初中数学人教版八年级上册第十四章 小结与复习

3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较大小：420与1510.
解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m4(n2=)3∵2m÷4203=4n（=(432m）)21÷0=(13621n0)，2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9.
(3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2 =(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
11.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992； (2)999×1 001. 解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1) ＝10002－1 ＝999999.
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
2 xy 2 . 33
当x=1,y=3时，
原式= 2 1 3 2 4 .
3
33
归纳总结
整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式 乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单 项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式 是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则. 整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最 后算加减的顺序进行，有括号的要算括号里的.
针对训练
12.分解因式：x2y2－2xy＋1的结果是(_x_y_－__1_)2__． 13.已知x－2y＝－5，xy＝－2，则2x2y－4xy2＝ ___2_0____． 14.已知a－b＝3，则a(a－2b)＋b2的值为___9_____． 15.已知x2－2(m＋3)x＋9是一个完全平方式，则m＝ _－__6_或__0__．
a a = (
m )n
mn
____________
3.积的乘方：积的每一个因式分别_乘__方__，再把所
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ab a b 得的幂_相__乘__. (
= n
)
nn ____________
二、整式的乘法 1.单项式乘单项式：
(1)将_单__项__式__的__系__数__相乘作为积的系数； (2)相同字母的因式，利用_同__底__数__幂__的乘法，
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第十四章 整式的乘法与因式分解
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、幂的乘法运算
1.同底数幂的乘法：底数_不__变_____,指数_相___加__.
am ·an =_a__m_+_n__
2.幂的乘方：底数__不__变____,指数_相__乘___.
五、因式分解
1.因式分解的定定义 把一个多项式化为几个__整__式____的__乘__积____的形式,像
这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做
把这个多项式分解因式. 2.因式分解的方法
(1)提公因式法
步骤： 1.提公因式； 2.套用公式；
(2)公式法
3.检查分解是否彻底；
①平方差公式：_a_2_-_b_2_=_(_a_+__b_)_(_a_-_b_)_
针对训练
4.一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长
为 a-2b+1 ；
5.已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A,得商为2x，余
式为x-1,则这个多项式是
x2 2x 1 2
.
6.计算： (1)(－2xy2)2·3x2y·(－x3y4)． (2)x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1) (3)(－2a2)·(3ab2－5ab3)＋8a3b2； (4)(2x＋5y)(3x－2y)－2x(x－3y)； (5)[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷x2y；
数与原多项式的项数__相__同____. 3.多项式乘多项式：
式的运算
先用一个多项式的每一项分别乘另一个多
项式的每__一__项__，再把所得的积__相__加____.
三、整式的除法 1.同底数幂的除法：
同底数幂相除，底数__不__变___,指数___相__减____.
am÷an =_a__m_-_n__
四、乘法公式 1.平方差公式 两数_和_____与这两数__差____的积,等于这两数的 平__方__和__.
(a+b)(a-b) =__a_2-_b_2____
2.完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的_平__方__和__， 加上（或减去）它们的__积____的2倍.
(a+b)2 =__a_2+__2_a_b_+__b_2 ___
7．下列计算中，正确的是( C ) A．(a＋b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－b2 C．(a＋b)(－a＋b)＝b2－a2 D．(a＋b)(－a－b)＝a2－b2 8．已知(x＋m)2＝x2＋nx＋36，则n的值为( B ) A．±6 B．±12 C．±18 D．±72 9．若a＋b＝5，ab＝3，则2a2＋2b2＝__3_8_____．
∵1610>1510,
∴420>1510.
考点二 整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注
意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
解：原式=8a3b6 ÷4a3b4=2a3-3b6-4=2b2.
归纳总结
幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积 的乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质是整式 乘除及因式分解的基础.其逆向运用可以使一些计 算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用 的目的.
针对训练
1.下列计算不正确的是（ D ）
②完全平方公式：__a_2_±__2__a_b_+__b_2_=_(_a_±___b_)_2_
考点讲练
考点一 幂的运算
例1 下列计算正确的是( D )
A．(a2)3＝a5
B．2a－a＝2
C．(2a)2＝4a
D．a·a3＝a4
例2 计算：(2a)3(b3)2÷4a3b4.
解析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.
作为积的一个因式； (3)单独出现的字母，连同它的_指__数___，作为积
的一个因式；
注：单项式乘单项式，积为_单__项__式___.
2.单项式乘多项式： (1)单项式分别_乘__以___多项式的每一项；
实质是转
(2)将所得的积_相__加_____. 注：单项式乘多项式，积为多项式，项
化为单项 式乘单项
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－8) C．2(x＋2)(x－2)
B．2(x－2)2 D．2x(x－ 4 )
x
归纳总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它 与整式乘法互为逆运算，因式分解时，一般要先提公因 式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式 都不能再分解为止.
16.如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小 正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图 形的阴影部分的面积，验证公式是 a2-b_2=__(a_+_b_)_(_a-b). .
b
b
b
b
a
bb a-b
a
a
a
17．把下列各式因式分解： (1)2m(a－b)－3n(b－a)； (2)16x2－64； (3)－4a2＋24a－36. 解：(1) 原式＝(a－b)(2m＋3n)．
A.2a3 ÷a=2a2
B. (-a3)2=a6
C. a4 ·a3=a7
D. a2 ·a4=a8
2. 计算：0.252015 ×（-4）2015-8100 ×0.5301.
解：原式=[0.25 ×（-4）]2015-（23）100 ×0.5300 ×0.5
=-1-（2 ×0.5）300 ×0.5 =-1-0.5=-1.5；
考点四 因式分解及应用
例5 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( B ) A．a(x－y)＝ax－ay B．x2－1＝(x＋1)(x－1) C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
点拨：(1)多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一， 等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的 乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；(2)判断过程 要从左到右保持恒等变形.
任何不等于0的数的0次幂都等于___1_____.
a0=am÷am =_1______
2.单项式除以单项式： 单项式相除, 把__系__数___、_同__底__数__的__幂___分别相除 后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字 母，则连它的__指__数___一起作为商的一个因式.
3.多项式除以单项式： 多项式除以单项式，就是用多项式的 每一项 除 以这个 单项式 ，再把所得的商 相加 .
解：原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) ÷2x =(2x2-2xy) ÷2x =x-y.
当x=3,y=1.5时， 原式=3-1.5=1.5.
归纳总结
整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在 计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征 的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.
针对训练
10．计算： (1)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)； (2)(a＋b－3)(a－b＋3)；
(3)(3x－2y)2(3x＋2y)2.
解：(1) 原式＝(x＋2y)(x－2y)(x2－4y2) =(x2－4y2)2=x4－8x2y2＋16y4；
(2)原式＝[a＋(b－3)][(a－(b-3)] =a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9.
(2) 原式＝16(x＋2)(x－2)
(3) 原式＝－4(a－3)2
课堂小结
乘法公式 （平方差、完全平方公式）
相反变形
形特
式殊
幂
的
相反变形
因式分解
运
整式的乘法
算
（提公因式、公式法）
性
运互
质
算逆
整式的除法
课后作业
见章末练习
解：（1）原式＝－12x7y9 （2）原式＝－x3＋6x （3）原式＝2a3b2＋10a3b3 （4）原式＝4x2＋17xy－10y2 （5）原式＝2xy－2
考点三 乘法公式的运用
例4 先化简再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x,其中 x=3,y=1.5.
解析：运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再 计算整式的除法运算.