张量分析第一章

25
第二种方法:
利用双重外积公式
a

(b

c)

(a

c )b

(a

b )c
将 a aiei ,b bkek ,c cses 代入上式 ,可得:
a (b c) aiei (bkek cses ) aibkcs kspipj ej ,
张量分析与连续介质力学
授课对象:工程力学本科生 学时: 48 任课教师： 任会兰 副教授
1
连续介质力学 研究对象:大量粒子构成的系统的宏观力学行为.
可视为连续体
统计平均值
宏观物理量随物质点的变化而改变----场(应力 场,应变场,速度场,位移场和温度场……
连续体模型—固体,流体
2
1)变形几何和运动学 研究连续介质变形的几何性质,确定物体各部分空
第五章 本构方程
本构概念,本构方程遵循的一些理论
5
考核方法：平时作业和出勤情况占 30％； 期末考试占70％。
参考书目： 1) 冯元祯，连续介质力学导论,重庆大学出版社 2) 吕洪生等编著，连续介质力学基础，国防科技 大学出版社
6
第一章 连续介质力学的数学基础
重点掌握: 1. 张量的概念 满足坐标变换规律 运算法则 2 .证明一些恒等式 3 .梯度,散度,旋度等概念
27
1.3 张量
张量 是数学上或物理上所用的概念.应力,应变等 当坐标系改变时，满足特有的转换规律。
两个向量
u, v
可以写成:
ui

a
jiu
' j
a ji
表示坐标转换 的夹角的余旋
vi a jiv'j
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当组合两个向量时，可得到
Tij
左边
uivj (akiuk' )(aljvl' ) akialjuk' vl'
O
a az
ax
x2
ay
a a1e1 a2e2 a3e3
a
a12 a22 a32
9
1.1.2 矢量和,差与积
(1) 矢量和 (平行四边形法则)
ab ba (a b) c a (b c)
(2)矢量差
a b a (b)

OR
TT12''11
T1'2 T2'2
T1'3 T2'3

u3' v1'
u3' v2'
u3' v3'

T3'1
T3'2
T3'3

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换一种表示方法,有 Tij akialjTk'l
这样，得到一个量 T 具有分量 Tij
T 定义此量为（笛卡尔） 2阶张量
30

a

b

a

c
11
(5)矢量的叉积
e1 e2 e3 a b a1 a2 a3
b1 b2 b3


(a2b3 a3b2 )e1 (a1b2 a2b1)e3 (a3b1 a1b3)e2
注意:
a b b a
axb
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若 c0
则有
xi


ji
x
'
j
xi' ij x j
矢量的坐标 变换规律.
1) 基矢量具有与坐标分量相同的变换规律;
ei' i' jej ei ij' ej'
2) ij' j'k ik
33
3) [i' j ] 正交性
αi'
j


ccooss((ee12''
7
第一章 连续介质力学的数学基础
1.1 矢量
1.1.1矢量的概念
在三维欧几里得空间内, 具有大小和方向 的有向 线段.
矢量的表示
粗体字或字母上箭头
矢量相等
大小和方向相同
单位矢量
大小为1
零矢量
大小为0
8
图形表示
矢量 a (a1, a2 , a3)
分量: ai
x1
用三个有序数组表示
矢量大小
x3 a
a
i j i j
几个重要式子:
Aijij Aii Ajj A11 A22 A33
ijij ii 11 22 33 3
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ijai 1 ja1 2 ja2 3 ja3 aa12
a3
j 1 j2 j3
aj
1.3.2笛卡尔坐标变换
笛卡尔坐标系
平移旋转后
ox1x2 x3
o'
x' 1
x2'
x3'
基矢量 ei , ei'
ij ei' ej cos(ei',ej )
x3
x3'
P e3' e2'
x2'
o'
e3
o e2
e1'
x2
x1'
x1 e1
11 12 13
21
22

23
a b c (ijk ajbk ) (ci )
22
1.1.5三矢量之积 三矢量标量积(混合积)
a (b c) (aiei ) (ijk bjck )ei
ijk aibjck
a1 a2 a3 b1 b2 b3
c1 c2 c3
bxc
a c b
三矢量叉积
a (b c) (a c)b (a b)c
, e1) , e1)
cos(e1' cos(e2'
j1 j2 j3 p3 k3 s3 jp jk js
pijpks pp (ik js jkis ) pk (ip js jpis ) ps (ip jk jp ik ) 3(ik js jkis ) (ik js jkis ) (is jk jsik ) ik js jk is
间位置的变化及各邻近点距离的变化;研究随时间变化 的物理量的时间变化率. 2)连续介质满足的物理基本定律
质量守恒,动量守恒,能量守恒,热力学基本定律 3)连续介质的本构方程
描述各种连续介质模型对外部作用的响应;
3
课程内容
第一章 连续介质力学中的数学模型
主要掌握:张量的概念,张量的表示方法以及张量的运算规律等
ji ki
jt kt
it
ji ki
js ks
根据求和约定得:
ijk
ist

