统计学第七章、第八章课后题答案

统计学复习笔记

第七章 参数估计

一、 思考题

1． 解释估计量和估计值

在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。

根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2． 简述评价估计量好坏的标准

（1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。

（2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。

（3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。

3． 怎样理解置信区间

在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。

4． 解释95%的置信区间的含义是什么

置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。

不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。

5． 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。

1. 估计总体均值时样本量n 为

2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差、估计误差E 之间的关系为

其中： 2222α2222)(E z n σα=n z E σα2=

▪ 与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需要的样本量越大；

▪ 与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大； ▪ 与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。

二、 练习题

1． 从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。

1) 样本均值的抽样标准差等于多少？

2) 在95%的置信水平下，估计误差是多少？

解： 1） 已知σ = 5，n = 40， = 25

∵ ∴ = 5 ／√40 ≈ 0.79 2） 已知

∵ ∴ 估计误差 E = 1.96×5÷√40 ≈ 1.55

2． 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。

1) 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。

2) 在95%的置信水平下，求估计误差。

3) 如果样本均值为120元，求总体均值µ的95%的置信区间。 解：1）已知σ = 15，n = 49 ∵ x σx σ

x x σx n

x n x σσ=α2n z E σα2=n x n x σσ=n

x n x σσ=

∴ = 15÷√49 = 2.14 2）已知

∵ ∴ 估计误差 E = 1.96×15÷√49 ≈ 4.2

3）已知 = 120

∵ 置信区间为

±E ∴ 其置信区间 = 120±4.2

3． 从一个总体中随机抽取n =100的随机样本，得到

=104560，假定总体标准差σ = 85414，试构建总体均值µ的95%的置信区间。

解： 已知n =100， =104560，σ = 85414，1-α＝95% ，

由于是正态总体，且总体标准差已知。总体均值μ在1-α置信水平下的置信区间为

104560 ± 1.96×85414÷√100

= 104560 ±16741.144

4． 从总体中抽取一个n =100的简单随机样本，得到 =81，s=12。要求：

1） 构建µ的90%的置信区间。

2） 构建µ的95%的置信区间。

3） 构建µ的99%的置信区间。

解：由于是正态总体，但总体标准差未知。总体均值μ在1-α置信水

x σx σ

α2n z E σα2=x x x x 2α()28.109,44.10192.336.1052510

96.136.1052=±=⨯±=±n z x σ

αx

平下的置信区间公式为

81±

×12÷√100 = 81±×1.2

1）1-α＝90%， 1.65 其置信区间为 81 ± 1.98

2）1-α＝95% ，

其置信区间为 81 ± 2.352

3) 1-α＝99%， 2.58

其置信区间为 81 ± 3.096

5． 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

1） = 25，σ = 3.5，n =60，置信水平为95%

2） =119，s =23.89，n =75，置信水平为98%

3） =3.149，s =0.974，n =32，置信水平为90%

解：∵ ∴ 1） 1-α＝95% ，

其置信区间为：25±1.96×3.5÷√60

= 25±0.885

2） 1-α＝98% ，则α=0.02, α/2=0.01, 1-α/2=0.99,查标准正态分布表,可知: 2.33

其置信区间为: 119±2.33×23.89÷√75

= 119±6.345

x x x 22未知αα)(22未知或σσααn

s z x n z x ±±