制程统计分析

六. 离散趋势: 观察值之间的差异程度。 1. 极差: R=Max-Min (易受极端值的影响) 上例中, Max=20 Min=12 R=20-12=8 2. 四分位数差: I=Q3-Q1(避免极端值的影响) 上例中,Q1=14.5 Q3=18.1 3. 方差与标准差：
n
I=18.1-14.5=3.6
i =1 n
i =1
c) X1,X2, …, Xn为相互独立的随机变量， 令X=
∏X
i =1
n
i
则有： E(X)=
∏ E( X )
i i =1
n
d) C为常数,则E(C)=C
例1. 某小汽车销售商对过去300天的销售记录进 行了整理，发现有54天每天一辆汽车未卖出去， 有117天每天卖出去一辆，有72天每天卖出去二 辆，有42天每天卖 出去三辆，有12天每天卖 出 去四辆，有3天每天卖出去五辆，计算每月平均 可能售出几辆小汽车。 解：令X表示每天卖出去的小汽车的辆数， 则X的取值为：0， 1， 2， 3， 4， 5 第一步 编制概率分布 第二步 求平均每天卖出的小汽车辆数E(X) 第三步 求平均每月卖出的小汽车辆数 30＊E(X) 用Excel 演示 见 Data: chp5_ex1
试说明要不要对生产线进行检修？为什么？
第五章 随机变量与抽样分布
随机变量: 实验结果的数值化反映。包括离散 型和连续型随机变量。 一.离散型随机变量:只能取有限个值或无限可列值。 二. 连续型随机变量：取值不可数不可列，只能用 数轴上的区间来表示。
三. 概率分布：由变量值及其发生概率所组成的
统计数列。其表现形式有以下几种： 1. 阵列式： x1, x2, … xn … p1, p2 … pn …
所以，乙组的中位数5.0>4.8, 甲组的中位数 五. 四分位数: 把观察值的顺序量进行四等分，处于分界 点上的三个值依次称为下四分位数(Q1),第二个 四分位数(Q2 即Me),第三个四分位数(Q3)。
例3. 找出下面一组观测值的Min, Max,Q1, Me,Q3 12 12.5 14 15 16 16 16.8 17 17.2 19 19.5 20 解. 由n=12 Me=(X6+X7) /2=(16+16.8)/2=16.4
i =1 ∞
∑x p
i =1 i
∞
i
绝对收敛
+∞
连续型随机变量: E ( x ) = 要求
E( x) = ∫ xf ( x)dx
−∞ +∞
−∞
∫ xf ( x ) dx
绝对收敛
性质: a) a, b为常数，令Y=aX+b, 则E(Y)=aE(X)+b.
n
b) X1,X2, …, Xn为随机变量，令X= ∑ X i 则有： E(X)= ∑ E( X i )
s =
2
∑ (x
i =1
i
− x)
2
n −1
s= s
2
例4. 计算以下一组数据的方差与标准差 12 12.5 14 15 16 16 16.8 17 17.2 19 19.5 20 解: 在 Excel中演示 见 chp4_ex4
HW4: 某一生产车间利用抽样方法检查生产 出来的产品是否合格，制定的原则是：样本方 差越过0.005的话，必须关闭生产线进行维修。 假如搜集到了下列的一组资料： 3.43 3.45 3.43 3.48 3.52 3.50 3.39 3.48 3.41 3.38 3.49 3.45 3.51 3.50
HW5: 一个志愿救护机构，任何一天都 要接到 0到5个服务电话。所接电话数服从概率分布为： 电话数 0 1 2 试求： 概率 0.10 0.15 0.30 电话数 3 4 5 概率 0.20 0.15 0.10
1) 服务电话数的数学期望。 2) 服务电话数的方差与标准差。
3. 矩：随机变量X的k次幂的数学期望。 a) 原点矩： 离散型： E ( X ) =
(
)
2. 列表式： X x 1, P 3. 函数式: 4. 分布函数： 5. 图示法： 特别地，有 p 1,
x2, p2
… …
xn pn
… …
x −1
f ( x ) = (1 − p )
p
F ( x) = P( X ≤ x)
∑ f (x) =1
f ( x) ≥ 0
且 或
x
∫ f (x)dx = 1
(GL-China) statistic analysis
Bober Xu Sep 15.2008
统计谚语