3

js ks
jt js kt ks
jt kt
jt kt
js js ks ks
jt kt
js kt jt ks
(2)连续介质的研究对象是三维连续体,
i, j, k 取值范围为1,2,3
15
(3) 同一项中重复出现的指标不能超过两次.
(a11 a22 a33 )(b11 b22 b33 ) aiibii
应写成 aiibjj
(4)同一等式中,同一文字指标在其中的一项单独出现, 则它在其他某项内重复出现,对该项也不求和.
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第三种证法:
ei e j ijk ek
ei e j ij
混合积的行列表达式有:
p1 p2 p3
pij ep (ei e j ) i1 i2 i3
j1 j2 j3
p1 p2 p3 p1 k1 s1 pp pk ps pijpks i1 i2 i3 p2 k 2 s2 ip ik is
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1.2 恒等式 ijkist js kt jt ks
第一种证明:
11 12 13 1 0 0
1r 1s 1t
I 21 22 23 0 1 0 1 rst I 2r 2s 2t rst
31 32 33 0 0 1
3r 3s 3t
Tk'l
u1v1 u1v2 u1v3 T11 T12 T13
u2v1
u2v2
u2v3

OR
T21
T22
T23

u3v1 u3v2 u3v3 T31 T32 T33
右边
uu12'' vv11''
u1' v2' u2' v2'
u1' v3' u2' v3'

31 32 33
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矢量OP在不同坐标系中的变换有:
OP O'P OO'
或 x xjej x'jej' c
用 ei 点乘上式,得 xi ji x'j ci
或用 ei' 点乘,得
xi' ij xj ci'
质点的运 动变换
c 代表坐标系平移部分. ij 代表坐标系旋转部分.
(a c)b (a b)c aibkcsisek aibkcsikes aibkcs (is jk ik js )ej
将上两式代入,移项,得
aibk cs[pijpks (ik js is jk )]ej 0
由 ai ,bk , cs 的任意性,可证明 pijpks ik js is jk
fi Tii
f1 T11 f2 T22
f3 T33
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(5) 不能改变某一项的自由标,但所有项的自由标可以 改变.
如 a ji xi bj
akixi bj akixi bk
Wrong Right
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(6) Kronecker 符号 Delta
ij
ij

1 0
O
b
a -axb
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(6)并矢 定义 ab ai eibj ej ai bj eiej
展开共9项， ei e j 可视为并矢的基
ai bj 为并矢的分解系数或分量
13
1.1.3 Einstein求和约定
在同一项内的一个指标的重复,将表示对该指标 在它的范围上遍历求和.
自由指标:无重复出现的指标,取值域1,2,3(三维空间中) 哑标: 重复出现一次且仅重复一次的指标为求和指标或 为哑标.
xk
x1 x2 x3
xi Cij z j
x1 C11z1 C12 z2 C13z3 x2 C21z1 C22 z2 C23z3 x3 C31z1 C32 z2 C33z3
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1.1.4 置换符号 {ijk }
1, 当 i, j, k 是1,2,3的偶排列
ir is it ijkrst jr js jt
kr ks kt
(利用了行列式的定义)
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令 i r 上式得:
ii ijkist ji
ki
is js ks
it jt kt
Βιβλιοθήκη Baidu
ii
js ks
jt kt
is
ds2 dx2 dy2 dz2 dxidxi ijdxidx j
ij jk ik
aiij a j
xi x j
xi, j
ij
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例: Aijbj
分量形式:
Ai1b1 Ai2b2 Ai3b3
uii
u11 u22 u33
k
1 2 3
(3) 矢量与标量的积满足结合律和分配律
ma
m(nb ) (mn)b
a
m(a b ) m(b a) ma mb
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(4)矢量的点积
标量 a b a1b1 a2b2 a3b3
ab

a

b
cos
点积满足
ab b a
a

(b

c)
123,231,312
ijk
-1,当 i, j, k 是1,2,3的奇排列
132,321,213
0,当 i, j, k 中有取值相同者.
1
1
3
2
3
2
偶排列
奇排列
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矢量叉积
a b (a2b3 a3b2 )e1 (a1b2 a2b1)e3 (a3b1 a1b3)e2
用置换符号可写成
第二章 应力分析
主要掌握:应力张量,应力张量的对称性,变换规律,主应力,主 方向,剪应力,应力偏张量等
第三章 连续介质运动学
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主要掌握:物质坐标与空间坐标,物质导数,随波导数,速度张 量,速度分解定理等.
第四章 连续介质力学基本定律
三大守恒定律:质量守恒,动量守恒,能量守恒,状态方程,熵 不等式,热力学两大定律.
如 ai jia'j a b a1b1 a2b2 a3b3 aibi
a1 11a1' 21a2' 31a3'
aii a11 a22 a33
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几个注意事项:
(1)求和指标不区分该指标表示的各个分量,而是 一种约定的求和标记.
aibi a jbj aijbj aikbk