实
数根,则m=＿1＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有 1 个交
点.
3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿1＿6 .
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．
t1=1s
t2=3s
15m
15m
（2）解方程 20＝20t－5t 2 t 2－4t＋4=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ t1=t2=2
当球飞行2s时，它的高度为20m．
t1=2s 20m
（3）解方程 20.5＝20t－5t 2 t 2－4t＋4.1=0
因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解． 球的飞行高度达不到20.5m．
解：作y = x2－2x－2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约
是－0.7，2.7. 所以方程x2－2x－2＝0的实数根为
x1≈－0.7，x2≈2.7
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(3)关于x的一元二次方程x2 x n 0没有实数根,则 抛物线y x2 x n的顶点在( A ) .
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知二次函数y 2 x2 mx m2.
(1)求证: 对于任意实数m,该二次函数的图象与x轴总有公共点;
(2)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A、B, 且A点坐标
只有一个交点 没有交点
有两个相等的实数根
没有实数根
b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有
三种情况:
(1)有两个交点
b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点
b2 – 4ac= 0
(3)没有交点
b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
大约是 0.7, 2.7.
方程 x2 2x 2 0的实数为x1 0.7, x2 2.7
(1)抛物线y x2 2x 3与x轴的交点个数有( C ) .
A.0个 B.1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个
(2)抛物线y m x2 3x 3m m2 经过原点,则其顶点
顶点坐标为___(_1_,_3_)___.
5.在ABC中, B 90,点P从点A开始沿AB边向点B 以1cm / s的速度移动,点Q从点B开始沿BC的边向点C
以2cm / s的速度移动，设PBQ的面积为y cm2 运动
时间为xs，如果P、Q分别从A、B同时出发： （1）写出y与x的函数关系式；
（2）几秒后PBQ的面积等于8c m2？
6.已知抛物线y x2 ax a 2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点D(0,8),
球的飞行高度达不到20.5m.
(4)球从飞出到落地要用多少时间?
解: (4)解方程
0 20t 5t2 t2 4t 0 t1 0,t2 4
为什么在两个时间 球的高度为0m呢?
当球飞行0s和4s时,它的高度为0m, 即0s时球从地面飞出, 4s时球落回地面.
当二次函数y a x2 bx c,当给定y的值时,则二次函数
(1) y x2 x 2 (2) y x2 6x 9 (3) y x2 x 1
解:
(1)抛物线y x2 x 2与x轴有两个公共点,它的横坐标 2, 1 , 当x取公共点的横坐标时,函数的值是0.由此得出方程x2 x 2 0 根是 x1 2, x2 1. (2)抛物线y x2 6x 9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3.当 x 3时,函数的值是0.由此得出方程x2 6x 9 0有两个相等的 实数根 x1 x2 3. (3)抛物线y x2 x 1与x轴没有公共点,由此可知,方程 x2 x 1 0没有实数根.
可转化为一元二次方程.
如: 二次函数y x2 4x的值为3,求自变量x的值, 可以解一元二次方程 x2 4x 3(即 x2 4x 3 0). 反过来,解方程 x2 4x 3 0又可以看作已知二次 函数y x2 4x 3的值为0,球自变量x的值.
观察
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗? 如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共 点的横坐标时,函数的值是多少?由此, 你能 得出相应的一元二次方程的根吗?
为(1,0),求B点坐标.
(1)证明 : 令y 0,得2 x2 mx m2 0 (m)2 4 2 m2 9m2 0
不论m取何值,抛物线与 x轴总有公共点 .
(2) A(1,0)在抛物线y 2x2 mx m2 上 0 212 m 1 m2 即m2 m 2 0, (m 2)(m 1) 0 m1 2, m2 1 B点坐标为(2,0)
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个交点
有两个不相等的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时, 球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球 的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系.
h 20t 5t2
考虑以下问题: (1)球的飞行高度能否达到15m?如能,
需要多少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20m?如能,
b2 – 4ac ≥0
二次函数y=ax2+bxห้องสมุดไป่ตู้c的图象和x轴交点
Y △＜0
△=0 △＞0
O
X
利用函数图象求方程x2 2x 2 0的实数根
(精确到0.1). 方法: (1)先作出图象;
(2)写出交点的坐标; (3)得出方程的解.
解: 作y x2 2x 2的图象,
它与x轴的公共点的横坐标
(2)球的飞行高度能否达到20m?如能, 需要多少飞行时间?
解: (2)解方程
20 20t 5t2 t2 4t 4 0 t1 t2 2
为什么只在一个时间 内球的高度为20m呢?
当球飞行2s时,它的高度为20m.
(3) 球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?
解: (3)解方程
20.5 20t 5t2 t2 4t 4.1 0 (4)2 4 4.1 0,此方程无解.
需要多少飞行时间? (3) 球的飞行高度能否达到20.5m?为什么? (4)球从飞出到落地要用多少时间?
(1)球的飞行高度能否达到15m?如能, 需要多少飞行时间?
解: (1)解方程
15 20t 5t2
t2 4t 3 0 t1 1,t2 3
为什么在两个时间 球的高度为15m呢?
当球飞行1s和3s时,它的高度为15m.
直线DC平行于x轴, 交抛物线于另一点C.动点P以每秒2个单位长度的 速度的速度从C出发,沿C D运动.同时,点Q以每秒1个单位长度的速度 从点A出发,沿A B运动.连接PQ、CB，设点P的运动时间t秒. (1)求a的值; (2)当t为何值时, PQ平行于y轴; (3)当四边形P QB C的面积等于14时, 求t的值.