应用统计学 经管类 第7章 假设检验

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• • • • • •
二、假设检验的步骤 （一）提出原假设与备择假设 （二）构造检验统计量 （三）确定拒绝域 （四）计算检验统计量的样本观测值 （五）做出结论
1、提出原假设与备择假设
• 消费者协会实际要进行的是一项统计检验 H0 工作。检验总体平均 =250是否成立。这 就是一个原假设(null hypothesis)，通常用 表示，即： H0 ： =250
第三节 自由分布检验
一、自由分布检验概述 自由分布检验与限定分布检验不同， 它是指在假设检验时不对总体分布的形状和参数加 以限制的检验。与参数检验相对应，自由分布检验又称为非参数检验，但这里的非参数只是 指未对检验统计量服从的分布及其参数做出限制， 并不意味着在检验中 “不涉及参数” “不 或 对参数进行检验” 。
• 解：通过统计软件进行计算。
（二）配对样本的均值检验 设配对观察值为(x,y)，其差值是 d = x-y。设 d 为差值的总体均值，要检验的是：
H 0 : d 0 ， H1 : d 0
记d
d ，则其方差是： n
2
2 d d / n Sd n(n 1) n
t
X 1000 S/ n
第三步：确定显著性水平，确定拒绝域。 α=0.05，查 t-分布表(自由度为 8)，得临界值是 t / 2, n 1 t0.025,8 =2.306， 拒绝域是(-,-2.306]∪[2.306,+)。在 Excel 中，可以使用函数 TINV(0.05,8) 得到临界值 t0.025,8 。 第四步：计算检验统计量的样本观测值。 将 X 986 ，n=9，S=24，代入 t 统计量得：
H1 • 与原假设对立的是备选假设(alternative hypothesis) ，备选假设是在原假设被否 定时另一种可能成立的结论。备选假设比 原假设还重要，这要由实际问题来确定， 一般把期望出现的结论作为备选假设。
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2、构建检验统计量
• 构造一个统计量来决定是否“拒绝原假设，接受 备选假设”。对不同的问题，要选择不同的检验 统计量。 X 250 Z / n
Sd
检验统计量是： t d 0 Sd / n t (n 1)
三、p-值检验 p-值检验的一般步骤如下：(1)建立原假设与备择假设；(2)确定检验统计量及其分布； (3)将样本观测值代入检验统计量计算出其样本数值；(4)计算 p-值；(5)将 p-值与显著性水 平 α 相比较，做出判断。如果 p-值小于给定的显著性水平 α，则拒绝原假设；否则，不能拒 绝原假设。更加直观的原则是：如果 p-值很小，拒绝原假设，p-值不够小，则不能拒绝原 假设。 p-值检验不必根据不同的显著水平， 查对有关分布表确定的临界值。 通过计算机计算时， p-值检验更加方便可行。
立抽样，得到两个样本，它们的容量分别是 n1 和 n2；这两个样本的均值分别 是 X 1 和 X 2 。由于总体方差已知， X 1 X 2 N ( 1 2 , 使用 Z 统计量进行检验： Z X1 X 2
12
n1

2 2
n2
) 。我们可以

2 1
n1


2 2
N (0,1)
986 1000 t0 1.75 24 / 9
第五步：判断。 由于 | t0 | =1.75<2.306，检验统计量的样本取值落入接受域，所以不能拒 绝 H0。样本数据表明这天的自动包装机工作正常。
（二）总体成数的检验
根据抽样分布理论，在大样本条件下，样本成数也近似服从正态分布。由此可知，当 H0 为真时，可以构建服从标准正态分布的 Z 统计量进行检验：
第七章 假设检验
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本章主要内容：
• • • • 第一节 假设检验概述 第二节 总体均值与成数的检验 第三节 自由分布检验 第四节、列联表分析与总体方差检验
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第一节 假设检验概述
• 一、假设检验的基本思想 • 假设检验是统计推断的另一种方式，它与区间估 计的差别主要在于：区间估计是以大概率为标准， 推断出总体参数的取值范围；而假设检验是以小 概率为标准，对总体参数或分布形式所做出的假 设进行判断。假设检验分为两类：一类是参数检 验，另一类是自由分布假设检验，或称非参数检 验。
t
X 0 S/ n
~ t (n 1)
式中 S 是样本标准差。
需要注意的是，在样本容量较小时，t-分布与标准正态分布的差异是明 显的，但是在大样本场合，t-分布与标准正态分布近似，此时可以用 Z 统计 量代替 t 统计量。 此外，当总体分布未知或不是正态总体，且总体标准差未知时，仍然可 用样本标准差来代替总体标准差， 但此时必须是大样本， 并且使用 Z 统计量。
0
临界值 1