• we don’t know what don’t know. • 我们不了解我们不知道的东西 我们不了解我们不知道的东西. • we can’t do what don’t know . • 我们对不了解的东西不能有所作为 我们对不了解的东西不能有所作为. • we don’t know until we measure. • 直至我们度量了我们才了解 直至我们度量了我们才了解. • we don’t measure what we don’t value. • 我们不度量我们认为没有价值的东西 我们不度量我们认为没有价值的东西. • we don’t value what we don’t measure . • 我们不重视我们不度量的东西. 我们不重视我们不度量的东西
x =
3.0*1200+3.40*500+…+3.25*800 1200+500+…+800
= 2.967
二. 几何平均数 1简单几何平均数
x = n x1 × x2 ×...× xn = n ∏xi
i=1
n
例1+：某型号钻头的生产需经过6道不同的加工 工序，各道工序的合格率如下表所示，试计算 平均合格率。 名称 冲料 料废 97.5 车工 97 热处理 96.6 扫槽 接柄 95.5 95
从Me左侧数据中找出中位数，即为Q1 Q1=(Y3+Y4)/2=(14+15)/2=14.5 同理 Q3=(Z3+Z4)=(17.2+19)/2=18.1 显然 Min=12 Max=20
HW3: 找出下面一组观测值的Min, Max,Q1, Me,Q3
170 185 75 25 15 10 8 5 4 2 1
例2 根据上例中的资料计算方差
第一步：求 E(X)
第二步：据公式求 Var(X) Excel中演示：Data: chp5_ex1 sheet2
例2+ 已知随机变量X的概率分布为 X P 0 1/3 1 1/2 2 0 3 1/6
试求 E(X+1)2, Var(X) 解： 法一：由定义求解。 法二：由公式求解。
合格率 98.2
解： 由公式得：
X G = n X1 ∗ X 2 ∗...X n = 6 98.2% ∗ 97.5% ∗...∗ 95% = 96.63%
三. 众数 观察值中出现频数最多的对应数值 四. 中位数 将观察值从小到大排序，位置居中的数值 称为中位数。 若n为奇数，则位于中间的数为中位数； 若n为偶数，则中位数为中间两个数据的 平均数。
x
例1+. 假定一个随 机变量的概率分布如下： X P 20 0.20 25 0.15 30 0.25 35 0.40
1) 这能否作为一个概率分布？ 2) X=30的概率是多少？ 3)X小于或等于25的概率是多少？
四. 概率分布的特征数字 1. 期望:又称总体均值,其数学定义如下, 离散型随机变量: E ( x ) = 要求 E ( x) = ∑ xi pi
问题４
• 某企业召开会议，提出２条要求．Ａ，不缺 某企业召开会议，提出２条要求．Ａ，不缺 ．Ａ， 不迟到．Ｂ，会议期间关闭手机． ．Ｂ，会议期间关闭手机 席，不迟到．Ｂ，会议期间关闭手机．但实 际上应到会４０ ４０人 缺席２ 迟到２ 际上应到会４０人，缺席２人，迟到２人； 与会者中有３０人有手机，其中有２ ３０人有手机 与会者中有３０人有手机，其中有２人手机 未关闭． 未关闭． • 此次会议达到的西格玛水平如何？ 此次会议达到的西格玛水平如何？ • 提示：缺陷数／缺陷机会数（ＤＰＭＯ） 提示：缺陷数／缺陷机会数（ＤＰＭＯ） • defect per million opportunity. (Z=1.36)
问题３
• 某顾客采用无仓储管理，要求供应商Ａ提供 某顾客采用无仓储管理，要求供应商Ａ 产品的交付期为下定单后的第３０ ３０天 产品的交付期为下定单后的第３０天，如早 ３０天 供应商Ａ自己负责保管， 于３０天，供应商Ａ自己负责保管，每天需 要付额外保管费，但最多可保管７ 要付额外保管费，但最多可保管７天．下面 是该供应商１０批产品交付时间的统计数据： １０批产品交付时间的统计数据 是该供应商１０批产品交付时间的统计数据： ２９，２７，２５，２４，２９，２６， ２９，２７，２５，２４，２９，２６，２ ２５，３０，２４（ ３，２５，３０，２４（天）． • 此供应商交付过程的西格玛水平如何？（西 此供应商交付过程的西格玛水平如何？（ ？（西 格玛水平是描述过程满足顾客要求的能力参 数）
2. 方差：随机变量与其期望离差平方的数学期望。
E ( X − E ( X )) 2 公式： Var(X)=
离散型随机变量: 连续型随机变量
Var( X ) = ∑ ( xi − E( X )) pi
2
∞
Var( X ) = ∫ ( x − E( x))2 f ( x)dx
−∞
+∞
i =1
同样要求级数的求和与求积绝对收敛 性质： a) C为任一常数，则有：Var(C)=0 b) a,b为常数，令Y=aX+b,则Var(Y)= a Var(X)
2
c) 若X1，X2,…Xn 相互独立，则有：