等腰三角形和勾股定理

一、知识结构

本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：

二、重点回顾

1．等腰三角形的性质：

等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即等边对_____)；等腰三角形_______合一；等腰三角形是________图形，它的对称轴是_________。

2．等腰三角形的判定：

有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即等角对_____）。

3．等边三角形的性质：

等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。

4．等边三角形的判定：

有____边相等的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形。

5．直角三角形的性质：

直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。

6．直角三角形的判定：

有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。

7．直角三角形全等的判定：

斜边和___________ 对应相等的两个直角三角形全等。

8．角平分线的性质：

在角内部到角两边___________在这个角的平分线上。

三、重点解析（易错点）

1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；

2．等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”；

3．直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；

4．勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c”就认定是斜边，一看到直角三角形两边长为3和4就认为另一边一定是5；

勾股定理的证明

已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证： 2

2

2

a b c +=

证明：4S △+S 小正= S 大正=

根据的等量关系：

由此我们得出：

勾股定理的内容是： .

5．“HL ”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”等判定一般三角形全等的方法对于直角三角形全等的判定同样有效。

四、典题例析

例1．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D.请你再添加一个条件，就可以确定△ABC 是等腰三角形，你添加的条件是_________。

例2．已知如图，Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM ，若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，试说明BM=DM 成立的理由。

例3．如图，ACB △和ECD △都是等腰直角三角形，A 、C 、D 三点在同一直线上，连结BD 、AE ，并延长AE 交BD 于F ．试说明ACE BCD △≌△的理由。

c b

a

D C

A

B

例4：已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。

例5．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

例6．已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3 ，求线段AB 的长。

例7．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？

例8．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.

O A B B A

C

D A B

C D E

例9．已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形.

例10．已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2

=AD ·BD 。 求证：△ABC 是直角三角形。

例11．如图，在△ABD 中，∠A 是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，△DBC 是直角三角形吗？

【巩固练习】

A 组 基础训练

1．如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，BD 为∠ABC 的平分线，则∠BDC=_____°．

（1）

2．如图2，在等腰直角△ABC 中，∠B=90°，将△ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转60°后得到△AB ′C ′，则∠BAC ′等于________．

120

90

B A

C

D