数学建模的格式

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员(打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

日期：年月日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

双目高清定位

摘要:本文是研究数码相机定位问题，先后建立了圆心定位的模型与算法和数码相机标定的模型．

对于问题一，考虑只有一个圆的圆心在像平面的定位情况．首先，建立相机坐标系,利用边缘抽取法，得到圆的边缘像素坐标集．然后基于广义霍夫变换，建立圆心定位算法，求得峰值点坐标，作为圆心在像平面的像坐标．

为求解问题二，先用sobel 算子边缘抽取法获取五个圆的边缘像素坐标集．采取聚类分割方法对其加以分离，获得五个圆各自的边缘像素坐标集．沿用问题一的模型，利用Matlab 软件分别求得五个圆的圆心在像平面的像坐标为 (-49.47,-51.06,417.20)，( -22.75,-49.47,417.20)，( 34.39,-45.24,417.20)，( 19.05,31.22,417.20)，(-59.52,31.22,417.20)． 问题三要求设计一种模型检验方法,由于圆A,B,C 的圆心在同一直线上,所以可检验这三个圆心的像坐标是否保持在同一直线上,以此检验模型求解结果的精度. 基于不同的检测算子边缘抽取法,分别求解出相应的结果,并利用这种检验方法求得各个结果的精度.根据精度的偏差,可以分析该检验方法的稳定性. 问题四即是相机标定的问题，先以靶标所在平面建立世界坐标系，求得靶标五个圆的圆心以及AD 与CE 之间的连线交点F 的世界坐标．通过问题1的模型，求得五个圆心的像坐标，另外，A ’D’与C’E’之间的连线交点的坐标即是点F 在像平面的像坐标．然后利用世界坐标系下的空间点坐标以其相应的像坐标之间的关系：

11121314212223243132333411w i i w i ci i w i

X m m m m u Y z v m m m m Z m m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

， 求得相机的内外参数．然后通过空间任一点P 分别在两部相机中的坐标关系：

1

1

11221122C C X R R X t R R t --=+-，

得到这两部相机的相对位置关系．

关键词:检测算子 边缘抽取法 霍夫变换 聚类分割法 相机标定

一、问题重述

数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置．最常用的定位方法是双目定位．对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标．只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置．于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定．

标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置．然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”．实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了．而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现．

图 1 靶标上圆的像

现在，有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆．以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示．

用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示．

图3 靶标的像

下面我们需解决一下4个问题：

（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标,

这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；

（2）对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上

的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素

单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；

（3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；

（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法．

二、符号说明和基本假设

2.1基本假设

(1)用相机拍摄相片不会出现叠影或曝光残缺.

(2)圆圈上各像素点的灰度值相差不大,相邻像素点的灰度值相差不大.

(3)不考虑边缘抽取的像素点残缺较多且分散.

2.2符号说明

三、模型准备

为了便于建立模型和求解问题,先建立像平面的坐标系.

3.1坐标系的建立[1]：

如图4所示，在像平面上定义直角坐标系0O uv ，每一像素点的坐标（u ，v ）分别是该像素点在数组中的列数与行数，而（u ，v ）是以像素为单位的图像坐标称为像素坐标；像素坐标的集合称为像素坐标集．

由于(u,v)只表示像素位于数组中的列数与行数,并没有用长度单位表示出该像素在图像中的位置，因而，为了解题的需要，我们建立一个以物理单位(毫米)表示的像平面坐标系．如图4，坐标原点O 1为相机光轴与像平面的交点，建立与u,v 轴平行且同向的x ，y 轴，并以毫米为单位的1o xy 坐标系．

若（u ，v ）表示像素坐标，（x ，y ）表示以毫米为单位的像坐标系的坐标． x ，y 轴方向上的物理尺寸为dx ，dy ，则图像中任意一个像素在两个坐标系下的坐标有如下关系：

x u u d x y v v yd

=+=

+． 用齐次坐标与矩阵形式表示上式为：

0010101100

1u dx u x v v y dy ⎡⎤

⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

， 逆关系可写成：

0000.110

1dx

u dx x u

y dy v dy v ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣

⎦

图4 像平面坐标系