套利定价理论(精)

k
i R f
bik
, k 1, 2
这里，λ仍为个体承受每单位因素风险所得的超额收益。
3.精确多因子模型 该情形为资产收益受多种因素影响，但不存在特质风 险，此时，收益生成函数为：
Ri i bik f k , k 1,
i 1
n
,K
运用无套利原理，我们可以得到均衡条件下的套利定价 公式： n E ( Ri ) i 0 bik k , k 1, , n
（三）关于CAPM检验的罗尔批评（Roll’s Critique） Roll（1977）对CAPM提出了如下批评意见： 1.对于CAPM唯一合适的检验形式应当是：检验包括所 有风险资产在内的市场资产组合是否具有均值-方差效 率。 2.如果检验是基于某种作为市场资产组合代表的股票指 数，那么如果该指数具有均值-方差效率，则任何单个 风险资产都会落在证券市场线上，而这是由于恒等变 形引起的，没有实际意义；
(n) z i 0 i 1 (n) lim E[ RA ] n n (n) lim Var[ RA ]0
n
则称 A( n )是一个极限套利组合（系列）
如果存在极限套利机会，则表明个体可以再不花费正德 投资成本，仅承担可以忽略的风险的情况下，获得高额的 收益，显然，在经济达到均衡状态时，极限套利是不存在 的。 下面利用极限套利的定义来证明当资产组合中的资产种 类无限增加时，组合中各资产的特质风险将趋近于零，从 而得到在考虑特质风险条件下的多因素线性定价公式。
xi
x R 0
i 1 i i
n
意味着在市场达到均衡时不存在套利机会，零投资、零风 险组合的收益为零。
（二）精确因子模型
精确因子模型是指资产的收益仅依赖于因子风险因 素，而不考虑资产特质风险的套利定价模型。 1.精确单因子模型 不考虑特质风险，所有资产的收益仅依赖于唯一一种因 素的定价模型。在此假设下，资产的收益生成函数为：
Basu（1977）发现，低市盈率股票的期望收益率高于 资本资产定价模型的估计；Banz(1981)的实证研究表 明，股票收益率存在“规模效应”，即小公司股票有较高 的 超常收益率；Kleim（1983）发现股票收益呈季节性变 动，即存在季节效应。 上述两方面的局限性都削弱了CAPM对现实经济的解释 能力
一些经济学家采用一个容量较大的平均数（如标准普尔 工业指数）作为市场资产组合的替代，对CAPM进行了检 验，得出的结果却与现实相悖。 2.单因素模型无法全面解释对现实中资产收益率决定 的影响因素 Rosenberg and Marashe（1977）的研究发现， 如果将红利、交易量和企业规模加入计量模型，则β系数 会更有说服力。
APT比CAPM显得更为完整稳键，因为： 1．APT没有关于资产回报率分布的假设,而CAPM要 求资产回报率服从多元正态分布。 2．APT没有关于个人效用函数的严格假设，而CAPM 要求效用函数仅是E（RP）和2p 的函数。 3．APT允许均衡回报率依赖于多个因素，而CAPM设 资产回报率仅依赖于市场证券组合的回报率。 4．APT可以对任意资产子集进行定价；人们不必为 检验理论而去对无穷尽的资产进行计量。 5．在APT中，市场证券组合没有特殊的作用，而 CAPM必须要求市场证券组合是有效的。 6．APT容易扩展到多期模型中（Ross,1976）
对于上述生成函数，模型假定： （1）任意两种资产的随机误差项相互独立，即
（2）随机误差项和因子风险的期望值为零。 即 E[ f k ] E[ i ] 0 （3）随机误差项与各项风险因子相互独立，即 E[ fl f k ] E[ i f k ] 0, l k （4）各风险资产的特质风险的方差是有界的，即
2.套利定价理论的一般推导
三、套利定价模型与CAPM的比较
APT是比CAPM更为一般的资产定价模型 1.APT是一个多因素模型，它假设均衡中的资产收益 取决于多个不同的外生因素，而CAPM中的资产收益只取 决于一个单一的市场组合因素。从这个意义上看，CAPM 只是APT的一个特例。 2.CAPM成立的条件是投资者具有均值方差偏好、资产 的收益分布呈正态分布，而APT则不作这类限制，但它与 CAPM一样，要求所有投资者对资产的期望收益和方差、 协方差的估计一致。
而且，概率论中的大数定理表明，如果经济中的风险资 产数目充分大，且不同资产的特质风险是不相关的，那 么，当每种资产上的投资额都很小时，组合投资中各资产 的特质风险几乎为零。 1.极限套利的定义 在一个有n种风险资产的经济中，如果一个包含所有风 (n) (n) A 险资产、其中资产i的投资额为 zi 的组合 ，满足：