与关系示意图
• 四、检验功效 • 在犯第一类错误概率得到控制的条件下，犯取伪 错误也应尽可能地小，或者说，不取伪的概率1-β 应尽可能增大。1-β越大，意味着当原假设不真实 时，检验判断出原假设不真实的概率越大，检验 的判别能力就越好；1-β越小，检验的判别能力就 越差。可见1-β是反映统计检验判别能力大小的重 要标志，我们称之为检验功效或检验力。
3、确定拒绝域
• 检验统计量确定后，就要利用该统计的 分布以及由实际问题中所确定的显著性 水平，来进一步确定检验统计量拒绝原 假设的取值范围，即拒绝域。在给定的 显著性水平α下，检验统计量的可能取值 范围被分成两部分：小概率区域与大概 率区域。小概率区域就是概率不超过显 著性水平α的区域，是原假设的拒绝区域； 大概率区域是概率为1-α的区域，是原假 设的接受区域。
Z
P 0 N (0,1) 0 (1 0 ) n
式中，0 为总体成数的假设值，P 表示样本成数。
二、两个正态总体的假设检验
（一）独立样本的均值检验 1．总体标准差已知
2 设两总体分别是 1 N ( 1 , 12 ) ， 2 N ( 2 , 2 ) ，分别从这两个总体中独
n2
按备择假设的不同，也存在三种情形： (1) H 0 ： 1 2 ， H 1 ： 1 2 ，双侧检验； (2) H 0 ： 1 2 ， H 1 ： 1 2 ，左侧检验； (3) H 0 ： 1 2 ， H 1 ： 1 2 ，右侧检验。
• 【例7-6】某商店销售的商品来自甲、乙两家厂商， 为了考察商品性能的差异，从甲、乙两家厂商的 产品中分别抽取了8件和9件，测定其性能指标， 得如下数据： • 甲厂产品X：0.30，0.12，0.18，0.25，0.27， 0.08，0.19，0.13； • 乙厂产品Y：0.28，0.30，0.11，0.14，0.35， 0.26，0.14，0.31，0.20。 • 问在显著性水平0.1下，两家产品的性能是否存在 明显的差异。
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4、计算检验统计量的观测值
X 250 248 250 Z 3.54 / n 4 / 50
5、做出结论
• 统计量是否落在拒绝域
• 尽管拒绝或者不拒绝是根据主观给定的显 著性水平决定，但是在实践中，我们往往 认为拒绝原假设 接受 H0 拒绝 H0 H0 真实 H0 不真实 判断正确 取伪错误(概率为 β) 弃真错误(概率为 α) 判断正确
• 【例7-3】某厂采用自动包装机分装产品， 假定每包产品的重量服从正态分布，每 包标准重量为1 000克。在产品质量抽样 中，某日随机抽查9包，测得样本平均重 量为986克，样本标准差是24克。试问 在0.05的显著性水平上，能否认为这天 自动包装机工作正常？
解： 第一步：确定原假设与备择假设。 H0： =1000，H1： 1000 以上的备择假设是总体均值不等于 1 000 克， 因为只要均值偏离 1 000 克， 都说明包装机工作不正常。因此使用双侧检验。 第二步：构造检验统计量。 由于是正态总体，总体标准差未知，且是小样本，故采用 t 统计量。
Z0
0.076 0.081 2.83 0.025 / 200
第五步：判断。 Z0= -2.83<-1.96，检验统计量的样本取值落入拒绝域。 拒绝原假设，接受备择假设，有证据表明新机床加工的 零件的椭圆度与以前有显著差异。
2．总体标准差未知 总体标准差未知时可用样本标准差代替。但即使在正态总体条件下， 这一新的统计量已不服从标准正态分布，而是服从自由度为 n-1 的 t-分布了。此时的检验统计量称为 t 统计量。
Z
X 0
/ n
~ N (0,1)
式中，0 为总体均值的假设值。
• 【例7-2】某机床厂加工一种零件，根据 经验知道，该厂加工零件的椭圆度近似服 从正态分布，其总体均值为0.081mm，总 体标准差为0.025mm。今换一种新机床进 行加工，抽取200个零件进行检验，得到 的椭圆度为0.076mm。试问在0.05的显著 性水平上，新机床加工零件的椭圆度的均 值与以前有无显著差异？
• 解： • 1、H0：=250，H1： <250
2、
检验统计量 Z：
Z
• 3、
X 250 / n
=0.05，且使用左侧检验，拒绝域在左边，查标准正态分布表得临界值：
-Z= -1.645，则拒绝域是(-,-1.645]
• 4、
将样本平均数 X =248，n=50，代入检验统计量得：
• “小概率原理”，即概率很小的事件在一 次试验中通常是不可能出现的。如果在原 假设成立的前提下，在一次观察中小概率 事件发生了，则认为原假设不正确应予以 否定 。 • 注意：小概率事件没有发生，并没有说就 可以接受原假设。
• 例7-1：消费者协会接到消费者投诉，指 控品牌纸包装饮料存在容量不足，有欺骗 消费者之嫌。包装上标明的容量为250毫 升。消费者协会从市场上随机抽取50盒该 品牌纸包装饮品，测试发现平均含量为 248毫升，小于250毫升。这是生产中正常 的波动，还是厂商的有意行为？消费者协 会能否根据该样本数据，判定饮料厂商欺 骗了消费者呢？