3.如果检验是基于某种无效率的指数，则风险资产收益 的任何情形都有可能出现，它取决于无效指数的选择。 该结论断言，即便市场组合是均值-方差效率的， CAPM也是成立的，但使用前述方法得到的SML，也不能 够证明单一风险资产均衡收益同β风险、市场组合之间存 在某种有意义的关系。 因此，罗尔认为，由于技术上的原因和原理上的模糊， CAPM是无法检验的。
i 1
（三）特质风险与极限套利
在精确因子模型中，我们未考虑特质风险。因此，在 存在特质风险的情况下，上述线性的套利定价公式是否适 用？ 如果每种资产都有自己的特质风险，则无法构造无风险 套利组合。但是，在多种资产上的分散投资具有降低特质 风险的功能。所以，从直觉上，如果经济中存在的资产种 类足够多，对这些资产作适当的分散投资，所得的资产组 合可将各项资产的特质风险降至接近于零的水平。
C ov( i , j ) 0, i j
E[ ]
2 i 2 i
2
（5）APT通常假设经济中存在的风险资产数量n比因素K 要大得多。 2.所有投资者具有齐次预期，即对 i , bik , f k 的预期完全相 同。 3.资本市场为完全竞争市场，且处于均衡状态。 4.不存在交易费用。 5.投资者为逐利者，偏好财富多多益善。
作了放松，从而较CAPM具有更强的现实解释能力。
（二）多因素模型的假设条件 1.资本市场上任意资产的收益与一系列影响因素线性相关， 即有收益生成函数如下：
Ri i bik f k i
k 1
K
其中， f k 是影响资产收益的随机变量（因素），反映了 资产所包含的由K个风险因子所描述的风险，同时，这些 因素对所有资产而言都是共同的。它们反映了系统风险， 因此，称为因子风险（Factor risk）。 系数 bik 描述的是资产i对因素k的敏感度（或称之为资产 i所包含的第k个因子风险的大小），称为资产i对因素k的 因素载荷系数（Factor Loading）。 i 是残差项，描述的是与因子风险无关的剩余风险。反 映了资产的非系统风险。
6.资本市场中有充分多的资产，能够形成资产组合满足：
x
i 1 n i 1 n
n
i
0 0 0
xb x
i 1
i ik
i i
为资产组合包含的资产i的数量。 上述第一式表明，在市场均衡条件下，投资者持有该资产 组合投入的资金为零，第二式表示该组合的系统风险零， 第三式表示资产组合的非系统风险为零。在投资者逐利的 假设下，可推导出：
Ri i bi f , i 1,
,n
根据无套利原理，该情形下的套利定价公式为：
i E ( Ri ) R f bi , i 1, i R f
bi
,n
即 λ为个体承受单位因素风险应得的超额收益补偿，称为 因素风险溢价（fact利定价理论 （一）套利定价理论简介
罗斯（Ross，1976）给出了一个以无套利定价为基础 的多因素资产定价模型，也称套利定价理论模型 （Arbitrage Pricing Theory，APT）。该模型由 一个多因素收益生成函数推导而出，其理论基础为一价定 律（The Law of One Price），即两种风险－收益性 质相同的资产不能按不同价格出售。该模型推导出的资产 收益率决定于一系列影响资产收益的因素，而不完全依赖 于市场资产组合，而套利活动则保证了市场均衡的实现。 同时，APT对CAPM中的投资者风险厌恶的假设条件
2.精确双因子模型 资产的收益依赖于两种风险因素，所有资产不存在特 质风险，则生成函数为：
Ri i bi1 f1 bi 2 f 2 , i 1,
,n
同样地，通过无套利原理，在均衡状态下，资产的套利定 价公式为：
i 0 bi11 bi 22 , i 1, , n
第6章 套利定价理论
西南民族大学经济学院 郑长德教授
一、CAPM的局限性 （一）相关假设条件的局限性
1.市场无摩擦假设和卖空无限制假设与现实不符； 2.投资者同质预期与信息对称的假设意味着信息是无成本 的，与现实不符； 3.投资者为风险厌恶的假设过于严格；
（二）CAPM的实证检验问题
1.市场组合的识别和计算问题 CAPM刻画了资本市场达到均衡时资产收益的决定方 法。所有的CAPM（包括修正的CAPM）的共同特点是， 均衡资产的收益率取决于市场资产组合的期望收益率。理 论上，市场资产组合定义为所有资产的加权组合，每一种 资产的权数等于该资产总市场价值占所有资产总价值的比 重。但实际上，市场资产涵盖的范围非常广泛，因此，在 CAPM的实际运用中要识别一个真正的市场组合几乎是不 可能的。